最新高一数学第三章函数的应用知识点总结
高一上数学必修一第三章《3.3 函数的应用》知识点梳理
高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.3 函数的应用【学习目标】能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题.（1）能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义.（2）能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题。
（3）能处理有民生、经济、物里等方面的实际问题。
【重点】1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解2.会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题3.了解数学知识来于生活，又服务于生活.【难点】1、增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。
【典型例题】例1 为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。
解（1）不难看出，f（x）是一个分段函数，而且：当0<x≤220时，有f（x）=3.45x；当220<x≤300时，有f（x）=220×3.45+（x-220）×4.83=4.83x-303.6；当x>300时，有f（x）=220×3.45+（300-220）×4.83+（x-300）×5.83=5.83x-603.6.因此=3.45x，0<x≤220，f（x）=14.83x-303.6，220<x≤300，=5.83x-603.6，x>300.（2）因为220<260≤300，所以f（260）=4.83×260-303.6=952.2，因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。
由例1可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容.例2 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。
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第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y =f(x)(xeD)的零点。
2、函数零点的意义：函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与兀轴交点的横坐标。
即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点.3、函数零点的求法：①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根；© (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点：①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。
②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。
x③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。
④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0).(1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。
⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1.⑦幕函数丁 =屮，当〃>0时，仅有一个零点0,当〃50时，没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)［,儿(基本初等函数)，这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。
6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点，只需满足/(a)/(b)<0。
高一第三单元函数知识点
高一第三单元函数知识点在高一数学中，函数是一个十分重要的概念和知识点。
掌握函数的基本概念以及相关的性质和应用是学习数学的关键。
本文将通过讨论函数的定义和性质，探究函数在实际问题中的应用，以及解决函数相关问题的方法和技巧。
一、函数的定义和性质函数是一个将自变量和因变量相互映射的关系。
一般用f表示函数关系，其中x为自变量，y为因变量。
函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的取值范围。
函数的解析式表示了自变量和因变量之间的映射规律。
函数在数学中有许多重要的性质，例如单调性、奇偶性和周期性。
单调函数表示函数在定义域内的取值是单调递增或单调递减的。
奇函数满足函数关系f(-x)=-f(x)，偶函数满足函数关系f(-x)=f(x)。
周期函数是指存在某个正数T，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)。
二、函数的应用函数在实际生活和工作中有广泛的应用。
例如，利润函数可以描述一家公司的销售额和成本之间的关系。
通过分析利润函数的性质，可以找到最大利润对应的销售额。
另外，速度函数可以描述一个物体在运动过程中的速度变化。
通过对速度函数进行积分，可以计算出物体在给定时间段内所经过的距离。
函数的应用还涉及到最值问题和图像的分析。
通过求解函数的最值，可以得到函数的最大值和最小值。
图像的分析可以通过绘制函数的图像，来观察函数的趋势、特点和变化。
通过对图像的观察和分析，可以解决诸如求解方程、解不等式和求解极限等问题。
三、解决函数相关问题的方法和技巧在解决函数相关问题时，我们可以运用一些方法和技巧来简化计算和推导过程。
其中，函数的组合和复合是常用的技巧之一。
通过将多个函数进行组合，可以构建出新的函数关系。
而函数的复合则是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，进行多次运算得到结果。
另外，函数的求导和积分也是重要的技巧之一。
函数的导数表示了函数在某一点的斜率或变化率。
通过求解导数，可以得到函数的最值点、拐点和切线方程等信息。
函数的积分则表示了函数与自变量之间的面积关系。
高一第三章函数问题知识点
高一第三章函数问题知识点函数是数学中一种重要的概念，是研究数量关系的基础工具。
在高一的第三章函数问题中，我们要学习各种函数的性质和运算规则。
本文将详细介绍高一第三章函数问题的知识点。
一、函数的定义与表示方法函数是数学中的一种映射关系，可以表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数的表达式。
函数可以通过函数图像、函数表、解析式等多种方式表示。
二、函数的性质1. 定义域与值域：函数的定义域是自变量可能的取值范围，值域是函数取得的所有可能的值。
2. 奇偶性：函数在对称中心点具有对称性的称为偶函数，对称中心点为原点的称为奇函数。
3. 单调性：函数在定义域上的取值随自变量的增减而增减的性质。
4. 最值与极值：函数的最值是函数取得的最大值和最小值，极值是函数在某一区间内的最大值和最小值。
5. 周期性：函数在一定的区间内有规律地重复出现的性质。
三、函数的基本运算1. 函数的四则运算：函数之间可以进行加减乘除的四则运算，结果仍为函数。
2. 函数的复合：将一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成新的函数。
3. 函数的反函数：满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数之间称为互为反函数。
4. 函数的平移与伸缩：通过平移和伸缩可以改变函数的位置和形状。
四、常见函数的性质与图像1. 线性函数：y=kx+b，其中k为斜率，b为截距，图像为一条直线。
2. 幂函数：y=x^n，其中n为常数，图像形状由n的正负以及大小决定。
3. 指数函数：y=a^x，其中a为底数，大于1时为增长函数，小于1时为衰减函数。
4. 对数函数：y=log_a(x)，其中a为底数，反映a的x次幂等于y，常见的对数函数为以10为底的常用对数函数log(x)和以e为底的自然对数函数ln(x)。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，图像为周期性波动的曲线。
五、函数的应用函数在现实生活中有着广泛的应用，例如物体自由落体运动的高度与时间的关系、经济学中的供需曲线、生物学中的种群增长模型等等。
函数知识点高一第三章总结
函数知识点高一第三章总结在高一数学课程的第三章中，我们学习了许多重要的函数知识点。
函数是数学中非常重要且广泛应用的概念，它不仅在数学中有着丰富的理论基础，还在日常生活中有着广泛的应用。
在本章总结中，我将回顾并总结本章中的重要函数知识点。
一、函数的基本概念函数是数学中的一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素上。
函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成。
其中，定义域是指函数的输入集合，值域是函数的输出集合，对应关系则描述了输入和输出之间的关系。
函数可用数学符号表示为f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
二、函数的表示法函数可以用不同的表示法来表达。
一种常见的表示方法是函数的解析式表示，即用代数表达式来表示函数。
例如，线性函数可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
另一种表示方法是函数的图像表示，通过绘制函数的图像来展示函数的特征。
三、函数的图像与性质函数的图像是函数在坐标系中的表示，它可以帮助我们直观地理解函数的性质。
我们可以通过观察函数的图像来判断函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
例如，当函数的图像在一个区间上逐渐上升时，我们称该函数在该区间上是递增的；当函数的图像关于y轴对称时，我们称该函数是偶函数。
四、函数的运算在函数的学习过程中，我们还学习了函数的运算。
常见的函数运算包括复合函数、反函数、平移与伸缩等。
通过对函数的运算，我们可以获得新的函数，并通过运算改变函数的性质。
五、函数的特殊类型在高一数学中，我们还学习了一些特殊类型的函数。
其中，常见的特殊类型包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
每种特殊类型的函数都有其独特的性质和应用，我们需要了解它们的定义、图像和特点。
六、函数的应用函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。
在数学中，函数常常用于描述物理问题、经济问题和统计问题等。
而在现实生活中，函数可以用于建模和预测，如经济增长模型、人口模型等。
高一数学第三章函数的应用知识要点
高一数学函数的应用知识要点一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.3、函数零点的求法：1(代数法)求方程f(x)0的实数根;2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点：①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。
k(k0)没有零点。
x②反比例函数y③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。
④二次函数yax2bxc(a0).(1)△>0，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)△=0，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)△<0，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。
⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2(基本初等函数)个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。
6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。
7、确定零点在某区间a,b个数是唯一的条件是:①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。
8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数;从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标;1x若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点;若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点.9、二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度;(2)求区间(a，b)的中点x1;(3)计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点;②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：f(x)kxb(k0);二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型：h(x)axb(a0);指数函数模型：l(x)abxc(a0,b>0，b1)。
数学必修一第三章知识点总结
数学必修一第三章知识点总结第三章是关于函数的知识点总结。
1. 函数的概念：函数是一个特殊的关系，将一个数集的每个元素与另一个数集的元素对应起来。
函数可以用一个公式、图像或者表格来表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的所有输入值的集合，值域是所有函数可能的输出值的集合。
3. 函数的图像：函数的图像是将函数的输入和输出对应起来的一种形象表示。
在平面直角坐标系中，函数的图像是一条曲线或者直线。
4. 函数的性质：函数可以是奇函数、偶函数或者普通函数。
奇函数满足 f(-x) = -f(x)；偶函数满足 f(-x) = f(x)；普通函数不满足奇偶性质。
5. 函数的性质：函数可以是单调递增函数、单调递减函数、增函数或者减函数。
单调递增函数满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2；单调递减函数满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2；增函数在定义域上满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2；减函数在定义域上满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2。
6. 反函数：函数的反函数将函数的输入和输出颠倒过来，即输入变为输出，输出变为输入。
反函数的定义域和值域与原函数相反。
7. 复合函数：复合函数是两个或多个函数的组合。
复合函数的定义域是能够使复合函数有意义的所有值的集合。
8. 基本初等函数：基本初等函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
这些函数具有特定的性质和图像特征。
9. 函数的运算：函数之间可以进行加减乘除和求导等运算。
函数的运算结果仍然是一个函数，具有相应的性质和图像特征。
以上是第三章关于函数的知识点总结。
在学习函数时，需要理解函数的概念和性质，掌握常见的函数类型和图像特征，以及函数的运算和组合等操作。
同时，还需要通过练习题和实例来巩固和应用所学知识。
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
高一数学函数知识点总结(4篇)
高一数学函数知识点总结映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌握三种表示法--列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(____)，那么y=f[g(____)]叫做f和g的复合函数，其中g(____)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(____)的反函数的一般步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(____)的解析式求出____=f-1(y);(3)将____，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(____)，并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1(____0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.高一数学函数知识点总结（二）函数的单调性1、单调函数对于函数f(____)定义在某区间[a，b]上任意两点____1，____2，当____1>____2时，都有不等式f(____1)>(或<)f(____2)成立，称f(____)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的____1，____具有任意性，不能用特殊值代替.(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.(4)注意定义的两种等价形式：设____1、____2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函数;在[a、b]上是减函数.②在[a、b]上是增函数.在[a、b]上是减函数.需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(____1，f(____1))、(____2，f(____2))连线的斜率都大于(或小于)零.(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(____)是增(减)函数，且(或____1>____2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数y=f[g(____)]的单调性若u=g(____)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(____)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。
高一第三章函数知识点
高一第三章函数知识点函数是数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将对高一第三章函数的知识点进行详细介绍。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素与另一个集合的元素进行对应。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系三个要素。
其中定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数可能取得的值的集合，对应关系将定义域中的元素和值域中的元素进行对应。
函数有几个重要的性质，包括单调性、奇偶性和周期性。
单调性指的是函数在定义域上是递增或递减的，奇偶性指的是函数的对称性，周期性指的是函数在一定区间内满足周期重复的性质。
二、常见的函数类型常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
1. 线性函数：线性函数的图像是一条直线，其一般形式为y =kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的特点是斜率恒定，函数图像是一条直线。
2. 二次函数：二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a不等于零。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
3. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，其一般形式为y = a^x，其中a为常数且a大于零且不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，其一般形式为y= loga(x)，其中a为常数且a大于零且不等于1。
对数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像是周期性的曲线。
三、函数的性质与运算函数有很多重要的性质和运算。
其中，函数的奇偶性是一个重要的性质，它可以通过函数的表达式或图像进行判断。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，即关于原点对称；偶函数满足f(-x) = f(x)，即关于y轴对称。
函数之间可以进行多种运算，包括函数的和、差、积和商。
两个函数的和（差）是指将两个函数的对应值相加（相减）而得到的新函数；两个函数的积是指将两个函数的对应值相乘而得到的新函数；两个函数的商是指将两个函数的对应值相除而得到的新函数。
高一函数第三章知识点归纳
高一函数第三章知识点归纳函数是数学中的重要概念，在高一数学中，函数的学习是一个重要的环节。
在高一函数第三章中，我们学习了一些与函数相关的知识点，下面我将对这些知识点进行归纳总结。
一、函数的性质1. 定义域和值域：对于一个函数，其定义域是指可以使函数有意义的变量的取值范围，而值域是函数在定义域上所取得的全部函数值的集合。
2. 单调性：函数的单调性可以分为单调递增和单调递减两种类型。
如果对于定义域内的任意两个不同的实数，函数值满足随着自变量增大（减小）而增大（减小），则函数是单调递增（递减）的。
3. 奇偶性：当函数满足$f(-x)=f(x)$时，函数为偶函数；当函数满足$f(-x)=-f(x)$时，函数为奇函数。
4. 周期性：如果存在一个正数T，对于定义域内任意一点x，有$f(x+T)=f(x)$，则函数具有周期性。
5. 最值与最值点：函数在定义域内的最大值和最小值分别称为最大值和最小值，在最值点处取得最大值和最小值的点称为最值点。
二、函数的图像与性质1. 基本型函数的图像：包括常函数、一次函数、二次函数和绝对值函数等基本型函数，我们需要了解这些函数的图像和性质。
2. 函数的平移和伸缩：通过对基本型函数进行平移和伸缩变换，可以得到其他种类的函数。
平移和伸缩的参数可以使函数的图像发生左右平移、上下平移、水平压缩、垂直拉伸等变化。
3. 函数的对称性：函数的对称性分为关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称三种情况。
通过函数的表达式可以确定函数是否具有对称性。
4. 零点和零点的个数：函数的零点是函数值为0的自变量的取值，函数可能存在一个或多个零点，我们可以通过方程的求解来确定函数的零点个数。
三、函数的运算1. 函数的加法和减法：两个函数的加法和减法的定义是将两个函数对应的函数值相加（或相减），而这两个函数在同一定义域上有意义。
2. 函数的乘法和除法：两个函数的乘法和除法的定义是将两个函数对应的函数值相乘（或相除），需要注意的是，当除法运算时，被除数函数的值不能为零。
高一数学第三章知识点总结
高一数学第三章知识点总结高一数学人教版第三章知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义- 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y = f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
- 其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{y|y = f(x),x∈ A}叫做函数的值域。
2. 函数的三要素- 定义域：- 分式函数分母不为0，如y=(1)/(x)，定义域为{x|x≠0}。
- 偶次根式函数被开方数非负，如y = √(x)，定义域为{x|x≥slant0}。
- 对数函数y=log_{a}x(a>0,a≠1)，定义域为(0,+∞)。
- 对应关系：- 函数的对应关系决定了函数的性质和图象特征。
例如y = x^2和y=(x + 1)^2，它们的对应关系不同，图象形状相同但位置不同。
- 值域：- 求值域的方法有观察法、配方法、换元法等。
例如对于函数y=x^2+2x + 3=(x + 1)^2+2，因为(x + 1)^2≥slant0，所以y≥slant2，值域为[2,+∞)。
二、函数的表示法1. 解析法- 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y = 2x+1，y=(1)/(x^2)等。
优点是简明、全面地概括了变量间的关系；便于理论分析和计算。
2. 图象法- 用图象表示两个变量之间的对应关系，如一次函数y = kx + b(k≠0)的图象是一条直线。
图象法的优点是直观形象地表示函数的变化趋势。
3. 列表法- 列出表格来表示两个变量之间的对应关系，例如某城市一天内不同时刻的气温表。
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
三、函数的单调性1. 增函数与减函数的定义- 设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x_{1},x_{2}，当x_{1}<x_{2}时，都有f(x_{1})<f(x_{2})，那么就说函数y =f(x)在区间D上是增函数；当x_{1}<x_{2}时，都有f(x_{1})>f(x_{2})，那么就说函数y = f(x)在区间D上是减函数。
高一第三章函数知识点总结
高一第三章函数知识点总结函数是数学中的基础概念之一，也是高中数学中的核心内容之一。
在高一学习过程中，我们接触到了许多与函数相关的知识点，掌握了函数的定义、性质以及一些常用的函数类型。
接下来，我将对高一第三章的函数知识点进行总结。
一、函数的定义和性质函数是一种对应关系，通过给定的自变量得到相应的函数值。
在数学中，可以用数学公式来表示函数。
通常，我们用f(x)来表示函数，其中f是函数名，x是自变量。
函数的定义域是指自变量的取值范围，函数的值域是指函数在定义域内的所有可能取到的值。
函数值域的求解通常需要根据函数的性质和定义域进行分析。
在函数的图象上，自变量通常表示横轴，函数值通常表示纵轴。
一个函数的图象是由所有的函数值点构成的。
二、常用的函数类型1. 一次函数一次函数是最简单的函数之一。
它的形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图象是一条直线，斜率决定了函数的倾斜程度。
2. 二次函数二次函数的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图象为抛物线，开口方向和开口程度由系数a的正负值决定。
3. 三角函数三角函数是周期函数的一种，常见的有正弦函数和余弦函数。
它们的图象是波浪形状的曲线，具有周期性。
4. 指数函数与对数函数指数函数的形式为f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。
它的图象是增长或衰减的曲线。
对数函数是指数函数的逆运算，表示为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为函数值。
它的图象是一条递增或递减的曲线。
三、函数的性质和应用函数的性质有很多，这里只介绍一些常见的。
1. 函数的奇偶性如果对于定义域内的任意x，函数满足f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数；如果对于定义域内的任意x，函数满足f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。
如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称为非奇非偶函数。
2. 函数的单调性函数的单调性可以分为递增和递减。
函数知识点高一第三章
函数知识点高一第三章一、引言函数是数学中的重要概念之一，也是高中数学中的重要内容。
在高一第三章函数知识点中，我们将学习函数的定义、性质及其应用等内容。
本文将介绍高一第三章函数知识点的核心内容，帮助读者更好地理解和掌握函数的基本概念和相关知识。
二、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个数学概念，用于描述两个变量之间的一种特定关系。
在函数中，一个自变量的值唯一确定一个因变量的值，表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f表示函数关系。
2. 函数的性质：（1）定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
（2）奇偶性：函数关系在定义域内的对称性，称为函数的奇偶性。
（3）单调性：函数关系在定义域内的增减性，称为函数的单调性。
（4）周期性：函数关系满足一定周期性的性质，称为函数的周期性。
三、常见函数类型及其图像1. 一次函数（线性函数）：一次函数是函数关系中最简单的一种类型，表达式为y = kx + b。
其中k和b为常数，k表示斜率，b表示截距。
2. 二次函数（抛物线函数）：二次函数是函数关系中常见的一种类型，表达式为y = ax^2 +bx + c。
其中a、b、c为常数，a不为零。
3. 幂函数：幂函数是函数关系中的一种类型，表达式为y = x^a。
其中a为常数，且a不为零。
4. 指数函数：指数函数是函数关系中的一种类型，表达式为y = a^x。
其中a为常数，且a大于0且不等于1。
5. 对数函数：对数函数是函数关系中的一种类型，表达式为y = logₐ(x)。
其中a为常数，且a大于0且不等于1。
四、函数的应用1. 函数的建模：函数在实际问题中的应用，常常需要通过建立函数模型对问题进行描述和求解。
比如建立速度与时间关系的函数模型、温度与时间关系的函数模型等。
2. 函数的最值：函数的最值是指在定义域内，函数所能取到的最大值和最小值。
通过对函数表达式的分析，可以求得函数的最值，进而对实际问题进行推导和解答。
高一第三章函数整理知识点
高一第三章函数整理知识点函数是数学中一个重要的概念，它在很多数学问题的解决中起到了关键作用。
高一的学生们在学习函数时需要掌握一些基本的知识点，本文将对高一第三章函数的相关知识进行整理和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握函数的概念和性质。
一、函数的定义和表示方法函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义可以用文字描述，也可以用公式表示。
常见的表示方法有：1. 用函数符号表示，比如 f(x)、g(x)等。
其中，f表示函数的名称，x表示自变量，f(x)表示函数对应于自变量x的因变量的值。
2. 用表格表示，将自变量和对应的因变量的值列成一张表格，如下所示：| 自变量x | 因变量f(x) ||--------|----------|| x1 | f(x1) || x2 | f(x2) || x3 | f(x3) |3. 用图像表示，将自变量和对应的因变量的值绘制在坐标系中，从而得到函数的图像。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数在定义域上的所有可能的因变量的值的集合。
2. 单调性：函数的单调性指的是函数在定义域上的增减关系。
若函数在定义域内递增，则称为递增函数；若函数在定义域内递减，则称为递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性指的是函数的对称性。
若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；否则，函数为非奇非偶函数。
4. 零点：对于函数f(x)，若存在一个数a，使得f(a) = 0，则称a为函数的零点。
5. 极值和最值：函数在定义域内取得的最大值和最小值分别称为函数的最大值和最小值，它们统称为极值。
三、常见的函数类型和函数图像的特点1. 一次函数（线性函数）：一次函数的函数表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数，k称为斜率，决定了函数的倾斜方向和程度；b称为截距，决定了函数的图像在y轴上的位置。
新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 重点难点归纳总结
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示 (1)3.1.1函数的概念 (1)第一课时函数的概念(一） (1)第二课时函数的概念(二) (5)3.1.2函数的表示法 (12)第一课时函数的表示法 (12)第二课时分段函数 (16)3.2函数的基本性质 (23)3.2.1单调性与最大(小)值 (23)第一课时函数的单调性 (23)第二课时函数的最大(小)值 (29)3.2.2奇偶性 (33)第一课时奇偶性的概念 (33)第二课时函数奇偶性的应用 (37)3.3幂函数 (40)3.4函数的应用(一) (47)3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第一课时函数的概念(一）知识点函数的概念对函数概念的再理解(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．1．在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？提示：确定．2．对应关系f必须是一个解析式的形式吗？提示：不一定．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．()(3)定义域中的每一个x可以对应着不同的y.()(4)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．答案：①②④3．函数f(x)＝14－x的定义域是________．解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．答案：{x|x<4}4．已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________．解析：∵f(x)＝x2＋1，∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2.答案：2题型一函数关系的判断[例1](1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2 D．3(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有()A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍[解析](1)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.(2)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、D.[答案](1)B(2)AD1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集；(2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应．2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．[注意] 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．[例2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝x －1·1－x ； (2)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. [解] (1)由题意得，⎩⎨⎧x －1≥0，1－x ≥0⇒x ＝1，∴函数的定义域为{1}．(2)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1，且x ≠1，∴函数的定义域为{x |x >－1，且x ≠1}．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．[例3]已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．[解析]∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.[答案]1317求函数值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值应遵循由里向外的原则．第二课时函数的概念(二)知识点一区间的概念1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2．特殊区间的表示用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2＜x≤3}＝________；(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；(4)R＝________；(5){x|x≤－1}∩{x|－5≤x＜2}＝________；(6){x|x＜9}∪{x|9＜x＜20}＝________．答案：(1)[1，＋∞)(2)(2，3](3)(－1，2)∪(2，＋∞)(4)(－∞，＋∞)(5)[－5，－1](6)(－∞，9)∪(9，20)知识点二同一个函数定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．()(2)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．()答案：(1)×(2)√2．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z答案：C题型一区间的应用[例1]将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}；(3){x|2≤x≤8且x≠5}；(4){x|3<x<5}．[解](1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图①.(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图②.(3){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图③.(4){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图④.用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．[例2](多选)下列式子表示同一个函数的是()A．f(x)＝|x|，φ(t)＝t2B．y＝x2，y＝(x)2C．y＝1＋x·1－x，y＝1－x2D．y＝（3－x）2，y＝x－3[解析]A：f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数；B：y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一个函数；C：y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝1－x2的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与y＝1－x2是同一个函数；D：∵y＝（3－x）2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝（3－x）2与y＝x－3不是同一个函数．[答案]AC判断两个函数是否为同一个函数的步骤题型三求函数的值域[例3]求下列函数的值域：(1)y＝x－1；(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；(3)y＝3x－1 x＋1；(4)y＝2x＋41－x.[解](1)(直接法)∵x≥0，∴x－1≥－1，∴y＝x－1的值域为[－1，＋∞)．(2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}．(3)(分离常数法)y＝3x－1x＋1＝3x＋3－4x＋1＝3－4x＋1.∵4x＋1≠0，∴y≠3，∴y＝3x－1x＋1的值域为{y|y∈R，且y≠3}．(4)(换元法)令t＝1－x(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象(图略)可得函数的值域为(－∞，4]．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．抽象函数与复合函数的定义域一、概念1．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．2．复合函数的概念若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C ⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．[说明]由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．二、结论理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x 的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．[迁移应用]1．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域[例1] 已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，53 C ．[－3，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 [思路点拨] 解题的关键是求出函数y ＝f (x )中x 的范围，这个范围即为3x －2的范围，建立不等式求出自变量x 的范围即可．[解析] 由－x 2＋2x ＋3≥0， 解得－1≤x ≤3，即函数f (x )的定义域为[－1，3]． 由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53， 则函数f (3x －2)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53.[答案] A2．已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域[例2] 已知f (x 2－1)定义域为[0，3]，则f (x )的定义域为________． [思路点拨] 定义域是指自变量的取值范围，则f (x 2－1)中x ∈[0，3]，求出x 2－1的范围，这个范围即为f (x )的定义域．[解析] 根据f (x 2－1)定义域为[0，3]，得x ∈[0，3]， ∴x 2∈[0，9]，∴x 2－1∈[－1，8]． 故f (x )的定义域为[－1，8]． [答案] [－1，8]3．已知f (g (x ))的定义域，求f (h (x ))的定义域[例3] 若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________．[思路点拨] 由f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，即－12≤x ≤2，可求得12≤x ＋1≤3，也就是f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由此可推出12≤x －1≤3，进而求出x 的范围即为f (x －1)的定义域．[解析] 由题意知－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.故f (x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，43.1.2 函数的表示法第一课时 函数的表示法知识点 函数的表示方法函数三种表示法的优缺点比较1．函数y ＝f (x )的关系如下表，则f (11)＝( )x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <15 15≤x ≤20y23 45A ．2B ．3C．4 D．5答案：C2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝()A．2 B．4C．0 D．3答案：C3．若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝－18x题型一函数的表示法[例1](链接教科书第67页例4)某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系y＝f(x)．[解](1)用列表法可将函数y＝f(x)表示为x 01234 5y 50403020100(2)用图象法可将函数y＝f(x)表示为(3)用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．1．函数的三种表示法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．2．用三种表示法表示函数时的注意点 (1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．题型二函数图象的作法及应用[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0，2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)．[解] (1)当x ∈[0，2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分，如图①，观察图象可知，其值域为[1，5]．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分，如图②，观察图象可知其值域为(0，1]．描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．[注意] 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．题型三函数解析式的求法角度一用待定系数法求函数解析式[例3]已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，∴{2a＝2，2b＝－4，2a＋2c＝0，∴{a＝1，b＝－2，c＝－1，∴f(x)＝x2－2x－1.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．角度二用换元法(配凑法)求函数解析式[例4]求下列函数的解析式：(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．[解](1)法一(换元法)：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.换元法、配凑法求函数解析式已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，有两种方法：(1)换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，再用x 替换t ，便得到f (x )的解析式．利用换元法解题时，换元后要确定新元t 的取值范围，即函数f (x )的定义域； (2)配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出g (x )，用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可．角度三 用方程组法求函数解析式[例5] 已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，求f (x )的解析式．[解] 在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代换x ，可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ， 则⎩⎨⎧f （x ）－2f （－x ）＝1＋2x ， f （－x ）－2f （x ）＝1－2x ， 消去f (－x )，可得f (x )＝23x －1.方程组法求函数的解析式方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f (－x )，f (x )的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f (－x )，f (x )的方程，联立解出f (x )．第二课时 分段函数知识点 分段函数 1．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．对分段函数的再理解(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝{x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．( )(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.则f (－2)＝________．答案：23．函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x ＞0，－2，x ＜0的定义域为________________，值域为____________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)4．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是________(填序号)．答案：④[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52.[解] 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋5＝12.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．解：当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3，即a ＝－23∈(－2，2)，符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.2．(变设问)本例条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围．解：当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； 当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； 当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上可得，x 的取值范围是{x |x <2}．1．求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．。
高一函数第三章知识点总结
高一函数第三章知识点总结函数是数学中一个重要而广泛应用的概念，它在高中数学学习中也占据着重要的地位。
在高一的数学学习过程中，我们学习了函数的基本概念、性质以及相关的图像和应用。
以下是对高一函数第三章知识点的总结。
1. 函数的定义及基本性质函数是一个将一个或多个数域中的元素映射到另一个数域中的元素的规则。
在函数中，我们通常用字母表示自变量，用另一个字母表示因变量。
函数的表示方式可以是显式的、隐式的或者是通过表格给出。
一个函数可以表示为 f(x)，其中 f 表示函数名称，x 表示自变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性和有界性等。
2. 函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系中的图形表示。
通过观察函数的图像，我们可以获得函数的性质和特点。
例如，函数的增减性和极值点可以通过图像来确定。
在高一的学习中，我们主要学习了一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的图像和性质。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距；二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，具有顶点和对称轴；幂函数的图像可能是一条直线或者是曲线，具有一些特殊的变化规律；指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，具有一个特定的底数。
3. 函数的运算在函数的运算中，我们主要学习了函数的四则运算、复合函数和反函数。
函数的四则运算指的是函数之间的加减乘除运算。
两个函数的和、差、积和商仍然是函数，其定义域和值域也需要根据运算的规则相应调整。
复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，形成一个新的函数。
复合函数的定义域和值域需要根据两个函数的定义域和值域进行限制。
函数的反函数是指根据原函数的定义域和值域，通过交换自变量和因变量，得到一个新的函数。
反函数具有原函数的逆运算性质。
4. 函数方程与应用函数方程是给定函数特定性质的方程。
在高一的学习中，我们主要学习了一次函数方程和二次函数方程。
一次函数方程是指形如 y = kx + b 的方程，其中 k 和 b 是常数。
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高一数学第三章函数的应用知识点总结
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数
)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
3、函数零点的求法：
○
1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间〔a,b 〕上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0的根。
先判定函数单调性，然后证明是否有f （a ）·f(b)<0 4、二次函数的零点：
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．
（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
5、二分法求方程的近似解或函数的零点
①确定区间〔a,b 〕，验证f(a)·f(b)＜0，给定精度ε； ②求区间(a,b)的中点c ； ③计算f(c)：
若f(c)=0，则c 就是函数的零点； 若f(a)·f(c)＜0，则令b=c （此时零点x0∈(a,c)）；若f(c)·f(b)＜0，则令a=c （此时零点x0∈(c,b)）；
④判断是否达到精度ε；即若∣a-b ∣＜ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤②~④．
第三章函数的应用习题
一、选择题
1.下列函数有2个零点的是 （ ）
A 、24510y x x =+-
B 、310y x =+
C 、235y x x =-+-
D 、2
441y x x =-+ 2.用二分法计算2
3380x x +-=在(1,2)x ∈内的根的过程中得：(1)0f <，(1.5)0f >，
(1.25)0f <，则方程的根落在区间 （ ）
A 、(1,1.5)
B 、(1.5,2)
C 、(1,1.25)
D 、(1.25,1.5)
3.若方程0x
a x a --=有两个解，则实数a 的取值范围是 （ ）
A 、(1,)+∞
B 、(0,1)
C 、(0,)+∞
D 、Φ
4.2
函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是 ( )
x
()()()
.,3.,C e D e +∞ A.(1,2)
B.2,e
5.已知方程3
10x x --=仅有一个正零点，则此零点所在的区间是 ( )
A ．(3,4)
B ．(2,3)
C ．(1,2)
D ．(0,1)
6．函数62ln )(-+=x x x f 的零点落在区间 ( ) A ．（2，2.25） B ．（2.25，2.5） C ．（2.5，2.75） D ．（2.75，3）
7. 已知函数
()
f x 的图象是不间断的，并有如下的对应值表：
那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（ ）个 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 8．方程5x 2
1
x =+-的解所在的区间是 （ ）
Ａ（０，１） Ｂ（１，２） Ｃ（２，３） Ｄ（３，４）
9.方程3
4560x x -+=的根所在的区间为 （ ）
A 、(3,2)--
B 、(2,1)--
C 、(1,0)-
D 、(0,1)
10．已知2()22x
f x x =-，则在下列区间中，()0f x =有实数解的是 （ ）
(A)（-3，-2） (B)（-1，0） (C) （2，3） (D) （4，5）
11．根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为 （ ）
A. (-1,0)
B. (0,1)
C. (1,2)
D. (2,3) 12、方程
12x
x +=根的个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 二、填空题
13. 下列函数：1) y=x lg ； 2)
;2x
y = 3)y = x2; 4)y= |x| －1;其中有2个零点的函数的序号是 。
14.若方程232
-=x x 的实根在区间()n m ,内，且1,,=-∈m n Z n m ，
则=+n m .
15、函数222
()(1)(2)(23)f x x x x x =-+--的零点是 （必须写全所有的零点）。