第3讲中考数学压轴题训练-圆的综合(教案)

则在 Rt△ACQ 中，由勾股定理得：CQ=
过点 C 作 CF⊥PQ 于点 F， ∵S△ACQ= AC•CQ= AQ•CF，
=
=．
=
=．
∴CF=
=
=2．
在 Rt△ACF 中，由勾股定理得：AF=
=
=4．
由垂径定理可知，AP=2AF， ∴AP=8．
7
例 5、如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随 b 的不同取值而变化． （1）已知⊙M 的圆心坐标为（4，2），半径为 2． 当 b= 10 时，直线 l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心 M； 当 b= 10±2 时，直线 l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M 相切； （2）若把⊙M 换成矩形 ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线 l 扫过 矩形 ABCD 的面积为 S，当 b 由小到大变化时，请求出 S 与 b 的函数关系式．
【解答】（1）解：如答图 1 所示，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E． ∵AC⊥BC， ∴∠ACO+∠BCE=90°， ∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE． ∵在△AOC 与△CEB 中，
∴△AOC≌△CEB（ASA）． ∴CE=OA=4，BE=OC=2， ∴OE=OC+CE=6． ∴B 点坐标为（6，2）． ∵点 C（2，0），B（6，2）在抛物线 y= x2+bx+c 上，
【解答】解：（1）①直线 l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心 M（4，2）时，则有：2=﹣2×4+b，∴b=10； ②若直线 l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M 相切，如答图 1 所示，应有两条符合条件的切线． 设直线与 x 轴、y 轴交于 A、B 点，则 A（ ，0）、B（0，b），∴OB=2OA．
查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐 角三角函数等知识
主要考查涉及的知识有：圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定 与性质，以及相似三角形的判定与性质
主要考查涉及的知识有：圆的切线证明，三角函数，相似三角形，二次函数最值 问题
二பைடு நூலகம்题型概述
几何综合题是中考必考固定题型，考察知识点多，条件隐秘，要求学生有较强的理解能力，分析问题和解 决问题的能力，对数学知识，数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力。它常用相似 图形与圆的知识为考察重点，并贯彻其他几何，代数，三角函数等知识，多以证明，计算等题型出现。
由题意，可知⊙M 与 x 轴相切，设切点为 D，连接 MD；
设直线与⊙M 的一个切点为 P，连接 MP 并延长交 x 轴于点 G；
过 P 点作 PN⊥MD 于点 N，PH⊥x 轴于点 H．
易证△PMN∽△BAO，
∴PN：MN=OB：OA=2：1，
∴PN=2MN．
在 Rt△PMN 中，由勾股定理得：PM2=PN2+MN2，解得：MN=
，
解得：
故直线 AB 表达式为：y=﹣ x+3， 同理可得：根据 B，D 两点求出 BD 的表达式为 y= x+3， ∵kAB×kBD=﹣1， ∴BD⊥AB，BD 为⊙M 的切线；
（3）解：取点 A 关于直线 MC 的对称点 O，连接 DO 并延长交直线 MC 于 P， 此 P 点为所求，且线段 DO 的长为|DP﹣AP|的最大值； 设直线 DO 表达式为 y=kx， ∴﹣5=﹣6k， 解得：k= ， ∴直线 DO 表达式为 y= x 又∵在直线 DO 上的点 P 的横坐标为 2，y= ， ∴P（2， ），
例 3、如图，在平面直角坐标系中，⊙M 过原点 O，与 x 轴交于 A（4，0），与 y 轴交于 B（0，3），点 C 为 劣弧 AO 的中点，连接 AC 并延长到 D，使 DC=4CA，连接 BD． （1）求⊙M 的半径； （2）证明：BD 为⊙M 的切线； （3）在直线 MC 上找一点 P，使|DP﹣AP|最大．
感悟实践
例 1、如图，已知⊙O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与 CD 交于点 M，将 沿 CD 翻折后，点 A 与圆 心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，连接 PC （1）求 CD 的长； （2）求证：PC 是⊙O 的切线； （3）点 G 为 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E．交 于点 F（F 与 B、C 不重 合）．问 GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
．
9
闯关练习
1．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C，设过点 A，B，C 三点 的圆与 y 轴的另一个交点为 D． （1）如图 1，已知点 A，B，C 的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点 D 的坐标； ②若点 M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM 面积的最大值； （2）如图 2，若 a=1，求证：无论 b，c 取何值，点 D 均为定点，求出该定点坐标．
1
3.中考试题中与圆有关的证明及计算，都与圆的切线有关，属于中档题，只要熟悉切线的性质与判定，特 别是掌握如何判定切线很重要，需要指出的是，与圆有关的证明题，往往是以圆为载体，考查时往往还涉 及特殊三角形的识别或构造，这些识别策略，构造策略靠的是对圆中常用的辅助线的熟悉，比如连半径， 作垂直于弦的垂线段等，根据具体情况来决定。
三．解题策略
1.要点：解几何综合题应注意观察，分析图形，把复杂的图形分解为几个基本图形，通过添加辅助线补全 或构造基本图形，掌握常规的证题方法和思路，运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几 何计算问题（还要灵活运用数学思想方法，数行结合，分类讨论） 2.一般策略：①认真分析题意，从已知条件出发逐步推理分析到结论的演绎推理法；②也可由结论逆向 分析获得问题突破的逆向分析法；③还可以是双向的综合分析策略。
6
∴
，
解得 b= ，c=﹣7．
∴抛物线的表达式为：y= x2+ x﹣7．
（2）证明：在抛物线表达式 y= x2+ x﹣7 中，令 y=0，即 x2+ x﹣7=0，
解得 x=2 或 x=7，∴D（7，0）．
如答图 2 所示，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，则 DE=OD﹣OE=1，CD=OD﹣OC=5．
，PN=
，
∴PH=ND=MD﹣MN=2﹣ ，OH=OD﹣HD=OD﹣PN=4﹣ ，
∴P（4﹣ ，2﹣ ），代入直线解析式求得：b=10﹣2 ； 同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b=10+2 ．
（2）由题意，可知矩形 ABCD 顶点 D 的坐标为（2，2）．
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由一次函数的性质可知，当 b 由小到大变化时，直线 l：y=﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次扫过矩形 ABCD 的不同部分． 可得当直线经过 A（2，0）时，b=4；当直线经过 D（2，2）时，b=6；当直线经过 B（6，0）时，b=12；当 直线经过 C（6，2）时，b=14． ①当 0≤b≤4 时，S=0； ②当 4＜b≤6 时，如答图 2 所示． 设直线 l：y=﹣2x+b 与 x 轴交于点 P，与 AD 交于点 Q． 令 y=0，可得 x= ，∴AP= ﹣2； 令 x=2，可得 y=b﹣4，∴AQ=b﹣4． ∴S=S△APQ= AP•AQ= （ ﹣2）（b﹣4）= b2﹣2b+4； ③当 6＜b≤12 时，如答图 3 所示． 设直线 l：y=﹣2x+b 与 x 轴交于点 P，与 CD 交于点 Q． 令 y=0，可得 x= ，∴AP= ﹣2； 令 y=2，可得 x= ﹣1，∴DQ= ﹣3． S=S 梯形 = APQD （DQ+AP）•AD=b﹣5； ④当 12＜b≤14 时，如答图 4 所示． 设直线 l：y=﹣2x+b 与 BC 交于点 P，与 CD 交于点 Q． 令 x=6，可得 y=b﹣12，∴BP=b﹣12，CP=14﹣b； 令 y=2，可得 x= ﹣1，∴DQ= ﹣3，CQ=7﹣ ． S=S 矩形 ABCD﹣S△PQC=8﹣ CP•CQ= b2+7b﹣41； ⑤当 b＞14 时，S=S 矩形 ABCD=8． 综上所述，当 b 由小到大变化时，S 与 b 的函数关系式为：
【解答】（1）解：由题意可得：BO=4cm，t= =2（s）；
（2）解：如图 2，连接 O 与切点 H，则 OH⊥AC， 又∵∠A=45°， ∴AO= OH=3 cm，
3
∴AD=AO﹣DO=（3 ﹣3）cm；
（3）证明：如图 3，连接 EF， ∵OD=OF， ∴∠ODF=∠OFD， ∵DE 为直径， ∴∠ODF+∠DEF=90°， ∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°， ∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG， 又∵∠FCG=∠ECF， ∴△CFG∽△CEF， ∴=， ∴CF2=CG•CE．
在 Rt△BDE 中，由勾股定理得：BD=
=
=；
在 Rt△BCE 中，由勾股定理得：BC=
在△BCD 中，BD= ，BC= ∵BD2+BC2=CD2
，CD=5，
∴△BCD 为直角三角形，∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠ACB=90°，
∴AC∥BD．
（3）解：如答图 3 所示：
由（2）知 AC=BC= ，又 AQ=5，
【解答】（1）解：如图，连接 OC，
∵ 沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，
∴OM= OA= ×2=1，CD⊥OA，
∵OC=2， ∴CD=2CM=2
=2
=2 ；
（2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM= CD= ，∠CMP=∠OMC=90°，
∴PC=
=
=2 ，
2
∵OC=2，PO=2+2=4， ∴PC2+OC2=（2 ）2+22=16=PO2， ∴∠PCO=90°， ∴PC 是⊙O 的切线；
（3）解：GE•GF 是定值，证明如下， 连接 GO 并延长，交⊙O 于点 H，连接 HF ∵点 G 为 的中点 ∴∠GOE=90°， ∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH ∴△OGE∽△FGH ∴= ∴GE•GF=OG•GH=2×4=8． 例 2、如图 1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边 AB 和量角器的直径 DE 在一条直线上， AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候 BD=1cm，现在三角板以 2cm/s 的速度向右移动． （1）当 B 与 O 重合的时候，求三角板运动的时间； （2）如图 2，当 AC 与半圆相切时，求 AD； （3）如图 3，当 AB 和 DE 重合时，求证：CF2=CG•CE．
【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣4； ∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10． 如答图 1，连接 AC、BC．
【解答】（1）解：∵由题意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3， ∴AB=5，
4
∴圆的半径为 ；
（2）证明：由题意可得出：M（2， ） 又∵C 为劣弧 AO 的中点，由垂径定理且 MC= ，故 C（2，﹣1） 过 D 作 DH⊥x 轴于 H，设 MC 与 x 轴交于 K， 则△ACK∽△ADH， 又∵DC=4AC， 故 DH=5KC=5，HA=5KA=10， ∴D（﹣6，﹣5） 设直线 AB 表达式为：y=kx+b，
5
此时|DP﹣AP|=DO=
=．
例 4、如图 1，过点 A（0，4）的圆的圆心坐标为 C（2，0），B 是第一象限圆弧上的一点，且 BC⊥AC，抛 物线 y= x2+bx+c 经过 C、B 两点，与 x 轴的另一交点为 D． （1）点 B 的坐标为（ 6 ， 2 ），抛物线的表达式为 y= x2+ x﹣7 ； （2）如图 2，求证：BD∥AC； （3）如图 3，点 Q 为线段 BC 上一点，且 AQ=5，直线 AQ 交⊙C 于点 P，求 AP 的长．
第 03 讲 中考压轴题-圆的综合
考点梳理 一．近 5 年中考双压轴之圆的综合考点归纳
年份
2015 2016 2017 2018 2019
知识点
考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识
考察翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，圆的切线的定义，相似三 角形的判定与性质．