机械优化设计报告

机械优化设计上机实验报告班级：05021004人员：马春曹旭南咪咪吕进龙李鸿飞王建华日期：2013年5月一 进退法1.1算法的原理进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点的区间）的算法，其理论依据是：()f x 为单谷函数（只有一个极值点），且[,]a b 为其极小值点的一个搜索区间，对于任意12,[,]x x a b ∈，如果()()12f x f x <，则2[,]a x 为极小值的搜索区间，如果()()12f x f x >，则1[,]x b 为极小值的搜索区间。

因此，在给定初始点0x ，及初始搜索步长h 的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算()0f x h +。

（1） 如果()()00f x f x h <+则可知搜索区间为0[,]x x h +，其中x 待求，为确定x ，后退一步计算0()f x h λ-，λ为缩小系数，且01λ<<，直接找到合适的*λ，使得()*00()f x h f x λ->，从而确定搜索区间*00[,]x h x h λ-+。

（2） 如果()()00f x f x h >+则可知搜索区间为0[,]x x ，其中x 待求，为确定x ，前进一步计算0()f x h λ+，λ为放大系数，且1λ>，知道找到合适的*λ，使得()*00()f x h f x h λ+<+，从而确定搜索区间*00[,]x x h λ+。

进退法流程图：1.2算法特点从初始点开始一出事步长向前试探，如果函数值上升，则步长变号，机改变试探方向。

如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。

区间的始点、中间点一次沿试探方向移动一步。

此过程以自己进行到函数值再次上升位置，既可找到搜索区间的终点。

最后大额到的三个点纪委搜索区间的始点、中间点和终点，形成函数值得“高-低-高”趋势，1.3算法的改进及建议由于解析过程中没有精度的要求，所以解析的精度比较差，只能确定一个比较理想的最优解区间，仅仅能够作为求职最优解的参考，所以希望通过进一步的完善来实现精度的提高并且能够求得较为满意的最优解。

所以该算法还带进一步完善和改进，从而得到比较好的优化解。

1.4算例及调试结果二 黄金分割法2.1 算法的原理属于一维搜索方法中的一类，按某种给定的规律来确定区间内插入点的位置，此点位置的确定仅仅按照区间缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系。

首先采用进退法确定函数极值点所在的搜索区间[a, b],然后采用牛顿法求出极值。

进退法的基本思想：按照一定的规则试算若干个点，比较其函数值的大小，直至找到函数值按“高-低-高”变化的单峰区间。

在搜索区间[a, b]内适当插入两点1∂、2∂，并计算其函数值。

1∂、2∂将区间分成三段。

应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩短。

然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似值。

2.2 算法的特点按λ（618.0=λ）缩小 比较)(x f 大小 确定取舍区间，依照"去坏留好"原则，对称原则，以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围。

进退法流程图参考第一部分，黄金分割法流程图如下：黄金分割法程序框图2.3 算法的改进及建议当函数是凸函数时，我们可以利用函数的凸性,得到函数值的上界和下界，进而利用这些信息，缩短函数不确定区间，达到优化算法的效果。

如果一个函数是凸函数，根据已知的函数值，可以找到它的最大值和最小值，这些信息有利于得到最优解的位置，进而大大缩减不确定区间。

假设是定义在区间上的连续的，单变量可微的凸函数，给点初始不确定区间。

下面介绍两种利用函数的凸性优化黄金分割的方法。

通过凸函数的一阶特征，定理1.3.11[4]：设为非空开凸集，是定义在上的可微函数，则为凸函数的充分必要条件是：（1）证明：必要性设f是凸函数，于是对所有因此，对于充分性假设（1）成立，任取我们有于是得到：所以是凸函数。

这个定理表明了根据局部导数的线性近似是函数的低估，即凸函数图形位于图形上任一点切线的上方。

根据这个定理，所以函数的最小值一定在切线的上方。

利用凸函数的一阶特征以及已知的最小函数值就可以确定不确定区间。

函数两个端点处的切线和最小函数值的交点，即为缩小的不确定区间。

该算法的基本思想是：已知函数f（x）在区间端点l, u两点的函数值f（l）,f （u），并比较两点函数值的大小，如果最小值点为。

否则，就取并给该点的函数赋值f（x）；下一步求出函数在l, u,两点处的切线函数；最小函数与两切线的交点l′, u′，即是新的迭代区间[ l, u]。

由定理1.3.11，我们知道函数值一定在切线的上方，所以最小值也在新的迭代区间内。

算法2.1：Step 0:给定 >0，点l, uStep1: 函数在l, u, 两点处赋值f（l）,f（u）；Step2: 比较, 两点函数值的大小，如果否则：并给x 点赋值f （x ）；Step3: 计算f 出在l, u 点的切线方程l t ,u t ；Step4: 函数f （x ）与直线l t u t ,的交点l ′,u ′，即是新的迭代区间[l , u] Step5: 循环，直到满足精度要求评价一种算法的好坏当然不仅仅只看运算速度，如果其结果所取得精度不能达到预定的要求也是不合要求的。

对于第二类函数可以达到满意的精度要求，并且迭代的步数更少。

2.4 算例及调试结果求解函数f(x)=(t+1)(t-2)^2的最优解，结果如下：三 梯度法3.1 算法的原理最速下降法又称为梯度法，是1847年由著名数学家Cauchy 给出的。

他是解析法中最古老的一种，其他解析方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是最优化方法的基础。

设无约束问题中的目标函数1:n f R R 一阶连续可微。

最速下降法的基本思想是：从当前点k x 出发，取函数()f x 在点k x 处下降最快的方向作为我们的搜索方向k p .由()f x 的Taylor 展式知()()()(k k k k T k k f x f x tp t f x p o tp -+=-∇+‖‖)略去t 的高阶无穷小项不计，可见取k p =()k f x -∇时，函数值下降得最多。

于是，我们可以构造出最速下降法的迭代步骤。

解无约束问题的的最速下降法计算步骤第1步 选取初始点0x ，给定终止误差0ε>，令:0k =；第2步 计算()k f x ∇，若(k f x ε∇≤‖)‖，停止迭代.输出k x .否则进行第三步；第3步 取()k k p f x =-∇；第4步 进行一维搜索，求k t ，使得()min ()k k k k k t f x t p f x tp ≥+=+令1k k k k x x t p +=+，:1k k =+，转第2步。

由以上计算步骤可知，最速下降法迭代终止时，求得的是目标函数驻点的一个近似点。

确定最优步长k t 的方法如下： 方法一：采用任一种一维寻优法此时的(())k k f x t f x -∇已成为步长t 的一元函数，故可用任何一种一维寻优法求出k t ，即1()(())min (())k k k k k k tf x f x t f x f x t f x +=-∇=-∇方法二：微分法 因为(())()k k tf x t f x t ϕ-∇=所以，一些简单情况下，可令'()0t ϕ=以解出近似最优步长k t 的值。

3.2 算法的特点由于沿负梯度方向目标函数的最速下降性，很容易使人们误认为负梯度方向是最理想的搜索方向，最速下降法是一种理想的极小化方法。

必须指出的是，某点的负梯度方向，通常只是在该店附近才具有这种最速下降的性质。

在一般情况下，当用最速下降法寻找极小点时，其搜索路径呈直角锯齿状，在开头几步，目标函数下降较快；但在接近极小点时，收敛速度长久不理想了。

特别适当目标函数的等值线为比较扁平的椭圆时，收敛就更慢了。

3.3 算法的改进及建议根据梯度法的缺点，在实用中常将最速下降法和其他方法联合应用，在前期使用最速下降法，而在接近极小点时，可改用收敛较快的其他方法。

3.4 算例及调试结果 算例 ：function c=f(x)c=x(1)^2+2*x(2)^2-4*x(1)-2*x(1)*x(2);结果：k = 17(4)x Oab = 0.1600 0.6400 c = 0.2434 fxk = -8.0000 xopt = 3.9924 1.9944 fxk = -8.0000 >>四 鲍威尔法4.1算法的原理1.研究对象：具有正定矩阵G 的二次函数12()TT f x x Gx b x c =++2.基本思想：利用迭代值逐次构造关于G 的共轭搜索方向进行搜索。

3.基本原理对于二维问题鲍威尔的基本算法：(1) 任选一初始点0x ，再选两个线性无关的向量，如坐标轴单位向量1e 和2e作为初始搜索方向。

(2)从0x 出发，顺次沿1e 、2e 作一维搜索得点1x 、2x ，两点连线得一新方向102d x x =-，用1d 代替1e 形成两个线性无关的向量2e、1d ，作为下一轮的迭代方向。

再从02x 出发，沿1d 作一维搜索得点10x，作为下一轮的初始迭代点。

(3)从1x出发，顺次沿2e、1d作一维搜索，得到点11x、12x，两点连线得一新方向21120d x x=-，1x、12x两点是从不同点0x、11x出发，分别沿1d方向进行一维搜索而得的极小点。

因此1x、12x两点连线的方向2d同1d一起对G共轭。

再从12x出发，沿2d作一维搜索得点2x。

因为2x相当于从0x出发分别沿G的两个共轭方向1d、2d进行两次一维搜索而得到的点，所以2x点即是二维问题的极小点*x。

把二维问题扩展到n维，在每一轮的迭代中总有一个始点和n个线性独立的搜索方向。

从始点出发顺次沿n个方向作一维搜索得一终点，由始点和终点决定一个新的搜索方向。

用这个方向原来n个方向中的一个，于是形成新的搜索方向组。

4.2算法的特点1 收敛速度快，可靠性高；2 对非正定函数，也很有效；3 计算步骤较复杂。

4.3算法的改进及建议上述算法仅具有理论意义，对于一般函数，此算法很可能失效，因为在迭代中的n个搜索方向有时会变成线性相关而不能形成共轭方向。

这是张不成n维空间，可能求不到极小点，所以此算法有待改进。

算法的改进：首先要判断原向量组是否需要替换。

如需要，还要判断原向量组中哪个向量最坏，然后再用新产生的向量替换这个最坏的向量，以保证逐次生成共轭方向。

改进后的鲍威尔法程序框图如下：4.4算例及调试结果1.算例：用鲍威尔法求函数f（x1，x2）=10（x1+x2-5）²+（x1-x2）²的极小值。