二次函数的图像和性质表格
九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质课件 (新版)新人教版
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
26.1.2二次函数的图像(1)(^__^) 嘻嘻……
当a>0时,抛物线的 开口向上,顶点是抛物线 的最低点, a越大,抛 物线的开口越小;
当a<0时,抛物线的开口 向上,顶点是抛物线的最高点 , a越大,抛物线的开口越大; 开口大小：|a|越大，开口 越小；|a|越小，开口越大
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
yx
2
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 y=x2 （0，0） y= -x2 （0，0） y轴 在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 .
y x
2
顶点坐标
4
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-2 2 1
y x
2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
1
0
-8 -6 -4 -2 -1 2 4
共同点: 开口向上; 除顶点外,图像 都在x轴上方 不同点: 开口大小不同;
y=- 2
1
-2
-3
-4
-5
当a〈0时，图 x 象开口向下， 顶点是抛物线 的最高点，a 越大，抛物线 的开口越大。
6 8
-6
-7
x2
-8 -9
y=-x2
二次函数y=x2
4.
书：第11页 第2题（上面的）
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
y x2
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置
不必死记硬背哦，如 果实在不记得这些性 质了，可以像老师一 样，画一个简单的图 象，一切就ok了。
y x2
y=ax2(a＞0)
是轴对称图形，对称轴是y轴
请你任意找出2组几何对称点,并与同 伴交流. 如（-2,4），（2,4）是一组对称点 （2）图象有最低点吗？如果有，最 低点的坐标是什么？ 有，（0,0） (3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值 如何变化？当x>0呢？ (4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？
当 x﹥0 时，函数值y随x 的 增大而增大 ；当x＜0时， 函数值y随x 的 增大而减小 。
0
x
Hale Waihona Puke 4.顶点就是 原点（0,0） ,是抛 当x=0时，y最小值=0，且y 物线的最低点。开口 ， 没有最 大 值，即y ≥ 0 向上 抛物线向上无限延伸。
把书翻到第9页，看看第3题，先完成表格，然后在同一个平面直角 1 坐标系中画出y= - 2 x2、y= -x2、y= -2x2的图象。 画好了吗？同位子把本子调换过来，帮忙检查一下，是不是正确的。 把书翻到第10页，对照图22-4看看，自己画的是否正确。 由此可见，二次函数的图象都是（ 抛物线 ）。 仿照第9页的表格，独立完成第10页第4题。 抛物线y=ax2(a＜0)
驶向胜利 的彼岸
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2X . （2）因为 -4≠-2（-1）2 ,所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上.
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质ppt省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c旳符号拟定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c旳符号拟定
开口方向
y abc 0
（4）与直线x
1交点
y
a
b
c
0
y a b c 0
y X=1
y abc0
o
y abc0
x
y abc0
y abc 0
与直线x 1交点 y a b c 0
y a b c 0
y
y abc 0
y abc 0
o
x
y abc0
X=-1
1.试判断a,b, c的符号
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小
)值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c旳图象如 下图所示，x= 1 为该图象旳对称轴，根
象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 旳大致图象是
(C ) y
y
y
y
ox
二次函数y=ax2的图像与性质》课件
0时，y<0.
记 r 为圆的半径，S 为该圆的面 积，有面积公式S=πr2，表明S是r的 函数. (1)当半径r分别为2、2.5、3时，求圆 的 面积S（π取3.14）； (2)画出函数S=πr2的图象.
函数S=πr2 的图象: 注意r≥0的条件.
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
2 二次函数y=ax 的图象和性质
复习回顾
函数的图象的意义：
一般地，对于一个函数，如果把 自变量与函数的每对对应值分别作为 点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面 内由这些点组成的图形就是这个函数 的图象。
函数图象的画法：
组卷网
1、列表
2、描点 3、连线
列出自变量与函数的对应值表。 注意：自变量的值必须满足取值范围.
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴 在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 不同点: 开口大小不同;
1
-3 -2 -1 0 -1
y
1 2 3 x
1 2 y x 2
-2 -3 -4 -5
y x2 a 越大， 抛物线的开口越大．
2
…
y=－x2
-４ -2.25
-2.25 -４ …
-１.１２５
…
-2
-１.１２５
-2
…
y=－2x2
… -８
-4. 5
-２
-０ . ５ ０
-０ . ５
-２
-4. 5
-８ …
1
二次函数的图像和性质表格
配方法
将二次函数通过配方转化为顶点式$y=a(xh)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。根据 $a$的正负和顶点坐标可求得最值。
公式法
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$ ，其最值可通过公式$-frac{b}{2a}$求得对 称轴，再代入原函数求得最值。
04 典型二次函数图 像举例
对称轴与顶点坐标
对称轴
对于一般形式$y=ax^2+bx+c$的二次函 数，其对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$。
VS
顶点坐标
顶点的横坐标为对称轴与抛物线的交点， 即$x=-frac{b}{2a}$，纵坐标为$cfrac{b^2}{4a}$。
与坐标轴交点情况
与$x$轴交点
解方程$ax^2+bx+c=0$，若$Delta=b^2-4ac>0$，则有两个不相等的实数根，即抛物线与$x$轴 有两个交点；若$Delta=0$，则有两个相等的实数根，即抛物线与$x$轴有一个交点；若$Delta<0$ ，则无实数根，即抛物线与$x$轴无交点。
与$y$轴交点
抛物线与$y$轴的交点为点$(0,c)$。
03 二次函数性质分 析
奇偶性判断方法
观察法
通过观察二次函数的表达式，判断其是否满足$f(-x)=f(x)$或$f(-x)=-f(x)$，若满足则函数为偶函数或奇函数。
代数法
将$-x$代入二次函数的表达式，化简后与原函数比较，若相等则为偶函数，若互为相反数则为奇函数。
二次函数表达式
一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$ ，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$a neq 0$。
二次函数y=a(x-h)^2+k的图像与性质
|h|
y = a(x - h )2
左右平移 |h|个单位
|k|个单位
y = ax2
如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 2 4
3 y ( x 3) 2 3 4
3 y ( x 5) 2 2 4
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
2 抛物线y=a(x－h) +k有如下
特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？
y= 2（x-4）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
2 抛物线y=a(x－h) +k有如下
特点:
顶点式
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y=a(x-h)2+k 的图象和性质
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 k>0 上移 y=ax2 k<0 下移 左加 y=ax2 右减 顶点（h，0） 对称轴 x=h y=ax2+k 顶点（0，k） 对称轴 x=0 y=a(x-h)2
二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质
解析式
对称轴
顶点坐标 （1，1） （-1，1） （2，1） （-2，1） （3，-2） （-3，2）
最值
X=1 解析式 X=-1
1
1
X=2
1
X=-2
1
X=3
-2
X=-3
2
X=h
(h,k)
k
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
向上 向下 向下 向上
x=3 x=-3 x=2 x=-1
(3,3) (-3,-2) (2,-1) (-1,1)
3 -2 -1 1
结论: 一般地，抛物线 y = a(xh)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
函数 y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
开口方向对称轴顶点 Nhomakorabea最值
增减性 x<3，递减；x>3，递增 x>-3，递减；x<-3，递增 x>-2，递减；x<-2，递增 x<-1，递减；x>-1，递增
向上平移7个单位，向右平移3个单位
九年级数学第二章二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点进阶：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点进阶：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()20y ax c c =+>cjyxOc()20y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()20y ax c c =+<()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点进阶：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质例1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．例2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2a ay ax +=的图象是开口向上的抛物线．举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．例3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质例4.关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ）A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3.举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．例5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)m y m x-=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23-2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. 对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．。
2.2二次函数的图像和性质
<列表>
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
做一做
描点,连线
y
10 8 6 4
2 y=x
?
-4 -3 -2 -1
2 0 -2 1 2 3 4 x
议一议
观察图象,回答问题串
y
10
2 y=x
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流 . 8 (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出 6 几对对称点,并与同伴交流. 4 (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? 2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 1 的值如何变化？当x>0呢？
开口方向
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函 数y=x2和y=-x2的图象
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的
增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增
大而减小,当x=0时,函数y的值最大
想一想
二次函数y=ax²+bx+c的图象
驶向胜利 的彼岸
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经 作过的二次函数的图象有什么关系? 你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?
二次函数的图像和性质五
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增
当x
b
时,
大.
最小值为
4ac
b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
当x
b
小.
时, 最大值为
4ac b2
2a
4a
（五）、学习回顾：
填写表格：
抛物线
开口方向 对称轴
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0) y=a(x-h)2(a>0)
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是（ A ）
• A4
B. -1
C. 3
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交
点为(1,0),则下列各式中不成立的是
A.b2-4ac>0
B.
-
b 2a
<0
（ B）
y
C.a+b+c=0
D. 4ac-b2 >0 4a
y= —21 (x―6)2 +3
归纳
二次函数 y= —1 x2－6x +21图象的画法：
2
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
x
y 1 (x 6)2 3 2
…3 4 5 6 7 8 9… … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。 ⑷顶点坐标是（ b ，4ac b2 ）。
22.1.3二次函数的图像与性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
二次函数图像性质表格
二次函数的图象1、二次函数的性质2、二次函数解析式的几种形式：①一般式：y = ax bx c( a、b、c为常数，a丰0)2y =a(x_h) k( a、h、k为常数，0),其中(h, k)为顶点坐标。
②顶点式：③交点式：y 二a(x _ xj(x _ X 2)，其中Xi , X 2是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一2元二次方程axbx ・c=0的两个根，且a 丰0,(也叫两根式)。
3、求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法2 2①配方法：将解析式 y 二ax bx c化为y 二a(x-h) k 的形式，顶点坐标为(h ,k ),对称轴为直线x=h ，若a > 0, y 有最小值，当x = h 时，y最小值=k；若a v 0, y 有最大值，当x = h 时，y最大值=k。
4、抛物线与x 轴交点情况：2对于抛物线y =ax bx c (a ^0)2③当F ： =b -4ac ：：： 0时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。
5、求根公式：-b 土 Jb 2 - 4acx =2a②公式法：直接利用顶点坐标公式(b2a4ac -b 24a ),求其顶点；对称轴是直线xa 0, y 有最小值，当2a ,若2a时，y最小值-4ac - b 24ax =时, 最大值，当2a4ac-b 2 y 最大值= ■4a2①当八=b -4ac 0时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。
②当厶二b 2 -4ac = 0时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。
12.17二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质1
A 7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ C）
y o x o y x o y x o y x
-3
x
o B -3
x
o C -3
x
o D -3
x
A
B
C
D
8．如图 3－4－1 为坐标平面上二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 图象，且此图象通过(－1,1)，(2，－1)两点．下列关于此二次函 数的叙述，其中正确的是(D )
11．(2011 年江苏无锡)如图 3－4－3，抛物线 y＝x2＋1 与双
k k 2 曲线 y＝x的交点 A 的横坐标是 1， 则关于 x 的不等式x＋x ＋1<0 的解集是( D )
A．x>1 C．0<x<1 B．x<－1 D．－1<x<0
图 3－4－3
12．(2011 年江苏宿迁)已知二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3(x-1)2 2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 6
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上 直线x=–3
（－3，5）
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ）
向下 直线x=2 （2，－6）
函数y=ax²+bx+c的图象
2+bx+c 二次函数y=ax
图象和性质
y
Байду номын сангаас
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h) +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
《二次函数》知识点梳理
《二次函数》知识点梳理一、二次函数的定义、图像和性质1. 定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.2. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：【典型例题】当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值.解析：先求出当k分别取-1，1，2时对应的函数，再根据函数的性质讨论最大值.（1）当k=1时，函数y=-4x+4为一次函数，无最值.（2）当k=2时，函数y=x2-4x+3为二次函数且图象开口向上，无最大值.（3）当k=-1时，函数y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8为二次函数且图象开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，8），所以当x=-1时，y最大值=8.点评：本题考查一次函数和二次函数的基本性质，熟知函数的性质是求最值的关键.二、二次函数与一元二次方程的关系函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：注意点：二次函数图象与x轴的交点的个数由△=b2-4ac 的值来确定.（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时△=b2-4ac>0（a≠0），则方程有两个不相等实根x1，2=■.（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时△=b2-4ac=0，则方程有两个相等实根x1=x2=-■（3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时△=b2-4ac<0，则方程没有实根.【典型例题】已知：二次函数y=（2m-1）x2-（5m+3）x+3m+5（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；（3）m为何值时，抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，二次函数有最大值-■.解析：（1）∵△=[-（5m+3）]2-4（2m-1）（3m+5）=m2+2m+29>0，∴当m≠■时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）据题意，得■<0，则-■<m<■；（3）据题意，得-（5m+3）=0；则m=-■；（4）据题意，得■=-■，化简，得m2-8m+34=0，此方程无实数根，则不存在.三、二次函数解析式的求法与一次函数和反比例函数类似，我们也是用待定系数法来求二次函数的关系式，不过我们要注意根据已知条件选择合适的关系式的设法，可分三种情况：（1）设一般式y=ax2+bx+c（a≠0）：如果已知抛物线上三点的坐标或三组x，y的对应值，可设所求二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），将已知条件带入关系式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组的值，求出a，b，c的值，关系式便可得出.（2）设顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）：如果已知对称轴和最大值（或最小值）或顶点坐标，可设所求二次函数y=a （x-h）2+k（a≠0），将已知条件代入，求出待定系数a，从而求得函数关系式，最后要注意，把关系式化成一般形式.（3）设交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）：如果已知或较容易求得抛物线与x轴的交点坐标（x1，0）和（x2，0）及另一点的坐标或一组x，y的对应值，可设所求函数为y=a （x-x1）（x-x2），将另一点的坐标或一组的x，y对应值代入，求出待定系数a，进而得到函数关系式，最后也要注意将其化为一般形式.【典型例题】已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+■在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（-3，m），求m和k的值.解析：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x=1，则-■=1，∴t=-■.∴y=-■x2+x+■.（2）∵二次函数图象必经过A点，∴m=-■×（-3）2+（-3）+■=-6.又∵一次函数y=kx+6的图象经过A点，∴-3k+6=-6，∴k=4.四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：第一步，设自变量；第二步，建立函数解析式；第三步，确定自变量取值范围；第四步，根据顶点坐标公式或配方法求出最值（在自变量的取值范围内）.【典型例题】铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90.（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式.（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？解析：（1）y=w?x=（10x+90）x=10x2+90x（x为正整数）（2）设前x个月的利润和等于1620万元，10x2+90x=1620即：x2+9x-162=0得x=■x1=9，x2=-18（舍去），所以前9个月的利润和等于1620万元.。
二次函数的图像与性质
函数 y 1 x2, y 2x2 2
的图象与函数 y=x2
象相比，有什么共同点和不同点？
的图
相同点：开口都向上，顶点是
原点而且是抛物线的最低点，对 称轴是 y 轴,在对称轴的左侧，y 随着x的增大而减小。在对称轴 的右侧，y随着x的增大而增大.
不同点：开口大小不同;
y x2
8 6
4 2
a 越大，抛物线的开口越小．－4 －2
…
… -８ -4. 5
-２ -０.５ ０ -０.５ y
1
-２ -4. 5 -８ …
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y 1 x2
-1
2
-2
(2) 描点-3(3) 连 Nhomakorabea y x2
-4
-5
y 2 x2
函数y=－ x221,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ...
...
函数图像画法
描点法
y x2
列表 描点 连线
注意：列表时自变量 取值要均匀和对称。
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似 于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线 开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
9 6 3
－3
3
二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或 者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的 图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT精品教学课件
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 抛物线 ；
(2)三条抛物线的开口方向__向__下___;
(3)对称轴分别是__x=_-_1_,_x_=_1__；
(4) 从左到右顶点坐标分别是(_-_1_,_0_)___(_1_,_0_)_;
y 1 x+12
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1
把抛物线y=2x2 向上 平移 1 个单位就得到
8 y = 2x2
抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向下平移 1 个单
6
位就得到抛物线y=2x2-1.
4
2
所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线
y = 2x2+1 向下 平移 2 个单位得到.
-4 -2 O 2 4 x -1
2
y 1 (x 1)2 2
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，并考虑它们的开口方向、对称
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
(5)顶点都是最__高__点，函数都有最__大__值，最 _大___值均为__y_=_0_； (6)函数的增减性都相同： 对称轴左边时_y_随__x_增__大__而__增__大_， 对称轴右边时_y_随__x_增__大__而__减__小__.
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
5个单位长度
(0, -2)
(0, 3)
巩固练习
1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( A )