数列中常见的最值问题

数列中常见的最值问题

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,01>a 若20032004200320040,0,a a a a +>⋅<

（1） 试求公差d 的取值范围（用1a 表示）；

（2） n S 取得最大值的n 值为多少?

（3） 使得0>n S 成立的最大自然数n 的值为多少？

例1设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,01>a 若20032004200320040,0,a a a a +>⋅<

（1） 试求公差d 的取值范围（用1a 表示）；

（2） n S 取得最大值的n 值为多少?

（3） 使得0>n S 成立的最大自然数n 的值为多少？

练习：

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0a 1<, 且 135S S =, 则n S 有最______值，此时n 的值为______.

例2 数列{}n a 的首项1536a 1=，公比2

1q =

，用n T 表示它的前n 项之积，则n T 取得最大值时n 的 值为多少?

例3 数列{}n a 的通项公式n n 9.0n a ⨯=，试问：此数列中是否存在最大项？若有，说明是第几项； 若没有，说明理由。

二、 方法提炼——求数列中常见的最值问题的方法

思考练习：数列{a n }的通项公式为9897

--=n n a n ，则数列{a n }的前30项中最大和最小的项分别是 （ ）

A. 301a ,a

B. 91a ,a

C. 910a ,a

D. 3010a ,a

四、小结

五、分层作业（A 组必做，B 组选做）

A 组

1．在等差数列{a n }中，公差0d <，且|a ||a |73= ，设数列前n 项和为n S ，问: n 为何值时n S 最大？

2．若数列{}n a 满足1722n n a -=（n ∈N*），用n T 表示它的前n 项之积，试求n T 取得最大值时n 的取值.

3．已知156

2+=

n n a n （n ∈N*）求数列{a n }的最大值. B 组 1．等差数列{}n a 的前n 项之和为n S .已知：当且仅当5n =时，n S 有最小值.

(1)当n 取怎样的值时，分别有0,0,0n n n S S S =>

(2)n a 是否可能等于零？试说明理由；

(3)若7872a a +=,问数列{}n a 中有多少项满足9260n a -≤≤?

2．等比数列{}n a 的首项11536a =，公比q 12

=-

，用n T 表示它的前n 项之积，则n |T |的最大项 是第几项? n T 的最大项是第几项?

3．已知数列{}n a 满足1111,()(1)0n n n n a a a a a ++=+--=，试求10a 的最大值与最小值.

4．已知)1(2)()1()(2-=-=x x g x x f ，，数列{}a n 满足,21=a 1()n n a a +-⋅0)()(=+n n a f a g ， 数列{}b n 满足)()(1+-=n n n a g a f b ，试求{}b n 最大项和最小项.