简单平面桁架受力分析

简单平面桁架受力分析

仪22 廖嵩松 020854

内容摘要：桁架使工程中常用的一种结构，求解桁架受力有三种方法：虚位移法、节点法、截面法，他们个又有缺点，适用于不同情况，更多情况是将它们综和运用。 关键词：桁架——虚位移法——节点法——截面法——载荷

参考书目：

李俊峰，张雄，任革学，高云峰编．理论力学．北京：清华大学出版社，2001

西北工业大学理论力学教研室编．和兴锁主编．理论力学．西安：西北工业大学出版社，2001 牛学仁主编．理论力学．北京：机械工业出版社，2000

一、 桁架简化模型

桁架是工程中常用的一种结构，各构件在同一平面内的桁架称为平面桁架。简单平面桁架是指在一个基本三角框架上每增家两各杆件的同时增加一个节点而形成的桁架。它始终保持其坚固性，且在这种桁架中除去任何一个杆件都会使桁架失去稳固性。

在简单平面桁架中，杆件的数目m 与节点数目n 之间有确定关系。基本三角框家的杆件书和节点数都等于3。此后增加的杆件数（m-3）节点数（n-3）之间的比例是2：1，故有 323-=-n m 即

n m 23=+

在计算载荷作用下平面桁架各杆件的所受力时，为简化计算，工程上一般作如下规定：

（1） 各杆件都是直杆，并用光滑铰链连接；

（2） 杆件所受的外载荷都作用在各节点上，各力作用线都在桁架平面内；

（3） 各杆件的自重忽略不计；

在以上假设下，每一杆件都是二力构件，故所受力都沿其轴线，或为拉力，或为压力。为便于分析，在受力图中总是假设杆件承受拉力，若计算结果为负值，则表示杆件承受压力。 二、 计算桁架受力的三种方法

1、 虚位移法

接触所求杆的约束，用约束反力

代替，系统仍处于平衡状态，但有一个

自由度。假设系统沿此自由度的方向

有一微小的运动，可得出各主动力作

用点及所加约束力的一组虚位移，根

据虚位移原理可列出一个方程，解出

约束反力的大小。

例1．求解图1所示平面桁架中1

杆的约束力。

解：去掉1杆，用N1和N1’代替。假

设EFG 绕F 转一小角度δθ，则

),

cos (sin ,30tan ,0j i a r i a r r D E C •-•=•︒==θθδθδδθδδ 2、节点法

桁架处于平衡状态，它的各个节点也一定是平衡的。可以通过研究各个节点的平衡求出相应杆的内力。由于支座约束只有三个，可先对整个桁架应用平衡方程，解出支座的约束反力，然后对只有两个未知力的节点列出两个独立的平衡方程，可解出相应的未知力。继续找出只有两个未知力的节点并列出方程，从而可解出所有杆的内力。

例2：求图3中桁架各杆件的内力。已知载荷.20,10231kN F kN F F ===

解 首先求支座反力。由对称性知

.20kN N N B A ==

此后逐一研究各节点的平衡。每个节点

只有两个平衡方程，只有从两个杆相交的节

点开始。先取节点A ，其受力如图4所示。

写出平衡方程，有

030sin ,0030cos ,0221=+︒==︒+=∑∑A y x N S F S S F

得kN S kN S 40,6.3421-==

接着取节点D ，其受力图如图5所示，

平衡方程为

060sin ,0060cos ,0131'26=︒--==︒--=∑∑F S F F S S F

y x

得kN S kN S 35,7.863-=-=

以后继续研究节点C,E,F,G,即可求得各杆的内力。其结果为

D

kN S S kN

S S kN S S kN

S S kN S S kN

S S kN S 4035,7.86.34,7.87.8,9.25211610391857354-==-==-=======-==

3、 截面法

适当选取某一截面，假想把桁架截成两部分，取其中任一部分（至少包括两个节点）作为研究对象，根据刚化原理，这一部分可运用刚体平衡条件。实际求解时也先以整体为研究对象求出支座约束反力。截面选为与三根杆（不交于同一点）相交的面，这样对研究对象只有三个未知力，能列三个独立方程可以求解。

例3：求图6所示桁架中指定杆件1、2的内力。

解：首先求支座的约束反力。取桁架整体为研究对象，受力与坐标如图6所示。 然后，求1、2杆的内力，取截面a-a ，

切断杆件1、2、3。以截面右半部分的桁架为研究对象，

其受力图如图7所示，列平衡方程 045cos 2,002221=︒--==--+∑∑F P F Y aP aP aF aF B B K 解得P F P F 2,321=-=

三、 三种方法的比较

虚位移法只适用于虚位移较易求出的情况，但只要虚位移求出来，只需列一个方程，求解过程十分简便。一般求单根杆的内力且虚位移很明显时可用虚位移法。节点法用于求解桁架全部杆件的内力是有效的，但用于求解指定杆件的内力，一般比较烦琐。截面法适用于于求指定杆的内力，但要用它求全部杆件的内力，工作量要比节点法大得多。因此应该根据情况选择计算方法。有时，在一个题目中将两种或三种方法联合应用能收到更明显的效果。 P F P F P F aF aP aP aP aP aP M F X Ay

B Ay B B A Ax 3,063,055432,00,0==-+==+-----===∑