第三节 曲面及其方程只是分享
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高数同济8.3曲面及其方程
解 yoz 面上直线方程为
x
z
z y cot
2 2 圆锥面方程 z x y cot
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周 同理：
的旋转曲面方程为 f
y,
x2 z2
0.
o x
或 z 2 a 2 x 2 y 2 圆锥面方程
z
一、曲面方程的概念
2 2 例4 方程 z ( x 1) ( y 2) 1的图形是怎样的？
解
根据题意有 用平面
2
z
1
z
zc
去截图形得 圆：
c
o
x
y
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
( x 1) ( y 2)2 1 c (c 1)
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 旋转曲线为旋转曲面 的母线
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 旋转曲线为旋转曲面 的母线
圆心在 (1, 2, c ), 半径为 1 c 当平面 z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
半径随 c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上方法称为截痕法.
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
高等数学第七章：曲面及其方程
这条定直线叫旋 转曲面的轴．
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
第三节 曲面及其方程学习资料
M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节 曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴 旋 转 ay22x2c2z21
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转 x2a2y2cz22 1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )
7-3曲面方程-PPT文档资料
o
y
f( x y, z ) 0 .
2 2
x
2 2
（即曲线方程 f ( y , z ) 0 中 z 不变， y 换为 x y ）
注： f ( x2 y2 , z) 0 也可视 xoz 为 面上的 面方程 .
曲线 f (x, z) 0绕 z轴 旋 转 一 周 所 得 曲 的旋
y
c 半 径 随一条平面曲线绕其平面上的一条直 线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条 定直线叫旋转曲面的轴．
例如 :
问题：求 yoz 面上的曲线 C ： f(y ,z ) 0 绕 z 轴旋 转一周所得的曲面的方 程 .
解： 在曲面上任取一点 M(x, y, z),
C
l
z
柱面举例
y 2x
2
z
平面
o
o
y
y
x
抛物柱面
x
y x
问题 xoy ： 面 以 上的 C : F ( 曲 x ,y ) 线 0 为准
z方 程 母线平 z 轴 行 的 于 柱面
F (x ,y )0 （ z 任意） .
( x, y, z)
( x, y,0)
y
xF (x ,y ) 0
M M M 0 1 M 0
z
它是 M ( 由 0 ,y , z ) 点 绕 M 点 ( 0 , 0 , z ) 旋转 . 得 1 1 0
|y x y 1|
2
2
f( y ,z ) 0 1
所以旋转曲面方程为
(0, 0, z ) M 0 d M ( 0 ,y ,z ) 1 1 ( x, y, z) M f(x ,z )0 f ( y ,z ) 0
y
f( x y, z ) 0 .
2 2
x
2 2
（即曲线方程 f ( y , z ) 0 中 z 不变， y 换为 x y ）
注： f ( x2 y2 , z) 0 也可视 xoz 为 面上的 面方程 .
曲线 f (x, z) 0绕 z轴 旋 转 一 周 所 得 曲 的旋
y
c 半 径 随一条平面曲线绕其平面上的一条直 线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条 定直线叫旋转曲面的轴．
例如 :
问题：求 yoz 面上的曲线 C ： f(y ,z ) 0 绕 z 轴旋 转一周所得的曲面的方 程 .
解： 在曲面上任取一点 M(x, y, z),
C
l
z
柱面举例
y 2x
2
z
平面
o
o
y
y
x
抛物柱面
x
y x
问题 xoy ： 面 以 上的 C : F ( 曲 x ,y ) 线 0 为准
z方 程 母线平 z 轴 行 的 于 柱面
F (x ,y )0 （ z 任意） .
( x, y, z)
( x, y,0)
y
xF (x ,y ) 0
M M M 0 1 M 0
z
它是 M ( 由 0 ,y , z ) 点 绕 M 点 ( 0 , 0 , z ) 旋转 . 得 1 1 0
|y x y 1|
2
2
f( y ,z ) 0 1
所以旋转曲面方程为
(0, 0, z ) M 0 d M ( 0 ,y ,z ) 1 1 ( x, y, z) M f(x ,z )0 f ( y ,z ) 0
高等数学 第三节 曲面及其方程
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c ) ，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
5
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放
31
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
结束
44
四、 二次曲面
x2 z2 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转生成旋 转椭球面： a c 2 2 2 x y z 2 1 2 a c 2
2 2 2 2
z c c2 2 2 x y a2
z c 2 x y2 2 c2 2 a b
圆
椭圆锥面 方程 :
z2 x2 a
2
y2 b2
椭圆
10
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 2 1 分别绕 x 轴和 z 轴； a c
y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 2 a c
x2
2
2
2
x y z 2 1 2 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2
旋 转 双 曲 面
11
y2 z2 2 2 1 （2）椭圆 a 绕 y 轴和 z 轴； c x 0 y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 旋 2 转 a c
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c ) ，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
5
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放
31
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
结束
44
四、 二次曲面
x2 z2 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转生成旋 转椭球面： a c 2 2 2 x y z 2 1 2 a c 2
2 2 2 2
z c c2 2 2 x y a2
z c 2 x y2 2 c2 2 a b
圆
椭圆锥面 方程 :
z2 x2 a
2
y2 b2
椭圆
10
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 2 1 分别绕 x 轴和 z 轴； a c
y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 2 a c
x2
2
2
2
x y z 2 1 2 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2
旋 转 双 曲 面
11
y2 z2 2 2 1 （2）椭圆 a 绕 y 轴和 z 轴； c x 0 y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 旋 2 转 a c
曲面及其方程
解 设 M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
3
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1/32
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结
1
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2/32
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
均可得双曲线.
21
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22/32
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
22
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23/32
（4）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
23
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24/32
（5）椭圆抛物面
(3) y1 b, 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
20
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21/32
x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
x a
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
3
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第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结
1
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一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
均可得双曲线.
21
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平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
22
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（4）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
23
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（5）椭圆抛物面
(3) y1 b, 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
20
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21/32
x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
x a
2019年7-3曲面及其方程.ppt
解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
播放
旋转过程中的特征：
z
如图
设 M ( x , y , z ),
o
(1) z z1
（2）点 M 到z 轴的距离
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
2 2 z z , y x y 将 代入 f ( y1 , z1 ) 0 0,
播放
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线C . （其他类推）
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x 2 pz
高等数学第八章第三节曲面及其方程课件.ppt
3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴）
z
x
y
z
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a, b, c 为正数)
平面 y y1 上的截痕为曲线 x 平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 2x 6 y 2z 7 0
《曲面及其方程》课件
02
常见曲面及其方程
平面
总结词：二维平面
详细描述：平面是一种常见的曲面，它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面，它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式，它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成，例如，平面上的圆心为 $(h, k)$，半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小，并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面，它可以由多种方式形成，如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同，曲面可以分为多种类型，如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示，其中 两个参数（u和v）用于描述曲面 上的点。通过参数方程，可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。
曲面及其方程
y
绕 y 轴一周
得 :旋转单叶双曲面
o
a
x
x2 + z2 y2 − 2 =1 2 a b
z
.
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
yoz 面上直线方程为 z = y cot α
x
α
圆锥面方程
o
y
z = ± x 2 + y 2 cot α
例5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x y （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 y 轴和 x轴； a b
绕 y 轴旋转,得
x2 + z2 a2 − y2 b2 = 1 旋转单叶双曲面
⎧ f ( y, z ) = 0 绕 z 轴 曲线 C : ⎨ ⎩x = 0
z
旋转一周得旋转曲面 S
P M
N ( 0, y 1 , z 1 )
.
∀ M(x,y,z) ∈ S
f (y1, z1)=0
z1 = z
.
S
z o
z1
C
| y1 |= MP =
x +y
2
2
y1
y
y1 = ± x 2 + y 2
∴ S： f ( ± x + y , z ) = 0
4⎞ 116 2⎞ ⎛ 2 ⎛ ⎜ x + ⎟ + ( y + 1) + ⎜ z + ⎟ = 3⎠ 9 3⎠ ⎝ ⎝
03曲面及其方程、二次曲面27851 35页PPT
cz22
1
双叶双曲面
z
o
y
x
oy x
30.08.2019
21
高等数学（下）主讲杨益民
习题8－3 4，5，7，8，9，10，11
30.08.2019
22
Thank you
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
30.08.2019
8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
30.08.2019
15
高等数学（下）主讲杨益民
椭球面的几种特殊情况：
(1)
ab,
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 z2
a2
c2
1
或
y2 b2
z2 c2
1
y 0
x 0
绕z轴旋转而成。
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
30.08.2019
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时，得
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
第三节曲面方程与曲线方程
若 1 (M 2 N 2 S 2 ) Q 0, 4
则所给方程无图形,可称其为虚球.
二、曲线方程
空间两曲面相交,可以得到一条曲线.设
F1(x,y,z)=0 和 F2(x,y,z)=0 为空间两曲面的方程,若它们相交得到一条曲线L,则L上
任一点的坐标必定满足这两个曲面方程.反过来,同时满
x
0.
将L绕z轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,称z轴为
旋转轴.
当曲线L绕z轴旋转时,点M0也绕z轴旋转到点M,这时 z=z0保持不变,且点M到z轴距离恒等于|y0|.于是点M的坐 标满足
z z0, x2 y2 | y0 | . 由于M0(0,y0,z0)在L上,因此
f ( y0, z0 ) 0. 可得点M的坐标应满足的方程为
第三节 曲面方程与曲线方程
一、曲面方程 二、曲线方程 三、母线平行于坐标轴的柱面方程 四、一坐标轴为旋转轴的旋转曲面
一 、曲面方程
定义7.3 若曲面上每一点的坐标都满足某方程，而不在 此曲面上的点都不满足这个方程，则称这个方程是所给 曲面的方程.
三元方程 F(x,y,z)=0 总表示一个空间曲面.
两端平方得 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 表示以点M0(x0,y0,z0)为中心,以R为半径的球面.
例2 研究方程 x2 y2 z2 Mx Ny Sz Q 0
所表示的曲面方程的几何特性.
解 原方程配方得
x2 Mx y2 Ny z2 Sz Q,
f ( x2 y2 , z) 0.
为曲线
f x
(y, z) 0.
0,绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
则所给方程无图形,可称其为虚球.
二、曲线方程
空间两曲面相交,可以得到一条曲线.设
F1(x,y,z)=0 和 F2(x,y,z)=0 为空间两曲面的方程,若它们相交得到一条曲线L,则L上
任一点的坐标必定满足这两个曲面方程.反过来,同时满
x
0.
将L绕z轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,称z轴为
旋转轴.
当曲线L绕z轴旋转时,点M0也绕z轴旋转到点M,这时 z=z0保持不变,且点M到z轴距离恒等于|y0|.于是点M的坐 标满足
z z0, x2 y2 | y0 | . 由于M0(0,y0,z0)在L上,因此
f ( y0, z0 ) 0. 可得点M的坐标应满足的方程为
第三节 曲面方程与曲线方程
一、曲面方程 二、曲线方程 三、母线平行于坐标轴的柱面方程 四、一坐标轴为旋转轴的旋转曲面
一 、曲面方程
定义7.3 若曲面上每一点的坐标都满足某方程，而不在 此曲面上的点都不满足这个方程，则称这个方程是所给 曲面的方程.
三元方程 F(x,y,z)=0 总表示一个空间曲面.
两端平方得 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 表示以点M0(x0,y0,z0)为中心,以R为半径的球面.
例2 研究方程 x2 y2 z2 Mx Ny Sz Q 0
所表示的曲面方程的几何特性.
解 原方程配方得
x2 Mx y2 Ny z2 Sz Q,
f ( x2 y2 , z) 0.
为曲线
f x
(y, z) 0.
0,绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
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25
现只研究几种常见的二次曲面的标准方程.
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 y2 z
2 p 2q
x2 y2 z 2 p 2q
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
称为二次曲面的标准方程.
26
2、二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截面法) 用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来 勾画曲面的大体形状。
球 面 方 程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点, | MM0 | R
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R 所求方程为 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 特殊 球心在原点的球面方程 x2 y2 z2 R2
O
y
x
M(x, y,z)
14
圆锥面方程 z x2 y2 cot 即 z2 a2 ( x2 y2 ) (a cot )
a 1时, cot 1
4
即 圆锥面方程 z2 x2 y2
(用得较多)
15
yOz面上直线方程为 y z cot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
z
y x2 z2 cot 即 y2 cot2 ( x2 z2 )
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2
圆锥面的半顶角.
z
z
O
y
x
O
y
x
13
例：试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. z
解 在yOz 面上,直线方程为
z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot
• • M1(0, y, z)
y2 b2
z2 c2
1
或
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x
O
y
亦表示 双叶双曲面.
以上两方程的图形是与此图形 一样吗
41
选择 方程 x2 y2 z2 1 表示( B ) 4
(A) 双曲柱面;
(B)旋转双曲面;
(C)双叶双曲面; (D) 锥面. 填空 设有曲面方程 x2 y2 2z,当pq 0时,
(1)已知曲面, 求方程; (讨论旋转曲面)
(2)已知方程, 研究图形. (讨论柱面, 二次曲面)
7
二、旋转曲面 (surface of revolution)
定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称母线.
为方便, 常把曲线所在平面取
5
例 求与原点O及M0(2,3,4)的距离之比为1：2的点
的全体所组成的曲面方程.
解
设M ( x, y, z)是曲面上任一点,
| MO | | MM0 |
1 2
x2 y2 z2
1
x 22 y 32 z 42 2
所求方程
x
2 3
2
y
12
z
42
3
116 9
6
研究空间曲面有两个基本问题
旋转一周的 旋转曲面方程为 f ( y, x2 z2 ) 0
11
总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 :
曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可.
12
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周
轴
作坐标面, 旋转轴取作坐标轴.
母线
8
2 旋转曲面方程的求法 ：
1）设在 yoz 坐标平面上有一已知曲线C，
方程f ( y, z) 0
把该曲线绕z 轴旋转一周，得一个以z轴为轴 的旋转曲面。
9
旋转过程中的特征： 如图 设 M ( x, y, z),
z
d
M1(0, y1, z1 )
M(x, y, z)
z2 c2
1
或
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面 (biparted hyperboloid)
z
特点是:平方项有一个取 正号,另两个取负号.
x
O y 注 它分成上、下两个曲面.
40
x2 a2
y2 b2
cz双22 叶 双1曲或面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
类似地,方程
x2 a2
x2
y2
2 pz1
z z1
36
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面 (马鞍面)
特点是: 有两个异号的平方项,另一变量
是一次项, 无常数项.
z
用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
图形如下：
O
y
x
37
(4) 双曲面 (hyperboloid)
x2 a2
y2 b2
z02 c2
z2 c2
1
绕y轴和z轴;
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
(3) yOz坐标面上的抛物线 y2 2 pz 绕z轴.
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
18
三、柱面 (cylindrical surface )
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L
1）对称性：关于坐标面，坐标轴 2）存在范围 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系 4）曲面弯曲状况。 以下用截面法讨论上面几种特殊的二次曲面.
27
(1)
椭球面(椭圆面) (ellipsoid)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a 0,b 0,c 0)
由方程可知 即
x2 a2
1,
y2 b2
1,
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
z
z
y
O
O
x
y
x
30
椭球面的几种特殊情况:
(1) a b
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1
绕z轴旋转而成.
方程可写为
x2 a2
y2
z2 c2
1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
31
(2) a b c
方程可写为
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面 spherical surface
z
x2 y2 z2 a2
O
y
x
32
(2) 抛物面 (paraboloid)
x2 y2 z（ p 与 q 同号）椭圆抛物面 2 p 2q
用截痕法讨论：设 p 0, q 0
(1) 用平面 xOy(z 0) 去截这曲面,截痕为原点. 用平面
所形成的曲面称为 柱面.
这条定曲线C 称为柱面的 准线,
母 线
动直线L称为柱面的 母线.
LC
准线
19
例 讨论方程 x2 y2 R2的图形.
z
解 在xOy面上, x2 y2 R2 表一个圆C.
M•
•
现在空间直角坐标系中讨论问题.
C
OM1
• •
y
设点 M1 ( x, y,0)在圆C上, 过点
x
p 0,q 0
35
特殊地 当p q时, 方程变为
x2 y2 z 2p 2p
( p 0)
旋转抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
(由 xOz面上的抛物线 x2 2 pz 绕z轴旋转而成的)
用平面 z z1 (z1 0)去截这曲面,
截痕为圆.
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
• •
•
L
M1( x, y,0) 作平行z轴的直线L, 对任意z,点
M ( x, y, z) 的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
20
此曲面称为圆柱面.
在空间, x2 y2 R2 就是圆柱面方程.
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x 母线平行于z轴的柱面.
M1(0, y1 , z1 ), f ( y1, z1 ) 0
(1) z1 z
(2) 点M到z轴的距离 d
O
x
x2 y2 | y1 |
C : f ( y,z) 0 y
将 z1 z, y1 x2 y2代入f ( y1, z1 ) 0
得方程 f ( x2 y2 , z) 0
10
f ( x2 y2, z) 0 即为 yOz坐标面上的已知曲线f ( y, z) 0 绕z轴 旋转一周的 旋转曲面方程. 同理, yOz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕y轴
23
四、二次曲面
1. 二次曲面的定义 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 如: 球面、某些柱面(圆柱面、抛物柱面、 双曲柱面等) 都是二次曲面. 相应地平面被称为 一次曲面.
24
实
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面
母线平行于x轴
例
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
母线平行于z轴
x2 2 pz
抛物柱面 母线平行于y轴