三角形中的边角关系

三角形基础知识

说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p为三角形周长的一半，r为切圆半径，R为外接圆半径，）h a，h b，h c分别为a，b，c边上的高S△ABC表示面积。1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各条线段叫做三角形的边，每两条边组成的角叫做三角形的角（简称三角形的角）．

2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素．

3．确定三角形的条件：在三角形的元素中，边和角叫做三角形的基本元素，其中角确定三角形的形状（定形），边确定三角形的大小（定量），三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与其中一角的对边（AAS），这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系．

4．三角形的“线”与“心”：

（1）高线、垂心．

（2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．（3）中垂线、外接圆、外心．

（4）角平分线、切圆、心、角平分线定理．

（5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理．

（6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质．

5．三角形的分类：

（1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。

（2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

6．等腰三角形的判定与性质、四线合一

7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）

8．三角形元素之间的关系：

（1）角与角的关系：

①角和定理、

②外角定理

③角的性质：围、关系．

④最大角、最小角．

⑤锐角三角形中任两角的和

（2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”）（3）边与角的关系：（“三胞胎”）

①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对

的角也相等，反之也真．

②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比都相等，都等于该

三角形外接圆的直径．

③余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方都等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍．

④射影定理：在一个三角形中，任何两边在第三边上的射影之和都等于第三边．

（4）直角三角形的性质：

①勾股定理

②两个锐角的关系

③锐角的三角函数（边与角的联系）．

④含30º角的直角三角形的性质

⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．

9．解三角形：根据三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形．

10．三角形面积公式：

（1）ABC S ∆111222

a b c ah bh ch === 111sin sin sin 222ab C ac B bc A =

== 2sin sin 2sin a B C A =C

B A c B

C A b sin 2sin sin sin 2sin sin 22== 22sin sin sin R A B C = (sin sin sin )Rr A B C =++

4abc R

= pr =． （2）若1122(),()AB x ,y AC x ,y ==，则ABC S ∆1212||x x y y =-．

（3）若,AB AC ==c b ，则ABC S ∆=

．

1．正弦定理：(2sin sin sin R C

c B b A a ===R 为△ABC 外接圆半径）。 2．余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=；

C ab b a c cos 2222-+=

3．射影定理：B c C b a cos cos +=；A c C a b cos cos +=； A b B a c cos cos +=。

3．三角形中三角函数的关系：由π=++C B A ，可得。

（1）C B A sin )sin(=+，…… ；C B A cos )cos(-=+，…… ； C B A tan )tan(-=+…… ；

（2）2cos )2sin(

C B A =+…… ；2sin )2cos(C B A =+…… ； 2tan )2tan(

C B A -=+……。