高一数学必修4课件：1-3-2诱导公式五、六
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2013年高一数学新课标人教A版必修四《1.3-2三角函数的诱导公式》课件2
【变式 3】 已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，
求sin
α＋32πsin
32π－α·tan22π－αtan
π－α÷
cos
π2－α·cos
π2＋α的值．
解 由 5x2－7x－6＝0 得，x1＝－35，x2＝2，
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题型一 利用诱导公式求值 【例 1】(1)已知 cos (π＋α)＝－12，α 为第一象限角，求 cos2π＋α 的值． (2)已知 cos π6－α＝13，求 cos 56π＋α·sin 23π－α的值． [思路探索] 利用互余、互补的角的诱导公式解题．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
【变式 1】 已知 sin π6＋α＝ 33，求 cos π3－α的值．
解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴3π－α＝2π－π6＋α.
∴cos 3π－α＝cos 2π－π6＋α
＝sin
π6＋α＝
3 3.
题型二 利用诱导公式证明恒等式
第2课时 诱导公式五、六
【课标要求】 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式五、六． 2．掌握五组诱导公式并灵活运用． 【核心扫描】 1．诱导公式五、六的推导．(重点) 2．灵活运用诱导公式进行化简、求值与证明．(难点) 3．公式记忆．(易混点)
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式课件
( D)
互动探究学案
命题方向1 ⇨利用诱导公式进行化简、求值
典例 1 已知 α 是第三象限角， f(α)＝sinπ－αcocoss2－π－αα－tπan－α＋32π． (1)若 cosα－32π＝15，求 f(α)的值； (2)若 α＝－1920°，求 f(α)的值．
[思路分析] 若f(α)的表达式很繁琐，可先化简再代入求值．
[解析]
f(α)＝sinα·cosco－sαα＋·csoiπns3322ππ－－αα＝sinα·c－oscαo·s－－α csoinsαα＝－cosα．
(1)∵cos(α－32π)＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，
∵α 为第三象限角，∴cosα＝－256，
∴f(α)＝－cosα＝2 5 6．
『规律总结』 1.本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了 运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归 思想和整体思想．
2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．
〔跟踪练习 3〕已知 A＝scionskπ2π－＋αα＋csoisnkπ2π＋－αα(k∈Z)，则 A 的值构成的集合
π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成__锐__角____时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
[知识点拨]1.对诱导公式五、六的两点说明 (1)诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关系．可借用口 诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． (2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是是一个单角，也可以是一 个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通． 2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间 的关系． (2)公式一～六的记忆口决和说明 ①口诀：奇变偶不变，符号看象限． ②说明：
新课标高中数学人教A版必修四全册课件1.3.2三角函数的诱导公式
讲授新课 小结
②三角函数的简化过程口诀：
负化正，正化小，化到锐角就行了.
第三十四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
练习3. 教材P.28练习第7题.
化简:
cos (1) 2 sin( 2 ) cos(2 );
sin 5
2
(2) cos2( ) tan(360o ) . sin( )
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
第八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
思考下列问题一： (1) 与(－)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
角的三 或三
角函数
角的三 二或四
角函数
角的三角 函数
0o~90o间 角的三角 函数
第三十二页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负
角的三 角函数
公式一 或三
任意正 公式一或
角的三 二或四
角函数
0o~360o间 角的三角
函数
0o~90o间
角的三角 函数
查表
求值
第三十三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
角函数
角函数
第三十页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三
角函数
公式一 或三
任意正 公式一或 角的三 二或四 角函数
0o~360o间 角的三角 函数
高中数学 第1章 第6课时 诱导公式一、二、三、四课件
∴α－75°是第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－ 1－－132＝－2 3 2 ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝2 3
2 .
(2)tan56π＋α＝tanπ－6π－α
利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行．
【思考】三角函数的诱导公式中，α 可以是任意角吗？ 【提示】正弦、余弦函数的诱导公式中，α 为任意角，但是正 切函数的诱导公式中，α 的取值必须使公式中角的正切值有意义．
【练习 2】 (2015·浙江杭州市高一期末)cos(－2 040°)＝( )
＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－
2 2.
(3)tan476π＝tan6π＋116π＝tan116π＝tanπ＋56πFra bibliotek＝tan56π
＝tanπ－π6＝－tan6π
＝－
3 3.
考点二 给值求值问题 例 2 (1)已知 cos(α－75°)＝－13，且 α 为第四象限角，求 sin(105°
＝－tanπ6－α＝－
3 3.
点评：解决条件求值问题策略： 解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数 名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式 转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知 式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
终边与角 α 的终边关于 原点 对称的角可以表示为 π＋α. sin(π＋α)＝ －sinα ， cos(π＋α)＝－cosα， tan(π＋α)＝ tanα.
3．公式三
终边与角 α 的终边关于 x 轴对称的角可以表示为－α.
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－ 1－－132＝－2 3 2 ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝2 3
2 .
(2)tan56π＋α＝tanπ－6π－α
利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行．
【思考】三角函数的诱导公式中，α 可以是任意角吗？ 【提示】正弦、余弦函数的诱导公式中，α 为任意角，但是正 切函数的诱导公式中，α 的取值必须使公式中角的正切值有意义．
【练习 2】 (2015·浙江杭州市高一期末)cos(－2 040°)＝( )
＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－
2 2.
(3)tan476π＝tan6π＋116π＝tan116π＝tanπ＋56πFra bibliotek＝tan56π
＝tanπ－π6＝－tan6π
＝－
3 3.
考点二 给值求值问题 例 2 (1)已知 cos(α－75°)＝－13，且 α 为第四象限角，求 sin(105°
＝－tanπ6－α＝－
3 3.
点评：解决条件求值问题策略： 解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数 名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式 转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知 式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
终边与角 α 的终边关于 原点 对称的角可以表示为 π＋α. sin(π＋α)＝ －sinα ， cos(π＋α)＝－cosα， tan(π＋α)＝ tanα.
3．公式三
终边与角 α 的终边关于 x 轴对称的角可以表示为－α.
2018-2019学年高一数学人教A版必修4课件：1.3 三角函数的诱导公式第2课时
探究一
探究二
探究三
思想方法
利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
探究一
探究二
探究三cos22°+cos23°+…+cos289°= ( ) A.90 B.45 C.44.5 D.44 解析cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289° =cos21°+cos22°+cos23°+…+cos245°+…+sin23°+sin22°+sin21° =(cos21°+sin21°)+(cos22°+sin22°)+(cos23°+sin23°)+…+(cos244°+ sin244°)+cos245° =44×1+ √2 =44.5. 2 答案C
2
探究一
探究二
探究三
思想方法
利用诱导公式证明三角恒等式 【例2】 求证:
2sin ������-2π cos ������+2 -1 1-2cos2 ������+ 2
问题思考 1.观察单位圆,回答下列问题:
(1)角 α 与角2-α,角 α 与2+α 的终边有什么关系? (2)角 α 与角 -α 的终边与单位圆的交点 P,P1 的坐标有什么关系? 角 α 与角 +α 的终边与单位圆的交点 P,P2 的坐标有什么关系?
π 2 π 2
π
π
提示(1)角 α 与角2-α 的终边关于直线 y=x 对称,角 α 的终边关于 直线 y=x 的对称直线与角 +α 的终边关于 y 轴对称. (2)角 α 与角 -α 的终边与单位圆的交点 P,P1 关于直线 y=x 对称; 角2+α 的终边与单位圆的交点 P2 的横坐标等于角 α 与单位圆的交 点 P 的纵坐标的相反数;角2+α 的终边与单位圆的交点 P2 的纵坐标 等于角 α 与单位圆的交点 P 的横坐标.
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件：第一章 《1.3 三角函数的诱导公式》
解
∵cos(π＋α)＝－cos
α＝－
3 5
，∴cos
α＝
3 5
，
∵π<α<2π，∴32π<α<2π，∴sin α＝－45.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α) ＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos＝α－) －45＋35＝15.
综上，原式＝－1.
1234
1234
2sinα＋nπcosα－nπ
3.证明：
＝(－1)ncos α，n∈Z.
sinα＋nπ＋sinα－nπ
证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，
2sinα＋2kπcosα－2kπ 左边＝
sinα＋2kπ＋sinα－2kπ
＝ 2sin αcos sin α＋sin
αα＝2si2nsαincoαs
tan(π＋α)＝－－yx＝yx.
诱导公式二
sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
思考3 公式二有何作用？ 答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：
sin 76π＝－sin π6＝－12，cos 54π＝－ 22， tan 240°＝ 3.
是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三 角函数，或先将负角转化为正角后再转化到0，π2 范围内 的角的三角函数值.
跟踪训练1 求下列三角函数值. (1)sin－463π； 解 sin－463π＝－sin 463π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12；
第一章 三角函数
高中数学人教A必修4课件：1.3.2 诱导公式五、六
-2-
第2课时 诱导公式五、六
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
诱导公式五、六如下表:
公式五 公式六 sin sin
������ 2 ������ 2
-α = cos ������ + α = cos ������
3 . 3
-7-
第2课时 诱导公式五、六
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型一
题型二
题型三
反思已知关于 α 的三角函数值 ,求角 β 的三角函数时 ,先观察是 否有 α± β=
������π ( ������∈Z),若有 ,则将 2
π -������ 4 π ,∴ 2
【例 4】 已知 si n 的值. 错解 :∵0<α<
= ������ , 0 < ������ < <
π − ������ 4
∴cos ∴cos
sin sin
π -������ 4 π -������ 4
π − 4
<
π , 4
> 0, = 1-sin2
π -������ 4
题型三
题型三
证明三角恒等式
3π π 3π sin ������+3 cos ������ + 2 2
【例 3】 求证:
tan(2π-������)cos 2 -������ cos(6π-������)
1-3-2 诱导公式五、六
基 础 巩 固一、选择题1．若cos65°＝a ，则sin25°的值是( ) A ．－a B ．a C.1－a 2 D ．－1－a 2[答案] B2．若sin(π2＋θ)<0，且cos(π2－θ)>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] B3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α是第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2的结果是( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.35[答案] B[解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，∴－sin α＝－35，∴sin α＝35， 又α是第二象限角，∴cos α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos α＝－45.4．已知sin α＝35，则sin(π2＋α)的值为( ) A ．－35 B ．－45 C.45 D ．±45[答案] D[解析] sin(π2＋α)＝cos α，而sin α＝35， ∴cos α＝±45，于是sin(π2＋α)＝±45.5．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13 [答案] C[解析] cos(π4－α)＝cos[π2－(π4＋α)]． ＝sin(α＋π4)＝13.6．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.35[答案] B[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－35，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.二、填空题7．化简sin (15π2＋α)cos (α－π2)sin (9π2－α)cos (3π2＋α)＝________. [答案] －1 [解析] 原式＝sin[8π＋(α－π2)]cos (π2－α)sin[4π＋(π2－α)]cos[π＋(π2＋α)]＝sin (α－π2)sin αsin (π2－α)[－cos (π2＋α)]＝－cos αsin αcos α[－(－sin α)]＝－1.8．已知sin(α－π4)＝35，那么cos(α＋π4)的值是__________． [答案] －35[解析] ∵(α＋π4)－(α－π4)＝π2， ∴α＋π4＝π2＋(α－π4)，∴cos(α＋π4)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－35. 三、解答题9．化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos (π2－α)cos (7π2－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin (5π2＋α). [解析] 原式＝sin α(－cos α)sin αcos[2π＋(π＋π2－α)]－cos αsin[2π＋(π－α)]sin[－(π－α)]sin[2π＋(π2＋α)] ＝sin αsin αcos[π＋(π2－α)]sin (π－α)[－sin (π－α)]sin (π2＋α)＝sin αsin α[－cos (π2－α)]sin α(－sin α)cos α＝sin α(－sin α)(－sin α)cos α＝tan α.10．已知角α的终边经过点P (－4,3)， 求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值． [解析] ∵角α的终边经过点P (－4,3)， ∴tan α＝y x ＝－34.∴原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.。
数学必修4课件第1章12123第一课时诱导公式(一～四)
tan(－α)＝－tanα
sin(π－α)＝ sin α cos(π－α)＝－cos α tan(π－α)＝－tan α sin(π＋α)＝－sin α cos(π＋α)＝ －cos α
tan(π＋α)＝tan α
[点睛] α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等 于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值 的符号．
＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝
tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos1169π＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝
3 2.
给角求值问题的解题策略 (1)利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角 函数值求解． (2)如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角 函数． (3)准确记忆特殊角的三角函数值．
[小试身手]
1．已知 cos(π＋θ)＝ 63，则 cos θ＝________.
答案：－
Байду номын сангаас
3 6
2．已知 tan α＝4，则 tan(π－α)＝________.
答案：－4 3．化简：cosα－πtasninαπ－＋2απtan2π－α＝________.
答案：－tan α
4．已知 sin(π＋α)＝35，且 α 是第四象限角，则 cos(α－2π)＝
＝ccooss1100°°·t·sainn23205°°＝tsainn 3405°°＝12.
利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的 目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没 有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采 用切化弦，有时也将弦化切．
sin(π－α)＝ sin α cos(π－α)＝－cos α tan(π－α)＝－tan α sin(π＋α)＝－sin α cos(π＋α)＝ －cos α
tan(π＋α)＝tan α
[点睛] α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等 于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值 的符号．
＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝
tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos1169π＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝
3 2.
给角求值问题的解题策略 (1)利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角 函数值求解． (2)如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角 函数． (3)准确记忆特殊角的三角函数值．
[小试身手]
1．已知 cos(π＋θ)＝ 63，则 cos θ＝________.
答案：－
Байду номын сангаас
3 6
2．已知 tan α＝4，则 tan(π－α)＝________.
答案：－4 3．化简：cosα－πtasninαπ－＋2απtan2π－α＝________.
答案：－tan α
4．已知 sin(π＋α)＝35，且 α 是第四象限角，则 cos(α－2π)＝
＝ccooss1100°°·t·sainn23205°°＝tsainn 3405°°＝12.
利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的 目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没 有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采 用切化弦，有时也将弦化切．
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：1-3-2 诱导公式五、六
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其 证明的常用方法有：
1从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. 2左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. 3针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消 除其差异，即化异为同.
[变式训练 3] ＋tan2x.
求证：cosx－co5sπ32πta＋nx2π－x＋tan2(π－x)＝1
[解] (1)f(α)＝sinα－co3sπ－coπs－2απ－sinα－sinπ－－αα＋32π
＝－sin－αc·coossαα··si－nαcosα＝－cosα.
(2)因为 cosα－32π＝－sinα，所以 sinα＝－15， 又 α 是第三象限角，
所以 cosα＝－
1－－152＝－2
5
6 .
[针对训练] 已知 cos(75°＋α)＝13，求 cos(105°－α)－sin(15° －α)的值．
解：cos(105°－α)－sin(15°－α) ＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－23.
[变式训练 1] 若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝m，则 cos(270°
－α)＋2sin(360°－α)的值为( D )
A．－12m
B．－32m
1 C.2m
3 D.2m
解析：由题意得－sinα－sinα＝m，所以 sinα＝－m2 .
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα
解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.
2．已知 sin(α－π4)＝13，则 cos(π4＋α)的值等于( D )
《诱导公式》PPT教学课件(第1课时诱导公式二、三、四)
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34
1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角 函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
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解得sinα－75°＝－5 2626，
cosα－75°＝
26 26
或sinα－75°＝52626， (舍) cosα－75°＝－ 2266.
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[思路点拨] (1) 化简已知和所求三角函数式
→ 根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－13，α为第四象限角
→
求sinα－75° → 用sin180°＋α＝－sin α求值
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(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
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4．求值：(1)sin23π＝________.
3 (1) 2
(2)cos－76π＝________.
sinπ－π3
(2)－
3 2
[(1)sin
2π 3
＝
＝sinπ3＝ 23.
(2)cos－76π＝cos76π＝cosπ＋π6
＝－cosπ6＝－ 23.]
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合作探究 提素养
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1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角 函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
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解得sinα－75°＝－5 2626，
cosα－75°＝
26 26
或sinα－75°＝52626， (舍) cosα－75°＝－ 2266.
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[思路点拨] (1) 化简已知和所求三角函数式
→ 根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－13，α为第四象限角
→
求sinα－75° → 用sin180°＋α＝－sin α求值
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(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
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4．求值：(1)sin23π＝________.
3 (1) 2
(2)cos－76π＝________.
sinπ－π3
(2)－
3 2
[(1)sin
2π 3
＝
＝sinπ3＝ 23.
(2)cos－76π＝cos76π＝cosπ＋π6
＝－cosπ6＝－ 23.]
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高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4
∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用 【例 3】 在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状． 思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式 解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱 数学运算核心素养.
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第一章
1.3 1.3.2
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[解析]
π π π ∵ ＋α＋ －α＝ ， 6 3 2
π π π ∴3－α＝2－(6＋α)． π π π ∴cos(3－α)＝cos[2－(6＋α)] π 3 ＝sin( ＋α)＝ . 6 3
第一章
1.3 1.3.2
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第一章
1.3 1.3.2
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自主预习 认真阅读教材P26－27回答下列问题． 诱导公式五、六如下表： 公式五 公式六 π sin(2－α)＝ cosα π sin( ＋α)＝ cosα 2 π cos(2－α)＝ sinα π cos( ＋α)＝ －sinα 2
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3．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( A．1 C．0 B．2 D．2sin2α
)
[答案] B
原式＝sin2α＋cosα· cosα＋1＝1＋1＝2.
[解析]
第一章
1.3 1.3.2
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cos－α· tan7π＋α 5．化简 等于________． sinπ＋α
[答案] －1
cosαtanπ＋α cosα· tanα [解析] 原式＝ ＝ ＝－1. －sinα －sinα
第一章
1.3 1 必修4
新课引入
第一章
1.3 1.3.2
[小结]诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象 限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名 三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦．“符号看象限”是 把α看成锐角时原三角函数值的符号．
第一章
1.3 1.3.2
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已知sin25.7° ＝m，则cos64.3° 等于( A．m C．m2 B．－m D. 1－m2
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．3 三角函数的诱导公式
第一章 三角函数
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第一章
1．3.2 诱导公式五、六
化简推出右边．
第一章
1.3 1.3.2
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[证明]
左边
3π tan2π－αcos －αcos6π－α tan－α－sinαcosα 2 ＝ ＝ 3π 3π －cosαsinα sinα＋ cosα＋ 2 2 －tanαsinαcosα ＝ cosαsinα ＝－tanα＝右边， ∴原等式成立．
[分析]
第一章
1.3 1.3.2
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[证明]
3 －2sin2π－θ· －sinθ－1 左边＝ 1－2sin2θ
π 2sin[π＋ －θ]sinθ－1 2 ＝ 1－2sin2θ π －2sin2－θsinθ－1 ＝ 1－2sin2θ －2cosθsinθ－1 ＝ 2 cos θ＋sin2θ－2sin2θ
第一章
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探索延拓创新
第一章
1.3 1.3.2
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命题方向
存在性、探索性问题
[例4] －α)＝
π π 是否存在α∈ －2，2 ，β∈(0，π)，使等式sin(3π
π 2cos 2－β ，
1 4．已知sin(π＋α)＝－ ，则cosα等于________． 2
3 [答案] ± 2
第一章
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[解析]
1 1 由sin(π＋α)＝－ 得sinα＝ ， 2 2
3 ∴α是第一或第二象限角．∴cosα＝± . 2
第一章
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.
3π 1 (1)若cosα－ 2 ＝ ，求f(α)的值； 5
(2)若α＝－1860° ，求f(α)的值． [分析] 值．
第一章 1.3 1.3.2
若f(α)的表达式很繁琐，可先化简再代入求
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[解析] f(α)＝
3π sin 2 －α sinα· cos－α· 3π cos 2 －α
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思路方法技巧
第一章
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命题方向
利用诱导公式进行化简、求值
[例1]
已知α是第三象限角，f(α)＝
3π sinπ－αcos2π－αtan－α＋ 2
cos－α－π
第一章
1.3 1.3.2
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已知sin21° ＋sin22° ＋sin23° ＋„＋sin289° 为定值，这是因 π 2π 为1° ＋89° ＝90° ，2° ＋88° ＝90° ，„，则cos ＋cos 2k＋1 2k＋1 2k－1 2k ＋„＋cos π＋cos π(k∈Z)是否可以为定值？如果 2k＋1 2k＋1 是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
第一章 1.3 1.3.2
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利用诱导公式化简下列各式 (1)sin(3π－α)＝________； (2)sin( 5π ＋α)＝________； 2
7π (3)cos( 2 ＋α)＝________； (4)tan(α－11π)＝________.
[答案] (1)sinα；(2)cosα；(3)sinα；(4)tanα
第一章
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化简：
π π sin2＋αcos2－α
cosπ＋α
＋
π sin π－α cos2＋α
sinπ＋α
＝_______.
[答案] 0
第一章
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留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山的巍 峨、水的柔媚在那一刻融合„„如果你的手中拿着一个度数 为α的角的模型，你观察一下湖中的这个角的模型与你手中的 这个角的模型有什么关系？你当然会准确地回答出来：对 称！ 角α关于水平面对称的角的度数是多少？这两个角的三角 函数值有什么关系呢？
第一章
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sinθ＋cosθ2 ＝ 2 sin θ－cos2θ sinθ＋cosθ ＝ . sinθ－cosθ tan9π＋θ＋1 tanθ＋1 sinθ＋cosθ 右边＝ ＝ ＝ . tanπ＋θ－1 tanθ－1 sinθ－cosθ ∴左边＝右边，故原式得证．
第一章
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公式五和公式六可以概括为： π α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函 2 ± 数值，前面加上一个把α看成 锐角 时原函数值的符 号，公式一～六都叫做诱导公式
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第一章
1.3 1.3.2
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命题方向
三角恒等式的证明
[例3]
3 π 2sinθ－ πcosθ＋ －1 tan9π＋θ＋1 2 2 求证： ＝ . 1－2sin2π＋θ tanπ＋θ－1
第一章
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第一章 三角函数
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第一章
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课前自主预习
第一章
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温故知新 1．诱导公式二、三、四的记忆为：函数 名 不变，符号 看 象限 ．
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[解析]
－sinα cosα· sinα sinα· 原式＝ ＋ －cosα －sinα
＝－sinα＋sinα＝0.
第一章
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[例2] [分析] 求值．
π 3 π 已知sin(6＋α)＝ 3 ，求cos(3－α)的值． π π π 由于( 6 ＋α)＋( 3 －α)＝ 2 ，所以考虑用公式五化简
)
[答案]
A
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已知cos10° ＝a，则sin100° ＝________.
[答案]
a
第一章
1.3 1.3.2
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[拓展]记忆六组诱导公式，这六组诱导公式也可以统一用 π 口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k·2 ± α(k∈Z)的 三角函数值，当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇 数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐 角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k的奇 11π 偶性．如sin( ＋α)中的k＝11是奇数，且把α看成锐角时， 2 11π ＋α是第四象限角，第四象限角的正弦值是负数，所以 2 11π sin( 2 ＋α)＝ －cosα .