函数对称性在高考中的应用

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高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解

高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（）A ．12B ．0C ．12−D ．1−【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x −+=+，用1122x +代替x 得：()()13f x f x −+=+，因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x −+=−+，故()()31f x f x +=−+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=−+②，由①② 得：()()51f x f x +=+，所以函数()f x 的周期4T =，所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x −+=−+，令0x =得：()()11f f =−，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =−，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =−+，因为()()11f x f x −+=−+，令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1111222f ⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x −+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫−⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()11f x f x −+=−+，令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=−−+=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例2、（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x −为偶函数，()()20f x f x −+−=，当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=．则()131k f k ==∑（）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x −是偶函数，所以()2(2)f x f x −−=−，所以()(4)f x f x =−−，所以函数()f x 关于直线2x =−对称，又因为()()20f x f x −+−=，所以()()2f x f x −−=−，所以()(2)f x f x =−−−，所以()f x 关于点(1,0)−中心对称，由()(4)f x f x =−−及()(2)f x f x =−−−得(4)(2)f x f x −−=−−− 所以(4)(2)()f x f x f x −−=−−−=− 所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=，所以21424a a −=+−，解得：2a =或4a =−，因为0a >且1a ≠，所以2a =．所以当[]2,1x ∈−−时，()1()242xf x x =−−，所以(2)4,(1)0f f −=−=，(3)(1)0f f −=−=，(0)(2)4f f =−−=−， (1)(14)(3)0f f f =−=−=，(2)(2)4f f =−=，(3)(1)0f f =−=， (4)(0)4f f ==−，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例3、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点； ②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例4、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例5、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B例6、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例7、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例8、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B。

高考数学重难点分析：函数的周期性与对称性(题型战法)(解析版)

第二章函数2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）知识梳理一函数的周期性函数()y f x =满足定义域内的任一实数x (其中,a b 为常数) (1)()()f x f x a =+，则()x f 是以T a =为周期的周期函数； (2)()()f x a f x b +=-, 则()x f 是以b a T +=为周期的周期函数； (3)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； (4)()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；二函数的对称性轴对称：若()()f a x f b x +=- 则f(x)关于2ba x +=对称. 中心对称：若()()2f a x f b x m ++-= 则f(x)关于(2ba +，m) 对称.三由对称性推周期性(1) 函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），①若()x f 为奇函数，则函数()f x 4T a =，②若()x f 为偶函数，则函数()f x 周期为2T a =.(2) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；(3) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y ,()0,B b y ()a b ≠都对称，则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；(4) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以4a b -为最小正周期的周期函数；题型战法题型战法一周期性与对称性的判断典例1．下列函数是周期函数的有（） ①sin y x = ①cos y x = ①2y xA ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数和二次函数的性质可得. 【详解】易得sin y x =和cos y x =是周期函数，2y x 不是周期函数. 故选：C.变式1-1．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（） A ．0.5log y x = B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =【答案】C 【解析】直接利用函数性质判断即可. 【详解】选项A 中0.5log y x =不是周期函数,故排除A; 选项B,D 中的函数均为奇函数,故排除B,D; 故选:C. 【点睛】本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题. 变式1-2．函数x y e =与x y e -=的图象（） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】设点00(,)P x y 在函数x y e =图象上，证明00(,)P x y 关于y 轴对称的点00(,)x y -在函数x y e -=的图象上.【详解】解：设点00(,)P x y 在函数x y e =图象上，则00xy e =，则00(,)P x y 关于y 轴对称的点00(,)x y -满足0()0x x y ee --==，所以点00(,)x y -在函数x y e -=的图象上. 故选：B变式1-3．函数91()3x x f x +=的图像（）A ．关于直线1x =对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称【答案】B 【解析】【分析】利用分离常数法化简函数式，可知函数()f x 为偶函数，进而判断对称性. 【详解】解：因为()()231911333333x xx x x xxxf x -++===+=+，()()33x x f x f x --=+= 易知()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称. 故选：B.变式1-4．函数1()f x x x=+的图象关于（）对称. A ．直线y x = B ．原点C ．y 轴D ．x 轴【答案】B 【解析】根据函数的奇偶性判断. 【详解】因为函数1()f x x x=+的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选：B题型战法二由函数周期性求函数值典例2．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，若对于0x ≥时，都有()()4f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()2021f -等于（） A ．1 B ．-1 C ．2log 6 D ．23log 2【答案】A 【解析】【分析】由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解. 【详解】①()y f x =为R 上的偶函数，①(2021)(2021)f f -=，又当0x ≥时，()(4)f x f x =+， ①(2021)(2017)(1)f f f ==⋅⋅⋅=，当[)0,2x ∈时，2()log (1)=+f x x ， ①2(2021)(1)log (11)1f f -==+=. 故选：A.变式2-1．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（） A ．1716B ．54C ．2D ．1【答案】B 【解析】【分析】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，利用周期性把所给的自变量转化到区间[]1,1-上，代入求值即可. 【详解】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+， ①1115(2020.5)202012244f f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B变式2-2．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=.且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20132014f f -+的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】由()()2f x f x +=可得函数的周期为2，再结合函数为偶函数可得()()()()2013201410f f f f -+=+，然后由已知的解析式可求得答案【详解】①函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数， ①()()f x f x -=，又①对于0x ≥都有()()2f x f x +=，①2T =，①当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，①()()()()()()201320142013201421006121007f f f f f f -+=+=⨯++⨯()()2210log 2log 11f f =+=+=，故选：C.变式2-3．已知定义在R 上的偶函数()f x ，对x ∀∈R ，有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当03x ≤≤时，()26f x x =-，则()2021f =（） A ．0 B ．2-C ．4-D ．2【答案】C 【解析】【分析】求得()f x 的周期，结合奇偶性求得()2021f 的值. 【详解】依题意对x ∀∈R ，有(6)()(3)f x f x f +=+成立，令3x =-，则()()()()33323f f f f =-+=，所以()30f =，故()()6f x f x +=，所以()f x 是周期为6的周期函数，故()()()()202163371112164f f f f =⨯-=-==⨯-=-. 故选：C变式2-4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）5=，且(4)()f x f x +=-，则(2020)(2021)f f +的值为（）A ．0B ．5-C ．2D ．5【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分析可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，则有(2020)(0)f f =，(2021)f f =（1），由奇函数的性质求出(0)f 与f （1）的值，相加即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，则有(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，(2020)(48252)f f f =+⨯=(4)(0)0f ==， (2021)(58252)f f f =+⨯=(5)f =-（1）5=-，则(2020)(2021)(0)f f f f +=+（1）5=-，故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.题型战法三由函数对称性求函数值典例3．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()1()f x f x +=-，且当12x ≥时，()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和为（）A ．2B ．3C ．4D ．－1【答案】C 【解析】根据()1()f x f x +=-，可知：()f x 关于12x =对称，根据对称性，要求函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和，即求函数()f x 在[]1,3上的最大值与最小值之和，代入即可得解. 【详解】根据()1()f x f x +=-，可知：()f x 关于12x =对称，那么要求函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和，即求函数()f x 在[]1,3上的最大值与最小值之和，因为()()2log 31f x x =-递增，所以最小值与最大值分别为：(1)1f =，(3)3f =， (1)(3)4f f +=，故答案为：C. 【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了转化思想，计算量较小，思路要求较高，属于中档题.变式3-1．已知3()4f x ax bx =+-，若(2)6f =，则(2)f -=（） A ．－14 B ．14 C ．6 D ．10【答案】A 【解析】【分析】先计算(2)+(2)f f -，再代入数值得结果. 【详解】(2)+(2)8248248f f a b a b -=+----=-,又(2)6f =，所以(2)14,f -=-故选A 【点睛】本题考查函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.变式3-2．已知函数124xy a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的图象与指数函数x y a =的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】【分析】指数函数xy a =关于y 轴对称的函数为1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此得到124a -与a 的关系，即可求解出a 的值. 【详解】因为两函数的图象关于y 轴对称，所以124a -与a 互为倒数，所以124aa =-，解得4a =．故选C. 【点睛】本题考查指数函数图象对称与底数之间关系，难度较易.关于y 轴对称的指数函数的底数互为倒数.变式3-3．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为 A ．1- B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】【详解】试题分析：因为函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，所以点()()1,1f --与点()(),a f a ，关于直线1x =对称，11,32aa -+==，故选D.考点：函数的图象与性质.变式3-4．已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）AB C ．D【解析】【分析】先由对称性求得a ，再将4π代入函数解析式即可求得答案.【详解】因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以()203f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即112=-，解得a =4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．故选：B题型战法四由周期性与对称性求函数解析式典例4．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知[23]x ∈，时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（） A ．4x + B ．2x - C ．31x -+ D ．21x -+【答案】C 【解析】【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合[]2,3x ∈时，()f x x =，可得答案．【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3x ∈时，()f x x =，∴[]21x ∈--，时， []20,1x +∈，[]42,3x +∈，此时()()44f x f x x =+=+，[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，[]22,3x -∈，此时()()()22f x f x f x x =-=-=-，综上可得：[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+ 故选：C ．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．变式4-1．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当(1,0)x ∈-时，有()2x f x =，则当x ①（-3，-2）时，()f x 等于（） A ．2x B ．2x - C ．22x + D ．(2)2x -+-【答案】C 【解析】令(32)x ∈--，，则2(1,)x +∈-0，根据(1,0)x ∈-时，f （x ）＝2x ，可求得f （x +2）的解析式，再根据f （x +2）＝f （x ），即可求得f （x ）解析式．【详解】令(32)x ∈--，，则2(1,)x +∈-0， ①当(1,0)x ∈-时，有()2x f x =， ①f （x +2）＝2x +2， ①f （x +2）＝f （x ），①f （x +2）＝f （x ）＝2x +2，(32)x ∈--，．故选：C ．【点睛】本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生的计算能力，属于基础题．变式4-2．已知()f x 是定义在R 上周期为2的函数，当[]1,1x ∈-时，()||f x x =，那么当[]7,5x ∈--时()f x =（） A ．|3|x + B ．|3|x -C ．|6|x +D ．|6|x -【答案】C 【解析】利用周期函数的定义求解即可. 【详解】设[]7,5x ∈--,则[]61,1x +∈-, 由题意知,()66f x x +=+,因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数, 所以()()6f x f x +=,即()6f x x =+.故选: C 【点睛】本题考查周期函数的性质;熟练掌握周期函数的定义是求解本题的关键;属于常考题.变式4-3．若函数()f x 与()3xg x =的图象关于直线3x =对称，则()f x =（）A ．33x -B ．33x -C ．63x -D ．63x -【答案】D 【解析】【分析】先设出函数()f x 图像上任意点的坐标，再求出关于直线3x =对称的点，代入函数()g x 的解析式即可求解．【详解】解：设函数()y f x =图像上的点为(,)M x y ，关于直线3x =对称的点为(6,)N x y -，将点N 代入函数()y g x =的解析式可得：63x y -=，故6()3x f x -=，故选：D ．变式4-4．下列函数中，其图象与函数2x y =的图象关于直线1x =对称的是（） A ．12x y -= B ．22x y -= C ．12x y += D ．22x y +=【答案】B 【解析】【分析】设所求函数图象上任意一点为(),x y ，由其关于直线1x =的对称点()2,x y -在函数2x y =的图象上可解得结果.【详解】设所求函数图象上任意一点为(),x y ，则其关于直线1x =的对称点()2,x y -在函数2x y =的图象上，所以22x y -=.故选：B.题型战法五由周期性与对称性比较大小典例5．定义在R 上的函数()f x 满足：()()4f x f x +=成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】由()()4f x f x +=，得到()f x 是周期为4的周期函数，得到(6)(2),(4)(0)f f f f =-=，4)f f =，结合()f x 在[]2,0-上单调递增，得到(2)4)(0)f f f -<<，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，则(6)(68)(2),4),(4)(0)f f f f f f f =-=-==，又由函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，可得(2)4)(0)f f f -<<，即(6)(4)f f f <<，所以c b a >>. 故选：D.变式5-1．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x +=-，若()f x 在区间[]0,1是减函数，则53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1f ，112f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（） A ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】根据已知等式判断出函数的周期性，再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可. 【详解】()()()()()()22224f x f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+⇒=+，由此可知函数()f x 的周期为4，函数()f x 是奇函数，()()2f x f x +=-，所以有：55771142333333f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，113311142222222f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-+=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在区间[]0,1是减函数，11132<<，所以()11132f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B变式5-2．已知函数()f x 的定义域为 R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈ ，且 12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x ->- ；①(8)()f x f x +=；①(4)y f x =+ 是偶函数；若(7),(11)a f b f =-=，(2020)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a <<【答案】D 【解析】由已知条件可知()f x 在[]4,8上单调递增，周期为8，对称轴为4x =.则()7a f =，()5b f =，()4c f =，再结合函数的单调性即可判断大小.【详解】解：由①知，()f x 在[]4,8上单调递增；由①知，()f x 的周期为8；由①知，()f x 的对称轴为4x =；则()()()717a f f f =-==，()()()()1183835b f f f f =-==-=，()()202025284c f f =-⨯=，因为457<<，由函数的单调性可知，c b a <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了函数的周期，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的性质.变式5-3．定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；①函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；①对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>【答案】B 【解析】【分析】由①①可得函数()f x 是周期为4的函数，且()f x 是奇函数，由①可得函数()f x 在[]0,1上单调递增，进而可得函数()f x 在[]1,1-上单调递增，从而利用周期性和单调性即可求解. 【详解】解：由题意，因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()()11f x f x +=-+，所以()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，又()()220f x f x ++-=，所以()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-，因为()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的函数，所以()()20211f f =，()()()202220f f f ==，()()20231f f =-，因为()()2f x f x +=-，且()()2f x f x +=-，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，又因为对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立，即()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在[]0,1上单调递增，所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增，因为101>>-，所以()()()202120222023f f f >>，故选：B.变式5-4．已知定义在R 上的函数()f x 满足，①()()2f x f x +=，① ()2f x -为奇函数，①当[)0,1x ∈时，()()12120f x f x x x ->-()12x x ≠恒成立.则152f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()4f 、112f⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系正确的是（） A ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据单调性的定义可得()f x 在0,1上单调递增，根据已知条件可得()f x 是周期为2的奇函数，根据周期性和单调性即可求解. 【详解】由()()2f x f x +=可得()f x 的周期为2，因为()2f x -为奇函数，所以()f x 为奇函数，因为[)0,1x ∈时，()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在0,1上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在1,0上单调递增，所以()f x 在()1,1-上单调递增，因为1515124222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()44220f f f =-⨯=，1111123222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()11022f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.题型战法六由抽象函数周期性与对称性求函数值典例6．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()10f =，()5.52f =，()()()1g x x f x =-.若()1g x +是偶函数，则()0.5g -=（） A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】【分析】根据()1g x +得到()g x 关于1x =对称，得到()()2g x g x =-，结合()()()1g x x f x =-和()f x 为偶函数即可得()f x 周期为4，进而即得.【详解】因为()1g x +为偶函数，则()g x 关于1x =对称，即()()2g x g x =-. 即()()()()112x f x x f x -=--，即()()20f x f x +-=，()10f =也满足. 又()f x 是定义域为R 偶函数，关于y 轴对称，①()()2f x f x =--，()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-+=-+=， ①()f x 周期为4，①()()()()5.5 1.5 2.5 2.52f f f f ==-==， ①()()()0.5 2.5 1.5 2.53g g f -===. 故选：D.变式6-1．已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f = 则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-【答案】D 【解析】【分析】首先利用赋值法求出()20f =，代入等式赋值得到(4)()f x f x +=-，即对称轴为2x =，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到(45)(3)(3)(1)f f f f =-=-=-.【详解】因为对任意x ∈R ，都有(3)(1)9(2),f x f x f +=-+ 令1,x =- 得(2)(2)9(2),f f f =+ 解得(2)0,f = 则(3)(1),f x f x +=- 即(4)(),f x f x +=- 所以函数()f x 的图象关于直线2x =对称.又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，则函数()f x 的图象关于点(0,0)对称，即函数()f x 为奇函数，所以(4)()(),f x f x f x +=-=-所以(8)(4)(),f x f x f x +=-+= 所以8是函数()f x 的一个周期，所以(45)(683)(3)(3)(1)2022,f f f f f =⨯-=-=-=-=- 故选：D.变式6-2．若定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=，对任意的x ∈R 恒成立，则()2021f =（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D 【解析】【分析】根据题干条件得到()f x 为周期函数，最小正周期为4，进而得到()()20211f f =，利用()f x 是偶函数得到()()11f f -=，进而得到()211f =，结合()0f x >，得到()11f =.【详解】1(2)()f x f x +=，则1()(2)f x f x =-，所以1(2)(2)()f x f x f x +==-，即()()4f x f x +=，()f x 为周期函数，最小正周期为4，则()()()2021505411f f f =⨯+=，令1x =-得：1(12)(1)f f -+=-，即()()111f f =-，又因为()f x 为偶函数，所以()()11f f -=，故()()111f f =，即()211f =，因为()0f x >，所以()11f =.故选：D变式6-3．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()0f x f x ，(5)(5)f x f x -=+，且(1)2022f =，则(2020)(2021)f f -=（）A ．2026B ．4044C ．2022-D ．4044-【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知函数是奇函数，进而推导()f x 的周期，然后求出函数值即可. 【详解】()()0f x f x -+=,()()f x f x ∴-=-,()f x ∴是奇函数，x R ∈,(0)=0f ∴.(5)(5)f x f x -=+,()(10)f x f x ∴-=+,由()()()(10)f x f x f x f x ,()(20)f x f x ∴=+，()f x ∴的周期为20T =.0(1)202()20=f f =，.(0)(1)020222022(2020)(2021)f f f f ∴-=-=--=.故选：C变式6-4．函数()f x 定义域为R ，且,(4)()2(2)x R f x f x f ∀∈+=+，若函数(1)f x +的图象关于1x =-对称，且(1)3f =，则(2021)f =（） A ．3 B ．-3C ．6D ．-6【答案】A 【解析】【分析】由题设可知()f x 为偶函数且(2)(2)2(2)f f f =-+，即可得(2)0f =，易知()f x 是周期为4的函数，利用周期性求(2021)f 即可. 【详解】①(1)f x +的图象关于1x =-对称， ①()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又(2)(2)2(2)f f f =-+，即(2)(2)0f f +-=，而(2)(2)f f =-， ①(2)(2)0f f =-=，故,(4)()x R f x f x ∀∈+=， ①()f x 是周期为4的函数，综上，(2021)(45051)(1)3f f f =⨯+==. 故选：A。

高中数学函数对称性的应用探究

高中数学函数对称性的应用探究一、引言数学中的函数对称性是一种重要的性质，它在实际生活中有着广泛的应用。

在高中数学课程中，我们经常会学习到关于函数的对称性的知识，并且会在各种数学问题中应用这些知识。

本文将探讨高中数学函数对称性的应用，并通过一些例题来说明函数对称性在实际问题中的应用。

二、基本概念在数学中，函数对称性是指函数图象在某个轴、平面或中心对称的性质。

常见的对称性包括关于x轴的对称、关于y轴的对称、关于原点的对称以及关于直线y=x的对称等。

1. 关于x轴的对称：如果函数图象关于x轴对称，那么对于任意点(x,y)，其对称点为(x,-y)。

即f(x) = f(-x)。

这些对称性在数学中有非常重要的意义，它不仅帮助我们理解函数的规律，还能够应用到各种实际问题中。

下面我们通过具体的例题来探讨函数对称性在实际问题中的应用。

三、实际问题探究1. 设有一根长为10cm的直线段，将其分成三段，使得这三段可以构成一个等边三角形。

求这三段的长度是多少？解析：设中间一段的长度为x，则另外两段的长度也为x。

根据等边三角形的性质可知，x+x+x=10，即3x=10。

解得x=10/3=3.33。

由于等边三角形的对称性，我们知道三条边的长度都是相等的。

这三段的长度分别为3.33cm，3.33cm和3.33cm。

在这个问题中，我们通过对称性的思想，将直线段分成了等长的三段，从而解决了问题。

这个问题展示了对称性在几何问题中的应用。

2. 考虑一个关于x轴对称的函数f(x)，且f(2)=3。

求f(-2)的值。

解析：根据关于x轴的对称性可知，当x=2时，f(-2)的值也等于3。

因为对称性保证了函数图象在x轴两侧的对应点的函数值相等。

f(-2)=3。

在这个问题中，我们利用了函数图象的对称性来简化计算，从而快速得出了函数值的解。

3. 有一条铁路轨道，轨道的左半部分是直线段，右半部分是一个半圆。

已知轨道的总长度为100m，且轨道的左半部分与右半部分的交点为A。

高中数学函数对称性的应用探究

高中数学函数对称性的应用探究
函数对称性是高中数学中一个重要的概念，在数学问题的解决过程中具有重要的应用价值。

本文将探究函数对称性在数学题目中的应用。

一、基本概念
函数的对称性是指函数图像在某一规则下的运动或转换后，与原图像重合或等价的性质。

常见的对称性有：轴对称、点对称、中心对称、旋转对称等。

二、应用探究
1.轴对称
轴对称是指函数图像相对于某一直线对称。

一些具有轴对称性质的函数在解题过程中能够利用这个性质简化计算方式，比如：
（1）正弦函数$f(x)=sinx$是一个偶函数，其图像关于$y$轴对称。

（2）函数$f(x)=x^2$关于$y$轴对称，因此，当$x≥0$时，$f(x)$的值等于$x^2$，当$x＜0$时，$f(x)$的值等于$f(-x)=x^2$。

2.点对称
3.中心对称
中心对称是指函数图像相对于某一点对称，其中，中心点是图像的重心。

（1）圆函数$f(x) = \sqrt{1-x^2}$是一个中心对称的函数，它关于坐标原点对称。

4.旋转对称
旋转对称是指函数图像相对于某一点进行旋转后与原图像重合。

（1）函数$f(x)=\frac{1}{x}$是一个旋转对称的函数，它关于点$(1,1)$进行逆时针$90$度旋转后与原图像重合。

三、总结
函数对称性是高中数学中的一个重要概念，掌握了函数的对称性质以后，可以大大简化计算过程，提高解题效率。

我们需要在学习数学的时候，加强对函数对称性的理解，在实际问题中加以运用，方能更好地掌握此类内容。

高中数学函数对称性的应用探究

高中数学函数对称性的应用探究函数对称性是高中数学中一个重要且实用的概念，具有广泛的应用。

在日常学习和实际生活中，我们经常使用对称性来解决问题，比如在平面几何中，对称性用于求解图形对称中心和对称轴等；在画画中，对称性被用来制作对称图案；在物理学和工程等科学领域，对称性则被用来研究各种自然现象和物理规律。

因此，学习和掌握函数对称性的应用是非常有必要的。

一：奇偶性奇偶性是最为常见的函数对称性。

奇函数具有轴对称性，即其图像关于原点对称；而偶函数则具有中心对称性，即其图像关于纵坐标轴对称。

在计算奇偶函数值时，我们只需要验证函数值在 $-x$ 和 $x$ 处是否相等。

有些函数同时具有奇偶性，例如正弦函数，因为 $\sin (-x)=-\sin x$，又有 $\sin (\pi-x)=\sin x$，所以整个正弦函数的图像关于原点对称。

奇偶性的应用很广泛，通过奇偶性我们可以简化计算，化简式子。

例如，设$y=f(x)$ 为偶函数，那么有：$$f(x)-f(-x)=0, f(x)+f(-x)=2f(x)$$利用此关系，我们可以快速求解不等式或者将更复杂的式子化简为简单的形式。

此外，通过奇偶性，我们还可以得到一些有用的结论，例如奇函数之积为偶函数，偶函数之积为偶函数。

在实际问题中，奇偶性也经常发挥作用，例如在分析随机变量概率分布时，对于对称分布的情况，我们可以根据奇偶性简单地计算一些统计指标，进而做出更为准确的判断。

二：周期性周期性是指存在一个正数 $T$，使得对于所有 $x$，都有 $f(x+T)=f(x)$。

具有周期性的函数在图像上呈重复性，其图像会在一定的距离内一遍一遍地重复，因此有时也称为周期函数。

著名的周期函数有三角函数、指数函数等。

周期性在信号处理、电路设计、波动现象等方面有广泛的应用。

例如在声音处理中，频率$f$与周期$T$的关系为 $f=1/T$，通过周期性可以进行声音的合成和分解。

在电路设计中，通过选择不同的周期函数可实现不同类型的振荡器；在物理学中，周期性被用来描述波动现象，如光波和声波。

对称性在高中数学中的应用举例

对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中有着广泛的应用，它不仅能帮助我们解决数学问题，还能帮助我们理解数学知识。

在数学中，对称性是一个重要的概念，它经常出现在几何、代数和数学分析等不同领域中。

本文将通过几个具体的例子，来介绍对称性在高中数学中的应用。

在几何中，对称性是一个十分重要的概念。

我们知道，对称形状具有特定的对称轴或中心，这些对称轴或中心可以帮助我们简化几何问题的解决过程。

我们常常用到的正方形、矩形和圆形等几何形状都具有对称性。

对称性能够帮助我们寻找到图形的对称轴或对称中心，从而简化问题并找到解决方法。

一个简单的例子就是讨论正方形的对称性。

正方形具有4条对称轴，分别是水平轴、垂直轴和两条对角线。

利用正方形的对称性，我们可以很容易地发现正方形的性质和关系。

我们知道正方形的对角线相等，利用对称性我们可以很容易地证明这个定理。

又如，我们知道正方形的每条边都相等，也可以利用对称性来证明这一性质。

这些都是利用对称性来简化问题、思考和解决问题的典型例子。

在代数中，对称性也有着重要的应用。

在解代数方程的时候，我们经常会利用方程的对称性来简化问题的解决过程。

一个常见的例子就是求解一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。

我们常常会利用一元二次方程的对称性来推导出解的公式或者判断解的性质。

根据一元二次方程的对称性，我们可以得出表达式b^2-4ac的含义，从而判断方程的解的性质。

又如，在利用配方法解一元二次方程时，我们也可以利用对称性来简化解题的过程。

另一个典型的例子是讨论函数的奇偶性。

在代数分析中，我们经常会用到奇函数和偶函数的概念。

奇函数的图像具有中心对称性，而偶函数的图像具有轴对称性。

这些对称性不仅可以帮助我们画出函数的图像，还可以帮助我们判断函数的性质。

我们知道奇函数的积分区间对称性，在求解奇函数的定积分时可以利用对称性简化计算过程。

又如，在讨论函数的奇偶性时，我们可以利用函数图像的对称性来判断函数的奇偶性，从而简化问题的解决过程。

高三对称函数知识点

高三对称函数知识点函数是数学中的重要概念，而对称函数则是函数中的一种特殊形式。

在高三数学学习中，对称函数是一个重要的知识点。

它具有独特的性质和应用，对于理解和解决数学问题有着重要的作用。

本文将介绍高三数学中对称函数的概念、性质和常见应用。

一、对称函数的概念对称函数是指在数学中，对于自变量的某种变化，函数值也发生相应的对应变化，呈现某种对称性质的函数。

简而言之，就是函数图像关于某一轴线对称。

二、对称函数的性质1. 关于y轴对称：若有函数f(x) = f(-x)，则可以得出函数图像关于y轴对称。

例如，f(x) = x^2就是一个关于y轴对称的函数。

2. 关于x轴对称：若有函数f(x) = -f(-x)，则可以得出函数图像关于x轴对称。

例如，f(x) = sin(x)就是一个关于x轴对称的函数。

3. 关于原点对称：若有函数f(x) = -f(x)，则可以得出函数图像关于原点对称。

例如，f(x) = x^3就是一个关于原点对称的函数。

4. 其他对称形式：还有一些函数的对称性不仅仅表现在对称轴上，具体形式可以是折线对称、旋转对称等。

三、对称函数的应用1. 图像对称性的判断：通过对称性，我们可以判断一个函数的图像是否对称于某一轴。

这在解析几何或图像处理等领域中，具有重要的应用意义。

2. 函数性质的分析：对称函数的性质能够帮助我们更好地理解函数本身的特点。

比如，通过观察对称函数的导数，可以判断函数的凸凹性质。

3. 函数的求解：对称函数在解决一些数学问题时也起到了关键作用。

比如，通过对称性，我们可以简化函数的求导过程，从而快速求得函数的极值点。

四、对称函数的例子1. 指数函数：f(x) = 2^x是一个关于y轴对称的函数。

2. 正弦函数：f(x) = sin(x)是一个关于x轴对称的函数。

3. 偶数次多项式函数：例如f(x) = x^2是一个关于y轴对称的函数。

4. 奇数次多项式函数：例如f(x) = x^3是一个关于原点对称的函数。

高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法

高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法高考数学一轮总复习：函数的对称性与周期性分析方法函数是数学中一个重要的概念，对称性与周期性是函数研究中的两个关键方面。

在高考数学中，对于函数的对称性与周期性的分析方法，学生需要掌握清楚并能够熟练运用。

本文将详细介绍高考数学中函数的对称性与周期性分析方法。

一、函数的对称性分析方法1. 基本对称性函数的基本对称性是指关于坐标轴的对称性，包括关于x轴的对称性和关于y轴的对称性。

关于x轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = f(-x)$，则函数关于x轴对称。

关于y轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = -f(-x)$，则函数关于y轴对称。

2. 奇偶性函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。

奇函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

偶函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则函数为偶函数。

偶函数的图像关于y轴对称。

3. 周期性函数的周期性是指函数在一定区间内有规律地重复的性质。

函数$f(x)$的周期为T：如果对于任意的x值，有$f(x+T) = f(x)$，则函数的周期为T。

二、函数的周期性分析方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的周期。

例如，对于正弦函数$y = \sin(x)$，我们可以观察到在区间[0, 2π]中，函数的图像重复周期为2π。

2. 方程法对于周期函数，可以通过解方程来确定函数的周期。

例如，对于正弦函数$y = \sin(ax)$，其中a为常数，若函数的周期为T，则有：$\sin(a(x+T)) = \sin(ax)$根据正弦函数的性质，上式成立的条件为：$a(x+T)-ax= k2π$其中k为整数，解得：$T = \frac{2π}{a}$通过方程法，我们可以得到正弦函数的周期为$\frac{2π}{a}$。

三、实例分析下面以一个具体的例子来说明函数的对称性与周期性分析方法。

函数的对称性在高考题中的应用

．
一
函数的对称性在＝考题中的应用同【＝Ｉ
陈守俊
（至县第中学，徽东至东安２７０）４２０
函数的对称性是函数的一个重要性质，也是高考考查的重点与热点。像的对称关系允分体现了数学之美，用对称图利性往往能简捷地解决一些数学问题。下面以２０年的高考试０９题为例，介绍有关题型。
（ＩＩ０中心对称，么ＩＩ一＇Ｌ￣）－那的最小值为（
，
｛，｝￣ｆｘ的图像关于直线ｘ；对称，ｌ４，ｌ（）Ｊ＝从而排除Ｂ若解集；
２
）。
为｛，，，｝则ｆｘ的图像关于直线Ｘ－对称，而排除Ｃ；１２３４，（）－从
．
— —
Ａ．６
Ｂ．４
Ｃ．３
Ｄ．２
命题立意：小题ｌ的函数ｙ３ｏ（ｘ６）对称中心是本ｆＩ＝ｃｓ２＋的
其图像与ｘ的所有交点．由此可得出关于击的方程．进而确轴定的最小值。
１
于ｘ的方程ｍＩ（）ｎ（）ｐ０ｆｘ］ｆｘ＋＝的解集不可能是（＋）．Ａ｛，｝Ｂ｛，１Ｃ｛，，，｝Ｄ．，，６６｝．２ｌ．４１．２３４１ｆ４１，４１命题立意：本题主要考查函数的对称性与方程的根的内容。

考点09函数的对称性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练(新高考版

考点09函数的对称性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．【知识点】1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于对称，偶函数关于对称．(2)若f (x －2)是偶函数，则函数f (x )图象的对称轴为；若f (x －2)是奇函数，则函数f (x )图象的对称中心为．2．若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，则f (a －x )＝f (a ＋x )；若函数y ＝f (x )满足f (a －x )＝－f (a ＋x )，则函数的图象关于点对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )关于对称；(2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )关于对称；(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )关于对称．【核心题型】题型一　轴对称问题　函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (a －x )＝f (a ＋x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2成轴对称．【例题1】（2024·辽宁·一模）已知函数(2)f x +为偶函数，且当2x ³时，()()217log 47f x x x =-+，若()()f a f b >，则（）A ．(4)()0a b a b +--<B ．(4)()0a b a b +-->C ．(4)()0a b a b ++-<D ．(4)()0a b a b ++->【变式1】（2024·四川泸州·二模）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，当[]2,2x Î-时，函数()24f x x =-，设函数()|2|()e 26x g x x --=-<<，则方程()()0f x g x -=的所有实数根之和为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()1f x x =-，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若()()10121013f a f a =，则2024S =（）A ．1012B ．2024C ．3036D ．4048【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()f x 及其导数()f x ¢的定义域为R ，记()()g x f x ¢=，且()(),1f x g x +都为奇函数．若()52f -=，则()2023f =（）A ．0B ．12-C ．2D ．2-题型二　中心对称问题函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔2b －f (x )＝f (2a －x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ＋b 2，c 2)成中心对称．【例题2】（2024·全国·模拟预测）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且()21f x +为奇函数.若1111,3322f f æöæö==ç÷ç÷èøèø，则2023202332f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø（）A ．16B ．16-C ．56-D ．56【变式1】（2024·全国·模拟预测）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=-，则（）A ．()()2f x f x =+B ．()()2f x f x -=-C ．()()4f x f x =-D ．()2f x -是奇函数【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数()3=f x x，则函数()11y f x =-+的图象（）A ．关于点()1,1对称B ．关于点()1,1-对称C ．关于点()1,0-对称D ．关于点()1,0对称【变式3】（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且函数(2)1y f x =-+是奇函数，则函数()y g x =图象的对称中心为（）A ．(2,1)B ．(2,1)--C ．(2,1)-D ．(2,1)-题型三　两个函数图象的对称函数y ＝f (a ＋x )的图象与函数y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a2对称．【例题3】（2024上·北京·高二统考学业考试）在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称【变式1】（2024下·江苏扬州·高三统考开学考试）定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且函数(2)1y f x =-+是奇函数，则函数()y g x =图象的对称中心为（）A ．(2,1)B ．(2,1)--C ．(2,1)-D ．(2,1)-【变式2】（2020上·安徽·高一校联考期末）已知函数(1)=-y f x 是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y -=对称，那么()y g x =的对称中心为( )A ．(1,0)B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(0,1)-【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若函数y ＝f (x )的定义域为R ，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于直线（）A ．x ＝0对称B ．y ＝0对称C ．x ＝1对称D ．y ＝1对称【课后强化】基础保分练一、单选题1．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）函数()y f x =满足对任意x ÎR 都有()()2f x f x +=-成立，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，且()14f =，则()()()201820192020f f f ++=（）A ．-4B ．0C ．4D ．82．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数32()f x x ax x b =+++的图象关于点(1,1)对称，则b =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数()1122,1,22,1,x x x f x x --+ì+<-=í->-î则()f x 的图象关于（）A ．点()1,2-对称B ．点()1,2-对称C ．直线1x =对称D ．直线=1x -对称4．（2023·云南·模拟预测）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()()112f x f x ++-=，()2g x +是偶函数，且()()24f x g x ++=，()22g =，则（）A ．()f x 关于直线1x =对称B ．()f x 关于点()1,0中心对称C ．()20231f =D ．151()15k f k ==å5．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -的图象关于点(1,0)对称，()30f =，且对任意的()12,,0x x Î-¥，12x x ¹，满足()()21210f x f x x x -<-，则不等式()()110x f x -+³的解集为（）A ．(][),12,-¥È+¥B ．[][]4,10,1--ÈC ．[][]4,11,2--ÈD ．[][)4,12,--È+¥二、多选题6．（2024·全国·二模）已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，()1f x -的图象关于直线1x =对称，且函数12y x =-的图象的对称中心也是()f x 图象的一个对称中心，则（）A ．点()2,0-是()f x 的图象的一个对称中心B ．()f x 为周期函数，且4是()f x 的一个周期C ．()4f x -为偶函数D ．()()31352f f +=7．（2024·江苏南通·二模）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 的图象关于点(2，0)对称，(0)(2)1g g ==，()()()()++-=g x y g x y g x f y ，则（）A ．()f x 为偶函数B ．()g x 为偶函数C ．(1)(1)--=--+g x g xD ．(1)(1)g x g x -=+三、填空题8．（2024·宁夏银川·一模）已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，()22f =，且对任意[]12,0,1x x Î，均有()()()1212f x x f x f x +=+成立，若()27777222n f f f f t æöæöæö++++<ç÷ç÷ç÷èøèøèøL 对任意*n ÎN 恒成立，则t 的最小值为.9．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数()f x 的定义域为R ，且()41f x +的图象关于点()0,2中心对称，若()()2240f x f x x +--+=，则()1001i f i ==å.四、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）下列函数是否存在对称轴或对称中心？(1)f (x )＝21x x x ++；(2)f (x )＝(e x －e －x )2；(3)f (x )＝2x ＋42x.11．（2024·湖南·二模）已函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++ÎR ，其图象的对称中心为(1,2)-.(1)求a b c --的值；(2)判断函数()f x 的零点个数.12．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知函数()7x f x x a+=+关于点()11,-中心对称．(1)求函数()f x 的解析式；(2)讨论()()()2g x x f x =在区间()0,+¥上的单调性；(3)设()111,n n a a f a +==，证明：222ln ln 71n n a --<．综合提升练一、单选题1．（2024·云南昆明·一模）已知函数()2e e x xf x -=+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为增函数B ．()f x 有两个零点C ．()f x 的最大值为2eD ．()y f x =的图象关于1x =对称2．（2024·河南新乡·二模）已知函数()f x 满足()()()1f x y f x f y ++=+，则下列结论一定正确的是（）A ．()1f x +是奇函数B ．()1f x -是奇函数C ．()1f x -是奇函数D ．()1f x +是奇函数3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()1x f x x =-，()11e e 1x x g x --+=-+，则()f x 与()g x 的图象交点的纵坐标之和为（）A ．4B ．2C ．1D ．04．（2024·全国·模拟预测）若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =，且()()()226,36f x f x f ++-==，则下列结论错误的是（）A ．()()8f x f x +=B ．()f x 的图象关于直线4x =对称C ．()2013f =D ．()23y f x =+-是奇函数5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数()f x 定义域为R ，且()()224f x f x x +--=-，()13f x +关于()0,2对称，则()2025f =（）A ．4046-B ．4046C ．1D ．06．（2024·陕西西安·模拟预测）已知()f x 的定义域为R ，函数()f x 满足()()()12202346,48x f x f x g x x ++-==-，()(),f x g x 图象的交点分别是()()()()11223344,,,,,,,,x y x y x y x y LL ，(),n n x y ，则12n y y y +++LL 可能值为（）A ．2B ．14C ．18D ．257．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数()f x 的定义域为R ，12x f æö-ç÷èø为奇函数，设()g x 是()f x 的导函数，若()21g x +为奇函数，且()102g =，则()1012k kg k ==å（）A ．132B ．132-C ．112D ．112-8．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则()20241k f k =å=（）A ．4036B ．4040C ．4044D ．4048二、多选题9．（2023·山东·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()21f x +为奇函数，()()4f x f x -=，()02f =，且()f x 在[]0,2上单调递减，则（）A ．()10f =B ．()82f =C ．()f x 在[]6,8上单调递减D ．()f x 在[]0,100上有50个零点10．（2024·全国·模拟预测）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且()21f x +为奇函数．若1111,3322f f æöæö==ç÷ç÷èøèø，则（）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 的周期是2C ．()f x 的图象关于直线2x =对称D ．202320231326f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø11．（2024·湖北·二模）我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．已知函数4()22x f x =+，则下列结论正确的有（）A ．函数()f x 的值域为(0,2]B ．函数()f x 的图象关于点(1,1)成中心对称图形C ．函数()f x 的导函数()f x ¢的图象关于直线1x =对称D ．若函数()g x 满足(1)1y g x =+-为奇函数，且其图象与函数()f x 的图象有2024个交点，记为(,(1,2,,))2024i i i A x y i =L ，则20241(8)404i i i x y =+=å三、填空题12．（2024高三·全国·专题练习）若函数y ＝g （x ）的图象与y ＝ln x 的图象关于直线x ＝2对称，则g （x ）＝．13．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x Î时，()2f x x =.函数()()1e13x g x x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为 .14．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在R 上的函数()113e e (1)x xf x x x --=-+-+，满足不等式()()24232f x f x -+-³，则x 的取值范围是．四、解答题15．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数()2x f x =，函数()h x 与()f x 关于点23log 3,2a æöç÷èø中心对称．(1)求()h x 的解析式；(2)若方程()()f x h x =有两个不等的实根1x ，2x ，且122x x -=，求a 的值．16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()393x f x =+．(1)求证：函数()f x 的图象关于点11,22æöç÷èø对称；(2)求()()()()()20222021020222023S f f f f f =-+-+++++L L 的值．17．（23-24高三上·上海·期中）已知函数()(),41x nf x m m n =-Î+R .(1)当3m =时，确定是否存在n ，使得()f x 的图象关于原点中心对称；(2)对于任意给定的非零常数m ，()y f x =的图象与x 轴负半轴总有公共点，求n 的取值范围；(3)当1n =时，函数()g x 的图象与()y f x =图象关于点()1,0对称，若对任意：()1,2x Î，()0g x <恒成立，求m 的取值范围.18．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数()()220f x x x m m =+->的图象关于直线1x =对称．(1)求m 的值，及()f x 的最小值；(2)设a ，b 均为正数，且a b m +=，求14a b+的最小值.19．（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数()()ln 1f x x =+．(1)讨论函数()()()F x ax f x a =-ÎR 的单调性；(2)设函数()()1111g x x f f x x æöæö=+-+ç÷ç÷èøèø．（ⅰ）求()()12g g --的值；（ⅱ）证明：存在实数m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称．拓展冲刺练一、单选题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数()331xf x =+，则()f x 的图象（）A ．关于点3,02æöç÷èø对称B ．关于直线32x =对称C ．关于点30,2æöç÷èø对称D ．关于直线12x =对称2．（2024·山西吕梁·一模）已知函数()f x 满足()()()()()23132f x y f x y f x f y f ++-==，，则下列结论不正确的是（）A ．()03f =B ．函数()21f x -关于直线12x =对称C ．()()00f x f +³D ．()f x 的周期为33．（2023·四川乐山·一模）已知函数()f x 定义域为R ，且满足()00f =，()()f x f x -=，()()1140f t f t t --++=，给出以下四个命题：①()()13f f -=； ②()()2f x f x +=；③()464f =；④函数()2y f x x =-的图象关于直线1x =对称.其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知函数()12e 1x f x ax =++，则下列关于()f x 的结论中正确的是（）A ．()f x 在[)1,+¥上有最小值B ．若14a =，则()f x 有最大值C ．()()e e 1f f -+=D ．()f x 关于点()0,1中心对称5．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=¹，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==å二、多选题6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知函数()cos 2f x x =，()πsin 23g x x æö=+ç÷èø，则（）A ．将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到函数()y g x =的图象B ．将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到函数()y g x =的图象C ．函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线π24x =对称D ．函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024æöç÷èø对称7．（2024·吉林白山·二模）已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于()1,2中心对称，若()()424f x f x x --=-，则（）A ．()()2334f x f x -+=B ．()()4f x f x =-C ．()20254046f =-D ．201()340i f i ==-å三、填空题8．（2023·四川泸州·一模）函数()1xf x x =-的对称中心为．9．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()()()32121,2,33f x x x x f m f n =-++==，则m n += ．四、解答题10．（2023高三·全国·专题练习）已知函数1()122f x a x æö=--ç÷èø，R a Î且0a >(1)证明：函数()f x 的图像关于直线12x =对称；(2)若0x 满足00(())f f x x =，但00()f x x ¹，则0x 称为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,x x ，试确定实数a 的取值范围．11．（2023·上海嘉定·二模）已知()2sin f x x x =+，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，记()1nn i i T f a ==å．(1)求证：函数()y f x =的图像关于点(),p p 中心对称；(2)若1a 、2a 、3a 是某三角形的三个内角，求3T 的取值范围；(3)若100100S p =，求证：100100T p =．反之是否成立？并请说明理由．。

专题05 函数的对称性、周期性及其应用-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)

专题05 函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

高考数学中的函数图像对称性

高考数学中的函数图像对称性数学是一门需要不断练习和思考的学科，高考数学中的函数图像对称性是其中重要的一个部分。

在数学中，我们常常会遇到各种各样的函数，而图像的对称性对于函数的研究和分析具有非常重要的意义。

一、基础概念首先，我们需要了解的是什么是对称性。

在几何学中，对称性是指一个图形相对于某个线段、点或面的对称变换使得它自身与镜子中的图像重合。

在函数图像中，对称性是指函数图像相对于某个直线对称后会得到一样的图像。

比如，若函数图像相对于直线y=x对称，那么得到的图像也是一样的。

二、函数图像的对称性1. 奇偶性在高中数学中，我们经常会遇到奇函数和偶函数。

奇函数指的是当自变量x取相反数时，函数y取相反数，即f(-x)=-f(x)；偶函数则指当自变量x取相反数时，函数y不变，即f(-x)=f(x)。

从几何上来看，一个函数如果是奇函数，那么它的图像关于原点对称；而如果是偶函数，它的图像关于y轴对称。

因此，对于一个函数f(x)，如果它既不是奇函数也不是偶函数，那么它的图像就不具有对称性。

2. x轴和y轴的对称性当一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，它就是一个偶函数，这时它的图像关于y轴对称。

这种对称性在数学研究中是非常常见的，比如一些多项式函数和三角函数等。

另外，当一个函数f(x)满足f(x)=0时，它就在x轴上，且图像上下对称。

这是因为，如果将图像沿x轴反转，它会和原来的图像重合。

3. 极轴对称性在极坐标系中，一个点的坐标可以用(r,θ)表示。

若一个点在它的对称点处，则它们到极轴的距离相等，且它们的角度加起来为180度。

在函数图像中，若一个点(x,y)关于极轴对称，则它的对称点为(-x,y)。

因此，如果一个函数图像关于极轴对称，它的图像会在圆心进行对称，即圆心处的点不动。

4. 对称形状在数学图形中，圆、正方形和正多边形等都具有各种不同的对称性，它们的图像所显示的对称性与其形状有关。

比如，当一个正方形图形关于一条对角线对称时，它的图像不变；而当它关于一条边对称时，它的图像会旋转180度。

专题03 函数的对称性-高中数学经典二级结论解读与应用训练(解析版)

【答案】5【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数．【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称，①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示，由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1422x x +=，2322x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【分析】若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案.【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为13-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1xf x e =-，则23x ≤≤时，()f x 的解析式为（）6．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝．【答案】7 【解析】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，所以，,故答案为7.7．已知函数21()ln |2|45f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是___________.【答案】111(,)(,1)322⋃ 【分析】由函数解析式知函数()f x 的图象关于直线2x =对称，利用定义证得2x >时，函数()f x 是减函数，2x <时，函数为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可.【详解】∵f(x)=1x 2−4x+5−ln |x −2|=1(x−2)2+1−ln |x −2|，21(2)ln ||1f t t t ∴-=-+，。

函数对称性在高考中的应用

函数对称性在高考中的应用标签：函数对称性高考奇函数偶函数应用函数是高中数学的主线，是高中数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数的奇偶性要研究函数的对称性一定要先研究函数的奇偶性，因为奇函数是最典型的点对称，偶函数是最典型的轴对称。

奇函数：f（x）+f（-x）=0或f（x）=-f（-x），关于原点（0，0）对称；偶函数：f（x）-f（-x）=0或f（x）=f（-x）关于y轴对称。

在对称区间上奇函数单调性相同，偶函数单调性相反。

二、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f （2a-x）=2b.证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，∵点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）也在y =f（x）图像上，∴2b-y=f （2a-x），即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a -x）=2b，必要性得证。

（充分性）设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0 = f（x0），∵f （x）+f（2a-x）=2b∴f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。

故点P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图像上，而点P与点P′关于点A（a，b）对称，充分性得征。

推论：函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0.定理2. 函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）.（证明留给读者）推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）.定理3. ①若函数y=f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

高中数学函数对称性的应用探究

高中数学函数对称性的应用探究
高中数学中，函数的对称性是一个重要的概念。

函数的对称性可以帮助我们简化问题
的解决过程，从而更好地理解和应用数学知识。

函数的对称性与图形的对称性密切相关。

通过对函数的图像进行观察，我们可以发现
一些常见的对称形状，如中心对称、轴对称等。

对于中心对称的函数，其图像可以通过绕
某一点旋转180度后与原图完全重合；对于轴对称的函数，则可以通过绕某一条直线镜像
翻转后与原图完全重合。

在实际应用中，函数的对称性可以帮助我们简化计算。

以奇偶函数为例，奇函数指的
是满足f(-x) = -f(x)的函数，而偶函数指的是满足f(-x) = f(x)的函数。

对于奇函数，
如果我们已经知道了函数在某个点的取值，那么通过奇函数的特性，我们可以推算出该点
对称位置的取值。

同理，对于偶函数，如果我们已经知道了函数在某个点的取值，那么通
过偶函数的特性，我们可以推算出该点关于y轴对称位置的取值。

函数的对称性还可以帮助我们解决一些特殊问题。

如果我们要证明一个函数恒等于零，可以通过构造一个满足对称性的函数来证明。

又对称性还可以帮助我们证明一些定理，如
中值定理、拉格朗日中值定理等。

函数的对称性在高中数学中具有重要的意义。

它可以帮助我们简化问题和计算过程，
提高解题的效率，同时也可以帮助我们理解和应用数学知识。

在学习和应用函数的过程中，我们应该重视对称性的概念，并学会灵活运用对称性来解决各种问题。

函数对称性、周期性的应用(含解析)

函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和()()f a x f a x -=+⇔()f x x a =0a =()()()f a x f b x f x -=+⇔2a b x +=()()f a x f b x -=+f x ,a b 2a b x +=()f x 1x =()()2f x f x ⇒=-()()31f x f x -=-+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=-+()f x x a =()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +0x =()f x ()f x a +a a ()f x x a =()()f a x f a x -=-+⇔()f x (),0a 0a =()()()f a x f b x f x -=-+⇔,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f a x f b x -=-+f前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找x ,a b 2a b x +=()f x ()1,0-()()2f x f x ⇒=---()()35f x f x -=--+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=--+()f x (),0a ()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +()0,0()f x ()f x a +a a ()f x (),0a ()f x D x D ∀∈T ()()f x T f x +=()f x T ()f x T ()f x ()()f x T f x +=()()()2f x T f x T f x +=+=2T ()f x ()kT k Z ∈()f x ()kT k Z ∈()f x周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期()f x C =()()f x a f x b +=+()f x T b a =-()()()f x a f x f x +=-⇒2T a =()()2f x a f x a +=-+()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=2T a =()()()1f x a f x f x +=⇒2T a =()()()()1121f x a f x f x a f x +===+()()f x f x a k ++=k ()f x ⇒2T a =()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=()()2f x a f x +=()()f x f x a k ⋅+=k ()f x ⇒2T a =()f x ()f x b a >()f x ,x a x b ==()f x ()2T b a =-()f x x a =()()2f x f a x ⇒-=+()f x x b =()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+()f x ∴()222T b a b a =-=-()f x ()(),0,,0a b ()f x ()2T b a =-()f x x a =(),0b ()f x ()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则存在无数条对称轴，其通式为证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（） ()kT k Z ∈()f x ()(),a b b a T -≤()f x ()(),a kT b kT k Z ++∈T ()f x x a =()f x ()2kT x a k Z =+∈()f x x a =()()2f x f a x ∴=-()f x T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=-()f x ∴2kT x a =+A ．6B ．8C ．12D ．16例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（）.A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（）A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-= 例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( ) A ．0 B ．6 C ．12 D ．18例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >> 例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点.A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( ) A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．0BC ．D ．【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5- 2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．201940963．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（）A ．6B ．4C ．2D ．05．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．78．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.其中正确的是（）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（） A ．3B ．4C ．5D ．612．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1m i i i x y =+=∑（） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选：D ．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【解析】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数，所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（）.A．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,5⎛ ⎝⎭D．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈，如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<故实数a的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭故选：A例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（） A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对；由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对；由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错.故选：D.例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】C 【解析】(1)(1)f x f x +=-，∴()f x 关于1x =对称，又1≥x 时，()f x 是增函数，()()3339log 22log 2log 2f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，33392log 4,log 4log 321-==<<<， ∴b a c <<.故选：C.例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（） ①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点. A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】C【解析】由()()2f x f x +=，得()()2f x f x -=-，结合()f x 为偶函数，得()()2f x f x -=，则曲线()y f x =关于直线1x =对称，则①正确；无法推出()()3f x f x -=-，则②不一定正确；由曲线()()12y f x x =≤≤可得曲线()()01y f x x =≤≤，即得曲线()()02y f x x =≤≤，恰好是在一个周期内的图象；再根据()f x 是以2为周期的函数，得到曲线()()24y f x x =≤≤，因为在()y f x =在[]1,2上是减函数，()y f x =在[]3,4上是减函数，则③正确；因为()y f x =在[]1,2上是减函数，()110f =>，()210f =-<，所以()y f x =在[]1,2上有唯一的一个零点，根据对称性，()f x 在区间()4,4-内有8个零点.故选：C.例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --【答案】A【解析】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+，故选：A例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．0BC ．D ．【答案】B 【解析】()f x 是奇函数且满足()()210f x f x -++=，(1)(2)(2)f x f x f x ，(3)()f x f x ∴+=，()f x ∴是以3为周期的函数，且(0)0f =，()()()()()()()0122020674067416732f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=故选：B.【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D 【解析】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．20194096【答案】B【解析】由()()4f x f x +=，得函数()f x 的周期是4. 由()()0f x f x -+=，则()f x 在R 上是奇函数，且当()0,2x ∈时，()2xf x =，210log 201911<<，所以()()()222log 2019log 20191212log 2019f f f =-=--212log 2019409622019-=-=-.故选：B 3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意可得，函数()f x 为偶函数，且是周期为2的周期函数．方程1()()3xf x =在[0x ∈，4]上解的个数，即函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数，再根据当[0x ∈，1]时，()1f x x =-，设1,(0)11()()()()330x xx g x g f x =--∴-==.因为1211113()1()0223236g -=--=-=<，数形结合可得，函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，1)内存在两个交点，画出函数()f x 在[0，4]上的图象，如图，故函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数为5.（在[0,1]内有2个，在[1,2]有1个，在(2,4]有2个），故选：D ．4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()4()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-=，()22sin 22f π=-=，又由()()2f x f x +=-，则()()()()311,422f f f f =-=-=-=-，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以20201()505((1)(2)(3)(4))0i f i f f f f ==⨯+++=∑．故选：D ．5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=，当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】∵f （x ）是奇函数；∴f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数.又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ． 8．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】：∵当x 2＞x 1＞1时，[f （x 2）-f （x 1）]（x 2-x 1）＜0恒成立， ∴()()()122121,1,,0x x x x f x f x ∀∈+∞>-<且，有， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减，又∵函数f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴a=f （12-）=f (52),∵e>52>2>1, ∴f (e)<f (52)<f (2) 即b>a>c,故选：C.9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤.故选：C 10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立，故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D.11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 的图象关于y 轴对称. 由()()2f x f x =-，得()f x 的图象关于直线1x =对称.当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，所以()f x 在[]1,2-上的图象如图. 令()()0g x cos x f x π-=＝，得()cos x f x π=，两函数()y f x =与y cos x π=的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点有5个.故选：C.12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜【答案】B【解析】∵函数()f x 满足()()13f x f x +=-，∴()()163f x f x +=-+=()1f x 1f x -=-（）， ∴f （x ）在R 上是以6为周期的函数，∴f （12.5）＝f （12+0.5）＝f （0.5），()()()4.5 4.56 1.5f f f -=-+=又()3y f x =+为偶函数，∴f （x ）的对称轴为x ＝3，∴f （3.5）＝f （2.5），又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()f x 在（0，3）内单调递减，∴f （2.5）＜f （1.5）＜f （0.5）即f （3.5）＜f （-4.5）＜f （12.5），故选B ．13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 【答案】D【解析】依题意知()f x 图象关于点(2,0)对称，作出()f x 图象如图，可知()f x 在R 上为减函数，由图象可得(,2]x ∈-∞时，()(4)(2)(4)f x f x x x =--=--，由(2)(4)x x x x --=⇒=或x 舍去)，由图象可知()f x x >的解为⎛ ⎝-⎭∞，故选：D .14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+，所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.。

高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

高考数学二级结论快速解题：专题06 函数图象的对称性(解析版)

专题06函数图象的对称性一、结论已知函数()f x 是定义在R 上的函数.（1）若()()f x a f b x 恒成立,则()y f x 的图象关于直线2a b x 对称,特别地,若()()f a x f a x 恒成立,则()y f x 的图象关于直线x a 对称;最常逆应用：若()y f x 关于x a 对称：可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.（2）若()()f a x f b x c ,则()y f x 的图象关于点(,22a b c 对称.特别地,若()()2f a x f a x b 恒成立,则()y f x 的图象关于点(,)a b 对称.特别地,若()()f a x f a x 恒成立,则()y f x 的图象关于点(,0)a 对称.最常逆应用：若()y f x 关于x a 对称：可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x二、典型例题1．（2021·四川雅安·模拟预测（文））已知函数 f x 是定义域为R 的奇函数，且 1f x 是偶函数.当01x 时， 2815f x x x ，则 7f （）A ．16B ．8C ．8D ．16【答案】B【解析】由 1f x 是偶函数可知 f x 对称轴为1x ，故 2(1)f x f x ，又函数 f x 为奇函数，故 (2)f x f x ，综合（1）（2）得：(2)()f x f x 可得到函数最小正周期为4T ,所以 71118158f f f .故选：B【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，如本例中 f x 对称轴为1x ，可以得到很多结论，比如：(1)(1)f x f x ，()(2)f x f x ， 2f x f x 等，那么在解题时如何取舍呢，选哪个结论能更快的解题？对于这个疑问，需同时兼顾本例中 f x 是定义域为R 的奇函数，可得到 f x f x ，纵观整体，可以看出对于 f x 对称轴为1x 得到的结论中选取 2f x f x 从而进行快速求出周期.2．（2021·全国·模拟预测（文））已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 11f x f x ，且在区间 1,2上 f x 是增函数，令πsin7a ，3πsin 7b ，5πsin 7c ，则 f a ，()f b ， f c 的大小关系为___________.【答案】f a f c f b 【解析】f x 是定义在R 上的奇函数，可得到：()()f x f x ①11(2)()f x f x f x f x ②联立①②得(2)()f x f x 所以 f x 关于1x 对称.由于 f x 在 1,2上递增，所以 f x 在 0,1递减.5π2π2πsin sin πsin 777c，sin y x 在π0,2上递增，所以a c b ，所以 f a f c f b .故答案为：f a f c f b 【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，本例中，用数学符号()()f x f x 表示出 f x 是定义在R 上的奇函数，通过化简 11(2)()f x f x f x f x 再联立，可得到：(2)()f x f x 这样就得到了： f x 关于1x 对称.这也是周期性，奇偶性，对称性常考的形式.解题时注意利用已知条件，尤其是对称性的逆应用.三、针对训练举一反三1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校二模（理））已知定义域为R 的函数 f x 在2, 单调递减，且 40f x f x ，则使得不等式 2f x x 20f x 成立的实数x 的取值范围是（）A ．41x B ．1x 或3xC ．3x 或1x D ．4x 或1x 【答案】D【详解】解： 40f x f x ，则 f x 关于 2,0对称，因为 f x 在 2, 单调递减，∴ f x 在R 上单调递减，又242f x f x ∴ 222042())0(f x x f x f x x f x ，∴ 2()42f x x f x ，∴2421x x x x 或4x ，故选：D .2．（2021·宁夏六盘山高级中学一模（理））已知函数()f x 是R 上的满足(1)(1)f x f x ，且()f x 的图象关于点 1,0对称，当 0,1x 时，()22x f x ，则0122021f f f f 的值为（）A ．2B ．1C ．0D ．1【答案】D【详解】∵(1)(1)()()f x f x f x f x ，又()f x 关于(1,0)对称，∴(2)()()(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ，∴()f x 的周期为4，由函数解析式及性质易知，(0)1f ，(1)0f ，(2)1f ，(3)0f ，(0)(1)(2)(2021)505[(0)(1)(2)(3)](2020)(2021)f f f f f f f f f f 0(0)(1)1f f 故选：D.3．（2021·全国·二模（理））已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x ，当01x 时，()1x f x e ，则23x 时，()f x 的解析式为（）A ．2()1x f x e B ．2()1x f x e C ．1()1x f x e D ．1()1x f x e 【答案】A【详解】()f x 是定义域为R 的，所以()()f x f x ，因为(1)(1)f x f x ，所以()f x 的一条对称轴方程为1112x x x，当01x 时，()1x f x e ，所以当10x ≤≤时，01x ，()e 1()x f x f x 所以()1x f x e ，则23x 时，120x ，所以 22(2)11x x f x e e ，即2()1x f x e .故选：A.4．（2021·山东滨州·一模）定义在R 上的偶函数 f x 满足 22f x f x ，当2,0x 时， 2f x x ，设函数 2e 26x h x x （e 为自然对数的底数），则 f x 与h x 的图象所有交点的横坐标之和为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【详解】因为 f x 满足 22f x f x ，所以 f x 图象关于直线2x 对称，因为 f x 是R 上的偶函数，所以 f x 图象关于直线0x 对称，所以 f x 的周期为4，2e 26x h x x 的图象关于直线2x 对称，由 2,0x 时， 2f x x ，作出 f x 图象如图和 2e 26x h x x 的图象由图知 f x 与 h x 的图象在区间 2,6 有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1422x x ，2322x x ，所以12348x x x x ，所以 f x 与 h x 的图象所有交点的横坐标之和为8，故选：D5．（2021·河南·二模（文））已知定义域为R 的函数()f x 在 2, 单调递减，且(4)()0f x f x ，则使得不等式2(1)0f x x f x 成立的实数x 的取值范围是（）A ．31x B ．1x 或3x C ．3x 或1x D ．1x 【答案】C【详解】(4)()0f x f x ，则()f x 关于(2,0)对称，因为()f x 在 2, 单调递减，所以()f x 在R 上单调递减，所以(1)(3)f x f x ，由 2(1)0f x x f x 得2(3)0f x x f x ，所以 2(3)f x x f x ，所以23x x x ，解得1x 或3x .故选：C ．6．（2021·黑龙江肇州·模拟预测（文））已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x R 都有(2)(2)4(2)f x f x f ，若函数(1)y f x 的图象关于点(1,0) 对称，且(1)3f ，则(2021)f （）A ．6B ．3C ．0D ．3【答案】D 令0x ，得(2)(2)4(2)f f f ，即(2)0f ，所以(2)(2)f x f x ，因为函数(1)y f x 的图象关于点(1,0) 对称，所以函数()y f x 的图象关于点(0,0)对称，即()()f x f x ，所以(2)(2)(2)f x f x f x ，即(4)()f x f x ，可得(8)()f x f x ，则(2021)(25383)(3)(1)3f f f f ，故选：D.7．（2021·广西·模拟预测（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足 11f x f x ， 12f ，则 234f f f （）A ．0B ．2C ．2D ．6【答案】B【详解】因为 11f x f x ，所以()f x 关于直线1x 对称；又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以 111f x f x f x ， 00f ，则 2f x f x ，因此 42f x f x f x ，所以 f x 是周期为4的函数，因此 400f f ， 3112f f f ；又()f x 关于直线1x 对称，所以 200f f ；因此 2340202f f f 。

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函数对称性在高考中的应用
关键词：函数对称性高考奇函数偶函数应用
函数是高中数学的主线，是高中数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数的奇偶性
要研究函数的对称性一定要先研究函数的奇偶性，因为奇函数是最典型的点对称，偶函数是最典型的轴对称。

奇函数：f（x）+f（-x）=0或f（x）=-f（-x），关于原点（0，0）对称；偶函数：f（x）-f（-x）=0或f（x）=f（-x）关于y轴对称。

在对称区间上奇函数单调性相同，偶函数单调性相反。

二、函数自身的对称性探究
定理1.函数y=f（x）的图像关于点a（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b.
证明：（必要性）设点p（x，y）是y=f（x）图像上任一点，∵点p（x，y）关于点a（a，b）的对称点p′（2a-x，2b-y）也在y =f（x）图像上，∴ 2b-y=f（2a-x），即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a -x）=2b，必要性得证。

（充分性）设点p（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0 =
f（x0），∵f （x）+f（2a-x）=2b∴f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。

故点p′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图像上，而点p与点p′关于点a（a，b）对称，充分性得征。

推论：函数y=f（x）的图像关于原点o对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0.
定理2. 函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f （a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）.（证明留给读者）
推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）.
定理3. ①若函数y=f（x）图像同时关于点a（a，c）和点b（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

②若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

③若函数y=f（x）图像既关于点a（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y=f（x）图像既关于点a（a，c）成中心对称，
∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：
f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c………………（*）
又∵函数y=f（x）图像直线x=b成轴对称，
∴f（2b-x）=f（x）代入（*）得：
f（x）=2c-f[2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）-x代x
得f[2（a-b）+x]=2c-f [4（a-b）+x]代入（**）得：
f（x）=f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

三、不同函数对称性的探究
定理4. 函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点a（a，b）成中心对称。

定理5. ①函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图像关于直线x-y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
设点p（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）。

记点p（x，y）关于直线x-y=a的轴对称点为p′（x1，y1），则x1=a+y0，y1=x0-a，∴x0=a+y1，y0=x1-a代入y0=f（x0）之中得x1-a=f（a+ y1）∴点p′（x1，y1）在函数x-a=f（y+a）的图像上。

同理可证：函数x-a = f （y + a）的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f （x）的图像上。

故定理5中的③
成立。

推论：函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称。

三、三角函数图像的对称性列表
注：①上表中k∈z
②y=tan x的所有对称中心坐标应该是（kπ+π/2，0），而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tan x的所有对称中心坐标是（kπ，0），这明显是错的。

四、函数对称性应用举例
例1 定义在r上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f （5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（）
a.是偶函数，也是周期函数
b.是偶函数，但不是周期函数
c.是奇函数，也是周期函数
d.是奇函数，但不是周期函数
解：∵f（10+x）为偶函数，∴f（10+x）=f（10-x）.
∴f（x）有两条对称轴 x=5与x=10 ，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f （x）还是一个偶函数。

故选（a）
例2 设定义域为r的函数y=f（x）、y=g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，若g（5）=1999，那么f（4）=（）。

a.1999
b.2000
c.2001
d.2002
解：∵y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，∴y=g-1（x-2）反函数是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函数是：y=2+g（x），∴f（x-1）=2+g（x），∴有f（5-1）=2+g（5）=2001。

故f（4） = 2001，应选（c）
例3 设f（x）是定义在r上的偶函数，且f（1+x）= f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）=-x，则f（8.6 ）= _________。

解：∵f（x）是定义在r上的偶函数∴x=0是y=f（x）对称轴；又∵f（1+x）=f（1-x），∴x=1也是y=f（x）对称轴。

故y=f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3。

例4 函数y=sin （2x+）的图像的一条对称轴的方程是（）
a.x=-
b.x=-
c.x=
d.x=
解：函数 y=sin（2x+）的图像的所有对称轴的方程是2x+=kπ+，∴x=-π，显然取k=1时的对称轴方程是x=-故选（a）。

例5 设f（x）是定义在r上的奇函数，且f（x+2）= -f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=（）
a.0.5
b.-0.5
c.1.5
d.-1.5
解：∵y=f（x）是定义在r上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），∴直线x=1是y=f（x）对称轴，故y=f（x）是周期为2的周期函数。

∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5 ）=-f（0.5）=-0.5 故选（b）。