1.1高数(北大版)

习题 1.1
证明 3为无理数. 1. 证 若 3不是无理数,则 3 = p p2 , p, q为互素自然数.3 = 2 , p 2 = 3q 2 .3除尽p 2 , q q
必除尽p, 否则p = 3k + 1或p = 3k + 2. p 2 = 9k 2 + 6k + 1, p 2 = 9k 2 + 12k + 4, 3除 p 2 将余1.故p = 3k , 9k 2 = 3q 2 , q 2 = 3k 2 , 类似得3除尽q.与p, q互素矛盾. 设 2. p是正的素数, 证明 p是无理数. 证 设 p= a a2 , a, b为互素自然数,则p = 2 , a 2 = pb 2 , 素数p除尽a 2 , 故p除尽a, b b 2 2 2 2 2 a = pk . p k = pb , pk = b .类似得p除尽b.此与a, b为互素自然数矛盾.
解下列不等式 : 3. (1) | x | + | x − 1|< 3.\; (2) | x 2 − 3 |< 2. 解 (1)若x < 0, 则 − x + 1 − x < 3, 2 x > −2, x > −1, (−1, 0); 若0 < x < 1, 则x + 1 − x < 3,1 < 3, (0,1); 若x > 1, 则x + x − 1 < 3, x < 3 / 2, (1,3 / 2). X = (−1, 0) ∪ (0,1) ∪ (1,3 / 2). (2) − 2 < x 2 − 3 < 2,1 < x 2 < 5,1 <| x |2 < 5,1 <| x |< 5, x = (1, 5) ∪ (− 5, −1). 设 4. a, b为任意实数,(1)证明 | a + b |≥| a | − | b |;(2)设 | a − b |< 1, 证明 | a |<| b | +1. 证(1) | a |=| a + b + (−b) |≤| a + b | + | −b |=| a + b | + | b |,| a + b |≥| a | − | b | . (2) | a |=| b + (a − b) |≤| b | + | a − b |<| b | +1. 解下列不等式 : 5. (1) | x + 6 |> 0.1;(2) | x − a |> l. 解(1)x + 6 > 0.1或x + 6 < −0.1.x > −5.9或x < −6.1. X = (−∞, −6.1) ∪ (−5.9, +∞). (2)若l > 0, X = (a + l , +∞) ∪ (−∞, a − l ); 若l = 0, x ≠ a; 若l < 0, X = (−∞, +∞). 若 6. a > 1, 证明0 < n a − 1 < a −1 , 其中n为自然数. n
n
证若a > 1, 显然 n a = b > 1.a − 1 = n a − 1 = ( n a − 1)(b n −1 + b n − 2 + L + 1) > n( n a − 1). 设 7. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有有理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b − a.考虑有理数集合 m A=An = { n | m ∈ Z}. 若An ∩ (a, b) = ∅, 则A = B ∪ C , B = A ∩ {x | x ≥ b}, 10 C = A ∩ {x | x ≤ a}.B中有最小数m0 /10n , (m0 − 1) /10n ∈ C , b − a ≤ m0 /10 n -(m0 − 1) /10 n =1/10n ,此与n的选取矛盾. 设 8. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有无理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b − a.考虑无理数集合An = { 2 + m | m ∈ Z}. 以下仿8题. 10n
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