自动控制原理习题答案6

j =1 i =1
n
m
n−m
=
(0 − 0.001 − 4 − 5) − (−0.03) ≈ −2.99 4−3
渐近线与实轴的夹角
θ=
± (2k + 1)π ± (2k + 1)π = = ±60o ,180o n−m 4 −1 (k = 0,1)
系统的根轨迹如图 6.2(b)所示。
引入开环偶极子的滞后校正对根轨迹不产生显著影响，既能保证系统瞬态特性又 满足了稳态性能指标。 K 题 6.5 单位负反馈系统的对象传递函数为 G p ( s) = ，设计相位超前校正， s ( s + 4) 使校正后系统的超调量不大于10% ，上升时间不大于 2 秒，单位斜坡函数的稳态误差 不大于 0.5 。 解：采用根轨迹校正方法。 (1) 根据期望动态性能指标确定闭环主导极点的位置。为使 δ % ≤ 10% 并留有余 2 地(以确保在其他极点的作用下性能指标仍能得到满足) ，选阻尼比 ξ = 。由于 2 ξ = cos θ ， 主导极点应位于如图 6.3 所示的θ = 45o 的射线上。 再运用二阶系统调节时 3 间的近似公式 ts = ，可选择ωn = 3 ，以保证 ts ≤ 2s 并留有余地。因此主导极点为
ww
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p1 p3
× ×
Im
×
×
Re
p2
图 6.2 题 6.4 用图
ξωn
3 2 3 2 ±j 。 2 2 (2) 画出未校正系统的根轨迹图，如图 6.3 中的实线所示。由图可见，根轨迹不 通过期望主导极点，因此不能通过调节开环放大系数来满足动态性能指标。 − p1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2 = −
ww
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p2×
图 6.3 题 6.5 用图
zc
×
45 ×
Re
∠( p1 + zc ) − ∠( p1 + pc ) = α = 3.4o
由此可见， 只要从图中的– p1 点作夹角为 3.4o 的两条射线， 它们和实轴相交的两点
11.1× 6 = 2.22 4 × 7.5 单位斜坡函数的稳态误差 e(∞) = 1/ K ′ = 0.45 < 0.5 ，因此满足稳态性能指标。校
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题 6.4 单位负反馈系统的对象传递函数为 G p ( s ) =
K ， 设计相位滞后 s ( s + 4)( s + 5)
条件可算出– p1 点的根轨迹增益为 K g = 20.6 ，因此系统的速度误差系数
kv =
稳态性能指标不符合要求。
Kg 4×5
p1 ×
pc
Im
(3) 为了使系统根轨迹向左偏移，进行相位超前校正。校正装置环节为 s + zc Gc ( s ) = | z c |<| p c | s + pc 校正后系统的开环传递函数为 K g ( s + zc ) G ( s ) = Gc ( s )G p ( s ) = s ( s + 4)( s + pc ) 为了使期望主导极点位于根轨迹上，根据相角条件应有 ∠( p1 + zc ) − ∠p1 − ∠( p1 + 4) − ∠( p1 + pc ) = (2k + 1)π 由图可知， ∠p1 = 135o , ∠( p1 + 4) = 48.4o ，代入上式，并取 k = 1 可得：
ww
校正使阻尼比为 0.7,稳态速度误差系数为 30。 解：采用根轨迹校正方法。 (1) 作系统根轨迹如图 6.2(a)所示，并在图中作θ = cos −1 ξ = 45o 的两条射线 OA 和 OB ， 分别与根轨迹交于– p1 和– p2 点。 测得– p1 和– p2 的实部为–1.2， 因此– p1 和– p2 0.33 的参数为ξ = 0.7 ，ωn = = 1.71 ，即– p1 和– p2 满足期望主导极点的要求。用幅值 0.5
第 6 章 控制系统的设计
6.1 学习要点
1 控制系统校正的概念，常用的校正方法、方式； 2 各种校正方法、方式的特点和适用性； 3 各种校正方法、方式的一般步骤。
题 6.1 校正有哪些方法？各有何特点？ 答：控制系统校正有根轨迹方法和频率特性方法。 根轨迹法是一种直观的图解方法， 它显示了当系统某一参数(通常为开环放大系数) 从零变化到无穷大时，如何根据开环零极点的位置确定全部闭环极点的位置。因此， 根轨迹校正方法是根据系统给定的动态性能指标确定主导极点位置，通过适当配置开 环零极点，改变根轨迹走向与分布，使其通过期望的主导极点，从而满足系统性能要 求。 频率特性是系统或元件对不同频率正弦输入信号的响应特性。频域特性简明地表 示出了系统各参数对动态特性的影响以及系统对噪声和参数变化的敏感程度。因此， 频率特性校正方法是根据系统性能要求，通过适当增加校正环节改变频率特性形状， 使其具有合适的高频、中频、低频特性和稳定裕量，以得到满意的闭环品质。由于波 德图能比较直观的表示改变放大系数和其他参数对频率特性的影响，所以，在用频率 法进行校正时，常常采用波德图方法。 系统校正要求通常是由使用单位和被控对象的设计单位以性能指标的形式提出。 性能指标主要有时域和频域两种提法。 针对时域性能指标， 通常用根轨迹法比较方便； 针对频域性能指标， 用频率法更为直接。 根轨迹法是一种直接的方法， 常以超调量δ % 和调节时间 ts 作为指标来校正系统。 频域法是一种间接的方法， 常以相位裕量γ (ωc ) 和 速度误差系数 kv 作为指标来校正系统。
即是所求的校正环节的零点– zc 和极点– pc 。 这样的作图不是惟一的， 可按如下方法作 图：从– p1 点作平行于实轴的射线 p1 A ，再作 ∠Ap1 B 的角平分线 p1C ，然后作 p1 D 和
p1 E ，它们和 p1C 的夹角均为α / 2 = 1.7o ， p1 D 和 p1 E 与实轴的交点即为所求的极点 – pc 和零点– zc 。如图 6.3 所示， − zc = −6, − pc = −7.5 ，校正环节为 s+6 Gc ( s ) = s + 7.5 (4) 检验稳态指标。由幅值条件可知 | p1 + zc | Kg =1 | p1 || p1 + 4 || p1 + pc | 求得 K g = 11.1 ，由此得开环放大系数 K′ =
⊗
控制器
对 象
输出
反馈校正
图6.1 串联校正和反馈校正
串联校正方式因其实现简单而最为常见。反馈校正除能获得串联校正类似的校正 效果外，还具有串联校正所不具备的特点： （1）在局部反馈校正中，信号从高能级被 引向低能级，因此不需要经过放大； （2）能消除外界扰动或反馈环内部系统参数波动 对系统控制性能的影响，提供系统更好的抗干扰能力。 题 6.3 串联超前、串联滞后与串联滞后–超前校正各有何适应条件？ 答： （1） 串联超前校正通常是在满足稳态精度的条件下， 用来提高系统动态性能的一 种校正方法。从波德图来看，为满足控制系统的稳态精度要求，往往需要增加系统的 开环增益，这样就增大了幅值穿越频率，相应地减小了相位裕量，易导致系统不稳定。 因而在系统中加入一个相位超前的校正装置，使之在穿越频率处相位超前，以增加相 位裕量。这样既能使开环增益足够大，满足稳态精度的要求，又能提高系统的稳定性。 串联超前校正适合需要附加相角位移在 0∼65°范围的系统。 超前校正的结果可以使系统的闭环频带宽度 BW 增加，从而使动态响应加快；不 改变低频段对正弦输入的稳态误差性能；超前校正装置所要求的时间常数是容易满足 的。但可能带来因闭环频带宽度 BW 加宽引入高频噪声，需要增加增益等问题。 （2）滞后校正有两种作用。一般地，如果稳态性能满足要求，而其动态性能不满 足要求，并希望降低频带宽时，可用滞后校正来降低其穿越频率，以满足其动态性能 指标。这种滞后校正的结果可以增加系统的相对稳定性，有利于提高系统放大系数以 满足稳态精度的要求。由于高频段的衰减，系统的抗高频扰动能力也增强了。但同时 由于频带宽度变窄，瞬态响应将变慢。 如果一个反馈控制系统的动态性能是满意的，为了改善其稳态性能，而又不致影 响其动态性能，可以采用滞后较正。此时就要求在频率特性低频段提高其增益，而在 幅值穿越频率附近仍保持其相位移大小几乎不变。 这两种作用中，前者是降低了幅值穿越频率并衰减了高频段，后者是提高低频段 增益。但就滞后校正本身而言，其主要作用是在高频段造成衰减，以使系统获得充分 的相位裕量。 （3）滞后-超前校正幅频特性的前段是相位滞后部分，具有使高频段增益衰减的 作用，所以容许在低频段提高增益，以改善系统的稳态特性。幅频特性的后段是相位 超前部分，因增加了相位超前角度，从而使相位裕量增大，改善了系统的动态响应。 因此，滞后-超前校正常适用于系统对稳态精度和动态性能都有进一步改善的情况。
ww
题 6.2 校正有哪些方式？各有何特点？ 答：校正有串联校正方式和反馈校正方式。 校正装置串联在系统前向通道中的连接方式称为串联校正。校正装置接在系统的 局部反馈通道中的连接方式称为反馈校正。如图 6.1 所示。
干扰 参考输入
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⊗
串联校正
6.2 思考与习题祥解
= 1.03 < 30
Im
j2 5
பைடு நூலகம்闭环极点
A
s + zc | z c |>| p c | s + pc 根据第一步的计算， 应将系统开环放大系数提高 30 倍。 所引入的校正环节应满足 | zc |= 30 | pc | ， 为 确 保 校 正 环 节 对 根 轨 迹 不 产 生 显 著 影 响 ， 选 择 Gc ( s ) =
正后系统的根轨迹图示于图 6.4 中。
× p1 × ×
Im
7.5
6
4
× o × p 2
Re
4K ， 若使系统的稳态速度 s ( s + 2) 误差系数为 20，相位裕量不小于 50ο ，增益裕量不小于 10dB，试确定系统的串联校正 装置传递函数。 解： （1）根据要求，系统应设计为Ⅰ型系统。由稳态指标的要求，开环放大系数 20 2 K = kv = 20 ，取 K = 10 ，作 G p ( s ) = 的波德图如图 6.5 所示。 1 s( s + 1) 2 （2）计算未校正系统相位裕量，估计需要附加的相角位移。 由 20 20 A(ωc ) = ≈ =1 1 1 2 ωc ( ωc ) + 1 ωc ⋅ ωc 2 2 计算出校正前幅值穿越频率ωc ≈ 40 = 6.32 ，校正前相位裕量 1 γ (ωc ) = 180o + ϕ (ωc ) = 180o − 90o − arctan( ωc ) = 90o − 72.5o = 17.5o < 50o 2 相位裕量不满足要求。为不影响低频特性并改善动态响应性能，可采用超前校正。 （3）根据相位裕量γ (ωc ) ≥ 50o 的要求，超前校正电路最大相位移应为
zc = −0.03, pc = −0.001 ，即滞后校正环节
ww
校正后系统的开环传递函数为
校正后系统的根轨迹如下： 分离点由 ( s + 0.03)′[ s( s + 4)( s + 5)( s + 0.001)] − ( s + 0.03)[ s( s + 4)( s + 5)( s + 0.001)]′ = 0
G ( s ) = Gc ( s )G p ( s ) =
1.04( s + 0.03) s ( s + 4)( s + 5)( s + 0.001)
s 4 + 5.001s 3 + 1.998s 2 − 57.982s − 0.02 = 0
−σ =
∑ ( − p j ) − ∑ ( − zi )
用试探法解得： s1 ≈ −0.0004, s2 ≈ −0.064, s2 ≈ −2.6 。 渐近线与实轴的交点
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p1 p3
×
5
×
4
1.47
45 × o
Re
p2
B
j2 5
(a)
图 6.2 题 6.4 用图
(2) 引入串联滞后校正环节
Gc ( s ) =
s + 0.03 s + 0.001
题 6.6 单位负反馈系统的对象传递函数为 G p ( s ) =
ww
点） ，即
考虑超前校正后 ωc ' > ωc ，会使原系统相角位移更负些，故 ϕmax 应相应地加大。取