圆锥曲线离心率问题
圆锥曲线离心率问题浅析
圆锥曲线离心率问题浅析
圆锥曲线离心率一直是广大学子们在学术研究中的热门话题，离心率是衡量曲线数学模型的核心指标之一。
圆锥曲线离心率指的是圆锥曲线与它的定位轴之间的离心半径除以定位轴长度的比值，以及一个虚拟圆锥曲线所具有的离心率作为特征。
圆锥曲线的离心率可以通过三个量来表示，即端点的坐标、离心率的有限值以及定位轴的长度，而其中有限值的大小就决定了离心率的大小。
因此，要获得较高的圆锥曲线离心率，就需要选取有限值较大的数据，同时还要注意端点的坐标选取，使得它与定位轴之间的距离和定位轴长度之比也较大，以期获得更高精度的模型。
最后要提醒的是，圆锥曲线离心率的研究并不是一项休闲活动，需要用严谨的数学思维和大量的细心勤劳，才能有所收获。
圆锥曲线 重点 3：圆锥曲线的离心率问题 - 解析
微专题3：圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
对离心率的考查集中代表了就是对圆锥曲线基本性质的考查，因此它在高考小题中出现的频率很高，需要重点掌握。
主要题型有两类：求离心率；求离心率范围题型一 求离心率知识梳理：1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）变式有： 椭圆e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1+PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1+sinPF 1F 2 或者e ＝c a ＝ √1−b 2a 2∈(0，1)双曲线e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2或者e ＝c a ＝1＋b 2a2∈(1，＋∞) 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可） 方法一：利用几何性质求离心率【例1-1】设M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率 【解析】 在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠，即12||||2sin 90sin15sin 75MF MF c ==︒︒︒∴2|1||2|2sin 90sin15sin 75sin15sin 75c MF MF a +==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒【例1-2】设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 规律方法：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距，从而可求解【变式1】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭ 解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 【变式2】椭圆()222102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:52b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'12425PF PF a c -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：2216488105c c c +=⇒= 306c e a ∴==方法二：利用坐标运算【例2】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.324 B. 233 C. 305 D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。
圆锥曲线中的离心率的问题(含解析)
圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。
高中数学圆锥曲线中离心率的14种求解方法
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。
本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。
每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。
方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。
对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。
这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。
方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。
当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。
当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。
这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。
方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。
通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。
这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。
方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。
通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。
这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。
方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。
通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。
这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。
方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。
求解圆锥曲线离心率问题的两种途径
思路探寻离心率是圆锥曲线的基本性质之一.圆锥曲线的离心率问题常以填空或选择题的形式出现，题目的难度适中.这类问题的常见命题形式有：（1）求椭圆、双曲线的离心率；（2）求圆锥曲线离心率的取值范围、最值.本文主要探讨一下求解圆锥曲线离心率问题的两种途径：构造齐次方程和利用离心率公式.一、构造齐次方程在求解圆锥曲线的离心率问题时，我们通常可根据已知的条件和圆锥曲线的方程，得到关于a 2、b 2、c 2或a 、b 、c 的等量关系.那么我们就可以结合椭圆、双曲线的方程中参数a 、b 、c 之间的关系a 2+b 2=c 2或a 2-b 2=c 2，将关于a 2、b 2、c 2或a 、b 、c 的等量关系进行变形，构造出关于a 、b 、c 齐次方程，将问题转化为求c 2a 2，进而求得圆锥曲线的离心率e .例1.已知点A 、B 是椭圆C :x 2a 2+y2b2=1()a >b >0长轴上的两个顶点，点P 在椭圆上(异于A 、B 两点).若直线PA 、PB 斜率之积为a -4c3a，则椭圆的离心率为().A.13B.14C.23D.34解：设点P 的坐标为()m ,n ，则m 2a 2+n 2b 2=1，m 2-a 2=-a 2n 2b 2，设A ()-a ,0，B ()a ,0,则k PA ∙k PB =n m +a ∙n m -a =n 2m 2-a 2=n 2-a 2n 2b 2=-a 2b2=-a -4c 3a ，整理得3c 2+4ac -4a 2=0，即3e 2+4e -4=0，解得e =23或e =-2(舍去)，故答案为选项C .解答本题，需先根据椭圆的方程和直线的斜率公式建立关于a 、b 、c 的方程；然后根据椭圆的a 、b 、c 之间的关系a 2+b 2=c 2，将所得的关系式变形为关于a 、c 的齐次方程3c 2+4ac -4a 2=0，通过解方程求得e 的值.例2.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与过原点的直线l 交于P 、Q 两点(P 在第一象限)，过点P 作l 的垂线，与双曲线交于另一个点A ，直线QA 与x 轴交于点B ，若点B 的横坐标为点Q 横坐标的两倍，则双曲线的离心率为______.解：由题意可知，直线PQ 的斜率存在且不为零，设直线PQ ：y =kx ()k ≠0，设点P ()t ,kt ，得点Q ()-t ,-kt ，点B ()-2t ,0,∵AP ⊥PQ ，∴k AP =-1k，∴直线AP ：y -kt =-1k()x -t ，又∵k AQ =k BQ =kt -2t +t=-k，∴直线AQ ：x =-1ky -2t ，由ìíîïïy -kt =-1k()x -t ,x =-1k y -2t ,可得ìíîïïïïx =-3k 2t +tk 2-1,y =kt ()3+k 2k 2-1,即A æèççöø÷÷-t ()3k 2+1k 2-1,kt ()k 2+3k 2-1，∵点A 在双曲线上，∴t 2()3k 2+12a 2()k 2-12-k 2t 2()k 2+32b 2()k 2-12=1，又∵P 在双曲线上，∴t 2a 2-k 2t 2b 2=1，∴t 2=a 2b 2b 2-a 2k 2，可得b 2()3k 2+12()k2-12()b 2-a 2k2-k 2a 2()k 2+32()b 2-a 2k 2()k2-12=1，化简得b 2()8k 4+8k 2=a 2k 2()8k 2+8，50思路探寻∵k≠0，∴b2=a2，∴a2=c2-a2，可得c2a2=2，即双曲线的离心率e=2.本题较为复杂，我们需首先结合直线AP、PQ的方程和双曲线的方程建立关于k、t、b、a的关系式；然后结合双曲线中a、b、c之间的关系a2+b2=c2，通过消元、代换，得到关于a、c的齐次方程，进而求得离心率e的值.二、利用公式法公式法是求解圆锥曲线离心率问题的重要方法，主要是利用离心率公式e=c a来求圆锥曲线的离心率.在解题时，可先灵活运用圆锥曲线的定义、几何性质列出关于a、b、c的关系式；然后通过移项、化简等方式，将关系式转化为关于a、c的关系式；最后根据公式e=c a求出离心率的值.例3.如图1，已知F1、F2分别是曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于点P、Q两点，若PQ⊥PF1，||PQ=||PF1，则双曲线C的离心率为().图1A.6-3B.5-22C.5+22D.1+22解：因为PQ⊥PF1，||PQ=||PF1，由双曲线的定义可得||PF1-||PF2=||PQ-||PF2=||QF2=2a，||QF1-||QF2=2a，所以||QF1=4a，由∠F1QF2=π4,得||F1F2=2c，在△QF1F2中，由余弦定理可得16a2+4a2-2×4a×2a=4c2，化简得e==5-22.故答案为选项C.我们根据已知条件，利用双曲线的定义、余弦定理得到a、c等量关系式，即可根据离心率公式直接求得双曲线的离心率.例4.如图2，已知F1、F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F1的直线与双曲线交左支于A、B两点，且||AF1=2||BF1,以点O为圆心，OF2为半径的圆经过点B，则椭圆C的离心率为_____.图2解：由题意可得∠F1BF2=90°，设||BF1=m，||BF2=m+2a，||AF1=2m，则||AF2=2m+2a，||AB=3m，在Rt△ABF2中，由勾股定理可得()2a+m2+()3m2=()2m+2a2，解得m=23a，则||BF1=2a3，||BF2=8a3，在Rt△F1BF2中，由勾股定理可得æèöø2a32+æèöø8a32=()2c2,化简得c=，所以椭圆的离心率为e=ca=.在解答本题时，要先仔细研究图形，结合圆的几何性质以及椭圆的定义找出a、b、c之间的关系；然后利用勾股定理得到关于a、c的关系式；最后将其代入圆锥曲线的离心率公式中，就能得到椭圆的离心率.相比较而言，公式法比较直接、简单，但需灵活运用圆锥曲线的性质和定义；而齐次化法较为复杂，运用该方法解题运算量较大.同学们需反复练习，领悟其中的要义，从而高效地解答问题.（作者单位：云南省曲靖市第二中学）51。
圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)
分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐
2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等 关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2
圆锥曲线离心率
y B
1
例 5．（2010 南京三模）已知椭圆
P
别为 F1 ， F2 ，若该椭圆上存在一点 P，使得 F1 PF2 600 ，则椭圆
F
1
O B
离心率的取值范围是 ． 分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当当 P 为椭圆的短轴的顶点 B1 （或 B2 ）时∠ F1PF2 最大（需要证明），从而有 0 ＜∠ F1PF2 ≤∠ F1
双曲线的右半支上，如果我们考虑几何的大小，易知 PF1 a c ，得到一个关于基本量 a ， b ， c ，
e 的不等式，从而求出离心率 e 的范围；如果我们考虑，通过设双曲线上的点 P ( x, y ) ，注意到双曲线
本身的范围，也可以求出离心率 e 的范围。 解法 1：在 PF1 F2 中，由正弦定理得，
a2 c ， PF a c ， 而 FA c
所以
a2 c a c ，所以 a 2 ac 2c 2 。 c
c 2 2 ，所以 2e e 1 ，所以 2e e 1 0 ， a 1 e1 2
又e
即 (2e 1)(e 1) 0 ，又 0 e 1 ，所以
c OP 2OA ，这样就得到一个关于基本量 a ， c 的齐次方程，从而求解出比值 ( e ) 的值。 a
a2 2a ，解出 解：由已知条件，四边形 OAPB 为正方形，所以 OP 2OA ，所以 c
c 2 2 ，即 e a 2 2
例 2．（2010 南通二模）A，B 是双曲线 C 的两个顶点，直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 P，Q，且 与实轴垂直，若 PB AQ 0 ，则双曲线 C 的离心率 e = 。
高考复习圆锥曲线中的离心率问题（含详细答案）
圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e 已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。
来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（ ）A. 10B. 5C. 310D. 25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。
，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ac e ==，从而选A 。
二、变用公式，整体求出e 例2. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23 分析：本题已知=a b 34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
，可用整体代入套用公式。
解：由22222222k 1a b 1a b a ab a ace +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜率）。
这里34a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。
三、第二定义法三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（则该椭圆的离心率为（ ）A. 2B. 22C. 21D. 42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ^轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。
圆锥曲线离心率及范围问题
因为 MH
OF2 ，所以， OF2
MH
OM
MF2 , MH
ab c
，即 M
点纵坐标为
ab c
，
将M
点纵坐标带入圆的方程中可得
x2
a2b2 c2
b2
，解得 x
b2 c
,M
b2
c
,
ab c
，
将M
b4
点坐标带入双曲线中可得
a2c2
a2 c2
1，
化简得 b4 a4 a2c2 ， c2 a2 2 a4 a2c2 ， c2 3a2 ， e c 3 ，选 D. a
PF2 F1 60 ，则 C 的离心率为（
A．1 3 2
B． 2 3
） C． 3 1 2
D． 3 1
【答案】 3 1
【解析】设椭圆焦点在 x 轴上，则椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0.
因为 F2PF1 90 ， PF2F1 60 ， F1F2 2c ，所以 PF2 c ， PF1 3c
因为 MF1 3 MF2 ， M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知 MF1 MF2 2a ， 即 3 MF2 MF2 2a ， MF2 a 因为圆 x2 y2 b2 的半径为 b ， OM 是圆 x2 y2 b2 的半径，所以 OM b ， 因为 OM b, MF2 a,OF2 c, a2 b2 c2 ， 所以 OMF2 90 ，三角形 OMF2 是直角三角形，
设 F1 为椭圆右焦点， F2 为椭圆左焦点，则 PF1 PF2 2a ，所以 3 1 c 2a ，
所以 e c 2 2 3 1 3 1.故选 D. a 3 1 3 1 3 1
圆锥曲线的离心率练习题含答案
圆锥曲线的离心率练习题含答案1. 题目 1已知一个椭圆的长轴长度为 10cm，短轴长度为 8cm。
求该椭圆的离心率。
解答首先，我们知道椭圆的离心率 e 的计算公式如下：e = √(1 - (b^2 / a^2))其中，a 表示椭圆的长轴长度，b 表示椭圆的短轴长度。
代入已知数据进行计算：e = √(1 - (8^2 / 10^2))= √(1 - 64 / 100)= √(1 - 0.64)≈ √0.36≈ 0.6所以，该椭圆的离心率约为 0.6。
2. 题目 2已知一个抛物线的焦点到准线的距离为 4cm，准线的长度为6cm。
求该抛物线的离心率。
解答对于抛物线，焦点到准线的距离等于离心距离的两倍。
离心率e 的计算公式如下：e = 离心距离 / (2 * p)其中，p 表示抛物线的准线距离。
代入已知数据进行计算：离心距离 = 4cmp = 6cme = 4 / (2 * 6)= 4 / 12= 0.33所以，该抛物线的离心率为 0.33。
3. 题目 3已知一个双曲线的焦点到准线的距离为 5cm，准线的长度为12cm。
求该双曲线的离心率。
解答对于双曲线，焦点到准线的距离等于离心距离的两倍。
离心率e 的计算公式如下：e = 离心距离 / (2 * p)其中，p 表示双曲线的准线距离。
代入已知数据进行计算：离心距离 = 5cmp = 12cme = 5 / (2 * 12)≈ 0.21所以，该双曲线的离心率约为 0.21。
以上是关于圆锥曲线离心率的练习题及答案。
圆锥曲线的离心率问题
圆锥曲线的离心率问题大家知道，圆锥曲线的离心率问题是近几年高考的热点内容，可以毫不夸张地说，不管是高考，还是高三的诊断考试，基本上是每卷都有出现。
这类问题归结起来主要包括：①已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线的离心率；②已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线离心率的取值范围。
从题型上看，属于5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从考试的深难度来看，属于中、高档题。
那么如何解答这类问题呢？下面通过对典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、已知1F 、2F 是椭圆两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若∆AB 2F 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）（2016—2017成都实外西区期中考试）A2B 3C 3D 2 2、已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0,b ＞0）的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2y =2px（p ＞0）与双曲线有相同的焦点，设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且cos ∠P 1F 2F =57，则双曲线C 的离心率为（ ）（2019成都市高三三诊） AB或3 C 2或D 2或3〖解析〗1、【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③正三角形的定义与性质；【解答思路】题中没有确定焦点在X 轴还是Y 轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只考虑焦点在X 轴上的情况。
由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出a ，c 的值，然后根据椭圆离心率的公式e=ca求出结果； 【详细解答】如图Q ∆AB 2F 是正三角形，A 1F ⊥X∴∠A 2F 1F =.30，⇒|A 2F |=2|A 1F |，设|A 2F | =2， 则|A 1F |=1，在Rt ∆A 1F 2F 中，Q tan .30= 112||||AF F F = 12c =3，∴ c=2，Q |A 1F |+ |A 2F |=1+2=3=2a ，2a 23232、【考点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③抛物线的定义与性质；④曲线交点的定义与求法；【解答思路】题中给出了双曲线方程，已经明确焦点在X 轴上，根据问题条件结合双曲线，抛物线的定义与性质分别求出a ，c 的值，然后由双曲线离心率的公式e= ca求出结果； 【详细解答】如图，过1F 作垂直于X 轴的直线l ，过P 作PQ ⊥l 于Q ，Q 抛物线2y =2px （p ＞0）与 双双曲线C 有相同的焦点，P 是抛物线与 双曲线C的一个交点，∴|PQ|=|P 2F |， ∠QP 1F =∠2F 1F P ， Q cos ∠P 1F 2F =57，∴cos ∠QP 1F =1||||PQ PF =21||||PF PF =57， ⇒|P 2F |=57|P 1F |，设|P 1F |=7，则|P 2F |=5，⇒|P 1F |-|P 2F |=7-5=2=2a ，⇒a=1，Q 在∆P 1F 2F 中， |2F P|2= |P 1F |2+||1F 2F |2-2|P 1F ||1F 2F | cos ∠P 1F 2F ，∴25=49+42c -2⨯7⨯2c ⨯57，⇒2c -5c+6=0，⇒c=2或c=3，∴ e= c a = 21或e= c a= 31⇒e=2或e=3。
巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】(学生版)-高中数学
巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】【新高考专用】【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】【题型4利用正、余弦定理求离心率或其范围】【题型5利用基本不等式求离心率的范围】【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】【题型7函数法求离心率或其范围】【题型8坐标法求离心率或其范围】1.巧解圆锥曲线的离心率问题从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.【知识点1圆锥曲线的离心率】1.椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.(2)离心率的范围：0<e<1.(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.2.求椭圆离心率或其取值范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用离心率公式求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.3.双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.(2)双曲线离心率的范围：e>1.(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.4.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.5.抛物线的离心率抛物线的离心率e=1.【知识点2离心率的范围问题的求解方法】1.不等式法求离心率的范围(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解.2．函数法求离心率的范围(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.2.坐标法求离心率的范围根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】1.(2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测)已知双曲线的两个焦点分别为4,0 ,-4,0 ，点4,-6 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.3B.3C.2D.22.(2024·广西贵港·模拟预测)已知正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD 和BC 的中点，则该椭圆的离心率为()A.22B.3-12C.5-12D.323.(23-24高二下·山西晋城·阶段练习)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，M 为C的顶点，若△MF 1F 2的内心和重心重合，则C 的离心率为()A.33B.32C.12D.134.(2024·陕西商洛·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，若C 上存在点P ，使得PF 1 =3PF 2 ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,+∞B.1,2C.2,+∞D.1,2【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】5.(2024·浙江杭州·三模)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a ,b >0 上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得△ABC 为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是() A.2,+∞B.3,+∞C.2,+∞D.233,+∞6.(23-24高二下·山西运城·期中)已知F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 26=1(a >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交C 于A ,B 两点，若AF 2 +BF 2 的最大值为8，则C 的离心率为( ).A.33B.32C.63D.127.(2024·四川·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),F ,A 分别为E 的右焦点和左顶点，点M -2,3 是双曲线E 上的点，若△AMF 的面积为92，则双曲线E 的离心率为()A.3B.2C.62D.68.(2024·陕西铜川·模拟预测)已知F 1,F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，若E 上存在不同的两点A ,B ，使得F 1A =2F 2B，则E 的离心率的取值范围为()A.0,2-1B.0,2-1C.3-22,1D.3-22,1【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】9.(2024·广东深圳·二模)P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，PF 1 ⋅PF 2 =0，点Q 在∠F 1PF 2的平分线上，O 为原点，OQ ∥PF 1，且OQ =b ．则C 的离心率为()A.12B.33C.63D.3210.(2024·江西南昌·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 2作直线l与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为10b ，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.52,5B.32,3C.12,2D.[2,+∞)11.(2024·河北邯郸·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，O 为坐标原点，F 1、F 2分别为C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且PF 2⊥x 轴，M 在∠F 2PF 1外角平分线上，且F 2M ⋅PM=0.若OF 2 =F 2M ，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.22312.(2024·陕西安康·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，直线l :y =12x +a 与椭圆C 交于A ,B两点(B 点在A 点上方)，O 为坐标原点，以O 为圆心，OB 为半径的圆在点B 处的切线与x 轴交于点D ，若∠BDA >∠BAD ，则C 的离心率的最大值为()A.13B.12C.22D.32【题型4利用正、余弦定理求离心率或其范围】13.(2024·广西桂林·模拟预测)已知F 1、F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，且PF 1 2+PF 2 2=8b 2，则双曲线C 的离心率为()A.53B.54C.233D.15314.(2024·陕西安康·模拟预测)设A ,B 分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点，M 是C 上一点，且MA :MB :AB =3:5:7，则C 的离心率为()A.35B.37C.1511D.728614315.(2024·四川成都·模拟预测)设点F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A ，B分别在双曲线C 的左，右支上.若F 1B =6F 1A ，AF 2⊥BF 2，且AF 2 >BF 2，则双曲线的离心率为()A.175 B.135C.855D.65516.(23-24高二上·浙江杭州·期中)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1,F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的一条渐近线的垂线，垂足为D ，且DF 2 =7OD ，则C 的离心率为()A.2B.2C.5D.3【题型5利用基本不等式求离心率的范围】17.(23-24高二上·安徽黄山·期末)已知点F 1是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左焦点，过原点作直线l 交椭圆于A 、B 两点，M 、N 分别是AF 1、BF 1的中点，若∠MON =90°，则椭圆离心率的最小值为()A.14B.34C.12D.2218.(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,519.(23-24高二·全国·课后作业)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若PF 12PF 2的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是()A.1,2B.1,3C.1,3D.2,420.(2024·河南·二模)从椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)外一点P x 0,y 0 向椭圆引两条切线，切点分别为A ,B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为x 0xa 2+y 0yb 2=1.现有如图所示的两个椭圆C 1,C 2，,e为1，则e 21-e 22的最大值为()A.12B.13C.15D.14【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】21.(2024·安徽合肥·模拟预测)已知椭圆C 1：x 2m 2+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2-y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则()A.e 1e 2>2B.e 1+e 2>2C.0<e 1e 2<2D.0<e 1+e 2<222.(2024·山东菏泽·二模)已知e 1,e 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和双曲线x 2a 2-y 2b2=1的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过255，则e 2e 1的最大值是()A.2B.3C.4D.523.(2024·全国·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0)与双曲线C 2:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)有共同的焦点F 1,F 2，点P 为两曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2=60°，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，那么e 21+e 22最小为()A.2+34B.2+32C.3+224D.3+22224.(23-24高二上·湖北荆州·期末)已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1+e 22的最小值为()A.8B.6C.4D.2【题型7函数法求离心率或其范围】25.(2024·全国·模拟预测)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在椭圆Γ上，且PF 1 ⋅PF 2 =0．若PF 1 PF 2∈1,3 ，则椭圆Γ的离心率的取值范围是()A.23,1B.22,104C.12,58D.12,4-2326.(2024·河北邯郸·二模)已知直线l ：abx -(4a -1)y +m =0a >14 与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 为直角三角形，则双曲线的离心率e 的最大值为()A.2B.3C.2D.527.(2024·辽宁·模拟预测)已知Q 是椭圆M :x 29+y 2b 2=1(0<b <3)上的动点，若动点Q 到定点P 2,0 的距离PQ 的最小值为1，则椭圆M 的离心率的取值范围是()A.23,1B.0,22C.22,1 D.0,6328.(2024·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，F 1，F 2为C 的左、右焦点，B 0,4b ，直线BF 2与C 的一支交于点P ，且BP PF 2=λλ≥1 ，则C 的离心率最大值为()A.5B.2C.22D.25【题型8坐标法求离心率或其范围】29.(23-24高二下·湖北武汉·阶段练习)已知A ,F 分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点和左焦点，直线y =kx 与椭圆交于B ,C 两点，若直线CF 交线段AB 于M ,AM =13AB，则椭圆的离心率为()A.23B.12C.154D.26530.(23-24高三上·河北保定·阶段练习)已知双曲线C :x 2-y 2b 2=1(b >0)，点P 2,0 ,Q 3,0 ，若C 上存在三个不同的点M 满足MQ =2MP ，则C 的离心率的取值范围为()A.1,153B.1,303C.153,+∞D.303,+∞31.(2024·福建泉州·模拟预测)椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 0,m m >b ，线段PF 1，PF 2分别交E 于A ,B 两点，过点B 作E 的切线交PF 1于C ，且BC ⃗⋅PF 1⃗=0,PB ⃗=2BF 2 ，则E 的离心率为()A.12B.22C.32D.3332.(23-24高二上·湖北·期中)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ，且F 1F 2 =2OB (O 为坐标原点).下列三个结论正确的是()①B 的坐标为a ,b ；②BF 1 -BF 2 >2a ；③若AB =3F 1A ，则双曲线C 的离心率1+173；A.①②B.②③C.①③D.①②③一、单选题1.(2024·湖北武汉·模拟预测)设椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点为F 1,F 2，右顶点为A ，已知点P在椭圆E 上，若∠F 1PF 2=90°,∠P AF 2=45°，则椭圆E 的离心率为()A.57B.63C.2-2D.3-12.(2024·四川雅安·三模)设F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过点F 2的直线交双曲线右支于点M ，交y 轴于点N ，且F 2为线段MN 的中点，并满足F 1M ⊥F 1N，则双曲线C 的离心率为()A.3+12B.3+1C.2D.5+13.(2024·陕西咸阳·模拟预测)设F 1，F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1 ⋅AF 2 =0，AF 2 =2F 2B，则椭圆E 的离心率为( ).A.32B.53C.34D.354.(2024·安徽合肥·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P 使得线段PF 1与y 轴交于点E ，PO =PF 2 ，线段EF 2的中点H 满足F 1H⋅PF 2=0，则双曲线的离心率为()A.32+102B.32-102C.7+35D.7-355.(2024·广东·一模)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B 0,b 满足FB ⋅AB=0，则椭圆的离心率等于() A.3+12B.5-12C.3-12D.5+126.(2024·辽宁·模拟预测)已知椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点F 1,F 2,P 是椭圆C 1与双曲线C 2的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，其离心率分别为e 1,e 2，则3e 21+e 22的最小值为()A.3B.4C.6D.127.(2024·河南濮阳·模拟预测)点M是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q两点，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是()A.2-3,1B.5-12,1C.6-22,1D.6-22,5-128.(2024·四川德阳·模拟预测)已知双曲线l：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E的渐近线交于M、N两点，若S MON≥34c2，则E的离心率的取值范围是()A.233,2B.233,3C.2,3D.[3，2]二、多选题9.(2024·甘肃酒泉·三模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在点P，使得PF1=4PF2，其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为()A.12B.35C.56D.3-110.(2024·河南信阳·模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1-c,0,F2c,0，直线l:bx+ay-bc=0与C相交于点M，与C的一条渐近线相交于点N,C的离心率为e，则()A.若NF1⊥NF2，则e=2B.若MF1⊥MF2，则e=22C.若NF2=2MF2，则e=2 D.若MF1≥5MF2，则e≤211.(2024·贵州贵阳·三模)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为点F1,F2，斜率为正的渐近线为l1，过点F2作直线l1的垂线，垂足为点A，交双曲线于点P，设点M是双曲线C上任意一点，若PF2=23AF2,S△PF1F2=43，则()A.双曲线C的离心率为5B.双曲线C的共轭双曲线方程为y2-x24=1C.当点M位于双曲线C右支时，MF1MF2 ∈1,3+52D.点M到两渐近线的距离之积为45三、填空题12.(2024·山东济南·三模)已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，点P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，△POF 2为正三角形，则该椭圆的离心率为.13.(24-25高三上·江苏南通·阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a ,b >0 ，F 1，F 2为双曲线的左右焦点，过F 1做斜率为正的直线交双曲线左支于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 y 1<y 2 两点，若AF 1 =2a ，∠ABF 2=90°，则双曲线的离心率是．14.(2024高三下·全国·专题练习)已知P 、Q 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上关于原点对称的两点，点P在第一象限，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，OP =OF 2 ，若QF 1 PF 1≥33，则椭圆C 的离心率的取值范围为.四、解答题15.(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 与椭圆x 225+y 25=1共焦点，点M 、N 分别是以椭圆半焦距为半径的圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限的交点，若点E 0,3 满足ME ⊥ON ，(O 为坐标原点)，(1)求双曲线的离心率；(2)求△OMN 的面积.16.(2024·湖北·模拟预测)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A1,32.(1)若椭圆E的离心率e∈0,12，求b的取值范围；(2)已知椭圆E的离心率e=32，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆x2+y2= b2相切，求线段MN的最大值.17.(2024·安徽蚌埠·模拟预测)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点是A(-1,0)，一条渐近线的方程为y=x．(1)求双曲线E的离心率；(2)设直线y=12x-12与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．18.(2024·黑龙江齐齐哈尔·二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A，过A且斜率为k k>0的直线交y轴于点M，交C的另一点为P．(1)若k=13,MA=2PM，求C的离心率；(2)点Q在C上，若P A⊥QA，且tan∠PQA=8，求k的取值范围．19.(2024·上海·三模)已知双曲线Γ：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2．(1)若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：(2)若b=4，双曲线Γ左支上任意点T均满足TF1≥2a，求a的最大值；(3)若双曲线Γ的左支上存在点P、右支上存在点Q满足FP1=PQ=QF2，求Γ的离心率e的取值范围．。
圆锥曲线：离心率问题 高考数学
C. 2
√
B. 3
1
2
3
4
5
6
D. 5 − 1
7
8
9
10
)
试卷讲评课件
【详解】令双曲线的焦距为，依题意，
∣ ∣−∣ ∣=
，解得
∣ ∣+∣ ∣= −
∣ ∣= −
，
∣ ∣= −
在△ 中，∠ = ∘ ，由余弦定理得
故 ⋅ =
⋅
= = ①，
+ −
−
−
∵ + = ，即 =
②，
②代入①整理得：
= =
−
=
=
，
.
故选：.
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，是基础题.
1
2
3
4
5
6
(1)表示边：圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理、成比
例线段.
(2)表示坐标的方法：向量、函数解析式、曲线解析式，点差法.
(3)常见角度关系：公共角、补角、余角.
【例题分析】
考向一 直接求、的值或利用、的关系求离心率
试卷讲评课件
x2
例1.( ⋅湖北·二模)已知椭圆C:
m
2
试卷讲评课件
2.双曲线
(1)
x2
双曲线的标准方程： 2
a
y2
− 2
b
=
y2
1或 2
a
−
x2
圆锥曲线离心率问题
圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也表现了参数a, c 之间的联系。
一、基础知识：1、离心率公式：e c（此中c为圆锥曲线的半焦距）a（1）椭圆：e 0,1（2）双曲线：e 1,+2、圆锥曲线中a,b, c的几何性质及联系（1）椭圆：a2b2c2，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF1PF22a②2b ：短轴长③ 2c :椭圆的焦距（2）双曲线：c2b2a2① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：PF1PF22a②2b ：虚轴长③ 2c :椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要环绕找寻参数 a, b, c 的比率关系（只要找出此中两个参数的关系即可），方法往常有两个方向：（1）利用几何性质：假如题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线构成的三角形），那么可考虑追求焦点三角形三边的比率关系，从而两条焦半径与 a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解（2）利用坐标运算：假如题目中的条件难以挖掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 a,b,c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在找寻不等关系时往常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）能否有范围要求：比如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
假如问题环绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用 a, b, c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的打破口（2）若题目中有一个中心变量，则能够考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）经过一些不等关系获得对于a, b, c的不等式，从而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆： e 0,1 ，双曲线： e 1,+二、典型例题：例 1：设F1, F2 x 2 y 21 a b 0 的左、右焦点，点P分别是椭圆 C : 2b 2a在椭圆 C 上，线段PF1的中点在y 轴上，若PF1F230o，则椭圆的离心率为（）A．3B．3C．1D．1 363 6思路：此题存在焦点三角形VPF1 F2，由线段PF1的中点在y 轴上，O 为F1F2中点可得PF2∥ y 轴，从而 PF2 F1F2，又因为PF1F2 30o，则直角三角形VPF1F2中，PF1 : PF2 : F1F2 2:1:3，且2a PF1 PF2 ,2 cc 2c F1 F2 3 F1F2，因此e2a PF1 PF2 3a答案： A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为F1F2中点是一个隐含条件，如果图中存在其余中点，则有可能与O搭配形成三角形的中位线。
新高考数学二轮复习圆锥曲线中的离心率的范围问题
2.已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆上存在点 A，
使得∠F1AF2＝π3，则椭圆离心率的范围为
A.0，12
B.12，1
C.0，12
√D.12，1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
由题意，设椭圆上顶点为 B，若椭圆上存在点 A，使得∠F1AF2＝π3， 则只需∠F1BF2≥π3即可. 当∠F1BF2＝π3时，△F1BF2 为正三角形，此时 a＝2c， 故当∠F1BF2≥π3时，a≤2c，即12≤ac. 故离心率 e∈12，1.
所以|OP|2≥a2， 因为 d1d2≤12|OP|2 恒成立， 所以aa2＋2b2b2≤12a2，
整理得 b2≤a2，即ba22≤1， 所以离心率 e＝ac＝ ac22＝
1＋ba22≤ 2，
则 C 的离心率的最大值为 2.
规 律
利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，
方 法
构造几何度量之间的关系.
所以2ca＝cos∠PF1F2> 22， 即 e＝ac> 2， 综上， 2<e<2.
考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例2 (1)(2023·张掖模拟)若椭圆E：x2＋1－y2m2＝1(0<m<1)上存在点P，满足 |OP|＝m(O为坐标原点)，则E的离心率的取值范围为
A.0，12
C.0，
3
＝sinπ3＋θ2－sin
＝ θ
31 2 ·cosπ6＋θ.
因为
e∈
26，
3，
所以 cosπ6＋θ∈12， 22，
所以π6＋θ∈π4，π3， 所以 θ 的取值范围为1π2，π6.
求解圆锥曲线离心率问题的两种思路
探索探索与与研研究究离心率是圆锥曲线的重要性质之一.圆锥曲线的离心率公式为e =ca，a 是指双曲线的实半轴长、椭圆的长半轴长，c 是指双曲线和椭圆的半焦距.由于抛物线的离心率e =1，双曲线的离心率e >1，椭圆的离心率0<e <1，所以圆锥曲线的离心率主要是指椭圆和双曲线的离心率.求圆锥曲线的离心率，关键是求a 、c 的值或其比值.下面谈一谈求解圆锥曲线问题的两种思路.一、构建齐次式在求圆锥曲线的离心率时，可根据题目中所给的条件和几何关系，利用圆锥曲线的公式、定义、方程等建立含有a ,b ,c 的齐次式；再在该式的左右两边同时除以c 2，得到关于c a 或ba的方程，解该方程即可求得离心率.例1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为B ，若椭圆C的中心到直线AB 的距离为F 1F 2|，求椭圆C 的离心率.解：因为直线AB 过右顶点为A ，上顶点为B ，所以直线AB 的方程为：x a +yb=1.又椭圆C 的中心到直线AB 的距离为d =||ab a 2+b 2=c ，而c 2=a 2-b 2，则||ab a 2+b2a 2-b 2，在上式的两边同除以a 2，整理可得2æèöøb a 4+3æèöøb a 2-2=0，得æèöøb a 2=12，解得e ==.利用点到直线的距离公式，建立一个关于a ,b ,c 的齐次式，就可以将问题转化为解方程问题.在求离心率的过程中，还要注意圆锥曲线离心率公式的变形式，e =椭圆）、e =双曲线）.二、利用平面几何知识当遇到一些有关焦点三角形、直线的倾斜角、点到直线的距离、两点之间的距离、线段的中点、平行线段、垂直线段等的离心率问题时，我们可以根据题意画出相应的几何图形，巧妙利用平面几何知识，如椭圆或双曲线的定义、三角形中位线的性质、点到直线的距离公式、勾股定理、正余弦定理等来建立关于双曲线的实半轴长、椭圆的长半轴长、半焦距的关系式，从而求得圆锥曲线的离心率.例2.设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2=30°，则椭圆的离心率为.解：因为线段PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，所以PF 2∥y 轴，从而可知PF 2⊥F 1F 2，因为∠PF 1F 2=30°，则直角三角形PF 1F 2中，||PF 1:||PF 2:||F 1F 2=2:1:3，又因为点P 在椭圆C 上，则2a =||PF 1+||PF 2,2c =||F 1F 2，所以e =c a =2c 2a =||F 1F2||PF 1+||PF 2=.由题意可知△PF 1F 2为椭圆的焦点三角形，于是以椭圆的定义为突破口，在直角三角形PF 1F 2中，利用勾股定理来建立三角形PF 1F 2三边之间的关系式，从而求得椭圆的离心率.在求与焦点三角形有关的离心率问题时，要注意离心率与焦半径之间的关系：e =c a =2c 2a =||F 1F 2||PF 1+||PF 2(椭圆)，e =c a =2c 2a =||F 1F 2||||PF 1-||PF 2（双曲线）.总之，在求解圆锥曲线的离心率时，不仅要灵活运用圆锥曲线的方程、定义、几何性质和平面几何图形的性质，还要学会运用数形结合思想、方程思想来辅助解题，这样才能有效地提升解题的效率.（作者单位：福建省柘荣县第一中学）袁晓光52。
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圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c之间的联系。
一、基础知识：1、离心率公式：cea=（其中c为圆锥曲线的半焦距）（1）椭圆：()0,1e∈（2）双曲线：()1,+e∈∞2、圆锥曲线中,,a b c的几何性质及联系（1）椭圆：222a b c=+，①2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a+=②2b：短轴长③2:c椭圆的焦距（2）双曲线：222c b a=+①2a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a-=②2b：虚轴长③2:c椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。
从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．36 C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
例2：椭圆(2221012x y b b+=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:2b a bc a =⇒=P 在第一象限，则由椭圆定义可得：12PF PF +='122PF PF a -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：22164885c c c +=⇒=c e a ∴==小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。
例3：如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.324 B. 233C. 305D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。
双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍可得：2222221OAbaba kb a b a==--，确定直线l 的方程为()222ab y x c a b =--，与渐近线联立方程得()2222222223ab y x c abc abc a by or y b a b a b y a ⎧=-⎪⎪-⇒=-=⎨-+⎪=±⎪⎩将2AF FB =转化为坐标语言，则2A B y y =- ，即22222223abc abca b a b=⋅+-，解得::3:1:2a b c =，从而233e =答案：B例4：设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为A.34B.35C.49 D.3思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PF PF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 答案：B例5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用,,a b c进行表示，在利用条件求出离心。
首先直线121,A B B F 的方程含,,a b c ，联立方程后交点T 的坐标可用,,a b c 进行表示（()2,b a c ac T a c a c +⎛⎫⎪--⎝⎭），则OT 中点()(),2b a c ac M a c a c ⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭，再利用M 点在椭圆上即可求出离心率e 解：直线12A B 的方程为：1x ya b+=-； 直线1B F 的方程为：1xycb +=-，联立方程可得：bx ay ab cy bx bc-=-⎧⎨-=-⎩ 解得：2()(,)ac b a c T a c a c+--， 则()(,)2()ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上， 2222222()1,1030,1030()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=-- 解得：275e =- 答案：275e =-例6：已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+思路：从图中可观察到若ABE 为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角。
由对称性可得只需0,4AEF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可。
且,AF FE 均可用,,a b c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a=，FE a c=+，所以()2tan 1AFb AEF FE a ac ==<+()22112c a c ae a a c a--⇒<⇒<⇒<+，即()1,2e ∈答案：B小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题（2）本题还可以从直线AE 的斜率入手，()2,0,,b E a A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用()1,0AE k ∈-即可求出离心率例7：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在点P 使1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. ()0,21- B. 2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. ()21,1-思路：1221,PF F PF F ∠∠为焦点三角形12PF F 的内角，且对边为焦半径21,PF PF ，所以利用正弦定理对等式变形：1221sin sin a c PF F PF F =⇒∠∠121122sin sin PF PF F cc PF F a PF a∠=⇒=∠，再由212PF PF a +=解得：222a PF a c=+，再利用焦半径的范围为(),a c a c -+可得（由于依题意，P 非左右顶点，所以焦半径取不到边界值,a c a c -+）：22222222222222210a c a a ca a c a c a c a a ac c e e ⎧⎧-<>-⎪⎪-<<+⇒⇒⎨⎨+<+++->⎪⎪⎩⎩，解得)1,1e ∈答案：D例8：已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 5⎫⎪⎪⎣⎭B. 2⎫⎪⎪⎣⎭C. 0,5⎛ ⎝⎦D.2⎛ ⎝⎦思路一：考虑在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，12F PF ∠达到最大值。
所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的角90θ≥，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452OPF θ∠=≥，所以22tan 1OF cOPF OPb∠==≥，即22222c b c b c a c ≥⇒≥⇒≥-，进而2212c a ≥即212e ≥，解得2e ≥，再由()0,1e ∈可得2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭思路二：由12PF PF ⊥可得1290F PF ∠=，进而想到焦点三角形12F PF 的面积：122212tan2F PF F PF Sb b ∠==，另一方面：121212F PF P P S F F y c y =⋅⋅=⋅，从而22P P b c y b y c⋅=⇒=，因为P 在椭圆上，所以[],P y b b ∈-，即2P b y b b c c =≤⇒≤，再同思路一可解得：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭思路三：12PF PF ⊥可想到120PF PF ⋅=，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。