高中数学-基本不等式测试题

合集下载

高中试卷-2.2 基本不等式(含答案)

高中试卷-2.2 基本不等式(含答案)

答卷时应注意事项1、拿到试卷,要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2、拿到试卷不要提笔就写,先大致的浏览一遍,有多少大题,每个大题里有几个小题,有什么题型,哪些容易,哪些难,做到心里有底;3、审题,每个题目都要多读几遍,不仅要读大题,还要读小题,不放过每一个字,遇到暂时弄不懂题意的题目,手指点读,多读几遍题目,就能理解题意了;容易混乱的地方也应该多读几遍,比如从小到大,从左到右这样的题;4、每个题目做完了以后,把自己的手从试卷上完全移开,好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题;试卷第1页和第2页上下衔接的地方一定要注意,仔细看看有没有遗漏的小题;5、中途遇到真的解决不了的难题,注意安排好时间,先把后面会做的做完,再来重新读题,结合平时课堂上所学的知识,解答难题;一定要镇定,不能因此慌了手脚,影响下面的答题;6、卷面要清洁,字迹要清工整,非常重要;7、做完的试卷要检查,这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题,检查的时候,用手指点读题目,不要管自己的答案,重新分析题意,所有计算题重新计算,判断题重新判断,填空题重新填空,之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友,你们好!经过两个月的学习,你们一定有不小的收获吧,用你的自信和智慧,认真答题,相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的!2.2 基本不等式1. 利用基本不等式比较大小;2. 变形技巧:“1”的代换;3. 证明不等式;4. 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法;5. 求参数的取值范围问题;6.求最大(小)值;7.均值不等式在实际问题中的应用一、单选题1.(2021·浙江高一单元测试)若0a <b <,则下列结论中不恒成立的是( )A .a b >B .11a b>C .222a b ab +>D .a b +>-【答案】D 【解析】因为0a <b <,所以0->->a b 所以a b >,11a b -<-即11a b>,故A ,B 正确.因为()20a b -³,所以222a b ab +³,所以222a b ab +>故C 正确.当 2,1a b =-=-时, +<-a b D 错误.故选:D2.(2021·全国高一课时练习)若0a b << ,则下列不等式一定成立的是( )A .2a ba b +>>>B .2a bb a +>>>C .2a bb a +>>>D .2a bb a +>>>【答案】C 【解析】因为0a b <<,所以2b a b >+,又由基本不等式可得:2a b +>,所以2a bb +>>,又2ab a >a >,因此2a bb a +>>>.故选:C.3.(2021·黑龙江南岗·哈师大附中高一期末)已知x ,y >0且x+4y=1,则11x y+的最小值为( )A .8B .9C .10D .11【答案】B 【解析】0x y Q ,> 且41x y += ,∴111144 1459x y x y x y x y y x +=++=+++³+()().当且仅当1136x y ,==时,等号成立.∴11x y+的最小值为9.故选:B .4.(2021·浙江高一单元测试)如图,某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位:10万元)与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系,若使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运A .3年B .4年C .5年D .6年【答案】C 【解析】可设y=a(x -6)2+11,又曲线过(4,7),∴7=a(4-6)2+11 ∴a=-1.即y=-x 2+12x -25,∴=12-(x+)≤12-2=2,当且仅当x=5时取等号. 故选C .5.(2021·浙江鄞州·宁波华茂外国语学校高三一模)已知实数0a >,0b >,11111a b +=++,则2+a b 的最小值是( )A .B .C .3D .2【答案】B 【解析】∵0a >,0b >,11111a b +=++∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)](3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++×+-=+++-++++³-当且仅当2(1)111b a a b ++=++,即a =,b =.故选B6.(2021·全国高三课时练习(理))已知关于x 的不等式227x x a+³-在(,)x a Î+¥上恒成立,则实数a 的最小值为 ( )A .1B .52C .2D .32【答案】D 【解析】设2()2f x x x a=+-,,0x a x a >\->Q , 227x x a+³-在(,)x a Î+¥上恒成立,需min ()7f x ³,22()22()222242f x x x a a a a x a x a=+=-++³´+=+--,当且仅当11x a x a -==-,即1x a =+时等号成立,3427,2a a \+³³.故选:D.7.(2021·广西兴宁·南宁三中高一期末)已知0a >,0b >,1ab =,且1m b a =+,1n a b=+,则m n +的最小值是( )A .3B .4C .5D .6【答案】B 【解析】由1ab =知,12m b b a =+=,12n a a b=+=,\()24m n a b +=+³=,当且仅当1a b ==时取等号.故m n +的最小值为4故选:B8.(2021·皇姑·辽宁实验中学高三其他(文))已知实数,x y 满足221x xy y -+=,则x y +的最大值为( )A .1B .2C .3D .4【答案】B 【解析】原式可化为:22()1313(2x y x y xy ++=+£+,解得22x y -£+£,当且仅当1x y ==时成立.所以选B.9.(2021·河南高二期末(理))设,,a b c 为任意正数.则111,,a b c b c a+++这三个数( )A .都大于2B .都小于2C .至少有一个不小于2D .至少有一个不大于2【答案】C 【解析】假设三个数均小于2,即1112,2,2a b c b c a +<+<+<,故1116a b c a b c+++++<,而1116a b c a b c +++++³++=,当1a b c ===时等号成立,这与1116a b c a b c+++++<矛盾,故假设不成立,故至少有一个不小于2,C 正确;取2a b c ===,计算排除BD ;取1a b c ===,计算排除A.故选:C.10.(2021·浙江金华·高一期末)已知x ,0y >,则41x y x y+++的最小值为( )A .B .6C .D .【答案】B 【解析】因为x ,0y >,由基本不等式可得,416x y x y +++³=,当且仅当2,1x y ==时等号成立.故选:B .二、多选题11.(2021·浙江高一单元测试)已知函数11(0)y x x x=++<,则该函数的( ).A .最小值为3B .最大值为3C .没有最小值D .最大值为1-【答案】CD 【解析】0x <Q ,\函数111()111()y x x x x éù=++=--++-+=-êú-ëû…,当且仅当1x =-时取等号,\该函数有最大值1-.无最小值.故选:CD .12.(2021·海南高二期末)已知实数a 、b 满足0a b >>,则下列不等式一定成立的有( )A .22a b <B .a b -<-C .2b aa b+>D .a b ab+>【答案】BC 【解析】因为0a b >>,于是22a b >,A 项不成立;由0a b >>得a b -<-,B 项正确;由基本不等式可知2b a a b +³=,因为a b ¹,所以等号取不到,所以C 项正确;当3a =,2b =时,D 项不成立.故选:BC.13.(2021·山东德州·高三二模)若正实数a ,b 满足1a b +=则下列说法正确的是( )A .ab 有最大值14BC .11a b+有最小值2D .22a b +有最大值12【答案】AB 【解析】对A,2211224a b ab +æöæö£==ç÷ç÷èøèø,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B,22a b a b a b =++£+++=,+£,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b æö+=++=++³+è=ç÷ø.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=Þ++=£+++,即2212a b +³,故22a b +有最小值12.故D 错误.故选:AB14.(2021·山东泰山·泰安一中高一期中)设0a >,0b >,给出下列不等式恒成立的是( ).A .21a a+>B .296a a+>C .()114a b a b æö++³ç÷èøD .114a b a b æöæö++³ç÷ç÷èøèø【答案】ACD 【解析】设0a >,0b >,22131024a a a æö+-=++>ç÷èø,A 成立,2296(3)0a a a +-=-…,B 不成立()111124b a a b a b a b æö++=+++³+=ç÷èø,当且仅当b a a b =即a b =时取等号,故C 成立,12a a +…,12b b +…,114a b a b æöæö\++³ç÷ç÷èøèø,当且仅当1a a =,1b b =即1a b ==时取等号,故D 成立,故选:ACD .三、填空题15.(2021·浙江高一单元测试)已知04x <<,则414x x+-的最小值为______.【答案】94.【解析】用“1”的代换法配凑出定值,然后用基本不等式得最小值.4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--æöæöæö+=+=++ç÷ç÷ç÷---èøèøèø…,当且仅当4(4)4x x x x -=-,解得1288,3x x ==,又因为04x <<,所以83x =时等号成立.故答案为:94.16.(2021·全国高一)若0, 0a >b >,则“4a b +£”是 “4ab £”的_____条件【答案】充分不必要【解析】当0,0a b >>时,由基本不等式,可得a b +³,当4a b +£时,有4a b £+£,解得4ab £,充分性是成立的;例如:当1,4a b ==时,满足4ab £,但此时=5>4a+b ,必要性不成立,综上所述,“4a b +£”是“4ab £”的充分不必要条件.故答案为充分不必要条件.17.(2021·全国高一)若实数x ,y 满足xy=1,则x 2+4y 2的最小值为______.【答案】4【解析】若实数,x y 满足1xy=,则2242244x y x y xy +³××==,当且仅当2x y ==,上式取得最小值4故答案为:4四、双空题18.(2021·全国高一课时练习)若1x >,则1141x x ++-的最小值是______,此时x =______.【答案】9 32【解析】因为1x >,即10x ->所以1114=4(1)545911x x x x ++-++³+=--当且仅当14(1)1x x -=-即32x =时取等号.故第一空填9,第二空填3219.(2021·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中)用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的宽为________m ;高为________m .【答案】323 【解析】设窗户的宽为x ,则其高为62x -,要使阳光充足,只要面积最大,()()()23962232[]22x x S x x x x +-=-=-£´=,当且仅当32x =时等号成立,这时高为3m .故答案为:(1).32(2). 3用基本不等式求最值问题:已知0,0x y >>,则:(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x y =时,x y +有最小值是 .(简记:积定和最小)(2)如果和x y +是定值p ,那么当且仅当x y =时,xy 有最大值是24p.(简记:和定积最大)20.(2021·浙江金华·高一期中)已知正数a ,b 满足a+b=1,则1b a b+的最小值等于__________ ,此时a=____________.【答案】3 12【解析】根据题意,正数a 、b 满足1a b +=,则1113b b a b b a a b a b a b ++=+=++³=,当且仅当12a b ==时,等号成立,故1b a b+的最小值为3,此时12a =.故答案为:3;12.21.(2017·北京人大附中高一期中)已知正数x 、y 满足1x y +=,则:(1)22xy +的最小值为________.(2)若14a x y+>恒成立,则实数a 的取值范围是______.【答案】12(),9-¥ 【解析】(1)因为正数x 、y 满足1x y +=,所以21()24x y xy +£=,当且仅当12x y ==时取等号,所以2221()2122x y x y xy xy =+-=-³+;(2)因为正数x 、y 满足1x y +=,14144()1459x y x y x y x y y x\+=++=+++³+=,当且仅当4x y y x =,即12,33x y ==时取等号,所以9a <;故答案为:()1;,92-¥五、解答题22.(2021·全国高一课时练习)已知a ,b ,c 为任意实数,求证:222a b c ab bc ca ++++….【答案】见解析【解析】∵222a b ab +…,22222,2b c bc c a ca ++……,∴()22222()a b c ab bc ca ++++….即222a b c ab bc ca ++++….当且仅当a b c ==时,等号成立.23.(2021·全国)设a ,b ,c 都是正数,求证:bc ca ab a b c a b c++++….【答案】详见解析【解析】证明:∵a ,b ,c 都是正数,∴由重要不等式可得:2bc ca c a b +³①,当且仅当bc ac a b =时等号成立,即a b =;2bc ab b a c +³②,当且仅当bc ab a c =时等号成立,即a c =;2ac ab a b c +³=③,当且仅当ac ab b c =时等号成立,即b c =;∴①+②+③得:22()bc ca ab a b c a b c æö++³++ç÷èø∴bc ca ab a b c a b c++++…;当且仅当a b c ==时等号成立.24.(2021·全国高一课时练习)已知a>0,b>0,a +b =1,求证:11119a b æöæö++³ç÷ç÷èøèø.【答案】证明见解析【解析】证明:法一:因为a>0,b>0,a +b =1,所以1+1a =1+a b a +=2+b a ,同理1+1b =2+a b,故11112252549b a b a a b a b a b æöæöæöæöæö++=++=++³+=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø.所以11119a b æöæö++³ç÷ç÷èøèø(当且仅当12a b ==时取等号).法二:111111211111a b a b a b ab ab ab ab +æöæö++=+++=++=+ç÷ç÷èøèø,因为a ,b 为正数,a +b =1,所以ab≤2124a b +æö=ç÷èø,于是14ab ³,28ab ³,因此1111189a b æöæö++³+=ç÷ç÷èøèø(当且仅当12a b ==时取等号).25.(2021·全国高一课时练习)用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?【答案】矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .【解析】设矩形菜园的长为m x ,宽为m y ,则100xy =,篱笆的长为()2x y m +.由基本不等式可得()2240x y +³´=,当且仅当10x y ==时,等号成立,因此,这个矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .26.(2021·浙江高一单元测试)(1)已知x >3,求y =x +4x 3的最小值,并求取到最小值时x 的值;(2)已知x >0,y >0,x 2+y 3=2,求xy 的最大值,并求取到最大值时x 、y 的值.【答案】(1)当x =5时,y 的最小值为7.(2) x =2,y =3时,xy 的最大值为6.【解析】(1)已知x >3,则:x ―3>0,故:y =x +4x 3=x ―3+4x 3+3≥3=7,当且仅当:x ―3=4x3,解得:x =5,即:当x =5时,y 的最小值为7.(2)已知x >0,y >0,x 2+y 3=2,则:x 2+y 3≥解得:xy ≤6,即:x 2=y 3=1,解得:x =2,y =3时,xy 的最大值为6.27.(2021·浙江高一单元测试)已知0,0x y >>且191x y +=,求使不等式x y m +³恒成立的实数m 的取值范围.【答案】16m ….【解析】由191x y +=,则19()x y x y x y æö+=++ç÷èø910x y y x =++1016+=….当且仅当169x y x y y x +=ìïí=ïî即412x y =ìí=î时取到最小值16.若x y m +…恒成立,则16m ….。

高中数学不等式题目

高中数学不等式题目

高中数学不等式题目一、已知实数a, b, c满足a + b + c = 0,且a2 + b2 + c2 = 1,则下列不等式恒成立的是:A. a2 ≤ 1/3B. b2 ≥ 1/2C. c2 ≤ 2/3D. a2 + b2 ≤ 2/3(答案)D二、设x, y ∈ R,且xy ≠ 0,若|x| ≤ |y|,则下列不等式成立的是:A. x2 + 1/x2 ≥ y2 + 1/y2B. x2 + 1/y2 ≥ 2C. |x| + 1/|x| ≤ |y| + 1/|y|D. |x| + |y| ≥ 2√(|xy|)(答案)D三、对于任意实数x,y,若|x - y| ≤ 1,|x + y| ≤ 1,则下列不等式恒成立的是:A. x2 + y2 ≤ 1B. |x| + |y| ≤ √2C. max{|x|, |y|} ≤ 1D. min{|x|, |y|} ≤ 1/2(答案)D四、已知a, b, c为正实数,且a + b + c = 1,则下列不等式中不成立的是:A. √(ab) + √(bc) + √(ca) ≤ 1/2B. a2 + b2 + c2 ≥ 1/3C. abc ≤ (1/3)3D. 1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(c + a) ≥ 9/2(答案)A五、设x, y ∈ R,且x2 + y2 = 1,则下列不等式恒成立的是:A. |x + y| ≤ √2B. |x - y| ≥ 1C. x2 + 2y2 ≥ 3/4D. √(|x|) + √(|y|) ≥ √2(答案)A六、已知a, b, c为三角形的三边长,则下列不等式中不成立的是:A. a + b > cB. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + caC. (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)D. √(ab) + √(bc) + √(ca) ≥ a + b + c(答案)D七、设x, y ∈ R,且|x| ≤ 1,|y| ≤ 1,则下列不等式中恒成立的是:A. |x + y| ≤ 1B. |x - y| ≤ 2C. x2 + y2 ≤ 1D. |x| + |y| ≤ 1(答案)B八、已知a, b, c为正实数,且a + b + c = 3,则下列不等式中成立的是:A. √(ab) + √(bc) + √(ca) ≤ 3B. a2b + b2c + c2a ≥ 3C. (a + b + c)3 ≥ 27abcD. 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1(答案)C。

高三复习基本不等式练习题

高三复习基本不等式练习题

高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容,占据了复习的重要一部分。

本文将提供一些基本不等式的练习题,供高三学生复习使用。

练习题1:解不等式组:{x+2>0, x-3<0}练习题2:求解不等式:(x+1)(x-3)<0练习题3:解不等式组:{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4:求解不等式:x^2 - 5x + 6>0练习题5:解不等式组:{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6:求解不等式:(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7:解不等式组:{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8:求解不等式:(x-2)^2(x+4)>0练习题9:解不等式组:{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10:求解不等式:(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。

希望同学们能够认真思考,按照正确的解题步骤解答。

复习不等式时,应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法,如辨别二次不等式的判别式、区间法等。

在解题过程中,也要注意进行化简和因式分解,以便于对不等式进行分类讨论。

基本不等式是高中数学中一个重要的内容,对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。

因此,同学们要多进行基本不等式的练习,理解和掌握不等式的性质和方法,为高考做好充分准备。

希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们,祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩!。

高中数学基本不等式专题50练(含答案)

高中数学基本不等式专题50练(含答案)

高中数学基本不等式(含答案)【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ,则8482233+++y x y x 的最小值是 .【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ,则y x 2+的最小值是 ,yx y x 2422++的最小值是 . 【答案】 22,2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=,当x >时,则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数,且1)2)((=-+y x y x ,则222y x +的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ,,45222=+-b ab a ,则a b +的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ,,45222=+-b ab a ,则ab 的最小值为 .【答案】12-【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ,则y x +2的范围是 . 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差,且22221a b c ,则b 的取值范围是 . 【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立,则24a b cM b a++=-的最小值为___________【答案】8 【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=,设22S x y =+,则maxmin11S S += .【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60,且1a b -=,则a b +的取值范围为 . 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ,且9)12)(14(-=+-b a ,若06)2(2≥---abx x b a 总成立,则正实数x 的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ,则2210x y xy +-的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ,xy y x ++224 的最小值为 . 【答案】3627+;845【习题15】已知直线21ax by +=(其中0ab ≠)与圆221x y +=相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,且0120AOB ∠=,则2212a b +的最小值为 .【答案】2【习题16】设R b a ∈,,满足43=+-ab b a ,则33-+b a 的最小值是______. 【答案】332-【习题17】已知正实数a ,b 满足:1a b +=,则222a ba b a b+++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ,则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ,0>b ,且12122=+++ba a ,则b a +的最小值是_______,此时=a _______.【答案】212+;2【习题20】已知0,0a b >>,且1a b +=,则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ;221aba +的最大值是 . 【答案】16;413- 【习题21】已知实数x ,y 满足3xy x y -+=,且1x >,则(8)y x +的最小值是 ( ) A .33 B .26 C .25 D .21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥,则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ,b 满足:1,2a b R ≥∈,且||1a b +≤,则12b a +的取值范围是 .【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ,则222y x +的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,,若322=+-b ab a ,则1)1(222+++b a ab 的值域为 .【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数,则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是 . 【答案】5【习题28】若存在正实数y ,使得yx x y xy 451+=-,则实数x 的最大值为_________. 【答案】51【习题29】若0x >,0y >,则xyy x x ++2的最小值为___________. 【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=,则y 的最大值为__________,当且仅当___________.【答案】31;1=x【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ,则y x 2+的取值范围为__________. 【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ,则xy 的最小值为________,22y xy x +-的最小值为_______.【答案】3-,1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ,则)(|2|b a b a +-的取值范围是________. 【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ,0>b ,且满足ab a b a +=+23,则b a +2的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ,则xy y x ++)(22的最大值为 . 【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ,R y x ∈,,则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,,则21||y xy x ++-的最小值为( )A. 47B. 2233C. 2D. 32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数,且1=+b a ,1>c ,则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+,则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______.【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ,且4=xyz ,则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ,则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+,则yx yx 332727++的取值范围是_________.【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ,且32≥>b a ,则22b a ba +-的最大值为___________.【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=,则1911a b +--的最小值为( ) A .1 B .6 C .9 D .16【答案】B 【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=,且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立,则实数a 的取值范围是 .【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数,若12=+y x ,则xyxy x ++22的最小值为 .【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ,则xy 的最大值为_________. 【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯b a b b a a , 则b a 32+的取值范围为__________________. 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ,则ba 11+的最小值是 【答案】24。

高三数学基本不等式试题答案及解析

高三数学基本不等式试题答案及解析

高三数学基本不等式试题答案及解析1. [2014·兰州调研]设x、y、z>0,a=x+,b=y+,c=z+,则a、b、c三数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【答案】C【解析】假设a、b、c都小于2,则a+b+c<6.而事实上a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6与假设矛盾,∴a,b,c中至少有一个不小于2.2.若方程有实根,则实数的取值范围是___________.[【答案】【解析】原方程可变为:,【考点】方程及重要不等式.3.阅读:已知、,,求的最小值.解法如下:,当且仅当,即时取到等号,则的最小值为.应用上述解法,求解下列问题:(1)已知,,求的最小值;(2)已知,求函数的最小值;(3)已知正数、、,,求证:.【答案】(1)9;(2)18;(3)证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料,弄懂弄清给定材料提供的方法(“1”的代换),并加以运用.主要就是,展开后就可应用基本不等式求得最值.(1);(2)虽然没有已知的“1”,但观察求值式子的分母,可以凑配出“1”:,因此有,展开后即可应用基本不等式;(3)观察求证式的分母,结合已知有,因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项,如与合并相加利用基本不等式有,从而最终得出. (1),2分而,当且仅当时取到等号,则,即的最小值为. 5分(2), 7分而,,当且仅当,即时取到等号,则,所以函数的最小值为. 10分(3)当且仅当时取到等号,则. 16分【考点】阅读材料问题,“1”的代换,基本不等式.4.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m).【答案】20【解析】利用均值不等式解决应用问题。

设矩形高为y, 由三角形相似得:.5.设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点,且满足,的最大值是 _______ .【答案】8【解析】由已知得,,当且仅当时等号成立,因此最大值为8.【考点】球的性质.6.设a、b、c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ca≤;(2)≥1【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c.所以≥1.7.若,其中为虚数单位,则_________.【答案】【解析】,所以.【考点】复数基本运算.8.已知函数在时取得最小值,则____________.【答案】【解析】由题意得时取得最小值,所以.【考点】重要不等式.9.若(其中,),则的最小值等于.【答案】.【解析】,因此的最小值等于.【考点】基本不等式10.设均为正实数,且,则的最小值为____________.【答案】16【解析】由,化为,整理为,∵均为正实数,∴,∴,解得,即,当且仅当时取等号,∴的最小值为16,故答案为:16.【考点】基本不等式.11.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2>2ab B.a+b≥2C.+>D.+≥2【答案】D【解析】对于选项A,a2+b2≥2ab,所以选项A错;对于选项B、C,虽然ab>0,只能说明a、b同号,若a、b都小于0时,选项B、C错;对选项D,∵ab>0,∴>0,>0,则+≥2.故选D.12.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为() A.B.C.+D.+2【答案】C【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2.因为直线被圆截得的弦长为4,所以直线ax-by+2=0过圆心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以+b=1,所以+=(+)(+b)=+1++≥+2=+.当且仅当=,a=b时取等号,所以+的最小值为+.故选C.13.在实数集中定义一种运算“”,对任意,为唯一确定的实数,且具有性质:(1)对任意,;(2)对任意,.则函数的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】依题意可得,当且仅当时“=”成立,所以函数的最小值为,选.【考点】基本不等式,新定义问题.14.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a+b≥2 B.>C.≥2D.a2+b2>2ab【答案】C【解析】因为ab>0,所以>0,>0,即≥2 =2,所以选C.15.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2,则的最大值为() A.B.1C.D.2【答案】B【解析】由a x=b y=3得=log3a,=log3b,所以=log3ab≤log3=log3=1.16.设a+b=2,b>0,则当a=________时,+取得最小值.【答案】-2【解析】因为+=+=++≥+2=+1≥-+1=,当且仅当=,a<0,即a=-2,b=4时取等号,故+取得最小值时,a=-2.17.已知函数f(x)=4x+ (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=________.【答案】36【解析】∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+≥2=4 ,当且仅当4x=(x>0)即x=时f(x)取得最小值,由题意得=3,∴a=36.18.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转______年时,年平均利润最大,最大值是______万元.【答案】58【解析】由题意知每台机器运转x年的年平均利润为=18-(x+),而x>0,故≤18-=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.19.设,若,则的最大值为()A.2B.3C.4D.【答案】B【解析】由得,,∴,又,∴,即,当且仅当,即时取等号,所以. 故.【考点】基本不等式.20.已知当取得最小值时,直线与曲线的交点个数为【答案】2【解析】∵,∴当且仅当,即时,取得最小值8,故曲线方程为时,方程化为;当时,方程化为,当时,方程化为,当时,无意义,由圆锥曲线可作出方程和直线与的图象,由图象可知,交点的个数为2.【考点】基本不等式,直线与圆锥曲线的位置关系.21.如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),道路的宽度均为2米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.【答案】当休闲广场的长为米,宽为米时,绿化区域总面积最大值,最大面积为平方米.【解析】先将休闲广场的长度设为米,并将宽度也用进行表示,并将绿化区域的面积表示成的函数表达式,利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值,但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析:设休闲广场的长为米,则宽为米,绿化区域的总面积为平方米,6分, 8分因为,所以,当且仅当,即时取等号 12分此时取得最大值,最大值为.答:当休闲广场的长为米,宽为米时,绿化区域总面积最大值,最大面积为平方米.14分【考点】矩形的面积、基本不等式22.若,且,则下列不等式中,恒成立的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,则或,则排除与;由于恒成立,当且仅当时,取“=”,故错;由于,则,即,所以选.【考点】基本不等式.23.在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2,E、F、G、H分别为矩形四条边的中点,以HF、GE所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(如图所示).若R、R′分别在线段0F、CF上,且.(Ⅰ)求证:直线ER与GR′的交点P在椭圆:+=1上;(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点,且直线GM与直线GN的斜率之积为,求证:直线MN过定点;并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析;直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标,得出直线ER与GR′的方程,解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况;再讨论斜率存在时,用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立,用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1,又当b=1时,直线GM与直线GN的斜率之积为0,所以舍去.从而证明出MN过定点(0,-3).最后算出点到直线的距离及MN的距离,得出△GMN面积是一个关于的代数式,由及知:,用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析:(Ⅰ)∵,∴, 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时,设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或(舍)∴直线过定点 10分∴,点到直线的距离为∴由及知:,令即∴当且仅当时, 13分【考点】1.直线的方程;2.解析几何;3.基本不等式.24.已知不等式2|x-3|+|x-4|<2a.(Ⅰ)若a=1,求不等式的解集;(Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求a的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)先令,得,再分类去绝对值解不等式;(Ⅱ)设,去绝对值得,根据原不等式解集为空集得,从而求得.试题解析:(Ⅰ)当时,不等式即为,若,则,,舍去;若,则,;若,则,.综上,不等式的解集为.(5分)(Ⅱ)设,则,,,,即的取值范围为.(10分)【考点】含绝对值不等式的解法.25.已知,且满足,则的最小值为【答案】【解析】∵,且满足,∴,=,当且仅当时,的最小值为。

高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)

高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质(共2课时)(第1课时)一、选择题1.(2019·内蒙古集宁一中高一期末)下列不等式一定成立的是( )A .a b2B .a b 2≤C .x +1x ≥2D .x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时,A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时,B 选项不正确.根据基本不等式,有x 2+1x 2≥=2,故选D.2.(2019山东师范大学附中高一期中)已知x >0,函数9y x x=+的最小值是( )A .2B .4C .6D .8【答案】C【解析】∵x >0,∴函数96y x x =+³=,当且仅当x=3时取等号,∴y 的最小值是6.故选:C .3.(2019广东高一期末)若正实数a ,b 满足a +b =1,则下列说法正确的是( )A .ab 有最小值14BC .1a +1b 有最小值4D .a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0,b >0,且a +b =1;∴1=a +b ≥∴ab ≤14;∴ab 有最大值14,∴选项A 错误;=a +b =1+1+=2,∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4,∴1a +1b 有最小值4,∴C 正确;a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12,不是∴D 错误.4.(2019·柳州市第二中学高一期末)若x >―5,则x +4x 5的最小值为( )A .-1B .3C .-3D .1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1,当且仅当x =―3时等号成立,故选A.5.(2019吉林高一月考)若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值,则n =( )A .52B .3C .72D .4【答案】B 【解析】:当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6.(2019·广西桂林中学高一期中)已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A .最大值B .最小值C .最大值1D .最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1(舍去)时, ()f x 取得最小值1二、填空题7.(2019·宁夏银川一中高一期末)当1x £-时,1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时,()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+,()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为:-38.(2019·上海市北虹高级中学高一期末)若0m >,0n >,1m n +=,且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >,0n >,1m n +=,4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立,故答案为9.9.(2019·浙江高一期末)已知0a >,0b >,若不等式212ma b a b+³+恒成立,则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立,而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=,故9m £,所以m 的最大值为9.10.(2019·浙江高一月考)设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>.若()4f x =,则x =________.【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³,当2x =时,取最小值;又0x >时,44y x x=+³=,当且仅当06(,),即2x =时,取最小值;所以当且仅当2x =时,24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时,2x =.故答案为2三、解答题11.(2016·江苏高一期中)已知a >0,b >0,且4a +b =1,求ab 的最大值;(2)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,求3x +4y 的最小值;(3)已知x <54,求f (x )=4x -2+145x -的最大值;【答案】(1)的最大值;(2)的最小值为5;(3)函数的最大值为【解析】(1),当且仅当,时取等号,故的最大值为(2),当且仅当即时取等号(3)当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12.(2019·福建高一期中)设0,0,1a b a b >>+= 求证:1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)1.重要不等式当a ,b 是任意实数时,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 2.基本不等式(1)有关概念:当a ,b 均为正数时,把a +b2叫做正数a ,b 的算术平均数,把ab 叫做正数a ,b 的几何平均数.(2)不等式:当a ,b 是任意正实数时,a ,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数,即ab ≤a +b2,当且仅当a =b 时,等号成立.(3)变形:ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22≤a 2+b 22,a +b ≥2ab (其中a >0,b >0,当且仅当a=b 时等号成立).题型一:利用基本不等式比较大小1.已知m =a +1a -2(a >2),n =22-b 2(b ≠0),则m ,n 之间的大小关系是( ) A .m >n B .m <n C .m =nD .不确定2.若a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =12(lg a +lg b ),R =lg a +b 2,则P ,Q ,R 的大小关系是________.题型二:利用基本不等式证明不等式3.已知a ,b ,c 均为正实数, 求证:2b +3c -a a +a +3c -2b 2b +a +2b -3c3c ≥3.4.已知a ,b ,c 为正实数, 且a +b +c =1,求证:⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥8.题型三:利用基本不等式求最值5.已知lg a +lg b =2,求a +b 的最小值.6.已知x >0,y >0,且2x +3y =6,求xy 的最大值.7.已知x >0,y >0,1x +9y =1,求x +y 的最小值.8.已知a >0,b >0,2a +1b =16,若不等式2a +b ≥9m 恒成立,则m 的最大值为( )A .8B .7C .6D .5题型四:利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:(1)仓库面积S 的最大允许值是多少?(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?巩固练习:1.下列结论正确的是( ) A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x ≥2 B .当x >0时,x +1x≥2 C .当x ≥2时,x +1x 的最小值为2 D .当0<x ≤2时,x -1x 无最大值2.下列各式中,对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A .lg(x 2+1)≥lg(2x ) B .x 2+1>2x C.1x 2+1≤1 D .x +1x ≥23.设a ,b 为正数,且a +b ≤4,则下列各式中正确的一个是( ) A.1a +1b <1 B.1a +1b ≥1 C.1a +1b <2D.1a +1b ≥24.四个不相等的正数a ,b ,c ,d 成等差数列,则( ) A.a +d2>bcB.a +d2<bcC.a+d2=bc D.a+d2≤bc5.若x>0,y>0,且2x+8y=1,则xy有()A.最大值64B.最小值1 64C.最小值12D.最小值646.若a>0,b>0,且1a+1b=ab,则a3+b3的最小值为________.7.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.8.若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是________.9.(1)已知x<3,求f(x)=4x-3+x的最大值;参考答案:1.解:因为a>2,所以a-2>0,又因为m=a+1a-2=(a-2)+1a-2+2,所以m≥2(a-2)·1a-2+2=4,由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=22-b2<4,综上可知m>n.2.解:因为a>b>1,所以lg a>lg b>0,所以Q=12(lg a+lg b)>lg a·lg b=P;Q=12(lg a+lg b)=lg a+lg b=lg ab<lga+b2=R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a,b,c均为正实数,∴2ba+a2b≥2(当且仅当a=2b时等号成立),3c a+a3c≥2(当且仅当a=3c时等号成立),3c 2b +2b3c ≥2(当且仅当2b =3c 时等号成立),将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a +a 2b +⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a +a 3c +⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b +2b 3c ≥6(当且仅当a =2b =3c时等号成立),∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a +a 2b -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a +a 3c -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b +2b 3c -1≥3(当且仅当a =2b =3c 时等号成立),即2b +3c -a a +a +3c -2b 2b +a +2b -3c 3c ≥3(当且仅当a =2b =3c 时等号成立).4.证明:因为a ,b ,c 为正实数,且a +b +c =1, 所以1a -1=1-a a =b +c a ≥2bc a . 同理,1b -1≥2ac b ,1c -1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正,相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥2bc a ·2ac b ·2abc =8,当且仅当a =b =c =13时,取等号.5.解:由lg a +lg b =2可得lg ab =2, 即ab =100,且a >0,b >0,因此由基本不等式可得a +b ≥2ab =2100 =20, 当且仅当a =b =10时,a +b 取到最小值20. 6.解:∵x >0,y >0,2x +3y =6, ∴xy =16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x +3y 22=16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622=32,当且仅当2x =3y ,即x =32,y =1时,xy 取到最大值32. 7.解:∵1x +9y =1, ∴x +y =(x +y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +9y=1+9x y +y x +9=y x +9xy +10, 又∵x >0,y >0, ∴y x +9xy +10≥2y x ·9xy +10=16,当且仅当y x =9xy ,即y =3x 时,等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =3x ,1x +9y=1,得⎩⎨⎧x =4,y =12,即当x =4,y =12时,x +y 取得最小值16.8.解析:选C 由已知,可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b =1,∴2a +b =6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b ·(2a +b )=6⎝ ⎛⎭⎪⎫5+2a b +2b a ≥6×(5+4)=54,当且仅当2a b =2b a 时等号成立,∴9m ≤54,即m ≤6,故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米,一堵砖墙长为y 米,而顶部面积为S =xy ,依题意得,40x +2×45y +20xy =3 200,由基本不等式得3 200≥240x ×90y +20xy =120xy +20xy , =120S +20S .所以S +6S -160≤0,即(S -10)(S +16)≤0, 故S ≤10,从而S ≤100,所以S 的最大允许值是100平方米,(2)取得最大值的条件是40x =90y 且xy =100, 求得x =15,即铁栅的长是15米. 练习:1.解析:选B A 中,当0<x <1时,lg x <0,lg x +1lg x ≥2不成立;由基本不等式知B 正确;C 中,由对勾函数的单调性,知x +1x 的最小值为52;D 中,由函数f (x )=x -1x 在区间(0,2]上单调递增,知x -1x 的最大值为32,故选B.2.解析:选C 对于A ,当x ≤0时,无意义,故A 不恒成立;对于B ,当x =1时,x 2+1=2x ,故B 不成立;对于D ,当x <0时,不成立.对于C ,x 2+1≥1,∴1x 2+1≤1成立.故选C. 3.解析:选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422=4,所以1a +1b ≥21ab ≥214=1.4.解析:选A 因为a ,b ,c ,d 成等差数列,则a +d =b +c ,又因为a ,b ,c ,d 均大于0且不相等,所以b +c >2bc ,故a +d2>bc .5.解析:选D 由题意xy =⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +8y xy =2y +8x ≥22y ·8x =8xy ,∴xy ≥8,即xy 有最小值64,等号成立的条件是x =4,y =16.6.解析:∵a >0,b >0,∴ab =1a +1b ≥21ab ,即ab ≥2,当且仅当a =b =2时取等号,∴a 3+b 3≥2(ab )3≥223=42,当且仅当a =b =2时取等号,则a 3+b 3的最小值为4 2.7.解析:由题意,一年购买600x 次,则总运费与总存储费用之和为600x ×6+4x =4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x +x ≥8900x ·x =240,当且仅当x =30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析:因为x >0,所以x +1x ≥2.当且仅当x =1时取等号, 所以有xx 2+3x +1=1x +1x +3≤12+3=15, 即x x 2+3x +1的最大值为15,故a ≥15. 答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫15,+∞(2)已知x ,y 是正实数,且x +y =4,求1x +3y 的最小值. 9.解:(1)∵x <3, ∴x -3<0,∴f (x )=4x -3+x =4x -3+(x -3)+3 =-⎣⎢⎡⎦⎥⎤43-x +(3-x )+3≤-243-x·(3-x )+3=-1, 当且仅当43-x=3-x , 即x =1时取等号, ∴f (x )的最大值为-1. (2)∵x ,y 是正实数,∴(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +3y =4+⎝ ⎛⎭⎪⎫y x +3x y ≥4+2 3.当且仅当y x =3xy ,即x =2(3-1),y =2(3-3)时取“=”号. 又x +y =4, ∴1x +3y ≥1+32, 故1x +3y 的最小值为1+32.。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案

高考数学《基本不等式》真题练习含答案

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1.函数y =2x +22x 的最小值为( )A .1B .2C .22D .4 答案:C解析:因为2x >0,所以y =2x +22x ≥22x ·22x =22 ,当且仅当2x =22x ,即x =12时取“=”.故选C.2.若a >0,b >0且2a +b =4,则1ab的最小值为( )A .2B .12C .4D .14答案:B解析:∵a >0,b >0,∴4=2a +b ≥22ab (当且仅当2a =b ,即:a =1,b =2时等号成立),∴0<ab ≤2,1ab ≥12 ,∴1ab 的最小值为12.3.下列结论正确的是( )A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x≥2B .当x ∈⎝⎛⎦⎤0,π2 时,sin x +4sin x的最小值为4 C .当x >0时,x +1x ≥2D .当0<x ≤2时,x -1x无最大值答案:C解析:当x ∈(0,1)时,lg x <0,故A 不成立,对于B 中sin x +4sin x≥4,当且仅当sinx =2时等号成立,等号成立的条件不具备,故B 不正确;D 中y =x -1x在(0,2]上单调递增,故当x =2时,y 有最大值,故D 不正确;又x +1x ≥2x ·1x=2(当且仅当x =1x即x =1时等号成立).故C 正确. 4.下列不等式恒成立的是( )A .a 2+b 2≤2abB .a 2+b 2≥-2abC .a +b ≥2|ab |D .a +b ≥-2|ab | 答案:B解析:对于A ,C ,D ,当a =0,b =-1时,a 2+b 2>2ab ,a +b <2ab ,a +b <-2|ab | ,故A ,C ,D 错误;对于B ,因为a 2+b 2=|a |2+|b |2≥2|a |·|b |=2|ab |≥-2ab ,所以B 正确.故选B.5.若x >0,y >0,x +2y =1,则xy2x +y的最大值为( )A .14B .15C .19D .112答案:C解析:x +2y =1⇒y =1-x 2 ,则xy2x +y =x -x 23x +1 .∵x >0,y >0,x +2y =1,∴0<x <1.设3x +1=t (1<t <4),则x =t -13,原式=-t 2+5t -49t =59 -⎝⎛⎭⎫t 9+49t ≤59 -2481 =19 ,当且仅当t 9 =49t ,即t =2,x =13 ,y =13 时,取等号,则xy 2x +y 的最大值为19 ,故选C.6.已知a >0,b >0,c >0,且a 2+b 2+c 2=4,则ab +bc +ac 的最大值为( )A .8B .4C .2D .1 答案:B解析:∵a 2+b 2≥2ab ,a 2+c 2≥2ac ,b 2+c 2≥2bc ,∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +bc +ca ),∴ab +bc +ca ≤a 2+b 2+c 2=4.7.若直线x a +yb=1(a >0,b >0)过点(1,1),则a +b 的最小值等于( )A .2B .3C .4D .5 答案:C解析:因为直线x a +y b =1(a >0,b >0)过点(1,1),所以1a +1b=1.所以a +b =(a +b )·⎝⎛⎭⎫1a +1b =2+a b +b a ≥2+2a b ·b a =4,当且仅当a b =b a 即a =b =2时取“=”,故选C.8.若向量a =(x -1,2),b =(4,y ),a 与b 相互垂直,则9x +3y 的最小值为( ) A .12 B .2 C .3 D .6 答案:D解析:∵a ⊥b ,∴a ·b =(x -1,2)·(4,y )=4(x -1)+2y =0,即2x +y =2, ∴9x +3y =32x +3y ≥232x +y =232 =6,当且仅当2x =y =1时取等号,∴9x +3y 的最小值为6.9.用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型面积的最大值为( ) A .9 cm 2 B .16 cm 2 C .4 cm 2 D .5 cm 2 答案:C解析:设矩形模型的长和宽分别为x cm ,y cm ,则x >0,y >0,由题意可得2(x +y )=8,所以x +y =4,所以矩形模型的面积S =xy ≤(x +y )24 =424 =4(cm 2),当且仅当x =y =2时取等号,所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时,面积最大,为4 cm 2.故选C.二、填空题10.已知a ,b ∈R ,且a -3b +6=0,则2a +18b 的最小值为________.答案:14解析:∵a -3b +6=0,∴ a -3b =-6,∴ 2a +18b =2a +2-3b ≥22a ·2-3b =22a -3b=22-6 =14 .当且仅当2a =2-3b ,即a =-3,b =1时,2a +18b 取得最小值为14.11.已知函数f (x )=4x +ax(x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________.答案:36解析:∵x >0,a >0,∴4x +a x ≥24x ·ax=4 a ,当且仅当4x =a x ,即:x =a 2 时等号成立,由a2 =3,a =36.12.[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0,b >0,3a +b =2ab ,则a +b 的最小值为________.答案:2+3解析:由3a +b =2ab , 得32b +12a=1, ∴a +b =(a +b )⎝⎛⎭⎫32b +12a =2+b 2a +3a2b ≥2+2b 2a ·3a 2b =2+3 (当且仅当b 2a =3a2b即b =3 a 时等号成立).[能力提升]13.[2024·合肥一中高三测试]若a ,b 都是正数,则⎝⎛⎭⎫1+b a ⎝⎛⎭⎫1+4ab 的最小值为( ) A .7 B .8C .9D .10 答案:C解析:⎝⎛⎭⎫1+b a ⎝⎛⎭⎫1+4a b =5+b a +4ab≥5+2b a ·4a b =9(当且仅当b a =4ab即b =2a 时等号成立).14.(多选)已知a >0,b >0,且a +b =1,则( )A .a 2+b 2≥12B .2a -b >12C .log 2a +log 2b ≥-2D . a + b ≤2 答案:ABD解析:对于选项A ,∵a 2+b 2≥2ab ,∴2(a 2+b 2)≥a 2+b 2+2ab =(a +b )2=1,∴a 2+b 2≥12,正确;对于选项B ,易知0<a <1,0<b <1,∴-1<a -b <1,∴2a -b >2-1=12,正确;对于选项C ,令a =14 ,b =34 ,则log 214 +log 234 =-2+log 234 <-2,错误;对于选项D ,∵2 =2(a +b ) ,∴[2(a +b ) ]2-( a + b )2=a +b -2ab =( a - b )2≥0,∴ a + b ≤2 ,正确.故选ABD.15.(多选)已知a ,b ,c 为正实数,则( )A .若a >b ,则ab <a +c b +cB .若a +b =1,则b 2a +a 2b 的最小值为1C .若a >b >c ,则1a -b +1b -c ≥4a -cD .若a +b +c =3,则a 2+b 2+c 2的最小值为3 答案:BCD解析:因为a >b ,所以a b -a +c b +c =c (a -b )b (b +c ) >0,所以ab >a +c b +c ,选项A 不正确;因为a +b =1,所以b 2a +a 2b =⎝⎛⎭⎫b 2a +a +⎝⎛⎭⎫a 2b +b -(a +b )≥2b +2a -(a +b )=a +b =1,当且仅当a =b =12 时取等号,所以b 2a +a 2b的最小值为1,故选项B 正确;因为a >b >c ,所以a -b >0,b -c >0,a -c >0,所以(a -c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c =[](a -b )+(b -c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c =2+b -c a -b +a -b b -c≥2+2b -c a -b ·a -bb -c=4,当且仅当b -c =a -b 时取等号,所以1a -b +1b -c ≥4a -c,故选项C 正确;因为a 2+b 2+c 2=13 [(a 2+b 2+c 2)+(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]≥13(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca )=13 [(a +b )2+2(a +b )c +c 2]=13 (a +b +c )2=3,当且仅当a =b =c =1时等号成立,所以a 2+b 2+c 2的最小值为3,故选项D 正确.16.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是________.答案:30解析:一年的总运费为6×600x =3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元. 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x +4x 万元.因为3 600x +4x ≥2 3 600x ·4x =240,当且仅当3 600x =4x ,即x =30时取得等号,所以当x =30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.。

高中数学基本不等式训练题(含答案)

高中数学基本不等式训练题(含答案)

高中数学基本不等式训练题(含答案)1.若xy>0,则对 xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2 B.有最小值2C.无最大值和最小值 D.无法确定答案:B2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是()A.400 B.100C.40 D.20答案:A3.已知x2,则当x=____时,x+4x有最小值____.答案:2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x>0时,求f(x)的最小值;(2)当x<0 时,求f(x)的最大值.解:(1)∵x>0,12x,4x>0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x,即x=3时取最小值83,当x>0时,f(x)的最小值为83.(2)∵x<0,-x>0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83,当且仅当12-x=-4x时,即x=-3时取等号.当x<0时,f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是()A.x+12x B.x2-1+1x2-1C.2x+2-x D.x(1-x)答案:C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3 B.-3C.62 D.62-3解析:选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR,mn=100,则m2+n2的最小值是() A.200 B.100C.50 D.20解析:选A.m2+n22mn=200,当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程:①∵a,b(0,+),ba+ab2baab=2;②∵x,y(0,+),lgx+lgy2lgxlgy;③∵aR,a0,4a+a 24aa=4;④∵x,yR,,xy<0,xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy -yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①② B.②③C.③④ D.①④解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑.①∵a,b(0,+),ba,ab(0,+),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;②虽然x,y(0,+),但当x(0,1)时,lgx是负数,y(0,1)时,lgy是负数,②的推导过程是错误的;③∵aR,不符合基本不等式的条件,4a+a24aa=4是错误的;④由xy<0得xy,yx均为负数,但在推导过程中将全体xy +yx提出负号后,(-xy)均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.5.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是()A.2 B.22C.4 D.5解析:选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab =1时,等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4. 6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有()A.最大值64 B.最大值164C.最小值64 D.最小值164解析:选C.∵x、y均为正数,xy=8x+2y28x2y=8xy,当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案:18.若x>0,y>0,且x+4y=1,则xy有最________值,其值为________.解析:1=x+4y4y=4xy,xy116.答案:大1169.(2019年高考山东卷)已知x,yR+,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为________.解析:∵x>0,y>0且1=x3+y42xy12,xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案:3三、解答题10.(1)设x>-1,求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.解:(1)∵x>-1,x+1>0.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,取等号.x=1时,函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x>1,x-1>0.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1,即x=4时等号成立,y有最小值8.11.已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求证:(1a-1)(1b -1)(1c-1)8.证明:∵a,b,c(0,+),a+b+c=1,1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca,同理1b-12acb,1c-12abc,以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解:设污水处理池的长为x米,则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120191600x225x+12019=36000(元)当且仅当x=225x(x>0),即x=15时等号成立.。

基本不等式(同步检测)(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册

基本不等式(同步检测)(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册

2.2 基本不等式(同步检测)一、选择题1.(多选)已知实数a ,b ,下列不等式一定正确的有( )A.a +b 2≥abB.a +1a ≥2C.|ab +ba|≥2 D.2(a 2+b 2)≥(a +b)22.(多选)下列条件可使b a +ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0,b>0D.a<0,b<03.若实数a ,b 满足1a +2b =ab ,则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab <a 2+b 22”是“a >b >0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x >0,y >0,且x +y +xy =3,则x +y 的最小值为( )A.2B.3C.22D.237.如果正数a ,b ,c ,d 满足a +b =cd =4,那么( )A .ab ≤c +d ,且等号成立时,a ,b ,c ,d 的取值唯一B .ab ≥c +d ,且等号成立时,a ,b ,c ,d 的取值唯一C .ab ≤c +d ,且等号成立时,a ,b ,c ,d 的取值不唯一D .ab ≥c +d ,且等号成立时,a ,b ,c ,d 的取值不唯一8.已知a>1,则a +12,a ,2a a +1三个数的大小顺序是( )A.a+12<a<2aa+1B.a<a+12<2aa+1C.2aa+1<a<a+12D.a<2aa+1≤a+129.若-4<x<1,则y=x2-2x+22x-2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1二、填空题10.已知x>3,则x+4x-3的最小值为________11.设x>0,则函数y=x+22x+1-32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.13.二十大报告中提到:“我国制造业规模稳居世界第一”.某公司为提高产能,购买一批新型设备,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转______年时,年平均利润最大,最大值是______万元.三、解答题14.设a,b,c都是正数,求证:b+ca+c+ab+a+bc≥6.15.已知a,b,c都是正数,且abc=1,证明:1a+1b≥2c.16.已知正数x,y满足4x+y-xy+8=0.求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.参考答案及解析:一、选择题1.CD 解析:当a<0,b<0时,a+b2≥ab不成立;当a<0,时,a+1a≥2不成立;因为|a b+b a|=|a b|+|b a|≥2,故C正确;因为2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,故D正确.故选CD.2.ACD 解析:当且仅当ba=ab>0,即a,b同号时等号成立.故选ACD.3.C 解析:由ab=1a+2b≥22ab,得ab≥22,当且仅当1a=2b时取“=”.4.C 解析:设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则12ab=2,所以ab=4,l=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=4+22≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少,所以选7 m最合理.5.B 解析:∵a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立,∴ab<a2+b22⇒a≠b,a,b∈R,∴充分性不成立.∵a>b>0⇒a2+b2>2ab,∴必要性成立.故选B.6.A 解析:∵x+y+xy=3,∴y+1=4x+1,∴x+y=x+1+4x+1-2≥2(x+1)4x+1-2=2,当且仅当x+1=4x+1,即x=y=1时取等号.故选A.7.A 解析:由a+b≥2ab可知ab≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,又cd≤(c+d2)2,故c+d≥4,当且仅当c=d=2时等号成立,∴c+d≥ab.故选A.8.C 解析:当a,b是正数时,2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22,令b=1,得2aa+1≤a≤a+12.又a>1,即a≠b,故上式不能取等号,故选C.9.D 解析:y=x2-2x+22x-2=12[(x-1)+1x-1],又∵-4<x<1,∴x-1<0.∴-(x-1)>0.故y=-12[-(x-1)+1-(x-1)]≤-1.当且仅当x-1=1x-1,即x=0时等号成立.故选D.二、填空题10.答案:7解析:∵x>3,∴x-3>0,4x-3>0.∴x+4x-3=x-3+4x-3+3≥2(x-3)·4x-3+3=7,当且仅当x-3=4x-3,即x=5时,x+4x-3取得最小值7.11.答案:0 解析:y=x+22x+1-32=(x+12)+1x+12-2≥2(x+12)·1x+12-2=0,当且仅当x+1 2=1x+12,即x=12时等号成立.所以函数的最小值为0.12.答案:25 解析:设矩形的一边为x m,矩形场地的面积为y m2,则另一边为12×(20-2x)=(10-x)m,则y=x(10-x)≤[x+(10-x)2]2=25,当且仅当x=10-x,即x=5时,y取最大值25.13.答案:5,8 解析:每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-(x+25x),且x>0,故y x≤18-225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.三、解答题14.证明:因为a>0,b>0,c>0,所以ba+ab≥2,ca+ac≥2,cb+bc≥2,所以(b a+a b)+(c a+a c)+(c b+b c)≥6,当且仅当b a=a b,c a=a c,c b=b c,即a=b=c时,等号成立,所以b+ca+c+ab+a+bc≥6.15.证明:因为a,b,c都是正数,且abc=1,所以c=1 ab.所以1a+1b≥21ab=2c,当且仅当1a=1b,即a=b=1c时取等号.故1a+1b≥2c成立.16.解:(1)由题意知x,y为正数,xy-8=4x+y≥24xy=4xy,当且仅当4x=y,即x=1+3,y=4+43时等号成立,则(xy)2-4xy-8≥0,解得xy≥2+23或xy≤2-23(舍去),所以xy≥(2+23)2=16+83,即xy的最小值为16+83.(2)由题意知x,y为正数,4x-xy=-y-8,故x=y+8 y-4,因为x>0,y>0,所以y>4,则x+y=y+8y-4+y=y+12y-4+1=(y-4)+12y-4+5.因为y>4,y-4>0,12y-4>0,(y-4)+12y-4+5≥43+5,即x+y≥43+5,当且仅当y-4=12y-4,即y=4+23时等号成立.所以x+y的最小值为5+43.。

高中数学(必修一)第二章 基本不等式练习题

高中数学(必修一)第二章 基本不等式练习题

高中数学(必修一)第二章 基本不等式练习题(含答案解析)学校:___________姓名:___________班级:_____________一、解答题 1.已知a b ,比较2a ab +与23ab b -的大小,并证明.2.设a ,b 为正实数,求证:()()()2233338a b a b a b a b +++≥.3.求函数1(3)3y x x x =+>-的最小值.4.(1)把49写成两个正数的积,当这两个正数各取何值时,它们的和最小?(2)把12写成两个正数的和,当这两个正数各取何值时,它们的积最大?5.已知圆C 的圆心在坐标原点,且过点(M . (1)求圆C 的方程;(2)已知点P 是圆C 上的动点,试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值;(3)若直线l 与圆C 相切,且l 与,x y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点,求ABC 的面积最小时直线l 的方程.6.已知a ,b R +∈,求证:()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.7.函数π()2sin()10,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭图像过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭,且相邻对称轴间的距离为π2.(1)求,ωϕ的值;(2)已知ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,且2a =,求ABC 面积的最大值.8.小张于年初支出50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x 年年底出售,其销售收入为25x -万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大? (利润=累积收入+销售收入-总支出)9.高一(3)班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖.他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑,现要批量生产.其中会徽的六个直角(如图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块矩形材料如图1所示,矩形 ABCD 的周长为4cm ,其中长边 AD 为 x cm ,将BCD △沿BD 向ABD △折叠,BC 折过去后交AD 于点E .(1)用 x 表示图1中BAE 的面积;(2)已知镀金工艺是2元/2cm ,试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用.10.已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a , b ,c ,A 为锐角,cos cos 3cos b A a B c A +=. (1)求cos A ;(2)若2a =,求ABC 面积的最大值.11.已知(2,5)x ∈-,求(2)(5)y x x =+-的最大值,以及y 取得最大值时x 的值.12.下列结论是否成立?若成立,试说明理由;若不成立,试举出反例.(1)若0ab >,则a b +≥(2)若0ab >2≥;(3)若0ab <,则2b aa b+≤-.13.已知a ,b ,c 均为正实数.(1)求证:a b c ++≥(2)若1a b +=,求证:11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.14.已知x >2,求函数4()2f x x x =+-的最小值.15.已知抛物线C :()220y px p =>的焦点为F ,直线l 过F 且与抛物线C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,当3AB p =时,点M 的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程;(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ,点D 关于x 轴的对称点为E ,当DME 的面积取最小值时,求直线l 的方程.16.如图,动物园要以墙体为背面,用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼.(1)现有可围36m 长钢筋网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大?(2)若每间虎笼的面积为220m ,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?17.已知 5<4x ,求函数14145y x x =-+- 的最大值.参考答案:1.见解析【解析】利用作差法比较大小. 【详解】解:223a ab ab b +>-,证明如下:()2222232()a ab ab b a ab b a b +--=-+=-.a b ≠2()0a b ∴-> 223a ab ab b ∴+>-【点睛】本题考查作差法比较两式的大小关系,属于基础题. 2.证明见解析【分析】利用基本不等式计算可得;【详解】解:因为a ,b 为正实数,所以a b +≥222a b ab +≥,332a b +≥=当a b =时取等号,所以()()()223333228a b a b a b ab a b +++≥⨯=,即()()()2233338a b a b a b a b +++≥,当且仅当a b =时取等号;3.5【分析】式子化为1333x x +-+-,再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为3x >, 所以30x ->,所以133353y x x =+-+≥=-, 当且仅当133x x -=-即4x =时取等号,此时取得最小值5.4.(1)当7x y ==时,x y +取得最小值14;(2)当6x y ==时,xy 取得最大值36【解析】(1)设0x >,0y >,49xy =,然后利用基本不等式求得x y +的最小值,根据基本不等式等号成立的条件,求得,x y 的值.(2)设0x >,0y >,12x y +=,然后利用基本不等式求得x y ⋅的最大值,根据基本不等式等号成立的条件,求得,x y 的值.【详解】(1)设0x >,0y >,49xy =,由均值不等式,得214x y xy +=, 当且仅当x y =时,取等号.由,49,x y xy =⎧⎨=⎩得7x y ==,即当7x y ==时,x y +取得最小值14.(2)设0x >,0y >,12x y +=,由均值不等式,得22123622x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当x y =时,取等号.由,12,x y x y =⎧⎨+=⎩得6x y ==.即当6x y ==时,xy 取得最大值36.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值,属于基础题. 5.(1)224x y +=(2)2(3)0x y +-【分析】(1)利用两点间距离公式可求得半径r ,由此可得圆C 方程; (2)利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d ,可知最小值为d r -;(3)设():10,0x yl a b a b+=>>,由圆心到直线距离等于半径,结合基本不等式可知当a b ==ABC面积取得最小值,由此可得直线l 方程. (1)由题意知:圆心()0,0C ,半径2r CM ===,∴圆C 的方程为:224x y +=.(2)圆心到直线40x y +-=的距离d r ==,∴点P 到直线40x y +-=的距离最小值为2d r -=.(3)设直线():10,0x yl a b a b+=>>,即0bx ay ab , 则圆心到直线l 距离2d ==,ab ∴=≥a b ==,解得:8ab ≥, ∴当a b ==ABC 面积取得最小值142ab =,则直线1l =,即0x y +-=. 6.见解析【分析】()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开并运用基本不等式即可得证.【详解】()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当b a a b =即a b =时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用,属于基础题. 7.(1)2ω=,π3ϕ=;(2)2+【分析】(1)由题干条件得到最小正周期,进而求出2ω=,待定系数法求出π3ϕ=;(2)先由32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出π6A =,利用余弦定理,基本不等式求出8bc ≤+. (1)由题意得:()f x 的最小正周期πT =,由于0>ω,故2ππω=,解得:2ω=,又2π32sin()11ϕ++=,所以2ππ,3k k Z ϕ+=∈,即2ππ,3k k Z ϕ=-∈,又π||2ϕ<,所以2πππ,32k k Z <∈-,解得:1766k <<,k Z ∈,故1k =,此时π3ϕ=,综上:2ω=,π3ϕ=; (2)2sin()33π12A f A ⎛⎫= ⎪⎝++=⎭,所以sin()1π3A +=,因为()0,πA ∈,所以ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则ππ32A +=,解得:π6A =,又2a =,所以由余弦定理得:224cos 2b c A bc +-==,则224b c +=,由基本不等式得:222b c bc +≥,即42bc ≥,解得:8bc ≤+b c =时等号成立,故ABC 面积最大值为1sin 22bc A ≤8.(1)第三年;(2)第5年.【解析】(1)求出第x 年年底,该车运输累计收入与总支出的差,令其大于0,即可得到结论; (2)利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出,可得平均利润,利用基本不等式,可得结论. 【详解】(1)设大货车运输到第x 年年底,该车运输累计收入与总支出的差为y 万元, 则y =25x ﹣[6x +x (x ﹣1)]﹣50=﹣x 2+20x ﹣50(0<x ≤10,x ∈N )由﹣x 2+20x ﹣50>0,可得10﹣<x <,∈2<10﹣<3,故从第3年,该车运输累计收入超过总支出; (2)∈利润=累计收入+销售收入﹣总支出,∈二手车出售后, 小张的年平均利润为(25)y x y x +-==19﹣(x +25x)≤19﹣10=9,当且仅当x =5时,等号成立, ∈小张应当在第5年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大. 【点睛】思路点睛:首先构建函数的模型一元二次函数,再解一元二次不等式,再利用基本不等式求最值.9.(1)()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦;(2)当 AD cm 时,一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元.【分析】(1)设ED a =cm ,根据条件可得222x x a x-+=,然后利用面积公式即得;(2)利用基本不等式即得.(1)因为AD x =cm ,所以()2AB x =-cm , 设 ED a = cm ,则()AE x a =-cm ,因为AEB C ED '∠=∠,EAB DC E '∠=∠,AB DC '=, 所以Rt Rt BAE DC E '≌△△,所以BE ED a ==cm , 在Rt BAE △中,由勾股定理得222BA AE BE +=, 即()()2222x x a a -+-=, 解得222x x a x-+=,所以22x AE x a x-=-=, 所以BAE 的面积()()22112232223cm 1222x x x S AB AE x x x x x x --+-⎡⎤⎛⎫=⋅=-⋅==-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 所以BAE 的面积()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦;(2)设一个会徽的镀金费用为y 元,则(26212312336BAE y Sx x ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⨯-+≤⨯-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当2xx=,12x <<,即x所以当AD cm 时,一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元. 10.(1)1cos 3A =;【分析】(1)由正弦定理、两角和的正弦公式求cos A 的值;(2)由同角三角函数间的基本关系求sin A 的值,根据余弦定理和基本不等式求bc 的最大值,最后根据三角形的面积公式求ABC 面积的最大值即可. (1)因为cos cos 3cos b A a B c A +=,由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A +=, 所以()sin 3sin cos A B C A +=,所以sin 3sin cos C C A =. 在ABC 中,sin 0C ≠, 所以1cos 3A =;(2)由(1)知1cos 3A =,由22sin cos 1A A +=,A 为锐角,得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-=,因为2a =, 所以2233122b c bc +-=, 所以22212336bc b c bc +=+≥,所以3bc ≤,当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =△所以ABC 11.当32x =时,y 取得最大值494【解析】根据基本不等式,求得y 的最大值,根据基本不等式等号成立的条件,求得此时x 的值.【详解】∈(2,5)x ∈-,∈20,50x x +>->,∈22549(2)(5)24x x y x x ++-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭. 当且仅当25x x +=-,即32x =时,取等号.即当32x =时,y 取得最大值494.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值,属于基础题. 12.(1)不成立,理由见解析; (2)成立,理由见解析; (3)成立,理由见解析;【分析】取特殊值判断(1),由均值不等式判断(2)(3). (1)取1,2a b =-=-满足0ab >,此时a b +≥不成立; (2)0ab >,0,0a bb a∴>>,2,当a b =时等号成立. (3)0ab <,0,0b aa b∴<<,2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,当a b =-时等号成立. 13.(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】(1)利用基本不等式证明即可;(2)由112111⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b ab 利用基本不等式求最值即可.(1)因为a ,b ,c 都是正数,所以 ()()()(1122++=+++++≥⎡⎤⎣⎦a b c a b b c a c=,当且仅当a b c ==时,等号成立,所以a b c ++≥ (2)211111122211111119142a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭, 当且仅当12a b ==时等号成立. ∈11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 14.6【解析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】解:∈2x >,∈20x ->,故44()222622f x x x x x =+=-++≥=--, 当且仅当4x =时等号成立,故()f x 的最小值为6.15.(1)24y x =(2)1x y =±+【分析】(1)设()()1122,,,A x y B x y ,根据焦点弦的性质得到12||AB x x p =++,从而求出p ,即可得解; (2)设:1l x ty =+,联立直线与抛物线,消元、利用韦达定理得到M y ,从而得到M x ,则()1||12DEM M S DE x =⋅+最后利用基本不等式求出最小值,即可得解; (1)解:设()()1122,,,A x y B x y ,由题知12||43AB x x p p p =++=+=时,2p =,故抛物线方程为24y x =;(2)解:设:1l x ty =+,联立抛物线方程得2440y ty --=,∈1222M y y y t +==,2121M M x ty t =+=+,而21,D t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,21,E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 所以()()21141||1224||822||||DEM M S DE x t t t t ⎛⎫=⋅+=⋅⋅+=+≥ ⎪⎝⎭, 当且仅当||1t =时等号成立,故直线l 的方程为1x y =±+.16.(1)长为9m 2,宽为18m 5(2)长为5m ,宽为4m【分析】(1)设每间老虎笼的长为m x ,宽为m y ,则每间老虎笼的面积为S xy =,可得出4536x y +=,利用基本不等式可求得S 的最大值,利用等号成立的条件求出x 、y 的值,即可得出结论;(2)设每间老虎笼的长为m x ,宽为m y ,则20xy =,利用基本不等式可求得钢筋网总长45x y +的最小值,利用等号成立的条件求出x 、y 的值,即可得出结论.(1)解:设每间老虎笼的长为m x ,宽为m y ,则每间老虎笼的面积为S xy =,由已知可得4536x y +=,由基本不等式可得()2211458145m 202025x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⨯= ⎪⎝⎭, 当且仅当454536x y x y =⎧⎨+=⎩,即当92185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,等号成立, 因此,每间虎笼的长为9m 2,宽为18m 5时,可使得每间虎笼的面积最大. (2)解:设每间老虎笼的长为m x ,宽为m y ,则20xy =,钢筋网总长为()4540m x y +≥=,当且仅当4520x y xy =⎧⎨=⎩,即当54x y =⎧⎨=⎩时,等号成立, 因此,每间虎笼的长为5m ,宽为4m 时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 17.2 【分析】将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-,利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意,函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ , 又由54x <,则540x ->,则()154254x x -+≥-, 当且仅当15454x x -=-时,即1x =时取等号, 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2.。

高中数学基本不等式综合测试题(附答案)

高中数学基本不等式综合测试题(附答案)

高中数学基本不等式综合测试题(附答案)
高中数学基本不等式综合测试题(附答案)
基本不等式的最大最小值问题随堂练习
1、在下列函数中,最小值是的是
且)
2、已知正数满足,则的最小值为
3、若,则的最大值。

4、设时,则函数的最小值。

三、解答题
5、为迎接北京奥运会,北京市决定在首都国际机场粘贴一幅“福娃”宣传画,要求画面面积为,左、右各留米,上、下各留米,问怎样设计画面的长和宽才能使宣传画
所用纸张面积最小?
6、函数的值域
7、若是正数,且,则有最值=
8、已知,则的最小值是。

9、已知,求的最值及相应的的值。

10、正数、满足则的最小值是
11、已知函数f(x)满足2f(x)-f( 1x ) = 1| x | ,则f(x)的最小值是
12、函数若恒成立,则b的最小值为_
13、函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为
4、解:
当且仅当,即时取等号,故当时,有最小值。

(完整版)高中数学不等式单元测试题(含有详细答案-

(完整版)高中数学不等式单元测试题(含有详细答案-

高中数学不等式综合测试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.共60分) 1.(文)设a b <,c d <,则下列不等式中一定成立的是( ) A .d b c a ->- B .bd ac > C .d b c a +>+ D .c b d a +>+ (理)已知a <0,-1<b <0,那么( ) A .2a ab ab >>B .2ab ab a >>C .2ab ab a >>D .2ab a ab >>2.“0>>b a ”是“222b a ab +<”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 3.(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A .RB .φC .),(+∞a bD .(,)b a-∞(理)不等式b ax >的解集不可能...是( ) A .φB .RC .),(+∞ab D .),(ab--∞4.不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-,则b a -的值等于( ) A .-14 B .14 C .-10 D .10 5.(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A .{|03}x x ≤<B .{|22}x x -<<C .{|13}x x -<<D .{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A .{|01}x x <<B .{|11}x x -<<C .{|01x x <<或1}x <-D .{|10,1}x x x -<<> 6.(文)若0b a <<,则下列结论不正确...的是( ) A .11a b <B .2b ab < C .2>+b a a bD .||||||b a b a +>+(理)若011<<ba ,则下列结论不正确...的是( ) A .22b a <B .2b ab <C .2>+baa bD .||||||b a b a +>+ 7.若13)(2+-=x x x f ,12)(2-+=x x x g ,则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A .)()(x g x f > B .)()(x g x f = C .)()(x g x f < D .随x 值变化而变化8.下列各式中最小值是2的是( )A .y x +xyB .4522++x x C .tan x +cot xD .xx -+229.下列各组不等式中,同解的一组是( )A .02>x 与0>xB .01)2)(1(<-+-x x x 与02<+xC .0)23(log 21>+x 与123<+x D .112≤--x x 与112≤--x x 10.(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,那么a 的取值范围是( ) A .}8|{<a a B .}8|{>a a C .}8|{≥a a D .}8|{≤a a(理)函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在函数1mx y n n=--的图像上,其中mn >0,则nm 21+的最小值为( ) A .8 B .6 C .4 D .2 11.(文)已知()f x 是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,(2)0f =,则不等式()0xf x <的解集是( ) A .{|20,2}x x x -<<>或 B .{|2,02}x x x <-<<或 C .}22|{>-<x x x 或D .{|20,02}x x x -<<<<或(理)已知()f x 是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,(2)0f =,则不等式2(1)()0x f x -<的解集是( )A .{|10}x x -<<B .{|2,12}x x x <-<<或C .{|2112}x x x -<<<<或D .{|210,12}x x x x <--<<<<或或12.(文)已知不等式1()()25ax y xy++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A .16625B .16C .254D .18(理)已知不等式()()25x ay x y xy ++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A .16625B .16C .254D .18二、填空题(每小题4分,共16分) 13.(文)若+∈R b a ,,则b a 11+与ba +1的大小关系是____________. (理)不等式|21|1x x --<的解集是_____________.14.函数121lg +-=x xy 的定义域是_____________. 15.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x =_____________吨.16.已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,,则不等式3)2(≤+x f 的解集____________.三、解答题(共74分) 17. 解不等式122log 1815x x x ⎛⎫≤- ⎪-+⎝⎭18.解关于x 的不等式22x ax -+>--.20.(本小题满分12分)(文)对任意[1,1]x ∈-,函数a x a x x f 220)4()(2-+-+=的值恒大于零,求a 的取值范围.19.如图所示,校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器.已知喷水器的喷水区域是半径为5m 的圆.问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置,才能使花坛的面积最大且能全部喷到水?22.(本小题满分14分)已知函数b ax x x f ++=2)(.(1)若a =0,且对任意实数x ,都有a x x f +≥2)(,求b 的取值范围; (2)当]1,1[-∈x 时,)(x f 的最大值为M ,求证:1+≥b M ;(3)若)21,0(∈a ,求证:对于任意的]1,1[-∈x ,1|)(|≤x f 的充要条件是.142a b a -≤≤-参考答案一、 选择题 1、(文)C (理)C 2、A 3、(文)D (理)D 4、C 5、(文)C (理)C 6、(文)D (理)D 7、A 8、D 9、B10、(文)A (理)A11、(文)D (理)D 12、(文)B (理)B二、 填空题13、ba b a +>+111 14、{|02}x x <<15、)21,1(- 16、2017]3,(-∞三、 解答题18、解:原不等式等价于:21582≥+-x x x0158301720158301720215822222≤+-+-⇔≥+--+-⇔≥-+-x x x x x x x x x x x 3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 或65≤<x∴原不等式的解集为]6,5()3,25[Y19、解:变形得:(4)02x a x -->-当(4-a )>2,即a <2时,24x x a <>-或 当(4-a )<2,即a >2时,42x a x <->或 当(4-a )=2,即a =2时,2x ≠综上所述:当a <2时,原不等式的解集为{|24}x x x a <>-或 当a ≥2时,原不等式的解集为{|42}x x a x <->或20、325≤a21、解:设花坛的长、宽分别为xm ,ym ,根据要求,矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰好位于喷水区域的边界.依题意得:25)2()4(22=+y x ,(0,0>>y x )问题转化为在0,0>>y x ,100422=+y x 的条件下,求xy S =的最大值. 法一:100)2(2222=+≤⋅⋅==y x y x xy S Θ,由y x=2和100422=+y x 及0,0>>y x 得:25,210==y x 100max =∴S法二:∵0,0>>y x ,100422=+y x , 41002x x xy S -==∴=10000)200(41)4100(2222+--=-⋅x x x∴当2002=x ,即210=x ,100max =S由100422=+y x 可解得:25=y .答:花坛的长为m 210,宽为m 25,两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心,则符合要求.21、解(1):由题得022≥++b x x 恒成立1044≥⇔≤-=∆⇔b b 对任意的R x ∈,0)()2(2≥-+-+a b x a x 0)(4)2(2≤---=∆⇔a b a)(1412R a b a b ∈≥⇔+≥⇔Θ∴),1[+∞∈b .(2)证明:∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=- ∴222+≥b M ,即1+≥b M .(3)证明:由210<<a 得,0241<-<-a∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数,在]1,2[a-上是增函数.∴当1||≤x 时,)(x f 在2ax -=时取得最小值42a b -,在1=x 时取得最大值b a ++1.故对任意的]1,1[-∈x ,.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤。

高中数学不等式专题训练7套含答案

高中数学不等式专题训练7套含答案

不等式单元试卷一班级 姓名 座号 成绩一、选择题(每题正确答案只有一个,共8题,每小题5分)1.若a <b <0,则 ( )A . b 11<aB . 0<b a <1C . a b >b 2D . bb a a >2.若|a +c|<b ,则 ( )A . |a |<|b|-|c|B . |a |>|c|-|b|C . |a |>|b|-|c|D . |a |<|c|-|b| 3.设b <0<a ,d <c <0,则下列各不等式中必成立的是 ( )A . a c >bdB . db>c a C . a +c >b +d D . a -c >b -d4.下列命题中正确的一个是 ( ) A .ba ab +≥2成立当且仅当a ,b 均为正数B .2222ba b a +≥+成立当且仅当a ,b 均为正数 C .log a b +log a b ≥2成立当且仅当a ,b ∈(1,+∞) D .|a +a1|≥2成立当且仅当a ≠0 5函数y =log ⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+-2134223x x x x 的定义域是 ( )A .x ≤1或x ≥3B .x <-2或x >1C .x <-2或x ≥3D .x <-2或x >36.已知x,y ∈R ,命题甲: |x -1|<5,命题乙: ||x |-1|<5,那么 ( ) A 甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 B 甲是乙的必要条件,但不是乙的充要条件 C 甲是乙的充要条件 D 甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件7.已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则代数式(1-x y)(1+x y)有 ( ) A .最小值21和最大值1 B .最小值43和最大值1 C .最小值21和最大值43D .最小值1 8.函数y =xx x +++132(x >0)的最小值是( )A .23B .-1+23C .1+23D .-2+23二、填空题(请将正确的答案填到横线上,共4题,每小题4分)9.关于x 的不等式a x 2+b x +2>0的解集是}3121|{<<-x x ,则a +b=_____________.10.实数=+=+>x y x y x y x ,此时的最大值是,那么,且,______log log 42022_________,y=_________.11.方程()02lg 222=-+-a a x x 又一正根一负根,则实数a 的取值范围是 .12.建造一个容积83m ,深为m 2长的游泳池,若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则游泳池的最低总造价为__________元. 三、解答题(本大题共4小题,共44分)13.(10分)已知.))((,1,0,xy bx ay by ax b a b a ≥++=+>求证:且14 (10分)解关于x 的不等式:0122<++x ax (其中R a ∈).15.(12分)设f(x)是定义在上]1,1[-的奇函数,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x =1对称,而当]3,2[∈x 时,44)(2-+-=x x x g .(1)求f(x)的解析式;(2)对于任意的,]1,0[,2121x x x x ≠∈且求证:;2)()(1212x x x f x f -<- (3)对于任意的,]1,0[,2121x x x x ≠∈且求证:.1)()(12≤-x f x f16.(12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?参考答案二、填空题9.-14 10.1,2,1 11.)1,21()0,21(⋃- 12. 1760 三、解答题13.[解析]: 左边=)()(22222222y x ab xy b a aby abx xy b xy a +++=+++,xy xy b a xy ab b a xy y x =+=++≥∴≥+22222)()2(,2左边 .15.[解析]:(1)由题意知f(x+1)=g(1-x))2()(x g x f -=⇒当224)2(4)2()(,32201x x x x f x x -=--+--=≤-≤≤≤-时,当2)(0110x x f x x -=-∴<-≤-≤<时,,由于f(x)是奇函数2)(x x f =∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--=∴)10()01()(22x x x x x f(2)当,20]1,0[,212121<+<≠∈x x x x x x 时,且 1212122122122))(()()(x x x x x x x x x f x f -<+-=-=-∴(3)当1110,10]1,0[,212222212121≤-≤-∴≤≤≤≤≠∈x x x x x x x x 时,且.12122≤-x x 即 .1)()(212212≤-=-∴x x x f x f16.[解析]:由题意得 x y+41x 2=8,∴y=xx 482-=48xx-(0<x <42). 于定, 框架用料长度为 l =2x +2y+2(x 22)=(23+2)x +x16≥4246+. 当(23+2)x =x16,即x =8-42时等号成立. 此时, x ≈2.343, y=22≈2.828.故当x 为2.343m, y 为2.828m 时, 用料最省.不等式基本性质二一,不等式的8条基本性质补充1,b a b a ab 110<⇔>>且2,)(0+∈>⇒>>R x b a b a x x 3, )(0-∈<⇒>>R x b a b a x x二,基本练习( )1, 2003京春文,1)设a ,b ,c ,d ∈R ,且a >b ,c >d ,则下列结论中正确的是A.a +c >b +dB.a -c >b -dC.ac >bdD.cb d a >( )2,(2001上海春)若a 、b 为实数,则a >b >0是a 2>b 2的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件( )3,若,011<<ba 则下列结论正确..的是A .22b a <B .2b ab <C .ab a <2D .b a >( )4,“a>b”是“ac 2>bc 2”成立的A .必要不充分条件B .充分不必要条C .充要条件D .以上均错( )5,若b a , 为任意实数且b a >,则( ) A ,22b a > B ,1>b a C ,0)lg(>-b a D ,b a )21()21(<( )6,“1>a ”是“11<a”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件( )7,设10<<<a b ,则下列不等式成立的是A .12<<b abB .0log log 2121<<a b C .222<<a b D .12<<ab a( )8,1>ab是0)(<-b a a 成立的A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分不必要条件( )9,若0,0,0><>+ay a y x ,则y x -的值A ,小于0B ,大于0C ,等于0D ,正负不确定( )10,若a >b ,在①ba 11<;②a 3>b 3;③)1lg()1lg(22+>+b a ;④ba 22>中,正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个( )11,(04高考试题)已知a 、b 、c 满足c b a <<,且ac <0,那么下列选项中不一定成立的是 A .ab ac >B . c b a ()-<0C . cb ab 22<D . 0)(<-c a ac( )12,(04高考试题)若011<<ba ,则下列不等式①ab b a <+;②|;|||b a >③b a <;④02<-ab a 中,正确的不等式有A .1个B .2个C .3个D .4个二,填空题13,设01,0<<-<b a ,则2,,ab ab a 三者的大小关系为14,设R x x x B x A ∈+=+=,2,21234且1≠x ,则B A ,的大小关系为15,如果01<<<-b a ,则22,,1,1a b ab 的大小关系为16,设,则b a >是bb a a 11->-成立的 条件17,若53,42≤<<≤b a ,则b a -3的取值范围为 ,bba +2的取值范围为18,若a b a a 231,63<<<≤,则b a +的取值范围为三,解答题19,证明:若0>>b a >0>m ,则ma mb a b m a m b ++<<--不等式的性质三A 卷一、选择题1、下列命题中,正确的是( )A 若ac >bc,则a >bB 、若a 2>b 2,则a >bC 、若,则a <bD 、若b a <,则a <b2、 若a >b,则( ) A 、b a 33>B 、b a >C 、a 3>b 2D 、a 2>b 33、不等式a >b 和同时成立的充分且必要条件是( ) A 、a >b >0 B 、a >0>b C 、011<<a b D 、 011>>ba4、若a <b <0,则下列不等式中不能成立的是( )A 、B 、ab a 11>- C 、| a | > | b | D 、a 2>b 25、设a 、b 、c 、d 都是正数,a >b ,c >d ,a + b > c + d ,ab = cd ,那么a 、b 、c 、d 之间的大小关系是( )A 、a >b >c >dB 、a >c >b >dC 、c >a >d >bD 、a >c >d >b 6、已知a <0 ,-1<b <0,那么( )A 、a >ab >ab 2B 、ab 2>ab >aC 、ab >a >ab 2D 、ab >ab 2>a 7、若x + y = 2,b <x <a ,则下列不等式正确的是( )A 、b + 2<y <a + 2B 、a + 2<y <b + 2C 、2-a <y <2-bD 、2-b <y <2-a8、给定命题(1) a >b 且ab <0,(2)b a > b,(3)| a | <b b <a < 2a >b ,其中真命题的个数是( ) A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 二、填空题9、已知a <b <0,c >0,在下列空白处填上恰当的不等号。

高一数学基本不等式试题答案及解析

高一数学基本不等式试题答案及解析

高一数学基本不等式试题答案及解析1.设且,则的最小值为________.【答案】4【解析】由,当且仅当时等号成立.故答案为4.【考点】均值不等式的应用.2.长为4,宽为3的矩形,当长增加,且宽减少时的面积最大,则此时=_______,最大面积=________.【答案】.【解析】由题意,得所得矩形面积;则,即当时,矩形面积有最大值.【考点】一元二次函数模型的应用.3.已知x,y均为正数且x+2y=xy,则().A.xy+有最小值4B.xy+有最小值3C.x+2y+有最小值11D.xy﹣7+有最小值11【答案】C【解析】由,得,由得,则(当且仅当,即时取等号),;令,则在上为增函数,,排除A,B;而选项D:;选项C:(当且仅当,即或时取等号;故选C.【考点】基本不等式.4.若,则下列不等式正确的是().A.B.C.D.【答案】C【解析】由基本不等式得,则;又,.【考点】基本不等式.5.已知正数满足,则的最小值为.【答案】【解析】.【考点】基本不等式.6.设a>0,b>0,若是和的等比中项,则的最小值为()A.6B.C.8D.9【答案】A【解析】由题意a>0,b>0,且是和的等比中项,即,则,当且仅当时,即时取等号.【考点】重要不等式,等比中项7.(1)阅读理解:①对于任意正实数,只有当时,等号成立.②结论:在(均为正实数)中,若为定值,则,只有当时,有最小值.(2)结论运用:根据上述内容,回答下列问题:(提示:在答题卡上作答)①若,只有当__________时,有最小值__________.②若,只有当__________时,有最小值__________.(3)探索应用:学校要建一个面积为392的长方形游泳池,并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路(如图所示)。

问游泳池的长和宽分别为多少米时,共占地面积最小?并求出占地面积的最小值。

【答案】(2)①1 ,2:②3,10(3)游泳池的长为28m,宽14m时,占地面积最小,占地面积的最小值是648【解析】(2)①利用阅读材料,可知当时,有最小值2,②,当时,有最小值10.(3)设游泳池的长为m,则游泳池的宽为m,又设占地面积为,依题意,得,整理运用所给结论,可求面积的最值.(2)①利用阅读材料,可知当时,有最小值2,②,当时,有最小值10.(3)设游泳池的长为m,则游泳池的宽为m,又设占地面积为,依题意,得,整理.当且仅当即取“=”.此时所以游泳池的长为28m,宽14m时,占地面积最小,占地面积的最小值是648【考点】基本不等式在最值问题中的应用;进行简单的合情推理8.已知且若恒成立,则的范围是【答案】【解析】原式恒成立等价于,,所以解得.【考点】基本不等式求最值9.已知向量=(x,2),=(1,y),其中x>0,y>0.若•=4,则+的最小值为.【答案】【解析】因为所以当且仅当时取等号.【考点】基本不等式求最值10.现要用一段长为的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园(如图所示),则围成的菜园最大面积是___________________.【答案】【解析】依题意可知,其中,由基本不等式可知即(当且仅当时等号成立),所以,所以围成的菜园最大面积是.【考点】基本不等式的应用.11.若x>0,则函数的最小值是________.【答案】2【解析】因为,x>0,所以,函数当且仅当时,函数取得最小值2.【考点】均值定理的应用点评:简单题,应用均值定理,要注意“一正,二定,三相等”,缺一不可。

基本不等式练习题(含答案)

基本不等式练习题(含答案)

基本不等式11 .函数y=x+ -(x>0)的值域为().XA. 2] U [2,+x)B. (0,+x)C. [2 ,+x) D . (2,+x)a +b i2. 下列不等式:①a2+ 1>2a;②- -<2;③/ +三 > 1,其中正确的个数是p ab x 十3().A. 0 B . 1 C. 2 D . 33. 若a>0, b>0,且a + 2b — 2 = 0,则ab的最大值为().1B. 1C. 2D. 414. (2011重庆)若函数f(x) = x+ (x>2)在x= a处取最小值,则a=( ).X —2A. 1+ 2B. 1+ 3C. 3D. 4t2—4t+ 15. 已知t>0,则函数y= t 的最小值为利用基本不等式求最值1 1【例1】?(1)已知x>0, y>0,且2x+y= 1,则x + y的最小值为X y2x2(2)已知0v x v 5,贝U y= 2x—5x2的最大值为________ .⑶若x, y€ (0,+x)且2x+ 8y—xy= 0,贝U x+ y的最小值为_________ .利用基本不等式证明不等式【例2] ?已知a>0, b>0, c>0,求证:bC+ 学+ ab>a+ b+ c.a b c3 1(2010四川)设a>b>0,贝U a2+ + 的最小值是().ab a a—bC. 3⑵当x>0时,贝U f(x)= x2+ 1的最大值为1【训练1】(1)已知x> 1,则f(x) = x+一的最小值为_____________x—I【训练2】已知a>0, b>0, c>0,且a+ b+ c= 1.1 1 1 求证:一+匚+ 9.a b c利用基本不等式解决恒成立问题x【例3】?(2010 山东)若对任意x>0, x2+3x+[三a恒成立,则a的取值范围是 3 1【训练3】(2011宿州模拟)已知x>0, y>0, xy= x+ 2y,若xy>m—2恒成立, 则实数m的最大值是________ .考向三利用基本不等式解实际问题【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用•当侧面的长度为多少时,总造价最低?双基自测1.答案 C1 12•解析 ①②不正确,③正确,/ +孑亍二(x 2+ 1) + 齐1 — 1>2—1二1.答案 B13. 解析 v a >0, b >0, a + 2b = 2,二 a + 2b = 2>2.2ab ,即 ab <㊁.答案 A4. 解析 当 x >2 时,x — 2>0, f(x)= (x — 2) + x-—2 + 2>2 寸 x — 2 X ^—^+ 21二4,当且仅当x — 2二严(x >2),即x = 3时取等号,即当f(x)取得最小值时,xx ——2 =3,即a = 3.答案 C t 2—4t + 1 15.解析 v t >0,二 y = t = t +1 — 4>2 — 4= — 2,当且仅当t = 1 时取等 号.答案 —2【例 1】解析(1) v x >0, y >0,且 2x +y = 1,••」+J4 + 4= 3 + y +生3+ 2頁.当且仅当匕空时,取等号.x y x y x y x y2x 2 2 12x十w 2= 1,当且仅当x = J 即x = 1时取等号.答 x +x案(1)3+ 2 2 (2)1 1【训练 1].解析(1) V x > 1,二 f(x)= (x — 1) + — + 1>2+ 1 = 3 当且仅当 xx — 12 1=2 时取等号.(2)y = 2x — 5X 2= x(2 - 5x) = 55x(2 — 5X),5x + 2 一 5x 1—5x >0,.°. 5x(2 — 5x) < 2= 1 ,• y <5 当且仅当 5x = 2— 5x ,2 511 2 8即 x =5时,y max = 5.(3)由 2x + 8y — xy = 0,得 2x + 8y =xy ,「.~ + ~ = 1, 8 2 8y 2x 4y x /4y x• x + y = (x + y) + = 10+ +—= 10 + 2 +_ > 10+ 2X 2X = 18,x y x y x y . x y , 当且仅当 4y = x,即 x = 2y 时取等号,又 2x + 8y — xy = 0,「. x = 12, y = 6, xy•••当 x = 12, y = 6 时,x + y 取最小值 18.答案 (1)3 (2# (3)18【例 2】证明■/a >0, b >0, c >0, • bc + 甲》2 bcca= 2c ; bc + ab >2a b \ a b a c:加2b ; -+瞥2 - Ob - 2a.以上三式相加得:2齐?+学>2(abc ca ab , + b + c),即 + , + 》a + b + c. ’ a b c111a + b + c 【训练2] 证明 ■/ a >0, b >0, c >0,且 a + b + c = 1,二一+乙+一= +a b c a a+七+a+± 二 3+b +c +b +?+a +」3+ ?+a +a +a + e +b b c a a b b c c a b a c b c⑵ v x >0,「. f(x) = x 2+ 2一••• 5x v 2,21> 3+ 2+ 2+ 2= 9,当且仅当a = b = c =3时,取等号. X X 解析 若对任意x > 0x 2+ 3x + [ w a 恒成立,只需求得 尸x 2 + 3x +〔的最大值即 1 ■ x x 1 5当且仅当 可,因为 x > 0,所以 y =x 2+ 3x + 1 = —口W x +—+3 2 x1 1 等号,所以a 的取值范围是5,+^答案 5,+^ 【训练3】解析 由x >0,y >0,xy = x + 2y >2 - 2xy,得 xy > 8,于是由 恒成立,得m — 2<8, m < 10,故m 的最大值为10.答案 10 一 12 【例3.解 由题意可得,造价y = 3(2x X 150+ — X400)+ 5 800= 900 x x = 1时取 m — 2< xy x +16 + 5 x 16 800(0< x < 5),贝U y = 900 x +丁 + 5 800>900X 2入x =号,即x =4时取等号.故当侧面的长度为4米时,总造价最低.正解 Ta >0,b >0, 且 a + b = 1, 1,2 b 2a b 2a a + b (a +b )=1+ 2 + a + 3 + 2 aF = 3 + 22・a +b =1, b = 2a a = b ,当且仅当 【示例】. 1 2 •••_+==a b当且仅当 x X16+ 5 800= 13 000(元),a = 2—1, 1 2即b =2—2时,a +b 的最小值为3+2 2.1 1 1 1 【试一试】 尝试解答]a2 +1 + ~ = a 2 — ab + ab +1 + ~ = a(a — b)+ aba a —b ab a a — b —+ ab+W >2 气 /a a — b •+ 2、/ab^= 2+ 2= 4.当且仅当 a(a — a a — b ab . a a — b ;ab ' 1 1b)=—且ab = ab ,即a = 2b 时,等号成立.答案 D a a — b ab。

高中数学不等式练习题(附答案)

高中数学不等式练习题(附答案)

高中数学不等式练习题(附答案) 高中数学不等式练题一.选择题(共16小题)1.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A。

a+log2(a+b)<2aB。

log2(a+b)<a+bC。

a+log2(a+b)<a+bD。

log2(a+b)<a+b<2a2.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则()A。

2x<3y<5zB。

5z<2x<3yC。

3y<5z<2xD。

XXX<2x<5z3.若x+2y=k,且k<5,则x+2y的最大值为()A。

1B。

3C。

5D。

94.设x+y=1,且z=2x+y,则z的最小值是()A。

﹣15B。

﹣9C。

1D。

95.已知x+2y=3,且z=x+2y,则z的最大值是()A。

3B。

4C。

5D。

66.设x+y=1,且z=x+y,则z的最大值为()A。

1B。

2C。

3D。

47.设x+y=2,且x﹣y<3,则z=x﹣y的取值范围是()A。

[﹣3,3]B。

[﹣3,2]C。

[2,3]D。

[3,+∞)8.已知变量x,y满足约束条件x+y<1,则z=x﹣y的最小值为()A。

﹣3B。

﹣1C。

1D。

39.若变量x,y满足约束条件x+y<1,则目标函数z=﹣2x+y的最大值为()A。

1B。

﹣1C。

﹣2D。

﹣310.若a,b∈R,且ab>0,则a+b+2/(1/a+1/b)的最小值是()A。

1B。

2C。

3D。

411.已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是()A。

ca>cbB。

ac<bcC。

loga c>logb cD。

logb c>loga c的最小值是()12.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则xy的最小值是()A。

2B。

4C。

8D。

1613.设a>2,b>2,且a+b=3,则a2+b2的最小值是()A。

6B。

8C。

9D。

1014.已知x,y∈R,x2+y2+xy=315,则x2+y2﹣xy的最小值是()A。

35B。

105C。

140D。

21015.设正实数x,y满足x>1,y>1,不等式(x+1/y)(y+1/x)≥XXX成立,则m的最小值为()A。

基本不等式练习题(带答案)

基本不等式练习题(带答案)

基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题,本大题共10小题,每小题4分,满分40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若 $a\in R$,下列不等式恒成立的是()A。

$a^2+1>a$B。

$\frac{1}{2}<a<1$C。

$a^2+9>6a$D。

$\log_{a+1}。

\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$,则下列四个数中最大的是()A。

$1$B。

$2$C。

$a^2+b^2$D。

$a$3.设 $x>0$,则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为()A。

$3$B。

$\frac{3}{2}$C。

$\frac{3}{4}$D。

$-1$4.设$x,y\in R$,且$x+y=5$,则$3x+3y$ 的最小值是()A。

$10$B。

$6\sqrt{3}$C。

$4\sqrt{10}$D。

$18$5.若 $x,y$ 是正数,且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$,则 $xy$ 有()A。

最小值 $\frac{1}{36}$B。

最大值 $\frac{1}{36}$C。

最小值 $\frac{16}{9}$D。

最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$,且 $ab+bc+ca=1$,则下列不等式成立的是()A。

$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。

$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$,且 $x+y\le 4$,则下列不等式中恒成立的是()A。

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。

$xy\ge 2$D。

$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数,则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是()A。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

高中数学-基本不等式测试题
自我小测
1.若a >b >1,P Q =
12(lg a +lg b ),lg 2a b R ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=,则( ). A .R <P <Q B .P <Q <R
C .Q <P <R
D .P <R <Q
2.设x ,y ∈R ,且x +y =5,则3x +3y 的最小值是( ).
A .10
B .. D .3.已知不等式(x +y )(1a x y
+)≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为
( ).
A .2
B .4
C .6
D .8 4.下列命题:①1x
x +的最小值是22+的最小值是22的最小值是2;④423x x +-的最小值是2,其中正确的命题的个数是( ).
A .1
B .2
C .3
D .4
5.若正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是__________.
6.(1)若x >0,求12()3f x x x =
+的最小值; (2)若x <0,求12()3f x x x
=+的最大值. 7.求函数25152
x x y x ++=+(x ≥0)的最小值. 8.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底的造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,求这个水池的最低造价.
9.求函数2212sin cos y αα=+,π02α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,时的最小值.
参考答案
1. 答案:B
解析:∵a >b >1⇒lg a >0,lg b >0,
∴Q =12
(lg a +lg b )P ,12R =(lg a +lg b )=Q ,∴R >Q >P . 2. 答案:D
解析:33x y ≥+.
3. 答案:B
解析:1()1a ax y x y a x y y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭++=+++211)a ≥++,当且仅当y x 取等号, ∵1
()9a x y x y ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
++对任意正实数x ,y 恒成立,
∴需21)9≥.∴a ≥4. 4. 答案:A
解析:当x <0时,1x
x +无最小值,∴①错误;当x =02+的最小值是2,
2+取得最小值2,但此时x 2
=-3不成立, 2
+取不到最小值2,∴③错误;当x >0时,4
23<0x x
--,∴④错误. 5. 答案:[9,+∞)
解析:t (t >0),
由ab =a +b +3≥3,则有t 2≥2t +3,
∴t ≥3或t ≤-1(舍去)3≥.
∴ab ≥9,当a =b =3时取等号.
6. 解:(1)x >0,由基本不等式,得12()312f x x x ≥=
+.
当且仅当123x x
=,即x =2时,f (x )取最小值12. (2)∵x <0,∴-x >0, 则1212()33f x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
=+=- =123x x ⎡⎤⎛⎫--(-) ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

12≤--,当且仅当123x x --,即x =-2时,f (x )取最大值-12. 7. 解:原式变形,得222992122
x x y x x x ()()++++==+++++.因为x ≥0,所以x +2>0.所以9262
x x ≥+++. 所以y ≥7,当且仅当x =1时,等号成立.
所以函数y 的最小值为7.
8. 解:设水池的造价为y 元,池底的长为x m , 则宽为4 m x
.
∴y =4×120+822x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭+×80=480+4320x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+≥480+320× 1 760, 当且仅当4x x
=,即x =2 m 时,y min =1 760元.
所以这个水池的最低造价为1 760元. 9. 解:2212sin cos αα
+=222222sin cos 2sin cos sin cos αααααα()+++ 22
22cos 2sin 33sin cos αααα
≥=+++
当且仅当2222cos 2sin sin cos αααα
=,即tan αy min =3+。

相关文档
最新文档