椭圆、双曲线中与焦点三角形有关的问题.

椭圆、双曲线中与焦点三角形有关的问题（一）

学习目标：1探究焦点三角形的有用结论，能理解、会应用，体会到一些有用的结论将会

为解析几何的解题带来帮助。

2在探究中体会数形结合思想，化归思想在数学中的应用。

复习旧知：1三角形面积公式；2三角形中的勾股定理、余弦定理；3椭圆、双曲线的定义 典例探究：

探究1 计算焦点三角形的周长

例1椭圆112

162

2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上。求12F PF 的周长。

探究2 判定焦点三角形的形状

例2椭圆112

162

2=+y x 上一点P 到焦点1F 、2F 的距离之差为2，试判断12F PF 的形状。

探究3 与焦点三角形有关的椭圆离心率问题

例3设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF 为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

探究4 与焦点三角形有关的椭圆方程问题

例4若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到

探究5 计算焦点三角形的面积

例5椭圆124

492

2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，求12F PF 的面积。

例6设1F 、2F 为2

214x y 的两个焦点，点P 在曲线上，若1290F PF ，求12F PF 的面积。

例7椭圆14

22

=+y x 的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，当12F PF 的面积最大时，求21PF PF ⋅的值。

例8 若P 是椭圆164

1002

2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求12F PF 的面积。

例9若1F 、2F 是双曲线2

21916x y 的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，求

12F PF 的面积。

练习巩固：

1.已知1F 、2F P 为椭圆C 上的一点，且。若12PF F ∆的面积为9，则b = 。

2.已知椭圆2

221(1)x y a a

+=>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 为椭圆上一点,且1260F PF ∠=,则12||||PF PF ⋅的值等于 。

3已知椭圆的方程为221,9

7x y 1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若点P 是椭圆上的一点，且1245PF F ，求12PF F ∆的面积。

4点P 为椭圆22154x y 上的一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积为1，

求点的坐标。

能力提升：

1已知椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 4

9或779 2已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为

35，求椭圆的标准方程。

3如图，P 是双曲线2

2221x y a b 的左支上一点，1F 是左焦点，试判断以1PF 为直径的圆与圆222x y a 的位置关系？