正弦定理和余弦定理讲义打印版

正弦定理和余弦定理讲义

解三角形的大前提背景：内角和定理：

在ABC ∆中,A B C ++=π;sin A =s ｉn(B ＋C ）,c ｏｓA =－cos(B ＋Ｃ),

ta ｎＡ＝－ｔan(B +C ）．s

ｉn A

2＝cos 错误!，cos 错误!＝sin 错误!.

考点一:1．正弦定理： ,其中R 是 . 2.变形为： （1)a ∶b ∶ｃ＝ ;（边化角）a ＝_＿___＿＿，b =_＿_____，c ＝_＿＿__; （角化边）sin Ａ=__＿_＿__， si ｎ Ｂ=_＿_＿__, sin Ｃ=____＿__

注：正弦定理可解决两类问题：(1）已知两角及任一边,求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.（情况(２）中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分.大边对大角） 3.

例１.已知下

列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解,有解的作出解答。 (1）7,8,105a b A === （2)10,20,80a b A === (3）10,56,60b c C === (4）23,6,30a b A ===

2.在△AB Ｃ中,a ＝8,B ＝6０°,C =７5°,求边b 和c .

考点二:余弦定理 a 2=__________，b 2=_＿＿____,c ２

＝___＿____．

余弦定理可以变形为：c ｏｓ A =__＿＿＿__＿__,co ｓ B =____＿__＿,ｃｏｓ C =＿__＿_＿___.或者 注：1.已知两边ｂ,c 与其夹角A ，由a ２

=b 2＋ｃ2－2bc ｃos A, 求出a ，再由正弦定理，求出角B ，C. 2.已知三边a 、ｂ、c ,由余弦定理可求出角A 、B 、Ｃ. 例.在△AB Ｃ中,ａ=1,b ＝＼ｒ(7) ，B ＝6０°,求c.

考点三：判断三角形的形状

解题思路：一般考虑两个方向进行变形:（１)一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用;(2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理 (思考:如何判断锐、直、钝三角形；结合三角变换判断等腰，等边等）

例１.在△ＡBC 中,bcos Ａ=a c ｏs Ｂ，试判断三角形的形状.

2．在△ＡBC 中，若ｃo ｓＡ

cosB

=错误!，则△ABC 的形状是.( ）

３.△ABC 中，若lg a －lg ｃ＝l ｇsin Ｂ=－lg ２且B ∈错误!，则△A ＢＣ的形状是( )

Ａ为锐角 A 为钝角或直角

图形

关系式 ａ＝b sin A

b sin A b

解个数

4.已知在△ABC 中,2

22cos

A b c c

+=，则△ABC 的形状是 ﻩﻩ

例1.在△ABC 中,角A ,B ，Ｃ所对的边分别为ａ,ｂ,ｃ，且满足co ｓ A

２

=错误!，AC AB •=3. (1)求△Ａ

B Ｃ的面积; （2)若b +c =６，求a 的值.

2.在△ＡBC 中,ａ、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且错误!=－错误!.（１）求角B 的大小； 若ｂ＝错误!,a +c ＝4，求△ABC 的面积.

考点五:三角形中的三角变换

题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值． 三角变换公式：1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

２．二倍角的正弦、余弦和正切公式: 3.辅助角公式:

例１.在ABC △中,已知内角

A π

=

3

,边BC =设内角B x =,周长为y . （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；(２）求y 的最大值．

2.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.

(Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.

3.在△ABC 中,内角A ，B ，Ｃ所对边长分别为a ,b ，c ,AB BC ⋅＝8，∠B ＡC ＝θ,a =４.

(1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；(2)求函数ｆ(θ)=2＼r （3）sin 2(错误!＋θ）+２cos 2

θ-错误!的值.

考点六：综合问题

例.（20０5年全国高考卷三试题)△ＡＢC 中，内角A ，Ｂ,C 的对边分别为ａ，ｂ,c ，已知a ,b ,ｃ成等比数列,.4

3cos =

B (Ⅰ）求cot A +c ｏt

C 的值; (Ⅱ）设3

2

BA BC ⋅=

，求a +c 的值.

考点七:实际应用

(一.）测量问题

例1. 如图1所示,为了测河的宽度,在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°,∠CBA ＝75°,AB ＝1２0ｃm ，求河的宽度。

（二.）遇险问题

例2.某舰艇测得灯塔在它的东１5°北的方向，此舰艇以30海里／小时的速度向正东前进,3０分钟后又测得灯塔在它的东3０°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？

３．(200７山东高考)如图,甲船以每小时30

2海里的速度向正北方航

行,乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105

方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120

方向的2B 处，

此时两船相距2,问乙船每小时航行多少海里?

跟踪训练 一、选择题

1．在△ABC 中,si ｎ２

Ａ≤ｓｉn 2B ＋si ｎ２

C -sin B ·ｓｉｎC ，则A 的取值范围是( )

Ａ.(0，错误!] B.[错误!,π） C ．(0，错误!］ D ．[错误!，π)

2.如图,在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且A Ｂ=ＡＤ，2AB =错误!ＢＤ，BC ＝2BD ，则si ｎ C 的值

为( )

A.错误! ﻩ

B.错误!

C.错误!

D .错误!

3．在△ＡＢC 中，若∠A =6０°，b ＝1,S △ABC =错误!,则错误!的值为( )

A ．错误!

Ｂ.错误! Ｃ.错误! ﻩ ﻩＤ.错误!

4.在△ABC 中,角A ,B ，C 所对的边长分别为a ，b ，ｃ.若∠Ｃ=120°，c =错误!a ,则 ( )

图1

A

B

C

D

西

北 南

东 A

B

C

30° 15° 图2

北

1

B

2B

1

A

2

A

120105乙

甲