高中数学-曲线与方程测试题

高中数学-曲线与方程测试题

自我小测

1．下列方程中表示相同曲线的一对方程是( )

A ．x ＝y 与y ＝x 2

B ．y ＝x 与x y ＝1

C ．y ＝12

l g x 与y ＝l g x D ．y ＝x 与x 2－y 2＝0 2．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线是下图中的( )

3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( )

A ．x 2＋y 2＝1

B ．x 2＋y 2＝2

C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) D．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)

4．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )

A.π3

B.5π3

C.π3或5π3

D.π3或π6

5．下列命题正确的是( )

A ．方程x

y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线

B ．△AB

C 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0

C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5

D ．曲线2x 2－3y 2

－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0

6．已知点A (a,2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的点，则m ＝__________.

7．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，则点P 与点Q (0，－1)连线的中点的轨迹方程是__________．

8．直线y ＝kx ＋1与y ＝2kx －3(k 为常数，且k ≠0)交点的轨迹方程是__________．

9．已知P 为圆(x ＋2)2＋y 2＝1上的动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹形状．

10．若直线x ＋y －m ＝0被曲线y ＝x 2所截得的线段长为32，求m 的值．

参考答案

1．答案：C

2．解析：原方程可化为⎩

⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≤0，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，－x ＋y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≤0，x ＋y ＝－1，作出其图象为D.

答案：D

3．解析：设动点M (x ，y )，则

MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y )．

由MA →·MB →＝0，

得(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝0，即x 2＋y 2＝1.

答案：A

4．解析：由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12

. 又0≤α＜2π，

∴α＝π3或5π3

. 答案：C

5．解析：对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有D 是正确的．

答案：D

6．解析：根据点A 在曲线y ＝mx 2上，也在直线x －y ＝0上，则⎩⎪⎨⎪⎧

2＝ma 2，a －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，m ＝12.

答案：12

7．解析：设PQ 的中点的坐标为(x ，y )，P (x 0，y 0)，

则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋02，

y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1.

又∵点P 在曲线y ＝2x 2

＋1上，

∴2y ＋1＝8x 2＋1，即y ＝4x 2.

答案：y ＝4x 2

8．解析：y ＝kx ＋1与y ＝2kx －3联立，消去k ，得y ＝5.

由y ＝kx ＋1＝5，得kx ＝4.

∵k ≠0，∴x ≠0.

故所求的轨迹方程为y ＝5(x ≠0)．

答案：y ＝5(x ≠0)

9．解：设M (x ，y )，P (x 1，y 1)．

∵M 为线段OP 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＝2x ，y 1＝2y ，即P (2x,2y )． 将P (2x,2y )代入圆的方程(x ＋2)2＋y 2＝1，可得(2x ＋2)2＋(2y )2＝1，

即(x ＋1)2＋y 2＝14

， 此方程为点M 的轨迹方程，

∴点M 的轨迹图形是以(－1,0)为圆心，12

为半径的圆． 10．分析：直线与曲线交于两点，可设出这两点的坐标，然后灵活应用根与系数的关系求解．

解：设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，联立直线与曲线方程，得

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －m ＝0，y ＝x 2. ①②

将②代入①，得x 2＋x －m ＝0，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－m ， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋(－1)2·|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2

＝2·1＋4m＝32，

所以1＋4m＝3，所以m的值为2.