测试精度分析.

i 1
x
n
当n 时，x x0
第三节 标准偏差及其估计
一、标准偏差与测量数据的关系
等精度测量中：

(x x )
i 1 i 0
n
2
n


i 1
n
2 i
n
n
实际不可得：
无穷次测量
真值未知ห้องสมุดไป่ตู้
二、标准偏差（）的特征
越小，概率密度曲线越陡，随机误差分
布越集中
三、标准偏差的意义
① σ的平方恰好是随机变量的数字特征之一（方差）， σ本身又是f(δ) 的一个参数，故采用σ正好符合概率论原 理，又与最小二乘法最切合； ② σ对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列 的精度； ③ 极限误差与标准偏差的关系简单 ④ 公式推导和计算比较简单。
四、单次测量的标准偏差估计
概念：残余误差（残差）
Peters
极差
最大误差 计算简单快速，n可为1
最大残差 计算简单
第三节 算术平均值的标准偏差与合理 的测量次数
一、算术平均值的标准偏差 x
方差定义
D( x) E ( x E ( x)) 2
i
n 1
2 i

ˆ 当n 时， i 1 i 1
n n
估计较准确，常用；n大时计算复杂
Bessel公式推导


i 1
n
2 i
i xi x0
xi x x x0 vi x
求和
n
ˆ
2 v i i 1
n
n 1
记 x x0 x 算术平均值的误差
定义：P9/P14 发现条件： 等精度测量 多次重复测量 仪表有一定的分辨力和精度
二、正态分布
( x x0 ) 2 2 2
1 f ( ) e 2
1 e 2
2 2 2
x x0
三、随机误差的特性
1.对称性
2.单值性 3.有界性 4.抵偿性
第二节 算术平均值与真值
P13 1-6
把以下实验数据修约至千分位：
2，， 6.378501， 5.6235， 4.51050
第二章 随机误差
主要内容 随机误差的发现、特性 随机误差的估计（正确度、精密度） 标准偏差 算术平均值的标准偏差 极限误差 合理的测量次数
重点：标准偏差、极限误差
第一节 随机误差与正态分布
一、随机误差的发现条件
vi xi x
残差代数和为0 方法：
1. 贝塞尔（Bessel）法 2. 佩特斯（Peters）法 3. 极差法 4. 最大误差法 5. 最大残差法
贝塞尔（Bessel）法
估计式： ˆ
(x x)
i 1 i
n
2
n 1
2 ( x x ) i 0 n

v
i 1
n
n
2
复习
测量的分类：直接(…)；等精度测量
误差表示方法：绝对/相对误差；
示值/引用误差（仪表）
按测量结果准确度要求选择合适等级的仪表
系统误差与随机误差的判别
P12 1-4 用一辅助信号源同时送入被检仪表 和标准仪表，得到示值分别为f0=100和 fa=99.8，问被检仪表的示值误差？若用 该被检仪表的示值f0=100去检验某器件 的信号输出fx=99.7，问该器件的示值误 差？
v
i 1 i i 1 n i i 1
n
n
n
x
x
v
i 1 i
n
n
n

i 1
i
n
vi n x
i 1
残差代 数和为0
x

i 1
n
i
n
i vi x

i 1 n 2 i
x
2 n i 1

i 1
n
i
vi x 2 x vi

5 i 1 2 n(n 1) 4 n(n 1)
i 1
v
n
i
v
n
i
不需计算残差平方根，运算简单，在 n大时适用
极差法
极差
w xmax xmin 估计式： ˆ dn dn
d n可查表
不需计算算术平均值，运算更简单， 在n<10时可使用
最大误差法
估计式：
1 ˆ max kn
max 为绝对误差，kn可查表
简单，n可以为1
代价高、有破坏性的试验中可用
最大残差法
估计式：
ˆ kn vmax
kn可查表，不要与最大误差表混
计算简单
四、单次测量的标准偏差估计
概念：残余误差（残差）
方法：
vi xi x
各种方法 均假设随 机误差呈 正态分布 Bessel法 估计最准 确
以算术平均值作为测量结果的估计
（假设测量数据中只含有随机误差）
i 原因： i 1 lim 0，其中 i xi x0 由抵偿性，有 n
n
i
n
lim
(x x )
i 1 i 0
n
n
n
nx0 lim ( ) lim ( x x0 ) 0 n n n n
n
2
n
x
2

i 1
n
2 i
n2

i 1
n
2 i
vi
2 i 1
n
i
i 1
n
2
n


i 1
n
2 i
n
n vi 2
2 2 i 1
n

2
v
i 1
n
2 i
n 1
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
佩特斯（Peters）法
估计式：
ˆ
2 i 1 i 1
n
n
n
vi n x
2 i 1
n
x2
2
n 1 n 2 2 ( i 2 i j ) n i 1 1i j
n
n很大， i j 0 近似
i 1
i vi
2 2 i 1 i 1
n
n
i
i 1
1. 贝塞尔（Bessel）法 2. 佩特斯（Peters）法 3. 极差法 4. 最大误差法 5. 最大残差法
方法
Bessel
特点 计算精度较高，计算复杂；速度有时 难满足快速自动化测量的需要
最早用于天文，计算较Bessle法简单， 速度较快，但计算精度较低，计算误 差为Bessel法的1.07倍，n大时适用 计算简单快速，n<10时可用

2 ( x x ) i 0 i 1
n
n

2 i i 1
n
n
σ反映等精度测量得到的一组数据相对于 真值的分散程度（精密度） 说明：
不是具体一个测量值的误差大小
但可认为同一等精度测量的值都属于同 样标准偏差的概率分布（称为“单次测 量的标准偏差”）
目前世界各国大多趋于采用作为评定随机误 差的尺度。这是因为：