化工应用数学 4第四章 量纲分析PPT共51页文档

基本量纲
长度，L
质量，M
时间，T
表 2 国际单位制和英制单位
国际单位制(SI)
英制
基本量纲
国际单位制(SI)
英制
米，m 千克，k g
英尺，f t 磅质量，L b m
温度，
摄氏度， o C
或
开尔文， K
华氏度，o F
或
兰金温度，o R
秒， s
秒，s
物质的量，N
摩尔，m o l
摩尔，m o l
不同单 位制之 间有严 格的转 换方法
把式(11)写成
2
t
p
(
g l
)1/2
(12)
上式就是一个无量纲的式子。
一个无量纲的项称为 数群。现在要寻找一个能够描述步行的 数群。如下
valbmcgdse
(13)
式中 a,b,c,d,e是待定参数。式(13)的量纲表达式为
[ ](T L )aL b M c(T L 2)dL e[ ]L a b d eT a 2 dM c
物理量
量纲
表 4 导出单位与量纲
SI单位
物理量
来自百度文库
量纲
SI单位
体积 速度 加速度
L3 LT L T2
m3
压力(=力/面积) M LT 2 kgm •s2Nm 2Pa
ms
m s2
能量
ML2 T 2 kg•m 2s2N •m J
动量( pmv) M L T
kg • m s
力(f ma ) M L T 2 kg•ms2 N(牛
量纲分析 §1.单位和量纲
单位：度量同一物理量的大小。 如长度有 m、cm、mm，
时间有 h、min、s。
量纲（因次）：物理量的种类。 如长度用[L]，时间[T],质量［M］， 无论量的大小都用同一符号表示。
基本量纲：相互独立的量纲，相互之 间不能导出，而其它量的量纲可由基 本量导出。一般取长度［L］、时间 ［T］、质量 ［M］、温度［Θ］
(14)
由于 必须是无量纲的，所以有
a b d e 0
a 2d 0
c0
(15)
从上式可知，质量对步行过程无贡献(c 0 )。上式剩2个方程4个未知数，有无穷的 组合能满足方程。因此必须指定一些情况。引入白金汉 定律：
无因次数群数目(N ) = 参数个数 - 量纲数目(方程数目) (16)
摆的行为了，而不需要去花费时间考虑质量的影响。这说明量纲分析缩短了实验的进
程。而且，对实验数据的分析时，我们有理由相信可在固定摆幅的情况下将t p 对 (l g )1/ 2
作图，这说明量纲分析简化了数据分析过程。通过实验测定发现，当摆幅较小时( 2 ),
周期与摆幅无关，也就是说 t p 和 (l g )1/ 2 之间为线性关系，斜率为2 。因此，任何摆
tpl, m, g和的函数
(4)
或
tp f(l,m,g,)
(5)
由之前讲到的两条基本规则可知，上面函数的每一项必须为时间量纲。这就意味 着式(5)应该和质量无关，因为没有能消除质量量纲的互补项！这样，函数简化为
tp f(l,g,)
(6)
如果长度 l 出现在式(6)中，则必须用 g 除 l 以消除长度量纲，即
导出量纲：其它物理量的量纲可由基 本量纲导出，例如速度量纲 ［ L T 1 ］ ，面积［L 2］， 压强 ［ L1MT2］
单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例
任何物理量都有量纲，基本量纲用大写字母表示，如下表
表 1 基本量纲
基本量纲
符号
基本量纲
符号
长度
L
质量
M
时间
T
温度
物质的量
N
电荷
Q
光照度
I
每个基本量纲都有一个基本单位，该基本单位与单位制有关。下表为两种主要单位制
去年考题：写出任意5个基本单位及量纲
单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例
为了便于描述物理量，复合单位应运而生，例如 m g 和 k m 。下表列出了常用前缀
表 3 复合单位的前缀
前缀
符号
乘数(数值)
前缀
符号
乘数(数值)
兆
M
106
微
10 6
千
k
103
纳
n
10 9
厘
c
10 2
皮
p
10 12
毫
m
10 3
最后一种单位是导出单位。它是基本单位的衍生物并具有特定的名称。如下表
l g
[]
L L T2
[]T2
(7)
也就是说，如果长度出现在式(6)中，那么必然以l g 的形式出现。这样式(6)变为
tp f(l g,)
(8)
又
tp[]T[
](
l g
)1/2
(9)
且， 是无量纲的，因此
t
p
[](
l g
)1/
2
f
()
(10)
上式中量纲不能为函数 f ( ) 提供任何信息。接下来，我们只需要测定不同l 和 时钟
钟运动由以下简单的函数形式
tp
2 ( l )1/2
g
(11)
§2.量纲分析法
量纲分析法是将物理现象所涉及的 物理量组成无量纲综合量。利用 定理使无量纲综合量构成函数关系， 该关系式反映了物理量之间的内在 规律，并使自变量的个数减到最少。
无量纲综合量：由n个物理量组合成 的无量纲数称之。用 表示。例如：
顿)
瓦特
ML2 T3 kg•m 2 s3JsW
去年考题：推导五个导出单位及量纲
例子. 钟摆的量纲分析
下面用量纲分析的方法得到钟摆运动的数学描述(钟摆模型如右图)
m
l
表 5 钟摆参数
物理量
符号
量纲
物理量
符号
量纲
摆动周期
tp
钟摆长度
l
钟摆质量
m
T
重力加速度
g
L T2
L
摆幅
无( L L )
M
希望利用小钟摆模并由物理参数预测摆动周期。我们假设有下方程的形式
表 6 步行参数
参数
符号
量纲
参数
符号
量纲
速度
v
LT
重力
g
LT
腿长
l
L
步长
s
L
质量
m
M
现在用量纲分析来指导步行数据的测量和分析。先回想一下钟摆的分析思路：
tpf(l,m,g,) 量纲分析
t
p
[](
l g
)1/
2
f
()
实验测定/数据分析
tp
2
l ( g
)1/ 2
以上的分析过程简单直观，但是只是针对此类简单问题。下面介绍一种通用方法——无量纲分析法。
n个物理量的基本量纲为m个，则这n个
物理量可组成（n-m）个无量纲数1, 2,, n-m，这些无量纲数也存在函数 关系 F(1, 2,, n-m)=0。
去年考题：无因次数群推导（2题，25分）
例子. 步行的量纲分析
由于人的构造是相似的，因此应当可以根据一些物理参数用量纲分析的方法预测人 的速度。通过分析，下标列出一些可能与人的步行速度相关的物理量
物理量q1、q2、q3L 是量纲无关的量， 则物理量q与它们的关系可表示成
qq1m1
q m2 2
q3m3LLqnmn
或
＝ q
q q m1 m2 12
L
qmn n
表示无量纲综合量，解出有理数m可 得 项。
白金汉定理：设某个物理现象与n个
物理量有关 q1,q2,,qn，这n个物理量
的函数关系为F(q1,q2,,qn)=0。若这