三角形内角和 公开课课件
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学习目标
1、通过拼图验证三角形内角和。 2、能理解和掌握三角形内角和定理 的证明过程。
3、能灵活应用三角形内角和定理进行
简单的计算和推理证明。
探索并证明三角形内角和定理
问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形三个 内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的 吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
比比谁最快
直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余．
求出下列图中x的值:
x =450
x x
2x ┐ x
x =300 x =600
x x x
直角三角形可以用符“ RT△ ” 表示，直角三角形ABC可以写成 RT△ABC
例3.如图，∠C=∠D=90°，AD,BC相交于点 E, ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
探索：三角形的三个内角和是180°
A
B C A
A
B
图1 A B
C
B 图2 C
B
B
图3
C
证明：三角形的内角和等于180°.
已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C =180°
证明：过点A作EF∥BC ∴ ∠B=∠2，∠C=∠1
B C E A F
（两直线平行,内错角相等）
∵∠2+∠1+∠BAC=1800（平角的定义） ∴∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
三角形的内角和定理：
三角形的三个内角和是180°
思路总结
为了证明三个角的和为 180°,转化为一个平角或同 旁内角互补,这种转化思想是 数学中的常用方法.
运用三角形内角和定理 （1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°， 102° 则∠ C=＿＿＿＿ （2）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B， 120° 则∠C = ＿＿＿＿
(2)改变直角三角板XYZ的位置，使该三角板的两条 直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么 ∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请 举例说明；若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与 ∠A的关系．
不变． 有题意可得∠X=90° ∴ ∠XBC+ ∠XCB=90° 在△ABC中， ∠ABC+ ∠ACB+ ∠A=180° 即∠ABX+ ∠XBC+ ∠XCB+ ∠ACX +∠A=180° 即 90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180° 即 ∠ABX+∠ACX+∠A=90° 即 ∠ABX+∠ACX=90°-∠A．
拓广探究
如图，求A1+A2+A3+A4+A5的 度数。
A1 A4
1
A3
2
A2
A5
回顾与小结
本节课里你学到了什么？
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于 180 ° 2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理， 并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 °需 转化为： 3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质 是通过平行线来移动角。
C E D
A
B
思考：如果一个三角形是直角三角形，那 么这个三角形两个角互余。反过来，有两 个角互余的三角形是直角三角形吗？
直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形
（1）一个三角形中最多有
1 个直角 1 个钝角 2 个锐角
（2）一个三角形中最多有
（3）一个三角形中至少有
运用三角形内角和定理
C 北 D
50°
北 E
40°
E
B
A
随堂练习
☞
1.如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD， 交CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在 一定的数量关系？ 他们是怎样的，并加以证明？ 证明：∵ AB ∥CD ∴ ∠1 + ∠ B =1800 B A
(两直线平行，同旁内角互补） （三角形内角和定理）
作业
1.课本P16：第1题、3题、4题、7题； 2.《配套练习》
A 40°
B
75 °? D
C
例3：如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方 向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛 看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ C 北 D
80° 50°
北 40° E B
A
思考：你还能想出其他解法吗？
证明：三角形的内角和等于180°.
A
L
B
C
证明：三角形的内角和等于180°.
L
A
B
C
已知：△ABC. 求证： ∠A +∠B +∠C =180°∠1+∠BAC+∠C=180°(两直线
平行,同旁内角互补)
证明：过A作AE∥BC ∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)
∴∠B+∠BAC +∠C =180（等量代换）
例1：已知三角形三个内角的度数之比 为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x°、3x°、5x° 由三角形内角和为180°得 x+3x+5x=180 解得 x=20 ∴三个内角度数分别为20°,60°,100° 答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。
例2.如图，在△ABC中， ∠BAC=40°,∠B=75°， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
∵ ∠2+ ∠P +∠D=1800 ∠1= ∠2 （对顶角相等） ∴ ∠ B=∠P +∠D (等量代换）
C P
1
D
2源自文库
E
2.如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去
顶角后，∠1 +∠2 =（
A．225 B．235 D．与虚线的位置有关
）．
C．270
1 2
3.如图，有一块直角三角板XYZ放置在 △ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边 XY、XZ分别经过点B、C． (1)若∠A=40°，求∠ABX+∠ACX的度数.
1、通过拼图验证三角形内角和。 2、能理解和掌握三角形内角和定理 的证明过程。
3、能灵活应用三角形内角和定理进行
简单的计算和推理证明。
探索并证明三角形内角和定理
问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形三个 内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的 吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
比比谁最快
直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余．
求出下列图中x的值:
x =450
x x
2x ┐ x
x =300 x =600
x x x
直角三角形可以用符“ RT△ ” 表示，直角三角形ABC可以写成 RT△ABC
例3.如图，∠C=∠D=90°，AD,BC相交于点 E, ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
探索：三角形的三个内角和是180°
A
B C A
A
B
图1 A B
C
B 图2 C
B
B
图3
C
证明：三角形的内角和等于180°.
已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C =180°
证明：过点A作EF∥BC ∴ ∠B=∠2，∠C=∠1
B C E A F
（两直线平行,内错角相等）
∵∠2+∠1+∠BAC=1800（平角的定义） ∴∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
三角形的内角和定理：
三角形的三个内角和是180°
思路总结
为了证明三个角的和为 180°,转化为一个平角或同 旁内角互补,这种转化思想是 数学中的常用方法.
运用三角形内角和定理 （1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°， 102° 则∠ C=＿＿＿＿ （2）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B， 120° 则∠C = ＿＿＿＿
(2)改变直角三角板XYZ的位置，使该三角板的两条 直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么 ∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请 举例说明；若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与 ∠A的关系．
不变． 有题意可得∠X=90° ∴ ∠XBC+ ∠XCB=90° 在△ABC中， ∠ABC+ ∠ACB+ ∠A=180° 即∠ABX+ ∠XBC+ ∠XCB+ ∠ACX +∠A=180° 即 90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180° 即 ∠ABX+∠ACX+∠A=90° 即 ∠ABX+∠ACX=90°-∠A．
拓广探究
如图，求A1+A2+A3+A4+A5的 度数。
A1 A4
1
A3
2
A2
A5
回顾与小结
本节课里你学到了什么？
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于 180 ° 2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理， 并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 °需 转化为： 3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质 是通过平行线来移动角。
C E D
A
B
思考：如果一个三角形是直角三角形，那 么这个三角形两个角互余。反过来，有两 个角互余的三角形是直角三角形吗？
直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形
（1）一个三角形中最多有
1 个直角 1 个钝角 2 个锐角
（2）一个三角形中最多有
（3）一个三角形中至少有
运用三角形内角和定理
C 北 D
50°
北 E
40°
E
B
A
随堂练习
☞
1.如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD， 交CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在 一定的数量关系？ 他们是怎样的，并加以证明？ 证明：∵ AB ∥CD ∴ ∠1 + ∠ B =1800 B A
(两直线平行，同旁内角互补） （三角形内角和定理）
作业
1.课本P16：第1题、3题、4题、7题； 2.《配套练习》
A 40°
B
75 °? D
C
例3：如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方 向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛 看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ C 北 D
80° 50°
北 40° E B
A
思考：你还能想出其他解法吗？
证明：三角形的内角和等于180°.
A
L
B
C
证明：三角形的内角和等于180°.
L
A
B
C
已知：△ABC. 求证： ∠A +∠B +∠C =180°∠1+∠BAC+∠C=180°(两直线
平行,同旁内角互补)
证明：过A作AE∥BC ∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)
∴∠B+∠BAC +∠C =180（等量代换）
例1：已知三角形三个内角的度数之比 为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x°、3x°、5x° 由三角形内角和为180°得 x+3x+5x=180 解得 x=20 ∴三个内角度数分别为20°,60°,100° 答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。
例2.如图，在△ABC中， ∠BAC=40°,∠B=75°， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
∵ ∠2+ ∠P +∠D=1800 ∠1= ∠2 （对顶角相等） ∴ ∠ B=∠P +∠D (等量代换）
C P
1
D
2源自文库
E
2.如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去
顶角后，∠1 +∠2 =（
A．225 B．235 D．与虚线的位置有关
）．
C．270
1 2
3.如图，有一块直角三角板XYZ放置在 △ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边 XY、XZ分别经过点B、C． (1)若∠A=40°，求∠ABX+∠ACX的度数.