位似图形

8
6
A'
4A
2 B'
B
-12 -10-9-8
-6
-4B"-2
O -2
24
-4
C"
-6
A"
-8
C' C
6 8 9 101112
位似变换后A，B，C的对应点为
A '（ 4 ，6 ），B ' （ 4 ， 2 ），C ' （12 ，4 ）； A" （－4 ，－6），B" （－4，－2），C" （－12，－4）．
B
观察对应点之间的坐标 的变化,你有什么发现?
A′(2,1) B′(2,0) A (6,3) B (6,0)
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原 点O为位似中心,位似比为1:3,把线段AB缩小.
A′(2,1),B′(2,0) y
A〞(-2,-1),B〞(-2,0) A (6,3), B (6,0),
例 如图，四边形ABCD的坐标分别 为A（－6，6），B（－8，2），C （－4，0），D（－2，4），画出它
的为一1 个的以位原似点图O形为．位似中心，相似比 B 2
A
8
D6
A' 4
B'
2D'
分析：问题的关键是要确定位似 图形各个顶点的坐标．根据前面
-8 -6 C-4 -2C'
-2
-4
246 8
（3）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO 是
例1.判断下列各对图形是不 是位似图形.
(1)相似五边形ABCDE与五边形
A’B’C’D’E’;
(是)
(2)正方形ABCD与正方形A’B’C’D’;
(是)
(3)等边三角形ABC与等边三角形
A’B’C’.
A
C’ ( 是 )
B’
E’ E
D’ D
C C’
23.5位似图形
O C’
B’
A’
A B
C
本节课学习目标
• 1. 掌握用位似变换把一个图形放大或缩 小，了解平面直角坐标系下的位似变换 图形的坐标特点.
• 2.理解相似变换、位似变换，相识图形及 其有关概念.
回顾与反思
1. 前面我们已经学习了图形的哪些变换？ 对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对 称图形)：对称轴,对称中心. 平移：平移的方向,平移的距离.
放大后对应点的坐标分别是：
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
y
A'
6
4 A
3
2
B'
C
1
B
o
2
4
6
还有其他的答案吗？
C'
x
12
探究
如图，△ABC三个顶点坐 标分别为A（2，3），B （2，1），C（6，2），以 点O为位似中心，相似比 为2，将△ABC放大，观察 对应顶点坐标的变化，你 有什么发现？
点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，
直线BD与CE交于点A，所以∆ADE和
∆ABC是位似图形.
基础练习：
1.如图，D，E分别AB，AC上的点. （1）如果DE∥BC，那么∆ADE
D
A E
和 ∆ABC是位似图形吗？为什 么？
B
C
（2）如果∆ADE和 ∆ABC是位似图形，
那么DE∥BC吗？为什么？
A A’ D’
B B’ C’
D
C
A’
AB
B’
B
A’
C
例2、判断下列各对图形哪些是相似图形，哪些是位似 图形.
①DE∥BC
②∠AED＝∠B
相似且位似
相似但不是位似
A
D
③两个正方形
E F
相似但不是位似
B
C
G
结论1：位似图形是相似
图形的特殊情形，相似图
形不一定是位似图形，可位 似图形一定是相似图形
观察下列位似图形的位似中心，你发现了什么？
解：（2） DE∥BC.理由是：
∆ADE和 ∆ABC是位似图形 ∆ADE∽ ∆ABC
∠ADE＝∠B
DE∥BC.
基础练习：
5.作△DEF 与△ABC位似，
பைடு நூலகம்
且位似比为１／２
即将△ABC的三边缩小为原来的1/2:
如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们
的中点D,E,F; △DEF就是所求
B E●
三角形ABC放大为原来的2倍
E
B
O
C
F
A
D
D
O F
B C
A
E
对应点连线都交于_位___似__中___心___ 对应线段____平__行___或__共___线_________________
=
OB' OB
=
…
=
A'B' AB
AF （3）图中，位似中心为 A,则：AD
＝AAPC
＝AAEB
＝EBPC
＝FDPC
位似图形的画法
A
以0为位似中心把△ABC
在同侧缩小为原来的一半。
B
A’
步骤： 1、画出ABC 2、选取中心点 O
B’ C
C’
3、连结OA、OB、OC。
4、在OA、OB、OC上分别选取A’、
依次连接点A'B'C'D'就是要求的四边形ABCD的位似图形．
例3.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的 以一原个 点O为位似中心,位似比为1/2的位似图形.
y
A
D
A′
B
D′
B′
C’’
x
C
C′
o
B’’
A’’
的规律，点A的对应点A‘的坐标
-6
为 61,61 ，即（－3，
-8
2 2
3）．类似地，可以确定其他顶
点的坐标．
解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律．分别取点
A'（－ 3 ， 3 ），B ' （ － 4 ， 1 ）， C ' （ －2 ， 0 ），D'（ －1， 2 ）．
就这一个结果 吗？
结论2：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在
两个图形的同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上
二. 位似图形的性质
⑴一般性质：具有相似多边形的性质
周长比等于位似比 面积比等于位似比的平方
⑵特殊性质：位似图形上任意一对对应顶点到位似中心的距离
之比等于位似比.
OA' (1)，(2)图中，位似中心为 0，则： OA
4.有关的三个结论
结论1：位似图形是相似图形的特殊情形
结论2：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个 图形的同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上 结论3：结论3：在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位 似比为k,若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对 应点A’的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
A'
A
.
B’
B
OC
C’
基础练习：
A 1.如图，D，E分别AB，AC上的点. D E （1）如果DE∥BC，那么∆ADE和
∆ABC是位似图形吗？为什么？ B
C
解：（1） ∆ADE和 ∆ABC是位似图形.理
由是：DE∥BC，所以∠ADE和＝∠B，
∠AED ＝∠C.所以∆ADE∽ ∆ABC.
又因为 点A是∆ADE和 ∆ABC的公共点，
解：如图，因为0为位似中心，位似比为1/2 ，分别取点
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )
D’’
依次连接点A′ B′ C′ D′就是要求作的位似图形。
练习
1. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的 相似比．
点D的横坐标为2
点B的横坐标为5
1．两图形相似． 2．每组对应点所在直线都经过 同一点． 3. 对应边互相平行，或在同一 条直线上
显然，位似图形是相似图形的特殊情
形，其相似比又叫做它们的位似比.
自学检测：
辨一辨
1. 判断下列各对图形是不是位似图形.
（1）正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′；是 （2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′. 是
相似比为 2 5
8A
6
4C
2
-8 -6 -4 -2 O -2
B 2D 4 6 8
-4
-6
-8
B"
2. 如图，△ABC三个顶 点坐标分别为A（2，－
2），B（4，－5），C C"
（5，－2），以原点O为
8 6
A" 4
2
位似中心，将这个三角 形放大为原来的2倍．
-12 -10-9-8 -6 -4
-2 O 2 4 6
A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 )
此时，位似中心0位于两图形的异侧，做题时注意审 题！看清要求（其中一个，异侧，同侧等）
y
A（2,3）
K=2
B（2,1）
o
C（6,2）
x
在平面直角坐标系中，如果位 似变换是以原点为位似中心， 相似比为k，那么位似图形对 应点的坐标等于原来点的坐标 乘以（除以）k或－k．
A'
B〞
o
B'
A〞
A
观察对应点之间的坐标
的变化,你有什么发现? x
B
结论3：在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比为k, 若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A’的 坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
探索2:
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,位似比 为2画它的一个位似图形.
B’
C’
画出图形 1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作
△A’B’C’ 和△ABC位似，且位似比为2.
注：在作图中，如无特殊说明，位似比通常代表新图形与原图形的比。 k﹥1，将原图形放大，0＜k＜1，将原图形缩小
思考：还有没其他作法？
C.’
. B’
A
. O
B
C
.
A'
如果位似中心给定在三角形内部呢？
做一做：
O
●
F
C
●
D
A
任意画一个三角形,用上面的方法 亲自 试一试.
以0为位似中心把△ABC 缩小为原来的一半。
0 C’
B’
A’
A B
C
探索: 位似变换与平面直角坐标系
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为 位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
y
A
.A'
x
.
o
B'
一．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在 的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共 线）,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫 做位似中心，其相似比又叫做位似比.
相似 对应顶点的连 对应边平行（或共线） 线相交于一点
注：三者缺一不可！
自学检测：
同时满足下面三个条件的两个图形 才叫做位似图形．三条件缺一不可．
注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要 工具,它不但装点了我们的生活,而且是学习后续知识的基础.
下面请欣赏如下图形的变换
自学检测：
观察与思考☞
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都 是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边 形各对应点的连线有什么特征？
B’、C’，使OA’/OA=1/2、OB’/OB=1/2、
OC’/OC=1/2。 5、连结A’B’C’，所连成的图形就是所求
作图形。
练习与拓展 特殊性质在作图中的运用
OA’:OA =OB’:OB =OC’:OC= 2:1 A.'
确定位似中心
A
确定原图的关键点
O.
确定位似比
B
.C
.
找出新图形的对应关键点
-2 A
C
-4 A'
-6
B
8 9 101112
C'
-8
解： A'（ 4 ，－ 4 ），B ' （
B' 8 ， － 10 ），C ' （ 10 ，－4 ），
A" （－ 4 ， 4 ），B" （－ 8 ， 10 ），C" （－10 ，4 ），
小结
1. 位似图形
2.位似图形的性质
3.利用位似的特殊性质可以把一个图形放大或缩小