专题10 等式的性质与方程的解(解析版)

①-②得：ab= 3 ， 4
（2）①原式=（x-4y）2， ②原式=（x+y+1+x-y+1）（x+y+1-x+y-1）=4y（x+1）． 19．阅读材料题：在因式分解中，有一类形如 x2+（m+n）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数的积，而 它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．
例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 运用上述方法分解因式：
（1）x2 +6x+8； （2）x2﹣x﹣6；
（3）x2﹣5xy+6y2；
（4）请你结合上述的方法，对多项式 x3﹣2x2﹣3x 进行分解因式．
【答案】（1）
（2）
；（3）
（4）
.
【解析】
；
；
；
．
故答案为：(1)
(2)
；(3)
(4)
.
20.(1)分解因式：x2-2xy-8y2．
(2) 多项式 x2+kx-6 因式分解后有一个因式为 x﹣2，求 k 的值.
【答案】（1）（x-4y）（x+2y）．（2）1.
【解析】
（1）x2-2xy-8y2 =（x-4y）（x+2y） ．
（2）设 x2﹣kx+6=(x-2)(x+a)= x2 +（a-2)x+2a ,
若 B 不为空集，则 a 0 ；由 ax 1解得 x 1 ，所以 1 1或 1 2 ，解得 a 1或 a 1 ，
a
a
a
2
综上，由实数
a
的所有可能的取值组成的集合为
1,
0,
1 2
.
三、解答题
17．因式分解：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根据平方差公式，则原式=
故选：C．
3．下列因 式分解，错误的是（ ）
A．x2+7x+10＝（x+2）（x+5）
B．x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）[来源:学科网]
C．y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）
D．y2+7y﹣18＝（y﹣9）（y+2）
【答案】D
【解析】
A、x2+7x+10＝（x+2）（x+5），正确，不合题意；
D． (x－2)(x－5)
【答案】B 【解析】
∵方程 x2＋px＋q＝0 的两个根分别为 2 和－5，
∴ x2＋px＋q=(x－2)(x＋5) ，
故选：B. 10．关于 x 的一元二次方程 kx2+3x﹣1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k≤﹣ 9 4
【答案】D
B．k≤﹣ 9 且 k≠0 4
提升训练 2.1 等式的性质与方程的解
一、选择题
1． 方程 3x﹣1＝﹣x+1 的解是（ ）
A．x＝﹣2
B．x＝0
【答案】C[来源:Z*xx*k.Com]
C．x＝ 1 2
D．x＝﹣ 1 2
【解析】
3x﹣1＝﹣x+1，
3x+x＝1+1，
4x＝2，
x＝ 1 ， 2
故选：C．
2．因式分解的结果是（x﹣3）（x﹣4）的多项式是（ ）
综上所述，不论 m 为何值，方程必有实数根；
（2）解：当 m 为整数时，关于 x 的方程 (2m 1)x2 (2m 1)x 1 0 没有有理根.理由如下： ①当 2m 1 0 时， m 1 （不合题意舍去）；
2 ②当 2m 1 0 且 m 为整数时，假设关于 x 的方程 (2m 1)x2 (2m 1)x 1 0 有有理根.
A．x2﹣7x﹣12
B．x2+7x+12
C．x2﹣7x+12
D．x2+7x﹣12
【答案】C
【解析】
A、x2﹣7x﹣12，无法 分解因式，故此选项错误；
B、x2+7x+12＝（x+3）（x+4），不合题意，故此选项错误；[来源:学科网ZXXK]
C、x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4），正确；
D、x2+7x﹣12，无法分解因式，故此选项错误．
∴
a b
1 2
∴(a-b)2019=(1-2)2019=(-1)2019=-1
22. 已知关于 x 的方程 (2m 1)x2 (2m 1)x 1 0 .
（1）求证：不论 m 为何值，方程必有实数根； （2）当 m 为整数时，方程是否有有理根？若有，求出 m 的值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）当 m 为整数时，关于 x 的方程 (2m 1)x2 (2m 1)x 1 0 没有有理根. 理由
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【答 案】B 【解析】 ∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b ）（a﹣b）． 故选 B．
5．已知U {2,1,0} , M x R | x2 2x 0 ，则 U M （ ）
A．0
B．{1, 2}
C．{1}
D．{1, 0, 2}
【答案】C 【解析】
依题意 x2 2x x x 2 0, x 0, 2 ，所以 M 0, 2 ，故 CU M 1 ，故选 C.
6．已知集合 A x x2 2x 3 0 ， B x x2 1 ，则 A B （ ）
16．已知集合 A {1, 2}，B {x | ax 1} ，若 B A ，则由实数 a 的所有可能的取值组成的集合为______.
【答案】
1,
0,
1 2
【解析】
因为集合 A {1, 2}， B {x | ax 1} ， B A ，
若 B 为空集，则方程 ax 1无解，解得 a 0 ；
【答案】A
【解析】
） C．4a2+b2
D．﹣a2﹣16b2
A. a2 6a 8 =(a-2)(a-4)，故符合题意；
B. a2 2a 4 不能因式分解，故不符合题意；
C. 4a2 b2 不能因式分解，故不符合题意；
D. a2 16b2 不能因式分解，故不符合题意；
故选 A.
8．将代数式 A．(x+5)(x－1) 【答案】A 【解析】
见解析.[来源:学科网]
【解析】
（1）证明：当 2m 1 0 ，即 m 1 时，原方程为 2x 1 0 ，此方程为一元一次方程，其根为 x 1 ；
2
2
当 2m 1 0 ，即 m 1 时， [(2m 1)]2 4(2m 1) 1 (2m 1)2 4 0 2
∴当 m 1 时，原方程必有两个不相等的实数根， 2
因式分解的结果为（ ）
B．(x－5)(x+1)
C．( x+5)(x+1)
D．(x－5)(x－1)
=(x+5)(x－1) 故选 A.
9．已知方程 x2＋px＋q＝0 的两个根分别为 2 和－5，则二次三项式 x2＋px＋q 可分解为( )
A． (x＋2)(x－5)
B． (x－2)(x＋5)
C． (x＋2)(x＋5)
1) 1)
2 2
或
n n
(2m (2m
1) 1)
2 2
，
解得 m 1 （不合题意舍去）. 2
综上所述，当 m 为整数时，关于 x 的方程 (2m 1)x2 (2m 1)x 1 0 没有有理根.
可得 k=a-2,-2a=-6,
解得:a=3,k=1
21. 若 a－b＋1 与 a b 32 互为相反数，试求 a b 2019 的值.
【答案】-1 【解析】
a－b＋1 与 a b 32 互为相反数，
∴ a b 1 +(a+b-3)2=0，
∵ a b 1 ≥0，(a+b-3)2≥0
a b 1 0 ∴ a b 3 0 ，
；
（2）解：原式=
，根据平方差公式，则
18．（1）已知（a+b）2=7，（a-b）2=4，求 a2+b2 和 ab 的值．
（2）分解因式：
①x2-8xy+16y2
②（x+y+1）2-（x-y+1）2．
=
.
【答案】（1）a2+b2=5.5，ab= 3 ；（2）①（x-4y）2；②4y（x+1） 4
【解析】 （1）∵（a+b）2=a2+b2+2ab=7①，（a-b）2=a2+b2-2ab=4②， ∴①+②得，a2+b2=5.5，
11．设集合 A={1，2，3}，B={x|x2-2x+m=0}，若 A∩B={2}，则 B=（ ）
A． 0
B．2
C． 1
D．0, 2
【答案】D 【解析】 ∵A∩B={2}； ∴2∈B； ∴4-4+m=0； ∴m=0； ∴B={x|x2-2x=0}={0，2}． 故选：D．
12．已知集合 A {2,1}， B {x | ax 2}，若 A B B ，则实数 a 值集合为（ ）
A．1
B．{2}
C． {1, 2}
D．{1, 0, 2}
【答案】D 【解析】
A B B B A , A 2,1的子集有,2,1,2,1，
当 B 时，显然有 a 0 ；当 B 2 时， 2a 2 a 1；
当 B 1 时， a 1 2 a 2 ；当 B 2,1 ，不存在 a ，符合题意，实 数 a 值集合为1,0, 2，故本
则要 (2m 1)2 4 为完全平方数，设 n2 （ n 为整数），
即 (2m 1)2 4 n2 （ n 为整数），所以有[n (2m 1)][n (2m 1)] 4 ，
∵ n (2m 1) 与 n (2m 1) 的奇偶性相同，并且 m 、 n 都是整数，
∴
n n
(2m (2m
C．k≥﹣ 9 4
D．k≥﹣ 9 且 k≠0 4
【解析】
∵关于 x 的一元二次方程 kx2+3x﹣1＝0 有实数根，
∴△＝b2﹣4ac≥0 ，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣ 9 ， 4
∵关于 x 的一元二次方 程 kx2+3x﹣1＝0 中 k≠0，
则 k 的取值范围是 k≥﹣ 9 且 k≠0． 4
故选：D．
A． 1, 3
B． 1, 3
C．1,1, 3
D． 1,1, 3
【答案】D 【解析】
由题意，集合 A x x2 2x 3 0 3, 1， B x x2 1 1, 1 ，
所以 A B 1,1,3.故选 D.
7．下面的多项式中，能因式分解的是（
A．a2﹣6a+8
B．a2﹣2a+4
B、x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2），正确，不合题意；[来源:学科网]
C、y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4），正确，不合题意；
D、y2+7y﹣18＝（y+9）（y﹣2），故原式错误，符合题意． 故选 D． 4．在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形 （如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
题选 D.
二、填空题
13．方程 2x﹣5＝3 的解为_____．
【答案】4
【解析】
方程 2x﹣5＝3 移项得 2x=3+5，系数化为 1，可得 x=4．
பைடு நூலகம்
故答案为：x=4．
14．分解因式：
=_____.
【答案】
【解析】
. 15．若 a2+（k﹣3）a+9 是一个完全平方式，则 k 的值是_____． 【答案】9 或﹣3 【解析】 ∵a2+（k-3）a+9 是一个完全平方式， ∴k-3=±6， 解得：k=9 或-3， 故答案为：9 或-3