离散数学 第2章 命题逻辑 优质课件
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离散数学课件 第二章 谓词逻辑-1
n元谓词：含有n个变元。
例如：
F(x):
x是人。
G(x,y): x与y是兄弟。
F(x)是一元谓词， G(x,y)是二元谓词。 一元谓词表达了个体的“性质”, 而多元谓 词表达了个体之间的“关系”。
例： 将下列命题符号化： (1) 熊猫是动物。 (2) 上海位于南京与杭州之间。
(3) 2是偶数且是素数。
命题符号化举例(续)
例: “有些病人相信所有的医生”。 解: 设: F(x): x是病人; G(x): x是医生; H(x,y): x相信y
原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
2-4 变元的约束
定义:量词的辖域（作用域）是邻接量词之后的最 小子公式，故除非辖域是个原子公式，否则应在该 子公式的两端有括号。 量词辖域的确定方法： （1）若量词后有括号，则括号内的子公式就是 该量词的辖域； （2）若量词后无括号，则与量词邻接的子公式 为该量词的辖域。
例：F(x)：x是不怕死的 D(x)：x是要死的 M(x)：x是人 若论述域是全人类： 则:人总是要死的 可译为 （x）D(x) 有些人不怕死 可译为 （x）F(x) 若论述域不是全人类： 则:人总是要死的 可译为 (x)(M(x)D(x)) 有些人不怕死 可译为 (x)(M(x) F(x)）
一般地, 一个由n个个体和n元谓词所组成的 命题可表示为P(a1, a2, …, an), 其中P表示n元 谓词, a1, a2,…, an 分别表示n个个体。 a1, a2,…,an 的排列次序通常是重要的。 B(a, b, c)不同于B(b, a, c)。
2-2 命题函数与量词
将下面表示（Socrates 三段论）符号化： 所有的人总是要死的。 Socrates是人。 所以Socrates是要死的。 设：H(x):x是人 M(x):x是要死的 则前提：H(x)→M(x) H(Socrates) 结论：M(Socrates) 需证: (H(x)→M(x))∧H(Socrates)M(Socrates)
例如：
F(x):
x是人。
G(x,y): x与y是兄弟。
F(x)是一元谓词， G(x,y)是二元谓词。 一元谓词表达了个体的“性质”, 而多元谓 词表达了个体之间的“关系”。
例： 将下列命题符号化： (1) 熊猫是动物。 (2) 上海位于南京与杭州之间。
(3) 2是偶数且是素数。
命题符号化举例(续)
例: “有些病人相信所有的医生”。 解: 设: F(x): x是病人; G(x): x是医生; H(x,y): x相信y
原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
2-4 变元的约束
定义:量词的辖域（作用域）是邻接量词之后的最 小子公式，故除非辖域是个原子公式，否则应在该 子公式的两端有括号。 量词辖域的确定方法： （1）若量词后有括号，则括号内的子公式就是 该量词的辖域； （2）若量词后无括号，则与量词邻接的子公式 为该量词的辖域。
例：F(x)：x是不怕死的 D(x)：x是要死的 M(x)：x是人 若论述域是全人类： 则:人总是要死的 可译为 （x）D(x) 有些人不怕死 可译为 （x）F(x) 若论述域不是全人类： 则:人总是要死的 可译为 (x)(M(x)D(x)) 有些人不怕死 可译为 (x)(M(x) F(x)）
一般地, 一个由n个个体和n元谓词所组成的 命题可表示为P(a1, a2, …, an), 其中P表示n元 谓词, a1, a2,…, an 分别表示n个个体。 a1, a2,…,an 的排列次序通常是重要的。 B(a, b, c)不同于B(b, a, c)。
2-2 命题函数与量词
将下面表示（Socrates 三段论）符号化： 所有的人总是要死的。 Socrates是人。 所以Socrates是要死的。 设：H(x):x是人 M(x):x是要死的 则前提：H(x)→M(x) H(Socrates) 结论：M(Socrates) 需证: (H(x)→M(x))∧H(Socrates)M(Socrates)
离散数学第2讲命题逻辑2.ppt
21
等价式的判定
❖ 1.真值表法
❖ 2.公式推演（等价变换）
❖ 例3.1：试证 P→Q ～Q→～P
❖ 证：P→Q ～P∨Q 蕴涵 E2
❖
～P∨～～Q 双重否定 E19
❖
～～Q∨～P 交换律 E5
❖
～Q→～P
E2
2024年11月24日
22
等价式的判定
2024年11月24日
❖ 例3.2 ❖ 试用较少的开关设计一个与下图有相同功能的电路。
P QS PSR
23
等价式的判定
2024年11月24日
❖ 解：可将上图所示之开关电路用下述命题公式表示：
❖ (P∧Q∧S)∨(P∧R∧S)
❖ 利用基本等价公式，将上述公式转化为： (P∧Q∧S)∨(P∧R∧S)
❖
((P∧S)∧Q)∨((P∧S)∧R)(结合律)
❖
(P∧S)∧(Q∨R)（分配律）
❖ 所以其开关设计图可简化为：
31
等价式的判定
2024年11月24日
❖ 世界冰球赛在激烈地进行，看台上三位观众正在热烈地议 论着这场比赛的名次。
❖ 甲：中国第一，匈牙利第三； ❖ 乙：奥地利第一，中国第三； ❖ 丙：匈牙利第一，中国第二。 ❖ 比赛结束后，发现三位观众每人恰好都猜对了一个。问：
❖ 而一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命 题，常称它为命题变量(或命题变元)，该命题变量无具体 的真值，它的值域是集合{T，F}(或{0，1})。
❖ 当原子命题是命题变元时，其复合命题也即为命题变元的 “函数”，且该“函数”的值仍为“真”或“假”值，这 样的函数可形象地称为“真值函数”,或称为命题公式, 此 命题公式没有确切真值。
离散数学2PPT课件
在讨论Ａ与Ｂ是否有相同的真值表时，应将哑元考虑在内， 即将Ａ、Ｂ都看成含所有p1 , p2 , … pn的命题公式，如果在所有 2n个赋值下，Ａ与Ｂ的真值相同，则ＡＢ为重言式。
3/25/2021
2021
4
定义
CHAPTER TWO
定义2.1 设A ,B 是两个命题公式，若A, B构成的等价式A ↔ B为 重言式，则称A与B是等值的, 记为A⇔B。
3/25/2021
2021
11
例24
证明：(p→q)→r
⇔
p→(q→r）.
CHAPTER TWO
证 方法一：真值表法。
方法二：观察法。 方法三: 记A=(p→q)→r, B= p→(q→r)。先将A,B等值演算
化成易于观察真值的公式，再进行判断。
A=(p→q)→r⇔(┐p∨q)→r
(蕴含等值式)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r
(交换律，结合律)
(10) ⇔ p∧(1∨p)
（排中律）
(11) ⇔ p∧1
（零律）
(12) ⇔ p
（同一律）
(13) 可见，（3）中公式不是重言式，因为00，01 都是成假赋
值；它也不是矛盾式，因为10，11 都是其成真赋值，故它是可
3/25/20满21足式。
2021
15
例2.6
CHAPTER TWO
B2∧C3∧D10, B3∧C1∧D2p∧┐q∧r, B3∧C2∧D10 于是，由同一律可知 E(┐p∧q∧┐r) ∨(p∧┐q∧r)
但因为王教授不能既是苏州人，又是杭州人，因而p,r必有一个为假命 题，即p∧┐q∧r0 。
于是 E┐p∧q∧┐r 为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题， 即王教授为上海人，甲说得全对，丙说对了一半，而乙全说错啦。
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定义
CHAPTER TWO
定义2.1 设A ,B 是两个命题公式，若A, B构成的等价式A ↔ B为 重言式，则称A与B是等值的, 记为A⇔B。
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例24
证明：(p→q)→r
⇔
p→(q→r）.
CHAPTER TWO
证 方法一：真值表法。
方法二：观察法。 方法三: 记A=(p→q)→r, B= p→(q→r)。先将A,B等值演算
化成易于观察真值的公式，再进行判断。
A=(p→q)→r⇔(┐p∨q)→r
(蕴含等值式)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r
(交换律，结合律)
(10) ⇔ p∧(1∨p)
（排中律）
(11) ⇔ p∧1
（零律）
(12) ⇔ p
（同一律）
(13) 可见，（3）中公式不是重言式，因为00，01 都是成假赋
值；它也不是矛盾式，因为10，11 都是其成真赋值，故它是可
3/25/20满21足式。
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例2.6
CHAPTER TWO
B2∧C3∧D10, B3∧C1∧D2p∧┐q∧r, B3∧C2∧D10 于是，由同一律可知 E(┐p∧q∧┐r) ∨(p∧┐q∧r)
但因为王教授不能既是苏州人，又是杭州人，因而p,r必有一个为假命 题，即p∧┐q∧r0 。
于是 E┐p∧q∧┐r 为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题， 即王教授为上海人，甲说得全对，丙说对了一半，而乙全说错啦。
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
离散数学 课件 命题逻辑
联结词与复合命题(续)
定义2.5 设p, q为命题, 复合命题 “p当且仅当q”称作p与q 的
等价式, 记作pq, 称作等价联结词. 并规定pq为真当 且仅当 p与q同时为真或同时为假.
pq 的逻辑关系: p与q互为充分必要条件
例如 这件事张三能做好, 且只有张三能做好
设p:张三做这件事, q:这件事做好了
26
(v∧w)∨(v∧w) 又可形式化为 v∨w
12
联结词与复合命题(续)
定义2.4 设 p,q为二命题, 复合命题 “如果p,则q” 称作p与q 的蕴涵式, 记作pq, 并称p是蕴涵式的前件, q为蕴涵式的 后件. 称作蕴涵联结词, 并规定, pq为假当且仅当 p为 真且q为假.
例如 如果明天天气好, 我们就出去郊游 设p:明天天气好, q:我们出去郊游, 形式化为 pq
说明: (1) 赋值记作=12…n, i=0或1, 诸i之间不加标
点符号 (2) 通常赋值与命题变项之间按下标或字母顺序对应, 即
当A的全部命题变项为p1, p2, … , pn时, 给A赋值12…n 是指p1=1,p2=2,…,pn=n; 当A的全部命题变项为p,q,r,… 时, 给A赋值123…是指p=1, q=2, r=3, …
是指p1= 1,p2= 2,…,pn= n; 当A的全部命题变项为p,q,r,…
例如 p:2是偶数, q: 2是素数, p∧q: 2是偶素数,
0 0 1 1 1
联结词(¬, , , , )
1
1
(2) ( p q) q
0 1 1 例4 设p:天冷, q:小王穿羽绒服，
(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)
p的否定式, 记作p, 符号称作否定联结词, 并规定p 为真当且仅当 p为假 例如 p:2是合数, p: 2不是合数, p为假, p为真
《离散数学》02命题逻辑等值演算
类似的讨论可知，若Ai是含n个命题变项的简单合取式，且 Ai为矛盾式，则Ai中必同时含某个命题变项及它的否定式， 反之亦然。
2.2 析取范式和合取范式
定理2.1 (1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题
变项及它的否定式。 (2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题
变项及它的否定式。 定义2.3 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式
A∨1 1,A∧0 0 A∨0 A，A∧1 A A∨┐A 1 A∧┐A 0 A→B ┐A∨B AB (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A AB ┐A┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
对偶原理
一个逻辑等值式，如果只含有┐、∨、∧、0、1 那么同时
把∨和∧互换 把0和1互换 得到的还是等值式。
(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
┐(A∨B) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐A∨┐B
A∨(A∧B) A，A∧(A∨B) A
基本等值式
8.零律 9.同一律 10.排中律 11.矛盾律 12.蕴涵等值式 13.等价等值式 14.假言易位 15.等价否定等值式 16.归谬论
例2.5 解答
(1) (p→q)∧p→q
(┐p∨q)∧p→q
（蕴涵等值式）
┐((┐p∨q)∧p)∨q
（蕴涵等值式）
(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∧┐q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q （分配律）
(1∧(┐q∨┐p))∨q
2.2 析取范式和合取范式
定理2.1 (1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题
变项及它的否定式。 (2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题
变项及它的否定式。 定义2.3 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式
A∨1 1,A∧0 0 A∨0 A，A∧1 A A∨┐A 1 A∧┐A 0 A→B ┐A∨B AB (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A AB ┐A┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
对偶原理
一个逻辑等值式，如果只含有┐、∨、∧、0、1 那么同时
把∨和∧互换 把0和1互换 得到的还是等值式。
(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
┐(A∨B) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐A∨┐B
A∨(A∧B) A，A∧(A∨B) A
基本等值式
8.零律 9.同一律 10.排中律 11.矛盾律 12.蕴涵等值式 13.等价等值式 14.假言易位 15.等价否定等值式 16.归谬论
例2.5 解答
(1) (p→q)∧p→q
(┐p∨q)∧p→q
（蕴涵等值式）
┐((┐p∨q)∧p)∨q
（蕴涵等值式）
(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∧┐q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q （分配律）
(1∧(┐q∨┐p))∨q
《离散数学》命题逻辑
由原子命题组合而成的命题称为复合 命题（compound proposition）。
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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离散数学课件第二章 一阶逻辑
§2.1
一阶逻辑的基本概念
原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系
和数量关系。
要反映这种内在联系，就要对命题逻 辑进行分析 , 分析出其中的个体词、谓词和 量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出 正确的推理形式和规则，这就是一阶(谓词) 逻辑的研究内容。 办法：将命题再次细分。
解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示 出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了 谓词的概念(谓词是用来刻划个体词的性质 或事物之间的关系的词,谓词S(x)相当于一 个函数).
§2.1 一阶逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词和命题函数 在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词和个体两部分。
主语 谓语 宾语
讨论对象 对象的性质或关系
讨论对象
个体词（组）
谓词
个体词（组）
1、定义：在原子命题中，所描述的对象称为个体；用 以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。
例2.1：分析下列个命题中的个体和谓词
如何表示？
2.1.3 命题函数 谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入足够 的个体，才变成命题。 设 H(x) 是谓词 表示 x “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车， 那么H（l）， H（t）， H（c），等分别表示各 个不同的命题：但它们有一个共同的形式， 即 H（x） 当 x 分别取 l、 t、 c 时 就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
Discrete Mathematics
刘师少
Tel： 86613747（h） E-mail： lss@
授课:
51学时
教学目标:
知识、能力、素质
第二章 一阶逻辑
离散数学-第二章命题逻辑
设A( P1，P2，…,Pn )是一个命题公式，
P1，P2，…,Pn是出现于其中的全部命题变元，对P1， P2，…,Pn分别指定一个真值,称为对P1，P2，…,Pn公式A 的一组真值指派。
列出命题公式A在P1，P2，…,Pn的所有2n种真值指 派下对应的真值，这样的表称为A的真值表。
16
例3
值表。
例12 用符号形式表示下列命题。
（1） （2） 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。
（3）
（4）
如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。
只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。 解 令P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪； R：我去学校。 （1）（P∨Q）→ ¬ R； （2）（¬ ∧¬ P Q）→R； （3）¬ (P∧Q）→R （4）R→（¬ ∧¬ Q） P
4
例4
2．合取“∧” 定义2.2.2
设P和Q是两个命题，则P和Q的合取 是一个复合命题，记作“P ∧ Q”（读作“P且Q”）。
当且仅当命题P和Q均取值为真时，P ∧ Q才取值为真。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例5
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
5
3. 析取“∨” 定义2.2.3
设P和Q是两个命题，则P和Q的析取是一个复 合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。
当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
P
0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1
例6 设命题P：他可能是100米赛跑冠军；
Q：他可能是400米赛跑冠军。
离散数学第2章ppt课件
E AA∪B∪BC
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤： 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （交换律） 交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
1 2 k
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
离散数学 第2章 命题逻辑
6
程序解法：
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题： E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。
离散数学及其应用课件第2章第1节
12
例题
在个体域分别为：(a):自然数集合，(b):实数集合时，将下列命题符号化， 并给出它们的真值。 1. 对于任意的x，均有x2−3x+2=(x−1)(x−2); 2. 存在x，使得x+5=2。
解 假设F(x)：x2−3x+2=(x−1)(x−2)，G(x)：x+5=2。 (a) 个体域为自然数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为0。 (b) 个体域为实数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为1。
注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多 个量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
19
离散数学及其应用
1
第2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑的基本概念 2.2 谓词合式公式 2.3 谓词公式的解释和分类 2.4 谓词演算的关系式 2.5 前束范式 2.6 谓词演算的推理
2
2.1谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体词和谓词 定义2.1.1 个体词是指可以独立存在的客体，可以是一个 具体的事物或抽象的概念，是原子命题所描述的对象。
17
例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
11
例题
例题
在个体域分别为：(a):自然数集合，(b):实数集合时，将下列命题符号化， 并给出它们的真值。 1. 对于任意的x，均有x2−3x+2=(x−1)(x−2); 2. 存在x，使得x+5=2。
解 假设F(x)：x2−3x+2=(x−1)(x−2)，G(x)：x+5=2。 (a) 个体域为自然数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为0。 (b) 个体域为实数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为1。
注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多 个量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
19
离散数学及其应用
1
第2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑的基本概念 2.2 谓词合式公式 2.3 谓词公式的解释和分类 2.4 谓词演算的关系式 2.5 前束范式 2.6 谓词演算的推理
2
2.1谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体词和谓词 定义2.1.1 个体词是指可以独立存在的客体，可以是一个 具体的事物或抽象的概念，是原子命题所描述的对象。
17
例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
11
例题
离散数学第二章命题逻辑等值演算
再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
（0,0）与（1,1）为公式的成真赋值。 （0,1）与（1,0）为公式的成假赋值
命题公式的分类（根据公式在赋值下的真值情况进行分类） 1）若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2）若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P
4
分析1：若要得出：当设 A为真，B为
假的情况不会出现，
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明：设前件为真
7
分析2： 还可以从设 B为假，推出A
为真的情况不会出现（A为假），
9
证明： 设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
(（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
不同真值表的公式 1）当命题变元确定后，通过五个连接词及其命题变元可以构成 无数个不 同表现形式的命题公式。 问题：这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同？ 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式．
2、性质：
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0
离散数学 第2章 命题逻辑等值演算
A00
A0A. A1A
ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB) A
等价否定等值式
注意：要牢记各个等值式，这是继续学习的基础
以上 16 组等值式包含了 24 个重要等值式。 由于 A,B,C 可以 代表任意的命题公式，因而以上各等值式都是用元语言符号 书写的，称这样的等值式为等值式模式，每个等值式模式都 给出了无穷多个同类型的具体的等值式。 例如，在蕴涵等值式（2.12）中， 取 A=p，B=q 时，得等值式: p→q ┐p∨q 当取 A=p∨q∨r，B=p∧q 时，得等值式: (p∨q∨r)→(p∧q) ┐(p∨q∨r)∨(p∧q) 这些具体的等值式都被称为原来的等值式 模式的代入实例。
mi 与 Mi 的关系由书上定理 2.4 给出，即 mi Mi, Mi mi
2. 主析取范式与主合取范式 定义 2.5 （1）主析取范式——由极小项构成的析取范式 （2） 主合取范式——由极大项构成的合取范式 例如，n=3, 命题变项为 p, q, r 时， (p q r) (p q r) m1m3 ——主析取范式 (p q r) (p q r) M7M1——主合取范式 3. 命题公式 A 的主析取范式与主合取范式 （1） 与 A 等值的主析取范式称为 A 的主析取范式；与 A 等值的主合 取范式称为 A 的主合取范式. （2） 主析取范式的存在惟一定理 定理 2.5 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取 范式,并且是惟一的
由最后一步可知， （1）为矛盾式.
（2）(pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(pq) 1 由最后一步可知， （2）为重言式. 问：最后一步为什么等值于 1？ 说明： （2）的演算步骤可长可短，以上演算最省. （蕴涵等值式） （交换律）
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1
解法
：
甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
设p:王教授是苏州人，q:王教授是上海人，r:王教授是杭州人
(下标为1表示全对，下标为2表示对一半，下标为3表示全错)
甲：A1= p ∧q 乙：B1= p∧ q 丙：C1= q∧ r
例：
在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王 教授的口音分别作出下述判断：
甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后，笑曰：你们3人中有一人全说对 了，有一人全说错了，还有一人对错各半。 试用逻辑演算法判断王教授是哪里人？
华盛顿是美国的首都，则多伦多是加拿大的首都。 推理2 若今年是2004年，则明年是2005年。明年是2005年，
所以今年是2004年。 命题: 判断结果唯一的陈述句，不能可真可假。 命题的真值: 判断的结果,真或假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
7
实例
例1 下列句子中那些是命题？
(1) 北京是中华人民共和国的首都. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你会开车吗？ (5) 2050年元旦北京是晴天. (6) 这只兔子跑得真快呀！ (7) 请关上门！ (8) 我正在说谎话.
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 真值确定, 但未知 感叹句 祈使句 悖论
设p:明天天气好, q:我们出去郊游, 如果p, 则q
又如 张三一面喝茶一面看报
设p:张三喝茶, q:张三看报, p并且q
9
联结词与复合命题
定义2.1 设p为命题, 复合命题 “非p”(或 “p的否定”)称 为p的否定式, 记作p, 符号称作否定联结词, 并规定p 为真当且仅当 p为假
例如 p:2是合数, p: 2不是合数, p为假, p为真 定义2.2 设p,q为二命题, 复合命题“p并且q”(或命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解 记 p:王晓用功, q:王晓聪明
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r
A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0
复合命题：
A2= (p ∧ q) ∨(p ∧q) B2= (p ∧ q) ∨(p ∧ q) C2= (q ∧ r) ∨(q ∧ r )
A3= p ∧ q B3= p ∧ q C3= q ∧ r
E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
for(p=0;p<=1;p++)
for (q=0;q<=1;q++)
for(r=0;r<=1;r++)
{
A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q;
B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q;
C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r;
称为p与q的合取式, 记作p∧q, ∧称作合取联结词, 并规 定 p∧q为真当且仅当 p与q同时为真 例如 p:2是偶数, q: 2是素数, p∧q: 2是偶素数,
p为真, q为真, p∧q为真 注意：自然语言中的“既…，又…”,”不但… ，而且…“，
”虽然… ，但是…“，一面… ，一面…”都可以符号化10为
A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r
E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r)
2
所以王教授是上海人。
程序解法：
#include "stdio.h"
#include "conio.h"
main()
{
int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E;
E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1);
if (E==1)
printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r);
}
getch();
}
3
例：用演绎法证明下列推理过程：如果马会 飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟。如果母鸡 是飞鸟，那么考熟的鸭子还会跑，考熟的鸭 子不会跑，所以羊不吃草。
T规则:(6)
5
2.1 命题逻辑基本概念
2.1.1 命题与联结词 命题与真值(简单命题, 复合命题) 联结词(¬, , , , )
2.1.2 命题公式及其分类 命题公式及其赋值 真值表 命题公式的分类
6
2.1.1 命题与联结词
推理是从前提出发，推出结论的逻辑思维过程。 推理1 若华盛顿是美国的首都，则多伦多是加拿大的首都。
(1),(2),(5)是命题, (3),(4),(6)~(8)都不是命题
8
简单命题与复合命题
简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题
简单命题的符号化:用p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1)表示 用“1”表示真，用“0”表示假
复合命题:由简单命题通过联结词联结而成的陈述句 例如 如果明天天气好, 我们就出去郊游
设p:马会飞,q:羊吃草,r:母鸡是飞鸟, s:考熟的鸭子会跑
pq→r, r→s, s q
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pq→r, r→s, s q
序号 (1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
演绎 s r→s r pq→r (pq) p ∧ q
q
规则 P规则 P规则 T规则:(1)， (2) P规则 T规则:(3)， (4) E规则
解法
：
甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
设p:王教授是苏州人，q:王教授是上海人，r:王教授是杭州人
(下标为1表示全对，下标为2表示对一半，下标为3表示全错)
甲：A1= p ∧q 乙：B1= p∧ q 丙：C1= q∧ r
例：
在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王 教授的口音分别作出下述判断：
甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后，笑曰：你们3人中有一人全说对 了，有一人全说错了，还有一人对错各半。 试用逻辑演算法判断王教授是哪里人？
华盛顿是美国的首都，则多伦多是加拿大的首都。 推理2 若今年是2004年，则明年是2005年。明年是2005年，
所以今年是2004年。 命题: 判断结果唯一的陈述句，不能可真可假。 命题的真值: 判断的结果,真或假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
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实例
例1 下列句子中那些是命题？
(1) 北京是中华人民共和国的首都. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你会开车吗？ (5) 2050年元旦北京是晴天. (6) 这只兔子跑得真快呀！ (7) 请关上门！ (8) 我正在说谎话.
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 真值确定, 但未知 感叹句 祈使句 悖论
设p:明天天气好, q:我们出去郊游, 如果p, 则q
又如 张三一面喝茶一面看报
设p:张三喝茶, q:张三看报, p并且q
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联结词与复合命题
定义2.1 设p为命题, 复合命题 “非p”(或 “p的否定”)称 为p的否定式, 记作p, 符号称作否定联结词, 并规定p 为真当且仅当 p为假
例如 p:2是合数, p: 2不是合数, p为假, p为真 定义2.2 设p,q为二命题, 复合命题“p并且q”(或命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解 记 p:王晓用功, q:王晓聪明
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r
A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0
复合命题：
A2= (p ∧ q) ∨(p ∧q) B2= (p ∧ q) ∨(p ∧ q) C2= (q ∧ r) ∨(q ∧ r )
A3= p ∧ q B3= p ∧ q C3= q ∧ r
E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
for(p=0;p<=1;p++)
for (q=0;q<=1;q++)
for(r=0;r<=1;r++)
{
A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q;
B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q;
C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r;
称为p与q的合取式, 记作p∧q, ∧称作合取联结词, 并规 定 p∧q为真当且仅当 p与q同时为真 例如 p:2是偶数, q: 2是素数, p∧q: 2是偶素数,
p为真, q为真, p∧q为真 注意：自然语言中的“既…，又…”,”不但… ，而且…“，
”虽然… ，但是…“，一面… ，一面…”都可以符号化10为
A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r
E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r)
2
所以王教授是上海人。
程序解法：
#include "stdio.h"
#include "conio.h"
main()
{
int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E;
E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1);
if (E==1)
printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r);
}
getch();
}
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例：用演绎法证明下列推理过程：如果马会 飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟。如果母鸡 是飞鸟，那么考熟的鸭子还会跑，考熟的鸭 子不会跑，所以羊不吃草。
T规则:(6)
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2.1 命题逻辑基本概念
2.1.1 命题与联结词 命题与真值(简单命题, 复合命题) 联结词(¬, , , , )
2.1.2 命题公式及其分类 命题公式及其赋值 真值表 命题公式的分类
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2.1.1 命题与联结词
推理是从前提出发，推出结论的逻辑思维过程。 推理1 若华盛顿是美国的首都，则多伦多是加拿大的首都。
(1),(2),(5)是命题, (3),(4),(6)~(8)都不是命题
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简单命题与复合命题
简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题
简单命题的符号化:用p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1)表示 用“1”表示真，用“0”表示假
复合命题:由简单命题通过联结词联结而成的陈述句 例如 如果明天天气好, 我们就出去郊游
设p:马会飞,q:羊吃草,r:母鸡是飞鸟, s:考熟的鸭子会跑
pq→r, r→s, s q
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pq→r, r→s, s q
序号 (1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
演绎 s r→s r pq→r (pq) p ∧ q
q
规则 P规则 P规则 T规则:(1)， (2) P规则 T规则:(3)， (4) E规则