边际与弹性

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案例3.4.2 哪种产品对价格更有弹性：在日常生活 中，我们发现生活必需品和奢侈品对价格变化的灵敏 度是不同的. 生活必需品因为是日常所需的，即使价格 上升需求量也不会减少多少. 例如，你一顿吃1个馒头， 过去2角钱你吃1个，后来3角钱你吃1个，现在4角钱你 还是吃1个；相反，如果馒头从4角下降到2角，你也不 会一顿从吃1个增加到吃两个. 看病也一样，当看病的 医疗、检测、药品等价格上升时，尽管人们会比平时 减少一些看病，但不会大幅度地减少看病的次数. 但水 果则不同，不是必需品，便宜的时候可以多吃，随着 季节的变化，价格上升了也可以适当少吃一点，因此 水果是对价格的变化比较敏感的东西. 商品对价格的灵敏度叫做该商品的弹性. 因此，水 果比馒头对价格更有弹性.
说明其经济意义.
（3）当边际成本与边际收益具有何种关系时，利润 最大？
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解 （1） C' ( x) (300 1.1x)' 1.1;
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抽象归纳
边际分析
问：怎样用数学方法来描述边际呢？
分析 设函数 f ( x) 可导. 根据导数的定义，有
y f ( x) lim . x0 x y . 因此，当| x | 很小时，有 f ( x) 于是 x
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3．边际收益 （x为产量）的导数 R' ( x), 总收益函数 R R( x) 称为产量为x单位时的边际收益． 边际收益 R' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品，总收益将改变 R' ( x) 个单位．
4．边际利润
总利润函数 L L( x)（x为产量）的导数 L' ( x), 称 为产量为x单位时的边际利润． 边际利润 L' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单位 产品，总利润将改变 L' ( x) 单位．
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近似地等于其导数值.
定义 我们把函数 y f ( x) 的导数 f ' ( x) 称为边际
函数.
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例 函数 y x , 在点 x 2 处的边际函数值为
3
y'
x 2
3x
2 x 2
12,
x 改变1个单位，y 改变12个单位． 它表示当 x 2 时，
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1．边际成本
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（x为产量）的导数 C' ( x), 总成本函数 C C ( x)
称为产量为 x 单位时的边际成本．
产量.
边际分析法就是分析自变量变动1单位时，因变量
会变动多少的方法.
在本案例中，当我们考虑是否让这名乘客以50元 的票价上车时，实际上我们应该考虑的是边际成本和 边际收益这两个概念. 边际成本是增加1名乘客(自变 量)所增加的成本(因变量). 在我们这个例子中，增加 这1名乘客，所需磨损的汽车、汽油费、工作人员工 资和过路费等都无需增加，对汽车来说多拉1个人少 拉1个人都一样，所增加的成本仅仅是发给这个乘客 的食物和饮料，假设这些东西值10元，边际成本也就 是10元. 边际收益是增加1名乘客(自变量)所增加的收 益(因变量). 在这个例子中，增加这一名乘客增加收益 50元， 边际收益就是50元. 因为边际收益大于边际成 本，所以让这名乘客上车是合适的.
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例2 设生产某种产品的总成本为 C ( x) 300 1.1x , 总收益为 R( x) 5x 0.003x , 试求：
2
（1）边际成本、边际收益和边际利润. （2）当产量为600及700个单位时的边际利润, 并
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例1 某公司某产品的总利润Ｌ（元）与日产量x(吨) 的关系为 L( x) 250x 5x , 试求日产量分别为20吨、
2
25吨及30吨时的边际利润． 解 因为 L' ( x) 250 10x , 所以，所求边际利润为分 别为
L'(20) 250 10 20 50（元／吨）， L' (25) 250 10 25 0（元／吨）， L' (30) 250 10 30 50（元／吨）.
边际成本C' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单
位产品时总成本将改变 C' ( x) 个单位． 2．边际需求
需求函数 Q Q( p)（p为价格）的导数 Q' ( p), 称
为价格为p单位时的边际需求． 边际需求 Q' ( p) 表示当价格为p时，价格再上涨1 个单位,需求量将改变 Q' ( p) 个单位．
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分析 边际分析法.
“边际”——“增加的” “边际量”——“增量” 自变量的增量为1单位时，因变量的增量就是边际
量.
例：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)
的增量为2个单位，这因变量改变的2个单位就是边际
y f ( x x) f ( x) f ( x)x.
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特别地，当 x 1 时，有
y f '( x) 1 f '( x).
这就是说，当自变量增加1单位时，函数的增量