清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力学共37页
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线弹性断裂力学(第一章)
数值方法的精度和稳定性
在模拟断裂过程中，数值方法需要具 有高精度和稳定性，以准确预测断裂 行为。
未来发展方向
跨尺度建模
发展能够跨越不同尺度的建模方法，从微观到宏观，以更全面地理解 断裂行为。
人工智能和机器学习在断裂力学中的应用
利用人工智能和机器学习技术，对断裂行为进行预测和优化。
实验技术的创新
开发更先进的实验技术，以更准确地测量材料的断裂性能。
03
裂纹的分类和扩展模式
裂纹的分类
表面裂纹
裂纹仅在材料表面形成，不深 入内部。
疲劳裂纹
由于循环应力或交变载荷引起 的裂纹，通常起始于应力集中 区域。
穿透裂纹
裂纹贯穿整个材料，导致材料 完全断裂。
内部裂纹
裂纹起始于材料内部，可能向 表面扩展或深入更深层次。
环境裂纹
由于环境因素（如腐蚀、温度 等）引起的裂纹。
05
线弹性断裂力学的挑战和未来发展
当前面临的挑战
复杂材料和结构的断裂行为
随着新材料和复杂结构的广泛应用， 理解和预测其断裂行为变得越来越具 有挑战性。
多尺度断裂问题
由于材料和结构的尺度差异，如何在 不同尺度上模拟和预测断裂行为是一 个重要问题。
实验验证的困难
由于断裂的突发性和复杂性，建立有 效的实验验证方法是一项巨大的挑战。
弹性常数
总结词
弹性常数是描述材料弹性的重要参数，包括杨氏模量、泊松比等。
详细描述
弹性常数是衡量材料在受力作用下的弹性性能的参数，包括杨氏模量、泊松比等。杨氏模量是描述材料在拉伸或 压缩过程中抵抗变形的能力，而泊松比则表示材料在横向受力和纵向受力时变形程度的关系。这些弹性常数对于 材料的选择和设计具有重要的意义。
断裂力学导论讲诉课件
THANKS
感谢观看
对未来学习和研究者的建议和展望
总结：随着科学技术的发展，断裂力学仍然是一个充 满挑战和机遇的领域。对于未来的学习和研究者来说 ，深入理解断裂力学的原理和方法，结合实际工程问 题，开展创新性的研究是至关重要的。
首先，建议学习和研究者具备扎实的力学基础和一定 的工程背景知识。其次，通过参加学术会议、研讨会 等活动，与同行交流，了解最新的研究动态和趋势。 此外，积极拓展相关领域的知识和技术，例如数值模 拟和实验研究等。最后，结合实际工程问题开展研究 ，不仅可以提高研究的意义和实用性，还可以促进学 科之间的交叉和融合。
03
包括应力、应变、弹性模量、泊松比等，是理解弹性
力学的基础。
塑性力学基础知识
01
塑性力学简介
塑性力学是研究物体在塑性范围 内的应力、应变和位移关系的学 科。
02
塑性力学的基本方 程
包括屈服条件、流动法则、强化 准则等，用于描述塑性物体的力 学行为。
03
塑性力学的基本概 念
包括塑性应变、塑性应力、加工 硬化等，是理解塑性力学的基础 。
研究材料在高温高压条件下的相变过程与断裂行为之间的关联，探索相变对材料从微观结构角度出发，研究高温高压条件下材料的晶体结构、化学键合、缺陷等与断裂行为之间的关系 。
多场耦合作用下断裂力学的研究
01
多物理场耦合模型
建立多物理场（如温度场、应力场、 电场、磁场等）耦合作用的数学模型 ，研究多场耦合对材料断裂行为的影 响机制。
金属材料抗疲劳性能评估
运用断裂力学的理论和方法，评估金属材料的抗疲劳性能，为提高 工程结构的安全性和可靠性提供依据。
断裂力学在复合材料中的应用
复合材料的层间断裂
断裂力学-线弹性理论(共53张PPT)
断裂动力学
● 1948年N．F．Mott(莫特), 进行了裂纹快速扩展速度的定量计算并将动能引入Griffith能量准 那么;
● 1951年，E．H．Yoffe(约飞) ,提出了恒长度裂纹的匀速扩展模型，计及惯性力，对 裂纹分叉作定量分析;
1960年，J．W．Craggs(克拉格斯) ,提出了裂纹面受载而加载点随裂纹前进的匀速扩展半 无限长裂纹模型；
K反映了裂尖应力场的强弱；足标1表示是1型。
sij越大，K越大；裂纹尺寸a越大，K越大。 K的量纲为[应力][长度]1/2，常用MPa m。
(5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。 断裂力学研究表明，K1可以更一般地写为：
K1 s a f (a,W,...)
f(a,W,...)为几何修正函数，可查手册。 特别地，当a<<w或a/w0时，即
这种连续介质模型仍是一种理想的模型，在远离 裂纹尖端的区域是适宜的，而在裂纹尖端附近的 小区域(原子或晶体结构的尺度范围)是否适宜， 还需深入到微观领域，弄清微观的断裂机理，才 能更好地了解力学因素在裂纹尖端的断裂过程中 是如何发挥作用的，才能深入了解宏观断裂的现
二、断裂力学中的几个根本概念
● Griffth(格里菲斯)裂纹
●1960年，D．S.Dugdale (达格代尔) 研究裂纹尖端的塑性区。
●1961年，A．A．Wells(威尔斯)提出的裂纹张开位移(COD)准那么。
●1968年,J.R．Rice(赖斯)提出用围绕裂纹尖端的与路径无关的线积分来研究裂纹尖 端的变形及J积分准那么。
●1968年，J．W．Hutchinson(哈钦森)及J．R．Rice与G．R．Rosengren
● 1977 Comninou(康尼诺)，和1988Delale(迪拉尔)和Erdogan，1989 Hutchinson ,和 Sun(锁志刚)提出的能量释放率扩展准那么；
线弹性断裂力学PPT教案
取单位厚度的无限大平板，中央有长 为2a的 穿透裂 纹，承 受与裂 纹垂直 的均匀 拉伸应 力，如 图所示 。
对于薄板，为平面应力状态
三个应力分量为：
x
a 2r
cos 2
(1 sin
2
sin
3 2
)
y
a 2r
cos 2
(1 sin 2
sin
3 2
)
xy
a 2r
sin
2
cos 2
co s 3 2
G G (或 )
C
GC
脆性断裂准则
K KC
K C (或 )
平面应变断裂韧性
平面应力断裂韧性。
通常把K准则作为断裂准则的常用形 式，为 什么？
应用K准则，应力强度因子的数值一般由计算得出，断裂韧性 的数值由试验测定。
第25页/共65页
2.3.4 K断裂准则
2. K准则与G准则的关系
对于Ⅱ型裂纹 ，按照与Ⅰ型裂纹问题同样的思路， 有
第1页/共65页
2.3.1 裂纹体的三种断裂类型
裂纹体中的裂纹，由于外加作用力的 不同， 可以分 为三种 不同的 类型， 如图所 示，相 应地称 为Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ 型断裂 问题
由于Ⅰ型裂纹是最常见和最危险的，容 易引起 超低应 力脆断 ；近年 来对I型 裂纹的 研究也 最多， 实际裂 纹即使 是复合 型裂纹 ，也往 往把它 作为Ⅰ 型裂纹 来处理 ，这样 更安全 。
G GC
K KC
G
1 E
K
2
(平面应力)
GC
1 2 E
K2 C
(平面应变)
对于Ⅲ型裂纹，有
G GC
K KC
G
1 E
对于薄板，为平面应力状态
三个应力分量为：
x
a 2r
cos 2
(1 sin
2
sin
3 2
)
y
a 2r
cos 2
(1 sin 2
sin
3 2
)
xy
a 2r
sin
2
cos 2
co s 3 2
G G (或 )
C
GC
脆性断裂准则
K KC
K C (或 )
平面应变断裂韧性
平面应力断裂韧性。
通常把K准则作为断裂准则的常用形 式，为 什么？
应用K准则，应力强度因子的数值一般由计算得出，断裂韧性 的数值由试验测定。
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2.3.4 K断裂准则
2. K准则与G准则的关系
对于Ⅱ型裂纹 ，按照与Ⅰ型裂纹问题同样的思路， 有
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2.3.1 裂纹体的三种断裂类型
裂纹体中的裂纹，由于外加作用力的 不同， 可以分 为三种 不同的 类型， 如图所 示，相 应地称 为Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ 型断裂 问题
由于Ⅰ型裂纹是最常见和最危险的，容 易引起 超低应 力脆断 ；近年 来对I型 裂纹的 研究也 最多， 实际裂 纹即使 是复合 型裂纹 ，也往 往把它 作为Ⅰ 型裂纹 来处理 ，这样 更安全 。
G GC
K KC
G
1 E
K
2
(平面应力)
GC
1 2 E
K2 C
(平面应变)
对于Ⅲ型裂纹，有
G GC
K KC
G
1 E
《线弹性断裂力学》课件
02
它涉及到材料或结构的强度、韧 性和耐久性等方面的评估，对于 工程结构的安全性和可靠性至关 重要。
断裂力学的重要性
在工程领域中，许多结构如桥梁、高 层建筑、压力容器等都需要承受较大 的外力，因此断裂力学对于这些结构 的可靠性评估具有重要意义。
通过断裂力学的应用，可以预测结构 在各种载荷下的行为，从而采取相应 的措施来提高结构的强度、韧性和耐 久性。
意义。
裂纹扩展的驱动力
总结词
裂纹扩展的驱动力是指促使裂纹扩展的力或能量来源，是线弹性断裂力学中的重要研究内容。
详细描述
裂纹扩展的驱动力可以来自外部载荷、温度梯度、化学腐蚀等多种因素。这些驱动力会导致裂纹面上 的应力分布发生变化，从而促使裂纹扩展。研究裂纹扩展的驱动力有助于深入了解材料的断裂机制和 行为，为结构的安全性和可靠性设计提供理论支持。
总结词
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的物理量，是线弹性断裂力学中的重要参数。
详细描述
弹性模量是指材料在弹性范围内，抵抗变形的能力。它是衡量材料刚度的指标，表示材料在单位应变下所需的应 力。弹性模量越大，材料抵抗变形的能力越强。在工程应用中，了解材料的弹性模量对于预测结构的强度和稳定 性至关重要。
未来研究展望
发展更为精确的数值模拟方法
利用高性能计算机和先进的数值方法，模拟更为复杂的断裂行为，提 高预测精度。
深入研究复杂环境和服役条件下的断裂问题
针对高温、高压、腐蚀等复杂环境和服役条件下的材料和结构，深入 研究其断裂行为和失效机理。
跨学科合作与交流
加强与其他学科领域的合作与交流，如物理学、化学、生物学等，以 促进对材料断裂行为的深入理解。
有限元分析方法可以处理复杂 的几何形状、材料非均匀性和 多种物理场耦合等问题，具有 广泛的应用前景。
它涉及到材料或结构的强度、韧 性和耐久性等方面的评估，对于 工程结构的安全性和可靠性至关 重要。
断裂力学的重要性
在工程领域中，许多结构如桥梁、高 层建筑、压力容器等都需要承受较大 的外力，因此断裂力学对于这些结构 的可靠性评估具有重要意义。
通过断裂力学的应用，可以预测结构 在各种载荷下的行为，从而采取相应 的措施来提高结构的强度、韧性和耐 久性。
意义。
裂纹扩展的驱动力
总结词
裂纹扩展的驱动力是指促使裂纹扩展的力或能量来源，是线弹性断裂力学中的重要研究内容。
详细描述
裂纹扩展的驱动力可以来自外部载荷、温度梯度、化学腐蚀等多种因素。这些驱动力会导致裂纹面上 的应力分布发生变化，从而促使裂纹扩展。研究裂纹扩展的驱动力有助于深入了解材料的断裂机制和 行为，为结构的安全性和可靠性设计提供理论支持。
总结词
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的物理量，是线弹性断裂力学中的重要参数。
详细描述
弹性模量是指材料在弹性范围内，抵抗变形的能力。它是衡量材料刚度的指标，表示材料在单位应变下所需的应 力。弹性模量越大，材料抵抗变形的能力越强。在工程应用中，了解材料的弹性模量对于预测结构的强度和稳定 性至关重要。
未来研究展望
发展更为精确的数值模拟方法
利用高性能计算机和先进的数值方法，模拟更为复杂的断裂行为，提 高预测精度。
深入研究复杂环境和服役条件下的断裂问题
针对高温、高压、腐蚀等复杂环境和服役条件下的材料和结构，深入 研究其断裂行为和失效机理。
跨学科合作与交流
加强与其他学科领域的合作与交流，如物理学、化学、生物学等，以 促进对材料断裂行为的深入理解。
有限元分析方法可以处理复杂 的几何形状、材料非均匀性和 多种物理场耦合等问题，具有 广泛的应用前景。
断裂力学讲义
目录第一章绪论§断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。
在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。
但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。
例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。
1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。
五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。
这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。
特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。
于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。
人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。
传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。
因此实际材料的强度大大低于理论模型的强度。
断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。
因此，给断裂力学下的定义就是断裂力学是研究有裂纹（缺陷）构件断裂强度的一门学科。
或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证构件安全工作的一门科学。
断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景。
它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的热处理制度和加工工艺、预测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以及防止断裂事故等多方面的问题，因此是一门具有高度实用价值的学科。
断裂力学总ppt
因此裂纹扩展时金属材料释放的应变能不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能也称为塑性金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为p剩余强度和临界裂纹长度抵抗裂纹扩展能力表面能塑性变形能对金属p比大几个数量级可以忽略不计相应的剩余强度和临界裂纹长度分别为对于含中心裂纹的无限大金属板的临界条件为能量释放率与g准则前面仅是以固定边情况为例
变化到f，其斜率为− λ
14
2 G1的柔度公式
系统推动裂纹扩展的有效能量为外力功与应变能增加（或减少）之差（或和）
G1
= lim Δoab dA→0 dA
= lim Δoad dA→0 dA
=
Δoaf lim dA→0 dA
对前两种情况， Δoad＝ P dΔ 2
则由 dΔ = Pdλ
G1
=
P2 2
)
=
∂ ∂y
(−
Im
Z1 )
=
−
Re
Z1
( ) ∂2
∂y 2
y Im Z1
=
∂ ∂y
(Im Z1
+
y
Re
Z1 )
=
2 Re
Z1
−
y
Im
Z1'
将上面两式代入应力表达式 ( ) σ
＝
x
∂ 2ϕ ∂y 2
＝ ∂2 ∂y 2
Re Z1
+
∂2 ∂y 2
y Im Z1
σ x＝Re Z1 − y Im Z1'
同理(自行推导)可得：
[ ] v＝ 1 E
2 Im Z1 − (1 +ν ) y Re Z1
平面应力
对平面应变：
变化到f，其斜率为− λ
14
2 G1的柔度公式
系统推动裂纹扩展的有效能量为外力功与应变能增加（或减少）之差（或和）
G1
= lim Δoab dA→0 dA
= lim Δoad dA→0 dA
=
Δoaf lim dA→0 dA
对前两种情况， Δoad＝ P dΔ 2
则由 dΔ = Pdλ
G1
=
P2 2
)
=
∂ ∂y
(−
Im
Z1 )
=
−
Re
Z1
( ) ∂2
∂y 2
y Im Z1
=
∂ ∂y
(Im Z1
+
y
Re
Z1 )
=
2 Re
Z1
−
y
Im
Z1'
将上面两式代入应力表达式 ( ) σ
＝
x
∂ 2ϕ ∂y 2
＝ ∂2 ∂y 2
Re Z1
+
∂2 ∂y 2
y Im Z1
σ x＝Re Z1 − y Im Z1'
同理(自行推导)可得：
[ ] v＝ 1 E
2 Im Z1 − (1 +ν ) y Re Z1
平面应力
对平面应变：
断裂力学总ppt
2
§1.1 能量平衡理论
1913年，Inglis,无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题，利用Inglis解得 到Griffith裂纹。
1. 能量释放率与G准则
取一厚度为B的无限大玻璃板，将板拉
长后固定两端。板受均匀拉伸应力 σ 作
用，则板内储存的应变能为
)
=
lim
z →∞
σz = σ
z2 − a2
( ) lim
z →∞
Z
' 1
(
z
)
=
lim
z →∞
− σa 2
z2 − a2 3/2
=0
在裂纹表面 y=0 x < a 处
Z1(z) =
σz =
z2 − a2
σx
x2 − a2
⎧σ
⎪
x
=
σ
⎨σ y = σ
⎪⎩τ xy = 0
虚数！
y=0
Re Z1(z) = 0
)
=
∂ ∂y
(−
Im
Z1 )
=
−
Re
Z1
( ) ∂2
∂y 2
y Im Z1
=
∂ ∂y
(Im Z1
+
y
Re
Z1 )
=
2 Re
Z1
−
y
Im
Z1'
将上面两式代入应力表达式 ( ) σ
＝
x
∂ 2ϕ ∂y 2
＝ ∂2 ∂y 2
Re Z1
+
∂2 ∂y 2
y Im Z1
σ x＝Re Z1 − y Im Z1'
§1.1 能量平衡理论
1913年，Inglis,无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题，利用Inglis解得 到Griffith裂纹。
1. 能量释放率与G准则
取一厚度为B的无限大玻璃板，将板拉
长后固定两端。板受均匀拉伸应力 σ 作
用，则板内储存的应变能为
)
=
lim
z →∞
σz = σ
z2 − a2
( ) lim
z →∞
Z
' 1
(
z
)
=
lim
z →∞
− σa 2
z2 − a2 3/2
=0
在裂纹表面 y=0 x < a 处
Z1(z) =
σz =
z2 − a2
σx
x2 − a2
⎧σ
⎪
x
=
σ
⎨σ y = σ
⎪⎩τ xy = 0
虚数！
y=0
Re Z1(z) = 0
)
=
∂ ∂y
(−
Im
Z1 )
=
−
Re
Z1
( ) ∂2
∂y 2
y Im Z1
=
∂ ∂y
(Im Z1
+
y
Re
Z1 )
=
2 Re
Z1
−
y
Im
Z1'
将上面两式代入应力表达式 ( ) σ
＝
x
∂ 2ϕ ∂y 2
＝ ∂2 ∂y 2
Re Z1
+
∂2 ∂y 2
y Im Z1
σ x＝Re Z1 − y Im Z1'
清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学PPT课件
III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切
lim
r0
2
r
22 12
r,0
r,
0
32
r
,
0
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal3of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
a
0 i2
x1,
0
ui
a
x1,
dx1
wtip a
5
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtip da dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
σ
x1
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
KIII
lim
x1 0
2 x1 32 x1, 0
32 x1, 0
KIII
2 x1
u3 u3+ a x1, u3- a x1, =2u3+ a x1, =
清华大学断裂力学讲义ch8-界面断裂力学
第八章 界面线弹性断裂力学（请参照 BrownNotes） ※界面断裂的重要性 界面到处存在。 宏观：坝体与地基，焊缝等 细观：复合材料（沿晶，多相材料） 界面是发生断裂的源泉（变形不协调） 界面往往与裂纹遭遇（均为性质突变 处） 人为地利用界面对断裂行为的影响 复合材料的设计（贝壳） ； 界面工程（功能梯出了小范围接触理论 (small scale contact), 基 于 以 下 的 估 算 ， 复 应 力 强 度 因 子 i K Y L Li ei ， L 为裂纹特征长度， arg[ KL ]
L 1 cos tan 2 ln 裂纹张开位移 2 r 裂纹面第一次接触的尺度 r接 可
一种唯象的观察，界面断裂韧性 Gi ，随相角增加而迅速 增加，即越接近 II 型裂纹，断裂阻力越大（例如胶带） 。 实验中发现下述唯象公式与试验点吻合较好。
G0 Gi cos 合理吗？ 当 接近 90 度时，界面断裂韧性 Gi 趋向于无穷大。
问题二：裂纹路径的选择，沿还是不沿界面扩展？ 断裂的能量驱动力及界面断裂韧性和两种材料断裂韧性竞争选择 的结果
2 K K III 1 但能量释放率 G cosh 2 E * 2 * ，适定 2
1 2
1 i 2
各向同性弹性双材料界面断裂力学应力在裂尖处振荡，裂尖处张开 位移振荡并相互贯穿，病态解！如何解决？ 负的裂纹面张开位移是不可能的，其实裂纹上下表面会接触。 ※Comninou 于 1977 年提出接触区模型， 认为界面裂纹顶端存在一个无 摩擦的接触区，如何提接触区条件？ 优点：结果显示可以消除应力振荡和裂纹 面位移的相互贯穿，而且裂尖应力呈现平 方根奇异性，消除了病态。 缺陷：1 裂尖场恒为 II 型，与实验不符， 不能反映混合度的影响 ;2 在远场受拉应 力的实验中未观测到裂尖处有接触 ;3 正 应力不连续(可以理解)
L 1 cos tan 2 ln 裂纹张开位移 2 r 裂纹面第一次接触的尺度 r接 可
一种唯象的观察，界面断裂韧性 Gi ，随相角增加而迅速 增加，即越接近 II 型裂纹，断裂阻力越大（例如胶带） 。 实验中发现下述唯象公式与试验点吻合较好。
G0 Gi cos 合理吗？ 当 接近 90 度时，界面断裂韧性 Gi 趋向于无穷大。
问题二：裂纹路径的选择，沿还是不沿界面扩展？ 断裂的能量驱动力及界面断裂韧性和两种材料断裂韧性竞争选择 的结果
2 K K III 1 但能量释放率 G cosh 2 E * 2 * ，适定 2
1 2
1 i 2
各向同性弹性双材料界面断裂力学应力在裂尖处振荡，裂尖处张开 位移振荡并相互贯穿，病态解！如何解决？ 负的裂纹面张开位移是不可能的，其实裂纹上下表面会接触。 ※Comninou 于 1977 年提出接触区模型， 认为界面裂纹顶端存在一个无 摩擦的接触区，如何提接触区条件？ 优点：结果显示可以消除应力振荡和裂纹 面位移的相互贯穿，而且裂尖应力呈现平 方根奇异性，消除了病态。 缺陷：1 裂尖场恒为 II 型，与实验不符， 不能反映混合度的影响 ;2 在远场受拉应 力的实验中未观测到裂尖处有接触 ;3 正 应力不连续(可以理解)
断裂力学讲义第五章 线弹性断裂力学
第五章 线弹性断裂力学§5.1 引 言断裂力学是从材料强度问题提出的。
随着固体物理、物理力学等学科的发展，人们已能够大致从理论上计算出某些固体材料（特别是单晶体）的理论强度t σ。
例如，Orowan(1949)得到πσ2/E t ≈, Zhurkov （1957）得到E t ≈σ。
其中E 为杨氏模量。
但试验中测得的实际材料强度远远低于计算所得的理论强度, 两者往往相差几个数量级。
这一情况吸引着不少科学家去研究现有材料的强度比理论强度低的原因。
人们很早就认识到这是由于实际固体中存在着大量缺陷所致。
但这种认识在很长一段时期里只停留在定性说明阶段。
而对于缺陷如何定量地影响材料的强度，直到断裂力学的产生，才得到较明显的进展。
§4.2介绍了含椭圆孔平板受拉伸时的弹性解。
当拉伸应力σ垂直于椭圆长轴时，长轴端点处的环向应力最大。
由§4.2可得()σσb a /21max += (5.1)又椭圆长轴端点处的曲率半径为a b /2=ρ, 因此(5.1)又可以改写成()σρσ/21max a += (5.2)因而应力集中系数α为ρα/21a += (5.3)当ρ很小时，α很大。
当0→b 时，椭圆孔就退化为长为a 2的直线裂纹。
更一般的提法是0→ρ。
按上述计算公式得到∞→α。
这样的结果不能用传统的连续介质力学的观点来解释。
Griffith 没有直接考虑裂纹尖端的应力，绕过这一矛盾，而计算由于裂纹的存在，整个弹性板所释放的弹性势能为(参看§5.4)'/22E a W c πσ= (5.4)为简便起见，设板的厚度为1. 其中E 为杨氏弹性模量。
由于裂纹的出现，增加的表面能为：Γa S 4= (5.5) 其中Γ为单位面积的表面能。
Griffith 认为当裂纹端部扩展一小段长度da （裂纹长度从2a →2a+2da ）时，弹性势能的释放率dW c /da ，如果大于或等于表面能的增加率dS/da ，则裂纹处于不稳定状态，势必进一步扩展，因此而得到裂纹扩展的条件为dadSda dW c =(5.6) 将(5.4)，(5.6)代入上式，得临界应力σg 为：⎪⎭⎪⎬⎫-==)( )1(/2)( /22平面应变平面应力νπΓσπΓσa E a E g g (5.7)其中E 、Γ是材料常数。
清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
GBda W dU e d
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统
和外界功的交换，即 W 0
一个典型例子：Griffith脆断理论
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d
表面能 4aBg
g 单位面积表面能
Legendre变换
f x
g p
p df dx
200 year portrait debacle
Adrien-Marie Legendre Louis Legendre
L f x g p
max x
px
f
x
px* f x*
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
作业题
2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为
E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判
断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的 能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑 成梁，计算其弯曲能即可）
能量最小原理：
对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小， 当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
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清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力 学
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来