化工应用数学 4第四章 量纲分析PPT共51页文档
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数学模型与数学建模 第4章 量纲分析法
= －X－AV+F0 其中，因v0=x0w0 , w0=
K m
K
原方程变形为
dV AV F0 X dT
优点：
1. 减少了参数的个数； 2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系. 例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的 一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律 m1m 2 f K 2 r 中的引力常数K的量纲为
量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变
模型中的各物理量： f , l , h, v , , , g 原型中的各物理量： f , l , h, v, , , g 有
l , v , lv ) f l v ( h lg 2 2
fl v
当无量纲量
l h
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量
纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.
2. 无量纲化方法减少参数个数.
例4.1.2 非线性震荡运动方程
2
dx m Kx C F 2 dt dt
d x
或
K m
K
原方程变形为
dV AV F0 X dT
优点：
1. 减少了参数的个数； 2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系. 例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的 一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律 m1m 2 f K 2 r 中的引力常数K的量纲为
量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变
模型中的各物理量： f , l , h, v , , , g 原型中的各物理量： f , l , h, v, , , g 有
l , v , lv ) f l v ( h lg 2 2
fl v
当无量纲量
l h
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量
纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.
2. 无量纲化方法减少参数个数.
例4.1.2 非线性震荡运动方程
2
dx m Kx C F 2 dt dt
d x
或
化工原理第四章 1-2
③床层比表面
aB
=
S V床
=
S(1 Vp
e
)
=
a(1 - e )
3．流体通过固定床的压降
几何边界复杂，无法解析解，要靠实验 数学模型法主要步骤：
3.1 简化模型（数模思想） 过程特征： ①爬流，表面剪切力为主，
形体力(压差力)为次 ②空隙中实际速度与空隙大小有关
简化原则： 模型与原型①表面积要相等
e3
e
)2
µu
=
K
a2 (1 -
e3
e
)2
µu
DP L
=
a2 (1 -
5 e3
e
)2
µu
适用范围：Re’<2
床层雷诺数
4e
u
宽范围：
a(1 - e ) e
Re'= deu1r = ru 4µ a(1 - e )µ
细管
hf
=
DP
r
= l Le
de
u12 2
DP L
=
l
Le L
ru12
2de
=
l
Le a(1 -
第四章 流体通过颗粒层的流动
（1）
化工定床—由许多固体颗粒堆积成的静止颗粒层
1.2 固定床阻力的影响因素
①流体物性：ρ,µ ②操作因素： u ③设备因素： 颗粒直径，
颗粒大小分布， 空隙大小
2 颗粒床层的特性
2.1 单颗粒的特性
球形颗粒，只需一个参数dp
颗粒特性:体积
L
u=0.9m/s时 DP = 2300Pa / m 。
L
求：CO以u=0.5m/s通过时的 DP 。
L
第四章 相似原理与量纲分析
图 4-2 几何相似、运动相似与动力相似
为了同时满足上述几类相似，原型与模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。以匀速运动 为例，原型与模型之间必须首先满足
v p / vm Cv
l p / lm Cl p / m C
公式中的 Cv、Cl、Cτ 称为速度、位移和时间的相似常数。 根据匀速运动的特点，要保证原型与模型之间相似，上述相似常数必须满足
在热量传输研究中需要加上第四个基本量纲——温度量纲 Θ。
除了量纲量之外还存在无量纲量(nondimensional variable)，即没有量纲的物理量。无量纲量有两种， 一种是自然无量纲量，例如常数；另一种是由一定物理量组合而成，例如各种相似准数。
无量纲物理量具有以下性质：客观性、不受运动规模的影响、清楚反映问题实质、可进行超越函是判断模型与原型是否相似的关键。因此，如何获得所研究问题相关的 相似准数是研究相似现象的必要步骤。常用的相似准数确定方法主要包括量纲分析法、方程分析法(包括 相似转换法和积分类比法)和定律分析法。本课程只介绍量纲分析法(dimensional analysis)。 4.2.1 量纲与单位 任何物理量都包括大小和种类两方面。物理量的大小可以用相应的单位(unit)来表示；物理量所属的 种类则用量纲(dimension，又称为因次)来表示，例如长度就是一种量纲。量纲与单位有以下区别：量纲 是物理量的测量尺度，反映物理量的物理属性，不含有数值；单位是一种分配数值给量纲的方法。同一 量纲可以用多种单位表示，例如长度可以用米、毫米、微米、纳米等单位来表示。 量纲可以分为基本量纲(fundamental/basic dimension)和导出量纲(nonprimary dimension)。基本量纲是 具有独立性的量纲，在动量传输领域中有三个基本量纲：长度量纲 L、时间量纲 T、质量量纲 M。导出 量纲由基本量纲组合而成，例如速度量纲由长度量纲和时间量纲组合而成。
量纲分析法与无量纲化ppt课件
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s
j
j 1
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解0 1 1212y
y1 ,
y2
,
y3
1 1
1 0
0
0
0 1 0 0 0 1
1 2
v2 1 p lv 1
3 l 1v2 g1
2
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中 基本量纲 M, L, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
导出量纲
万有引力常数 G 的量纲 [G]=M-1L3T-2
在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度
和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、、J、和N；称为基本量纲。
任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
量纲分析法与 无量纲化
1
量纲分析法与无量纲化
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐 次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析， 可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。
对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
量纲分析
解:下面我们按照定理的过程来做.
设关系式为 ( f,l,h,v, , , g) 0
(7)
取基本量纲为L, M ,T .由于
[ ] L3 M ,[] [ p / v ] L1MT 1.
x
回忆：压强[ p] [ f / S] L1MT 2 .
因此量纲矩阵为
加速度a dv , 故[a] LT 2; dt
力f :由牛顿第二定律f ma知,[ f ] LMT 2;
动量[mv ] LMT 1;压强[ p] [ f / S] L1MT 2 .
有些物理常数,比例系数也是有量纲的,如
万 有 引 力 常 数: 由f
k
m1m2 r2
1 1 1 1 3 1 1 L
A
1
00
0
1
1
0
M
2 0 0 1 0 1 2 T
f lhv g
易验证R( A) 3.因此其一个基础解系含4个解向量 :
0
1
1
y1
0
,
0 0
0
0
l
2
v
2
(
l h
,
lg v2
, lv )
l 2v2 ( l , Fr, Re).
h
虽然ψ的具体表达式我们不知道,但是这并不 能妨碍我们应用这个结果.思想是:
记我们做实验的比例模型的数据为f,l,h,v, , , g;
而航船原型的数据为f ,l,h,v,, , g.
|t 0 1,
(13)
此问题的解仍可记为 x x(t ; )
量纲分析法课件
量的待定幂指数，从而可得到 j 的表达式。 如在该问题中，令：
4
5
M M
0 L0 t 0 0 L0 t 0
L ML3 A1
Lt2 ML3
Mt2 A2 L A3
Mt L B1
2 B2
B3
4
5
M M
0 0
L0t0 L0t0
毛细现象。管中水柱上升的高度 h和水的密度 、表面张
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
Re)
CD
A
2
2
此即为著名的雷利（Rayleigh)绕流阻力计算公式。
式中：CD f (Re) 称绕流阻力系数，在不可压缩流体中与Re 有 关，可由实验测取二者的关系曲线。
23
水射流的加工过程中非常复杂，涉及到许多参数，可以写成如下 式:
Vm f m , m , dm , s , H , E
式中：Vm —单个颗粒的切削率；m —颗粒的速度； m —磨料 的密度； dm —颗粒的平均直径； s —被加工材料的屈服强度；H 、E —材料的刚度和弹性模量。对其模型的描述也较为困难。
燕山大学的王军、于超、耿鹏飞等基于量纲分析法，建立了水射 流打孔过程的新数学模型，
通过试验验证该模型的误差仅为3 % ～ 1 0 % 。
24
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3
量纲分析_精品文档
量纲分析量纲分析是解决物理和工程问题的一个重要的科学方法和强有力的工具。
本书着重对物理和工程问题的物理机理和数量级进行分析，尽量避免运用比较复杂的数学。
在介绍了作为量纲分析的唯一的理论基础η定理以后，采用案例分析的方法，由浅入深地阐述和介绍运用量纲分析方法来解决力学中众多方面的典型问题，其中包括简单和常见问题的分析；经典问题的分析；前沿问题的分析。
始终贯彻并突出说明的是，分析问题的关键在于：在控制问题的自变量中找出问题所固有的单位系统，以此度量有关的变量，合理地抓大放小，从而导出简要结果。
全书共10章，1、序论，介绍量纲、有量纲量、无量纲量、基本量、及其导出量的定义；2、量纲分析的基本原理，论述η定理，它是量纲分析的理论基础；3、流体力学中的问题，讨论量纲分析在流体力学中的应用；4、固体力学中的问题，介绍量纲分析在固体力学中的应用；5、固体中的热传导和热应力，讨论固体中热应力的相似定律；6。
流体运动和固体变形的耦合问题，采用量纲分析讨论流体运动和固体变形耦合的相关案例；7。
液体-弹塑性体模型，并以该模型为基础，讨论在爆炸和高速冲击的实际问题中的控制参数和相似性参数；8。
爆炸的相似律，讨论爆炸波的传播规律，工程技术应用中爆炸的基本原理和相似律，主要涉及爆炸成形、爆炸焊接和爆破；9。
高速冲击的相似律，介绍由三种类型反坦克弹产生的装甲动态破坏、射流和薄片的拉伸断裂、煤与瓦斯突出；10。
数学模拟中的归一化，数学模拟是指：不同类型的物理现象，可以用共同的数学语言来描述的一类模拟，数学模拟的关键在于归一化，即要选择合适的单位系统。
本书适合大学生和研究生阅读，对于物理、力学、工程技术和应用数学相关领域的研究人员、工程师、和研究生来说，是一本很有价值的参考书。
吴永礼，研究员（中国科学院力学研究所）。
化工应用数学.ppt
A1In
– Method (2)
a
1 ij
|
1 A
|
(cof
actor
of
a ji
in
A)
|
1 A
|
(1)i
j
M
ji
• Why find A-1 ?
X A1B (if AX B)
Cramer’s Rule
• If A is an n x n nonsingular matrix, the unique solution of the nonhomogeneous system AX = B is given by X =A-1 B
combinations: F1+F2 – rank (A) = 1
The Determinant of a Square Matrix
• A number produced from the matrix A:
| A |, or det (A)
• It is defined as a sum of multiples of (n-1) x (n-1) determinants formed from the elements of A.
called an eigenvalue of A if, for some nonzero n x 1 matrix X,
AX X
• Any nonzero n x 1 matrix X satisfying this equation for
some number is called an eigenvector of A associated with the eigenvalue .
(4)量纲分析和相似原理
φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N(π)=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2
据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d
或
l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为
《量纲分析》课件
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公式分析：通过分析物理量之间的 关系，确定其量纲
量纲分析的优点：可以快速、准确 地确定物理量的量纲，提高计算效 率
参数分析法
基本概念：量纲分析是一种数学方法，用于分析物理量之间的关系 应用领域：广泛应用于物理学、化学、生物学等领域 基本步骤：确定物理量之间的关系，建立方程组，求解未知参数 优点：可以简化复杂的物理问题，提高解决问题的效率
图形分析法
基本概念：量纲分 析是一种通过图形 表示物理量之间的 关系的方法
应用领域：广泛应 用于物理学、化学、 生物学等领域
优点：直观、易于 理解，便于分析物 理量之间的关系
步骤：确定物理量 之间的关系，画出 图形，分析量纲关 系，得出结论
Байду номын сангаас
量纲分析的应用
在物理建模中的应用
量纲分析可以帮助我们理解物理量之间的关系，从而建立更准确的物理模型。 在流体力学中，量纲分析可以帮助我们理解流体的流动特性，从而建立更准确的流体力学模型。 在热力学中，量纲分析可以帮助我们理解热力学定律，从而建立更准确的热力学模型。 在电磁学中，量纲分析可以帮助我们理解电磁场的特性，从而建立更准确的电磁学模型。
精度和误差的影响
量纲分析无法 准确预测实际 测量的精度和
误差
量纲分析无法 考虑测量过程 中的系统误差
和随机误差
量纲分析无法 预测测量结果
的不确定性
量纲分析无法 考虑测量仪器 的精度和稳定 性对测量结果
的影响
主观因素的影响
量纲分析依赖于人的主观判断 和经验
量纲分析可能受到人的主观偏 见和认知偏差的影响
量纲分析的重要性
量纲分析是科 学研究中不可 或缺的工具， 可以帮助我们 理解和解释物
量纲分析法ppt课件
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 纲 力 F 的量纲 [F]=LMT-2
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
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量纲分析 §1.单位和量纲
单位：度量同一物理量的大小。 如长度有 m、cm、mm，
时间有 h、min、s。
量纲（因次）：物理量的种类。 如长度用[L]，时间[T],质量［M］， 无论量的大小都用同一符号表示。
基本量纲：相互独立的量纲，相互之 间不能导出，而其它量的量纲可由基 本量导出。一般取长度［L］、时间 ［T］、质量 ［M］、温度［Θ］
基本量纲
长度，L
质量，M
时间，T
表 2 国际单位制和英制单位
国际单位制(SI)
英制
基本量纲
国际单位制(SI)
英制
米，m 千克，k g
英尺，f t 磅质量，L b m
温度，
摄氏度， o C
或
开尔文， K
华氏度，o F
或
兰金温度，o R
秒， s
秒，s
物质的量，N
摩尔，m o l
摩尔，m o l
不同单 位制之 间有严 格的转 换方法
去年考题：写出任意5个基本单位及量纲
单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例
为了便于描述物理量，复合单位应运而生，例如 m g 和 k m 。下表列出了常用前缀
表 3 复合单位的前缀
前缀
符号
乘数(数值)
前缀
符号
乘数(数值)
兆
M
106
微
10 6
千
k
103
纳
n
10 9
厘
c
10 2
皮
p
10 12
毫
m
10 3
最后一种单位是导出单位。它是基本单位的衍生物并具有特定的名称。如下表
(14)
由于 必须是无量纲的，所以有
a b d e 0
a 2d 0
c0
(15)
从上式可知，质量对步行过程无贡献(c 0 )。上式剩2个方程4个未知数，有无穷的 组合能满足方程。因此必须指定一些情况。引入白金汉 定律：
无因次数群数目(N ) = 参数个数 - 量纲数目(方程数目) (16)
把式(11)写成
2
t
p
(
g lBiblioteka )1/2(12)上式就是一个无量纲的式子。
一个无量纲的项称为 数群。现在要寻找一个能够描述步行的 数群。如下
valbmcgdse
(13)
式中 a,b,c,d,e是待定参数。式(13)的量纲表达式为
[ ](T L )aL b M c(T L 2)dL e[ ]L a b d eT a 2 dM c
表 6 步行参数
参数
符号
量纲
参数
符号
量纲
速度
v
LT
重力
g
LT
腿长
l
L
步长
s
L
质量
m
M
现在用量纲分析来指导步行数据的测量和分析。先回想一下钟摆的分析思路：
tpf(l,m,g,) 量纲分析
t
p
[](
l g
)1/
2
f
()
实验测定/数据分析
tp
2
l ( g
)1/ 2
以上的分析过程简单直观，但是只是针对此类简单问题。下面介绍一种通用方法——无量纲分析法。
物理量
量纲
表 4 导出单位与量纲
SI单位
物理量
量纲
SI单位
体积 速度 加速度
L3 LT L T2
m3
压力(=力/面积) M LT 2 kgm •s2Nm 2Pa
ms
m s2
能量
ML2 T 2 kg•m 2s2N •m J
动量( pmv) M L T
kg • m s
力(f ma ) M L T 2 kg•ms2 N(牛
顿)
瓦特
ML2 T3 kg•m 2 s3JsW
去年考题：推导五个导出单位及量纲
例子. 钟摆的量纲分析
下面用量纲分析的方法得到钟摆运动的数学描述(钟摆模型如右图)
m
l
表 5 钟摆参数
物理量
符号
量纲
物理量
符号
量纲
摆动周期
tp
钟摆长度
l
钟摆质量
m
T
重力加速度
g
L T2
L
摆幅
无( L L )
M
希望利用小钟摆模并由物理参数预测摆动周期。我们假设有下方程的形式
tpl, m, g和的函数
(4)
或
tp f(l,m,g,)
(5)
由之前讲到的两条基本规则可知，上面函数的每一项必须为时间量纲。这就意味 着式(5)应该和质量无关，因为没有能消除质量量纲的互补项！这样，函数简化为
tp f(l,g,)
(6)
如果长度 l 出现在式(6)中，则必须用 g 除 l 以消除长度量纲，即
摆的行为了，而不需要去花费时间考虑质量的影响。这说明量纲分析缩短了实验的进
程。而且，对实验数据的分析时，我们有理由相信可在固定摆幅的情况下将t p 对 (l g )1/ 2
作图，这说明量纲分析简化了数据分析过程。通过实验测定发现，当摆幅较小时( 2 ),
周期与摆幅无关，也就是说 t p 和 (l g )1/ 2 之间为线性关系，斜率为2 。因此，任何摆
l g
[]
L L T2
[]T2
(7)
也就是说，如果长度出现在式(6)中，那么必然以l g 的形式出现。这样式(6)变为
tp f(l g,)
(8)
又
tp[]T[
](
l g
)1/2
(9)
且， 是无量纲的，因此
t
p
[](
l g
)1/
2
f
()
(10)
上式中量纲不能为函数 f ( ) 提供任何信息。接下来，我们只需要测定不同l 和 时钟
导出量纲：其它物理量的量纲可由基 本量纲导出，例如速度量纲 ［ L T 1 ］ ，面积［L 2］， 压强 ［ L1MT2］
单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例
任何物理量都有量纲，基本量纲用大写字母表示，如下表
表 1 基本量纲
基本量纲
符号
基本量纲
符号
长度
L
质量
M
时间
T
温度
物质的量
N
电荷
Q
光照度
I
每个基本量纲都有一个基本单位，该基本单位与单位制有关。下表为两种主要单位制
n个物理量的基本量纲为m个，则这n个
物理量可组成（n-m）个无量纲数1, 2,, n-m，这些无量纲数也存在函数 关系 F(1, 2,, n-m)=0。
去年考题：无因次数群推导（2题，25分）
例子. 步行的量纲分析
由于人的构造是相似的，因此应当可以根据一些物理参数用量纲分析的方法预测人 的速度。通过分析，下标列出一些可能与人的步行速度相关的物理量
钟运动由以下简单的函数形式
tp
2 ( l )1/2
g
(11)
§2.量纲分析法
量纲分析法是将物理现象所涉及的 物理量组成无量纲综合量。利用 定理使无量纲综合量构成函数关系， 该关系式反映了物理量之间的内在 规律，并使自变量的个数减到最少。
无量纲综合量：由n个物理量组合成 的无量纲数称之。用 表示。例如：
物理量q1、q2、q3L 是量纲无关的量， 则物理量q与它们的关系可表示成
qq1m1
q m2 2
q3m3LLqnmn
或
＝ q
q q m1 m2 12
L
qmn n
表示无量纲综合量，解出有理数m可 得 项。
白金汉定理：设某个物理现象与n个
物理量有关 q1,q2,,qn，这n个物理量
的函数关系为F(q1,q2,,qn)=0。若这
单位：度量同一物理量的大小。 如长度有 m、cm、mm，
时间有 h、min、s。
量纲（因次）：物理量的种类。 如长度用[L]，时间[T],质量［M］， 无论量的大小都用同一符号表示。
基本量纲：相互独立的量纲，相互之 间不能导出，而其它量的量纲可由基 本量导出。一般取长度［L］、时间 ［T］、质量 ［M］、温度［Θ］
基本量纲
长度，L
质量，M
时间，T
表 2 国际单位制和英制单位
国际单位制(SI)
英制
基本量纲
国际单位制(SI)
英制
米，m 千克，k g
英尺，f t 磅质量，L b m
温度，
摄氏度， o C
或
开尔文， K
华氏度，o F
或
兰金温度，o R
秒， s
秒，s
物质的量，N
摩尔，m o l
摩尔，m o l
不同单 位制之 间有严 格的转 换方法
去年考题：写出任意5个基本单位及量纲
单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例
为了便于描述物理量，复合单位应运而生，例如 m g 和 k m 。下表列出了常用前缀
表 3 复合单位的前缀
前缀
符号
乘数(数值)
前缀
符号
乘数(数值)
兆
M
106
微
10 6
千
k
103
纳
n
10 9
厘
c
10 2
皮
p
10 12
毫
m
10 3
最后一种单位是导出单位。它是基本单位的衍生物并具有特定的名称。如下表
(14)
由于 必须是无量纲的，所以有
a b d e 0
a 2d 0
c0
(15)
从上式可知，质量对步行过程无贡献(c 0 )。上式剩2个方程4个未知数，有无穷的 组合能满足方程。因此必须指定一些情况。引入白金汉 定律：
无因次数群数目(N ) = 参数个数 - 量纲数目(方程数目) (16)
把式(11)写成
2
t
p
(
g lBiblioteka )1/2(12)上式就是一个无量纲的式子。
一个无量纲的项称为 数群。现在要寻找一个能够描述步行的 数群。如下
valbmcgdse
(13)
式中 a,b,c,d,e是待定参数。式(13)的量纲表达式为
[ ](T L )aL b M c(T L 2)dL e[ ]L a b d eT a 2 dM c
表 6 步行参数
参数
符号
量纲
参数
符号
量纲
速度
v
LT
重力
g
LT
腿长
l
L
步长
s
L
质量
m
M
现在用量纲分析来指导步行数据的测量和分析。先回想一下钟摆的分析思路：
tpf(l,m,g,) 量纲分析
t
p
[](
l g
)1/
2
f
()
实验测定/数据分析
tp
2
l ( g
)1/ 2
以上的分析过程简单直观，但是只是针对此类简单问题。下面介绍一种通用方法——无量纲分析法。
物理量
量纲
表 4 导出单位与量纲
SI单位
物理量
量纲
SI单位
体积 速度 加速度
L3 LT L T2
m3
压力(=力/面积) M LT 2 kgm •s2Nm 2Pa
ms
m s2
能量
ML2 T 2 kg•m 2s2N •m J
动量( pmv) M L T
kg • m s
力(f ma ) M L T 2 kg•ms2 N(牛
顿)
瓦特
ML2 T3 kg•m 2 s3JsW
去年考题：推导五个导出单位及量纲
例子. 钟摆的量纲分析
下面用量纲分析的方法得到钟摆运动的数学描述(钟摆模型如右图)
m
l
表 5 钟摆参数
物理量
符号
量纲
物理量
符号
量纲
摆动周期
tp
钟摆长度
l
钟摆质量
m
T
重力加速度
g
L T2
L
摆幅
无( L L )
M
希望利用小钟摆模并由物理参数预测摆动周期。我们假设有下方程的形式
tpl, m, g和的函数
(4)
或
tp f(l,m,g,)
(5)
由之前讲到的两条基本规则可知，上面函数的每一项必须为时间量纲。这就意味 着式(5)应该和质量无关，因为没有能消除质量量纲的互补项！这样，函数简化为
tp f(l,g,)
(6)
如果长度 l 出现在式(6)中，则必须用 g 除 l 以消除长度量纲，即
摆的行为了，而不需要去花费时间考虑质量的影响。这说明量纲分析缩短了实验的进
程。而且，对实验数据的分析时，我们有理由相信可在固定摆幅的情况下将t p 对 (l g )1/ 2
作图，这说明量纲分析简化了数据分析过程。通过实验测定发现，当摆幅较小时( 2 ),
周期与摆幅无关，也就是说 t p 和 (l g )1/ 2 之间为线性关系，斜率为2 。因此，任何摆
l g
[]
L L T2
[]T2
(7)
也就是说，如果长度出现在式(6)中，那么必然以l g 的形式出现。这样式(6)变为
tp f(l g,)
(8)
又
tp[]T[
](
l g
)1/2
(9)
且， 是无量纲的，因此
t
p
[](
l g
)1/
2
f
()
(10)
上式中量纲不能为函数 f ( ) 提供任何信息。接下来，我们只需要测定不同l 和 时钟
导出量纲：其它物理量的量纲可由基 本量纲导出，例如速度量纲 ［ L T 1 ］ ，面积［L 2］， 压强 ［ L1MT2］
单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例
任何物理量都有量纲，基本量纲用大写字母表示，如下表
表 1 基本量纲
基本量纲
符号
基本量纲
符号
长度
L
质量
M
时间
T
温度
物质的量
N
电荷
Q
光照度
I
每个基本量纲都有一个基本单位，该基本单位与单位制有关。下表为两种主要单位制
n个物理量的基本量纲为m个，则这n个
物理量可组成（n-m）个无量纲数1, 2,, n-m，这些无量纲数也存在函数 关系 F(1, 2,, n-m)=0。
去年考题：无因次数群推导（2题，25分）
例子. 步行的量纲分析
由于人的构造是相似的，因此应当可以根据一些物理参数用量纲分析的方法预测人 的速度。通过分析，下标列出一些可能与人的步行速度相关的物理量
钟运动由以下简单的函数形式
tp
2 ( l )1/2
g
(11)
§2.量纲分析法
量纲分析法是将物理现象所涉及的 物理量组成无量纲综合量。利用 定理使无量纲综合量构成函数关系， 该关系式反映了物理量之间的内在 规律，并使自变量的个数减到最少。
无量纲综合量：由n个物理量组合成 的无量纲数称之。用 表示。例如：
物理量q1、q2、q3L 是量纲无关的量， 则物理量q与它们的关系可表示成
qq1m1
q m2 2
q3m3LLqnmn
或
＝ q
q q m1 m2 12
L
qmn n
表示无量纲综合量，解出有理数m可 得 项。
白金汉定理：设某个物理现象与n个
物理量有关 q1,q2,,qn，这n个物理量
的函数关系为F(q1,q2,,qn)=0。若这