1.2.3 充分条件、必要条件 第2课时

答案
a≠0， (ⅰ)方程 ax2＋2x＋1＝0 有一负根一正根的充要条件为a≤1，
1 a<0
⇒a<0；
a≠0，
a≤1，
(ⅱ)方程 ax2＋2x＋1＝0 有两个负根的充要条件为－a2<0，
⇒
1a>0
0<a≤1. 综上所述，方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负实根的充要条件是 a≤1.
答案
金版点睛 探求充要条件的两种方法
提示
问题 2：“若 q，则 p”是真命题吗？p 是 q 的什么条件？ 提示：是真命题，必要条件．
提示
问题 3：p 是 q 的什么条件？q 是 p 的什么条件？ 提示：充要条件，充要条件．
提示
【知识导学】
知识点一 充分不必要条件
一般地，如果 □01 p⇒q 且 □02 q ⇒/ p ，则称 p 是 q 的充分不必要条
答案 (1)x＝1 或 x＝2 (2)充要 (3)2
答案
核心素养形成
题型一 充要条件的概念及判断方法 例 1 在下列各题中，试判断 p 是 q 的什么条件． (1)p：a＝b，q：ac＝bc； (2)p：a＋5 是无理数，q：a 是无理数； (3)若 a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立 的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说 明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的 过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将 充分性和必要性分开来证．
(5)“ 三 角 形 的 三 条 边 相 等 ” 是 “ 三 角 形 的 三 个 角 相 等 ” 的 充 要 条 件．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√
答案
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是___________________________． (2)“x2 － 1 ＝ 0” 是 “|x| － 1 ＝ 0” 的 ________ 条 件 ． ( 从 “ 充 分 不 必 要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) (3)如果不等式 x≤m 成立的充分不必要条件是 1≤x≤2，则 m 的最小值 为________．
答案
[题型探究] 已知 a，b 是实数，求证：a2－b2＝1 是 a4－b4－2b2＝1 成立 的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．
证明 因为 a2－b2＝1，所以 a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋ b2)－2b2＝a2－b2＝1.
即 a2－b2＝1 是 a4－b4－2b2＝1 成立的充分条件． 另一方面，若 a4－b4－2b2＝1， 即 a4－(b4＋2b2＋1)＝0， a4－(b2＋1)2＝0，
所以 p 是 q 的充分不必要条件．
答案
(3)由 a>0 且 b>0⇒a＋b>0 且 ab>0，并且由 a＋b>0 且 ab>0⇒a>0 且 b>0， 所以 p 是 q 的充要条件.
答案
题型二 充要条件的证明 例 2 已知 ab≠0，求证：a＋b＝1 是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0 的充要条件．
[跟踪训练2] 求证：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负 根的充要条件是 ac<0.
证明 必要性：由于方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根， ∴Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝ac<0，∴ac<0. 充分性：由 ac<0 可得 b2－4ac>0 及 x1x2＝ac<0，
[跟踪训练3] 已知方程 x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于 1 的 实数根的充要条件．
解 方程 x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于 1 的实数根 x1，x2： Δ＝2k－12－4k2≥0，
⇔x1－1x2－1>0， x1－1＋x2－1>0
答案
k≤14， ⇔x1x2－x1＋x2＋1>0，
解 (1)因为 A∪B＝A⇔B⊆A，而 A∩B＝B⇔B⊆A，所以 A∪B＝A⇔A∩B
＝B，所以 p 是 q 的充要条件．
(2)由αβ>>22，，
根据不等式的性质可得α＋β>4， αβ>4.
即 p⇒q，而由ααβ＋>β4>4，
不能推出α>2， β>2.
如Biblioteka Baiduα＝1，β＝5 满足αα＋ β>β4>，4， 但不满足 α>2.
(4)若 A⊆B 且 B A，即 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件．
(5)若 B⊆A 且 A B，即 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件． (6)若 A B 且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件
答案
∴方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实根，且两根异号，即方程 ax2＋ bx＋c＝0 有一正根和一负根．
综上可知，关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要 条件是 ac<0.
答案
题型三 探求充要条件 例 3 求关于 x 的方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负实根的充要条件． [解] ①当 a＝0 时，方程为一元一次方程，其根为 x＝－12，符合要求． ②当 a≠0 时，方程为一元二次方程，此时 ax2＋2x＋1＝0 有实根的充要 条件是判别式 Δ≥0，即 4－4a≥0，从而 a≤1.设方程 ax2＋2x＋1＝0 的两根 分别为 x1，x2，则 x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a.
实际上给出了这个对象的一个充要条件．
【新知拓展】 1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 (1)若 p⇒q，则称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． (2)若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件． (3)若 p⇒q，且 q⇒/ p，则称 p 是 q 的充分不必要条件． (4)若 p⇒/ q，且 q⇒p，则称 p 是 q 的必要不充分条件． (5)若 p⇒/ q，且 q⇒/ p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
[证明] ①充分性： ∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a ＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
答案
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0 且 b≠0，∴a2－ab＋b2≠0. ∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1. 综上可知，当 ab≠0 时，a＋b＝1 是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0 的充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断 p⇒q 及 q⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集 合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的 综合结构图，可降低解题难度．
[跟踪训练1] 指出下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B； (2)p：αβ>>22，， q：ααβ＋>β4>；4， (3)已知实数 a，b，p：a>0 且 b>0，q：a＋b>0 且 ab>0.
2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若 p 以集合 A 的形式出现，q 以集合 B 的形式出现，即 A＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，则 (1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件． (2)若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件． (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件．
(4)因为 A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A， 所以 p 是 q 的充要条件．
答案
[题型探究] 已知 p 是 q 的充分条件，q 是 r 的必要条件，也是 s 的充分 条件，r 是 s 的必要条件，问：
(1)p 是 r 的什么条件？ (2)s 是 q 的什么条件？ (3)p，q，r，s 中哪几对互为充要条件？
[解] (1)因为 a＝b⇒ac＝bc，而 ac＝bc 不能推出 a＝b，所以 p 是 q 的充 分条件，但不是必要条件．
(2)因为 a＋5 是无理数⇒a 是无理数，并且 a 是无理数⇒a＋5 是无理数， 所以 p 是 q 的充要条件．
(3)因为 a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且 a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以 p 是 q 的 充要条件．
(1)命题角度：判断 p 是 q 的充分必要条件，主要是判断 p⇒q 及 q⇒p 这 两个命题是否成立．若 p⇒q 成立，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要 条件；若 q⇒p 成立，则 p 是 q 的必要条件，同时 q 是 p 的充分条件；若二者 都成立，则 p 与 q 互为充要条件．
1.2.3 充分条件、必要条件
第2课时 充要条件
(教师独具内容) 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数 学定义与充要条件的关系． 教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与 结论之间的充要性． 教学难点：判断条件与结论之间的充要性.
核心概念掌握
【情境导学】(教师独具内容) 已知 p：三角形的三条边都相等．q：三角形是等边三角形． 问题 1：“若 p，则 q”为真命题吗？p 是 q 的什么条件？ 提示：是真命题，充分条件．
件．
知识点二 必要不充分条件
如果 □01 p ⇒/ q 且 □02 q⇒p ，则称 p 是 q 的必要不充分条件．
知识点三 充要条件
(1)如果 □01 p⇒q 且 □02 q⇒p ，则称 p 是 q 的 □03 充分必要条件 (简 称为充要条件)，记作 □04 p⇔q .
(2)当 p 是 q 的充要条件时，q 也是 p 的 □05 充要 条件． (3)p 是 q 的充要条件也常常说成“p 成立□06 当且仅当 q 成立”，或“p 与 q □07 等价 ”． (4)充要条件与数学中的 □08 定义 有关，一个数学对象的 □09 定义
答案
(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0. 又 a2＋b2＋1≠0，所以 a2－b2－1＝0，即 a2－b2＝1. 因此 a2－b2＝1 是 a4－b4－2b2＝1 成立的必要条件．
答案
金版点睛 充要条件的证明
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个 是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结 论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．
若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件
若 A＝B，则 p，q 互为充要条件
若 A B 且 B A，则 p 既不是 q 的 充分条件，也不是 q 的必要条件
3．“⇔”的传递性 若 p 是 q 的充要条件，q 是 s 的充要条件，即 p⇔q，q⇔s，则有 p⇔s， 即 p 是 s 的充要条件．
x1＋x2－2>0
k≤14， ⇔k2＋2k－1＋1>0，
－2k－1－2>0 ⇔k<－2. 所以使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件是 k<－2.
答案
随堂水平测试
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立．( ) (2)符号“⇔”具有传递性．( ) (3)若 p⇒/ q 和 q 不能推出 p 有一个成立，则 p 一定不是 q 的充要条件．( ) (4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )
解 作出“⇒”图，如图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.
(1)p⇒q⇒s⇒r，且 r⇒q，q 能否推出 p 未知，∴p 是 r 的充分条件． (2)∵s⇒r⇒q，q⇒s， ∴s 是 q 的充要条件． (3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.
答案
金版点睛 判断 p 是 q 的充分必要条件的两种思路