工程电磁场——矢量分析

AB B A
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工程电磁场
C A B C AC B
, 为实数，则
AB A B
A A A2 AA A2
5）矢量的叉积
A B AB sin en
Ay Bz Az By ex + Az Bx Ax Bz ey Ax By Ay Bx ez
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工程电磁场
1．方向导数的定义
要了解 u M 沿任意方向的变化情况
需要计算 u M 沿任意方向的导数
从 M0 出发，引一条射线 l
取一点 M，用 l 表示从 M0 到 M
的距离
思考：对M0，M点有何要求？
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工程电磁场
若当沿着 l , M M0 时，
eR

r r r r
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工程电磁场 3．标量场的等值面
标量场 u 的等值面：
曲面上 u M 的值相等
等值面方程为
ux, y, z Uk
给定U k 的一系列数值，得到一系列的等值面：
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工程电磁场
等值面族（一般差 值相同）
坐标原点点电荷 q
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工程电磁场
3）矢量的数乘
A Axex Ayey Azez
4）矢量的点积
A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz
是 A 、 B 之间夹角
B cos ： B 在 A 方向上的投影
Acos ： A 在 B 方向上的投影
电位表示式
r q
4 0 r
等位面方程
r q U 解得
4 0 r
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工程电磁场
r q
4 0U
按相同递增量
给定U 的不同数值
U1,U2, ,
得到同心球面 等值面与给定平面相交，得等值线
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工程电磁场
如 u x, y, z 在 x y 平面上的等值线方程为 u x, y U
则函数 u 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数存在。
根据全微分概念
du u dx u dy u dz x y z
思考：为何要求可微？
定义与计算方法的差别
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工程电磁场
得
u u x u y u z l M0 x l y l z l
（ C ：常矢量）
6） C Atdt C Atdt
（ C ：常矢量）
（1．1 结束）
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工程电磁场
1.2 场的基本概念和可视化
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工程电磁场
1．场的基本概念
“场“：物理量 空间 空间每一点 对应物理量一个值 标量场 如温度、能量、电位等 矢量场 如速度、力、电场、磁场等
场点 三个坐标 x, y, z 确定
一个标量场
uM ux, y, z
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工程电磁场
一个矢量场表示为
AM Ax, y, z
Axex Ayey Azez
Ax ,Ay , Az ：
A 在坐标轴上投影
ex,ey ,ez ：
x 、 y 、 z 方向单位矢量
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工程电磁场
， ， ：
A 与 x 、 y 、 z 方向之间的夹角 方向角
cos , cos , cos ： 方向余弦
cos Ax ； cos Ay ； cos Az
A
A
A
AM Acosex Acos ey Acos ez
dt
dt dt
8） d A B A dB dA B
dt
dt dt
9）设 A Au, u u t dA dA du
dt du dt
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工程电磁场
3．矢量函数的积分公式
1） At dt [ Ax t dt]ex [ Ay t dt]ey [ Az t dt]ez
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工程电磁场
几个重要物理量及公式
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工程电磁场
分析标量场的工具
标量场
方向导数 梯度 两个重要公式
矢量场
通量密度 散度
高斯定理
场是否有源
环量密度 旋度
斯托克斯 定理
场是否有旋
黄色：标量
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红色：矢量
场的边界
唯一地确定场
(亥姆霍兹定理)
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工程电磁场 1.3 标量场的方向导数和梯度
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工程电磁场
在高等数学中 什么是导数？导数定义在哪个方向？
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量 的增量之商的极限。
方向导数的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方 向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其 他特定方向上的变化率（即方向导数） 。
方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
3） dC 0 （ C 是常矢量）
dt
4） d A B dA dB
dt
dt dt
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工程电磁场
5） d kA k dA （ k 是常数）
dt
dt
6） d uA u dA du A
dt
dt dt
7） d A B A dB dA B
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工程电磁场
4．场的其他可视化方法
计算机图形技术 彩色云图
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工程电磁场
箭头的长度 表示矢量的大小， 箭头所指的方向 为矢量的方向：
矢量图
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工程电磁场
5．平行平面场
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工程电磁场 6．轴对称场
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1．2 结束
2） Atdt Bt C
（ Bt ： At 的原函数 C ：任意常矢量）
3） At Btdt Atdt Btdt 4） kAt dt k At dt （ k ：常数）
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工程电磁场
5） C Atdt C Atdt
方向导数值随之变化
当 l 方向与 G 方向一致时，
解
u x
Mo

x x2 y2 z2
Mo
1 2
u 1 ，
y Mo
2
u 0 z Mo
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工程电磁场
而 l 的方向余弦cos Nhomakorabea2
2
12 22 22 3
cos 2 ， 3
则方向导数
cos 1 3
u
12 12
4 22
l M0
式 u u(M) u(M0 ) 的极限存在，
l
l
则称此极限值为函数 u M
在点
M
0
处沿
l
方向的方向导数，记作
u l
M0
。
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工程电磁场
u l
M0
lim u(M) u(M0 )
MMo
l
u du
= lim MMo l
dl
M0
方向导数：标量场函数在一点 M0 处
沿某一方向 l 对距离的变化率
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工程电磁场
当 u l
Mo
0，沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快 l
当 u l
Mo
0 ，沿 l 方向是减小的
u 越大，减小得越快 l
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工程电磁场
当 l 指向 x 轴正方向时， u u l x
当 l 指向 y 轴正方向时， u u l y
当 l 指向 z 轴正方向时， u u l z
偏导数 u , u , u 是 u 的特例。 x y z l
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工程电磁场
2．方向导数的计算
在直角坐标系中
设标量函数 u(x, y, z) 在 M0 (x0 , y0 , z0 ) 处可微，
场的分类： 时变场 恒定场 静态场
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工程电磁场 2．源点与场点
场源产生场 场源所在：源点 场量所在：场点
源点 P： x, y, z r
场点 P ：
x, y, z
r
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工程电磁场
源点到场点 距离矢量 R R r r
R r r ，
R 的单位矢量
将 l 方向的三个方向余弦表示式代入式
u l
M0
cos u x
M0
cos u y
M0
cos u z
M0
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工程电磁场
例 u x2 y2 z2 在M0 1, 1, 0 处
沿 l 2ex 2ey ez 方向的方向导数。
如令矢量
G

u x
ex

u y
ey

u z
ez
则
u l

u x
cos

u y
cos
u z