高中数学-基本不等式测试题

高中数学-基本不等式测试题

自我小测

1．若a ＞b ＞1，P Q ＝

12(lg a ＋lg b )，lg 2a b R ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝，则( )． A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜R

C ．Q ＜P ＜R

D ．P ＜R ＜Q

2．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )．

A ．10

B ．． D ．3．已知不等式(x ＋y )(1a x y

＋)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为

( )．

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 4．下列命题：①1x

x ＋的最小值是22＋的最小值是22的最小值是2；④423x x ＋－的最小值是2，其中正确的命题的个数是( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__________．

6．(1)若x ＞0，求12()3f x x x ＝

＋的最小值； (2)若x ＜0，求12()3f x x x

＝＋的最大值． 7．求函数25152

x x y x ＋＋＝＋(x ≥0)的最小值． 8．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，求这个水池的最低造价．

9.求函数2212sin cos y αα＝＋，π02α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，时的最小值．

参考答案

1. 答案：B

解析：∵a ＞b ＞1⇒lg a ＞0，lg b ＞0，

∴Q ＝12

(lg a ＋lg b )P ，12R ＝(lg a ＋lg b )＝Q ，∴R ＞Q ＞P . 2. 答案：D

解析：33x y ≥＋.

3. 答案：B

解析：1()1a ax y x y a x y y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＝＋＋＋211)a ≥＋＋，当且仅当y x 取等号， ∵1

()9a x y x y ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭

＋＋对任意正实数x ，y 恒成立，

∴需21)9≥.∴a ≥4. 4. 答案：A

解析：当x ＜0时，1x

x ＋无最小值，∴①错误；当x ＝02＋的最小值是2，

2＋取得最小值2，但此时x 2

＝－3不成立， 2

＋取不到最小值2，∴③错误；当x ＞0时，4

23<0x x

－－，∴④错误． 5. 答案：[9，＋∞)

解析：t (t ＞0)，

由ab ＝a ＋b ＋3≥3，则有t 2≥2t ＋3，

∴t ≥3或t ≤－1(舍去)3≥.

∴ab ≥9，当a ＝b ＝3时取等号．

6. 解：(1)x ＞0，由基本不等式，得12()312f x x x ≥＝

＋.

当且仅当123x x

＝，即x ＝2时，f (x )取最小值12. (2)∵x ＜0，∴－x ＞0， 则1212()33f x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

＝＋＝－ ＝123x x ⎡⎤⎛⎫--(-) ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

＋

12≤--，当且仅当123x x -－，即x ＝－2时，f (x )取最大值－12. 7. 解：原式变形，得222992122

x x y x x x ()()＋＋＋＋＝＝＋＋＋＋＋．因为x ≥0，所以x ＋2＞0.所以9262

x x ≥＋＋＋. 所以y ≥7，当且仅当x ＝1时，等号成立．

所以函数y 的最小值为7.

8. 解：设水池的造价为y 元，池底的长为x m ， 则宽为4 m x

.

∴y ＝4×120＋822x x ⎛

⎫ ⎪⎝⎭＋×80＝480＋4320x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋≥480＋320× 1 760， 当且仅当4x x

＝，即x ＝2 m 时，y min ＝1 760元．

所以这个水池的最低造价为1 760元． 9. 解：2212sin cos αα

＋＝222222sin cos 2sin cos sin cos αααααα()＋＋＋ 22

22cos 2sin 33sin cos αααα

≥＝＋＋＋

当且仅当2222cos 2sin sin cos αααα

＝，即tan αy min ＝3＋