高中物理八大解题方法之四：导数法(可编辑修改word版)

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l 2 + y 2

高中物理解题方法之导数法

江苏省特级教师 戴儒京

在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。 例 1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布

图 1.两等量正点电荷的电场强度在 y 坐标轴上的点的合成

以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为 y 轴，则各点的电场强度可表示为：

E = 2k ( Q

l 2 + y 2 ) ⋅ cos = 2k (

Q ) ⋅ y l 2 + y 2

因为原点的电场强度 E 0 = 0 ，往上或往下的无穷远处的电场强度也为 0，所以，从 O 点

向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。

方法 1.用三角函数法求导数

E = 2k ( Q l 2 + y 2

) ⋅ cos 中把 y =

l tan

代入得 E = 2kQ ⋅ sin 2 cos 。

l 2

令 z = sin 2 cos ，求导数 z ' = 2 s in cos 2 - sin 3= sin （2 cos 2 - sin 2 ) ，欲使

z ' = 0 ，需sin

= 0 （舍去）或2 c os 2 - s in 2 = 0 即tan = ，此处， y =

2l ， 2

将其代入得 E =

4 max 9 3 ⋅ kQ 。

l 2

2

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4 3 2l 方法 2. 用代数法求导数

E = 2k ( Q l 2 + y 2 ) ⋅ y ， 令 l 2 + y 2

z = y ⋅ (l 2 + y 2 ) - 3

2 ,对 z 求 导 数 得

z ' = (l 2 + y 2 )

3. 图象

- 3

2

- 3y 2 (l 2 + y 2

) - 5 2

,令其分子为 0，得

y =

，代入得 E

2

max = 9 ⋅ kQ 。 l 2 用 Excel 作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴 y 表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。

图 2.两等量正点电荷的电场强度在 y 坐标轴上的分布

此图象也验证了以上所得的结果：图象中令l = 5 ，则当 y =

= 2 = 3.5 处电场

2

强度最大。

例 2、电源输出功率最大问题的研究

例题．如图所示，R 为电阻箱，○

V 为理想电压表．当电阻箱读数为 R 1=2Ω 时，电压表读数为 U 1=4V ； 当电阻箱读数为 R 2=5Ω 时，电压表读数为 U 2=5V ．求：

(1) 电源的电动势 E 和内阻 r 。

图 3 电路图

(2) 当电阻箱 R 读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值 P m 为多少? E

2

1.5

1

0.5

-22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

-0.5

-1

-1.5

-2

E

2l 2 ⨯ 5

- 3 -

E E E

2

【解析】由闭合电路欧姆定律： E = U 1 +

U 1

r R 1 E = U 2 + U

2 r

R 2

联立上两式并代入数据解得： E = 6V ， r = 1Ω （ 2） 解法 1.代 数法 ， 电功率表达式： P =

E R

将上式变形为：

(R + r )2

2 P = (R - r )2 R

+ 4r 2 ，由上式可知 R = r = 1Ω 时 P 有最大值 P m = 4r

E

2

= 9W

u

u 'v - uv ' 解法 2.导数法，电功率表达式： P = (R + r )2

R ，根据求导公式( v

)' = ， v 2

得导数： P '(R ) = E 2 ⋅ (R + r )2 - E 2 R ⋅ 2(R + r ) (R + r )4 E 2

⋅ (R + r ) ⋅ (r - R )

= ，当 R = r 时， (R + r )4

2

导数的分子为零，即此时有极大值，将 R = r = 1Ω 代入 P 式得最大值 P m = 4r

= 9W

本题的物理意义可用图 4 图象说明：

图 4 电源输出功率与外电路电阻的关系

图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电阻值。

例 3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大

大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞， 两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动量还是都守恒的。