2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二上学期期中数学(理)试题(解析版)
哈九中高二上学期期中考试数学试卷学生版
哈尔滨市第九中学2023-2024学年度高二上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）1.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC 中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +-D.221332a b c +- 2.已知直线1l ：210x ay -+=和2l ：()10a x y a --+=平行，则实数=a （）A.1- B.2C.1-或2D.13.若点()1,1P 在圆C ：2220x y x m ++-=的外部，则m 的取值范围为（）A.()1,4- B.()4,1- C.()1,-+∞ D.(),4-∞4.已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，作PH y ⊥轴于点H ，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（）A.2214x y += B.22116x y += C.22116y x += D.2214y x +=5.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：()()22x a y b -+-可以转化为点(),x y 到点(),a b 的距离，则22148x x x +-+）．A.3B.221+ C.23D.136.在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,32,4AC BC AB AA ====，则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为（）A .1625-B.925C.1625D.457.已知椭圆22:11612x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的动点，1m PF =，2n PF =，则4m nmn+的最小值为（）A.98 B.54C.20379- D.20379+8.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且5cos ,013BAC AB BD ∠=-⋅=，则E 的离心率为（）A.173B.375C.102D.5二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.已知点()1,2P -到直线:430l x y C -+=的距离为1，则C 的值可以是（）A.5B.10C.5- D.1510.已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（）A.当14t <<时，曲线C 是椭圆B.当4t >或1t <时，曲线C 是双曲线C.若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<D.若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则4t >11.已知圆1C ：()2234x y -+=，圆2C ：221x y +=，则（）A.两圆外切B.直线1x =是两圆的一条公切线C.直线2x my =+被圆1C 截得的最短弦长为23D.过点23,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭作圆2C 的切线仅有一条12.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（）A.1122a c a c -=-B.1122a c a c +=+C.1212c c a a < D.1212c a a c >第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若向量()()1,2,3,2,3,1a b =-=--，则2a b +=r r _______．14.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为______．15.P 点在椭圆221164x y +=上，B (0，3)，则BP 长的最大值为___________.16.已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为____________．四、解答题（本大题共6题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤）17.已知直线1l 经过点()2,3A ．（1）若1l 与直线2l ：240x y ++=垂直，求1l 的方程；（2）若1l 在两坐标轴上的截距相等，求1l 的方程．18.圆O ：228x y +=内有一点()01,2P ，过0P 的直线交圆于A ，B 两点.（1）当0P 为弦AB 中点时，求直线AB 的方程；（2）若圆O 与圆C ：()()22119x y +++=相交于E ，F 两点，求EF 的长度.19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，顶点P 在底面上的射影为正方形的中心,O E 为侧棱PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）若22AB =，四棱锥P ABCD -的体积为163，求PB 与平面DBE 所成角．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，且离心率为63.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过原点O 的直线:l y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，求ABO 面积的最大值及此时直线l 的方程.21.已知()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，且经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆右焦点F 且斜率为()0k k ≠的动直线l 与椭圆交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ，使AF BT BF AT ⋅=⋅恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期11月期中地理试题
哈尔滨市第九中学2024—2025学年度上学期期中学业阶段性评价考试高二地理学科考试试卷(考试时间: 75分钟满分: 100分共5页)一、选择题(共50分，1-10题每小题 1分，11-30题每小题2分，每小题只有一个选项．．．．．．符合题意)下图为我国某地的等高线地形图，据此完成1-2小题。
1. 图中四河段中，流速最慢的是 ( )A. ①B. ②C. ③D. ④2. 图中山峰与丙村庄的相对高度可能为( )A. 350米B. 400米C. 450米D. 500米下图为2023年7月7日16时某区域海平面等压线分布图。
甲区域处于梅雨区。
梅雨的特点是阴雨连绵、持续高温高湿。
梅雨结束后，雨带移至华北地区，江淮流域进入高温少雨天气。
读图, 完成3-4小题。
3. 造成甲区域历年6月中旬到7月上旬多阴雨连绵天气的原因是 ( )A. 冷暖气团势均力敌B. 地形阻挡，锋面移动缓慢C. 地面受热，对流旺盛D. 台风登陆，气旋控制，气流上升4. 此时，日本本州岛附近海域最不可能吹的风向是( )A. 东南风B. 西南风C. 西北风D. 偏南风读黄土高原和狮身人面像照片，完成5-6小题。
5. “千沟万壑、支离破碎”是黄土高原地表形态的典型写照，其成因主要是 ( )A. 风力侵蚀B.风化作用C. 流水侵蚀D. 冰川侵蚀6. 矗立在尼罗河畔的埃及狮身人面像缺损严重，其主要原因是 ( )A. 雨水侵蚀和溶蚀作用B. 风化和风蚀作用C. 喀斯特作用D. 海蚀作用许多沿海国家与地区积极利用海水淡化技术解决淡水不足。
下图是某沿海国家海水淡化储水塔，风格独特，成为当地的地标性建筑。
据此完成7-8小题。
7. 最需要运用海水淡化技术补充淡水资源的国家是 ( )A. 科威特B. 新加坡C. 日本D. 冰岛8. 从经济和生态效益角度考虑，该国海水淡化可直接利用的能源是( )A. 太阳能B. 化石能C. 风能D. 潮汐能下图为世界局部图。
据此完成9-10小题。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期中考试数学试题
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期中考试数学试题1. 已知集合A ={x|x ≤1}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =（ ）A ． {0,1,2}B ． {x|x ≤2}C ． {−1,0,1}D ． [−1,1]2. 将23=8化为对数式正确的是（ ）A ． log 23=8B ． log 28=3C ． log 82=3D ． log 32=83. 函数y =a x −1a （a >0，且a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 已知函数f(x)=−x|x|，则在区间(0,+cx)上（ ）A ． f(x)>0 恒成立B ． f(x) 有最小值C ． f(x) 单调递增D ． f(x) 单调递减5. 已知函数f(x)为R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ，则当x <0时，f(x)的解析式为（ ）A ． −x 2−2xB ． −x 2+2xC ． x 2+2xD ．以上都不对6. 已知幂函数f(x)的图象过点(2,12)，则函数g(x)=(x 2+3x +1)·f(x)在区间[12,1]上的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67. 在R 上定义新运算|abcd|=ad −bc ，若存在．．实数x ∈[0,1]，使得|x −4m1x|≥0成立，则m 的最大值为（ ）A ． 0B ． 1C ． −3D ． 38. 已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，设g(x)=f(x +1)，若a =g(−π)，b =g(2−1)，c =g(−1)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ． c <b <aB ． a <b <cC ． b <a <cD ． c <a <b9. 已知1≤a −b ≤2,2≤a +b ≤4，则a 的取值可以为（ ）A．1 B．52C．3 D．410.下列说法正确的是（）A．“ a>b”是“ |a|>|b|”的充分不必要条件B．命题“ ∃x∈(−3,+∞)，x2≤9”的否定是“ ∀x∈(−3,+∞)，x2>9”C．若a>b，则a3−b3>a2b−ab2D．若f(x)关于点(1,0)中心对称，则f(2−x)+f(x)=011.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)={1,x∈Q0,x∈C R Q，称为狄利克雷函数，则关于f(x)，下列说法正确的是（）A．f(√2)=1B．f(x)的定义城为RC．∀x∈R，f(f(x))=1D．f(x)为偶函数12.已知函数f(x)的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D使得f(x)：（1）f(x)在[m,n]上是单调函数；（2）f(x)在[m,n]上的值域是[2m,2n]，则称区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）A．f(x)=x2B．f(x)=1xC．f(x)=x+1x D．f(x)=3xx2+113.已知函数f(x)=x2−2mx在[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为________.14.已知函数f(x)=x2−2x,x∈[0,b]，且该函数的值域为[−1,3]，则b的值为_____.15.设函数f(x)={x 12+1,x>02x,x≤0，则f(f(−4))=___________．16.哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是______元.17.已知集合A={x|a−2<x<a+2}，集合B={x|12≤2x≤32}；(1)若a=−1，求A∩B与(C R A)∪B；(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围.(x≠0,m,n∈R)且f(1)=3，f(2)=5.18.已知函数f(x)=mx2+nx(1)求f(x)的解析式；(2)证明f(x)在(1,+∞)上单调递增.19.已知定义在R上的函数f(x)满足∀x、y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y)；∀x>0，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)证明f(x)是R上的增函数；(3)若f(a+2)<f(6−a)，求a的取值范围.20.设函数f(x)=x2−(a+1)x+a，a∈R.(1)解关于x的不等式f(x)<0；(2)已知x∈[1,5]时，f(x)≥a−4恒成立，求a的取值范围.21.为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少粉尘），并采用分段计费的方法计算电费．当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时，按每千瓦时0.57元计算；当月用电量超过100千瓦时时，其中的100千瓦时仍按原标准收费，超过的部分按每千瓦时0.5元计算．（1）设月用电x千瓦时时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）若某家庭一月份用电120千瓦时，则应交电费多少元？（3）若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表：22.已知指数函数y=a x(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6；(1)求a的值；(2)求f(x)=a2x+m·a x+1在[0,1]上的最大值，井将结果表示成一个关于m的分段函数g(m)；(3)设ℎ(x)=a2xa2x+2，求ℎ(12023)+ℎ(22023)+⋯+ℎ(20222023)的值.。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期期中考试物理试卷(含选择题答案)
哈尔滨市第九中学2024—2025学年度高三上学期期中考试物理学科试卷（考试时间：90分钟 满分：100分）一、选择题（本题共14小题，共47分。
在每小题给出的四个选项中，第1~9题只有一项符合题目要求，每小题3分；第10~14题有多项符合题目要求，每小题4分，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错得0分）1．如图所示，物块A 和物块B 用一根轻质弹簧连在一起静置于光滑水平地面上。
某时刻A 获得一瞬时速度，在弹簧压缩的过程中，关于A 、B 和弹簧构成的系统，下列说法正确的是（ ）A ．系统动量守恒，机械能守恒B ．系统动量守恒，机械能不守恒C ．系统动量不守恒，机械能守恒D ．系统动量不守恒，机械能不守恒2．下列关于机械波的说法正确的是（ ）A ．产生多普勒效应的原因是波源频率发生了变化B ．在一个周期内，介质的质点所通过的路程等于振幅C ．发生干涉现象时，介质中振动加强点振动的振幅最大，减弱点振幅可能为零D ．某一频率的声波，从空气进入水中时，波长和频率均增大3．如图所示，质量为m ，半径为R 的四分之一光滑圆弧轨道小车静置于光滑水平面上。
一质量也为m 的小球以水平初速度冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，不计空气阻力，下列说法不正确的是（ ）A ．上述过程小球和小车组成的系统水平方向动量守恒B ．球返回到车左端时，车向右运动的速度最大C ．无论小球初速度多大，小球最终都会从小车左侧离开D ．小球返回到小车左端后将向左做平抛运动4．一质量为2kg 的物块在合外力F 的作用下从静止开始沿直线运动。
F 随时间t 的变化规律如图所示，4s 末物块速度的大小为（）0v 0vA ．1m/sB ．2m/sC ．4m/sD ．05．如图所示，在光滑水平面上有一小车，小车上固定一竖直杆，总质量为M ，杆顶系一长为L 的轻绳，绳另一端系一质量为m 的小球，绳被水平拉直处于静止状态，将小球由静止释放，重力加速度为g ，不计空气阻力，已知小球运动过程中，始终未与杆相撞。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2021-2022学年高二上学期期中学业阶段性评价考试历史(文)试卷
哈尔滨市第九中学2021---2022学年度上学期高二文科历史学科期中考试试卷（考试时间：90分钟满分：100分共4页）一、单项选择题（共32小题，每小题1.5分，共48分。
在每个小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请考生选出，填涂到答题卡上）1.如图为浙江杭州严家桥良渚文化遗址出土的距今约4000年的双钱结藤编残件图。
它体现了A.历史传承与民族认同的统一B.社会组织的复杂C.劳动技能与艺术审美的结合D.等级秩序的确立2.考古发现，地处黄河流域中游的陶寺古城，南北长约1000米、东西宽约560米，面积约56万平方米。
城南为公共墓地。
在已发掘的1000多座墓葬中，有9座大型墓葬，出土了象征权力的钺和斧之类的玉石兵器。
这表明A.中央集权体制初现B.多元一体的格局形成C.早期国家已经出现D.社会分工日趋精细3.张荫麟在《中国史纲》中指出：“严格地说封建社会的要素是这样：在一个王室的属下，有宝塔式的几级封君，每一个封君，虽然对于上级称臣，事实上是一个区域的世袭的统治者而兼地主。
”在符合这些要素的古代中国“封建社会”中A.血缘关系是维系国家统治的重要支柱B.用森严的礼乐制度强化封建君主专制C.形成了从中央到地方的垂直管理体系D.小农经济是封君统治的主要经济基础4.据《周礼》记载，西周时期与国君同族的下层国人也拥有干预政治的权力，遇有重大问题，国君要询问全体国人的意见，国人可以批评甚至废除国君。
这说明西周A.建立行政监察体制B.保留部分氏族民主制传统C.形成中央集权体制D.具备完善的中枢决策体制5.《史记》记载“匈奴，其先祖夏后氏之苗裔也。
”“越王勾践，其先禹之苗裔，而夏后帝少康之庶子也。
”“秦之先，帝颛顼之苗裔。
”“楚之先祖出自帝颛顼高阳。
高阳者，黄帝之孙，昌意之子也。
”据此可知，司马迁A.主张对边地民族加强管控B.强调华夏族的统领地位C.认识到宗法制影响力较大D.倡导华夷同源的历史观6.据《六国年表》载，秦孝公二十二年，封商鞅为列侯，以封地称商君。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．5B．156．已知A，B是曲线||x-最大值与最小值的比值是（A．5B．3-7．在平行六面体ABCD ABD=（∠= ，则1DAB60二、多选题9．直线()12:0,:00,l ax y b l bx y a ab a b --=-+=≠≠，下列图象中正确的是（）A ．B ．C ．D ．10．（多选题）两条平行直线l 1，l 2分别过点P (-1，3)，Q (2，-1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离可能取值为（）A ．1B ．3C ．5D ．711．下列结论正确的是（）A ．若向量,,a b c是空间一组基底，则,,23-+- a b a c c b 也是空间的一组基底B ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l αC ．若()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--，则点P 在平面ABC 内D ．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量,(,λμλμ=+∈ n a b R 且,0λμ≠），则//m nu r r12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）三、填空题四、解答题17．已知点()2,1A -，()2,3B ，()1,3C --：(1)若BC 中点为D ，求过点A 与D 的直线方程；(2)求过点B 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程．18．已知ABC 的顶点()4,1A ，AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，角B 的平分线所在直线方程为50x y --=(1)求点B 坐标；(2)求BC 边所在直线方程.19．已知圆C 经过()2,3-，()4,3，()1,0三点.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点()7,6B ，且点M 满足2AM MB =，记点M 的轨迹为Γ，求Γ的方程.20．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P ABCDE -中，PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H ．(1)求直线BC 与平面ABF 所成角的大小；(2)求线段PH 的长．21．直线l 过点()3,2P 且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．(1)若直线l 与直线2320x y +-=垂直，求直线l 的方程；(2)如图，若2AP PB =，过点P 作平行于x 轴的直线交y 轴于点M ，动点E 、F 分别在线段MP 和OA 上，若直线EF 平分直角梯形OAPM 的面积，求证：直线EF 必过一定点，并求出该定点坐标．22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC AA ==，D 为11A B 的中点，G 为1AA 的中点，E 为1C D 的中点，3BF AF =，点P 为线段1BC 上的动点（不包括线段1BC 的端点）．（1）若//EP 平面CFG ，请确定点P 的位置；（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（A ．292二、多选题9．设m 为实数，若方程A ．0m >B ．该圆必过定点C ．若直线x y -+D ．当1m =-时，该圆上的点到直线10．已知抛物线C ：点，点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上A ．1p =B ．当AB y ⊥轴时，C ．11AF BF+为定值D ．若2AF FB =11．已知数列{}n a 满足则下列结论正确的是（A ．数列{}n a 为等差数列C ．数列{(1)nn a -12．已知1F ，2F 分别为椭圆轴上），12PF F △外接圆的圆心为四、解答题17．已知圆22:20M x y x +-=与圆22:80N x y x a +-+=外切.(1)求实数a 的值；(2)若直线20x y --=与圆M 交于A ，B 两点，求弦AB 的长.18．已知12a =，若()1+=-n n n a n a a .(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设3nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)证明：//PB 平面AEC ；(2)若2AB AD ==，4AP =，求平面20．已知抛物线2:2(C y px =为(3,2)M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)记抛物线C 上一点(2,),P m 21．已知数列{}n a 的首项1a =(1)求证：数列{}1n a -为等比数列；(2)记13n n n n b a a +=⋅，求数列{b 22．已知椭圆C 的方程为22x a 右焦点，过1F 作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于(1)求椭圆C 的方程；(2)过B 作x 轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案解析
哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.23.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.294.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A .27B.0C.716-D.916-8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b ，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为3511.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax xx f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．14.已知ABC的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.19.已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABCBC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．21.已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】先求出复数z ，得到z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】因为复数z 满足i 2i z =+，所以2i12i iz +==-，所以z 的共轭复数12i z =+.其虚部为：2.故选：D3.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.29【答案】D 【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【详解】解：2642=10a a a +=，所以45a =，又59a =，所以544d a a =-=，所以510592029a d a +=+==，故选：D 4.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】26k πθπ=+，Z k ∈时，1sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，526k πθπ=+，Z k ∈时，551sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的充分而不必要条件，故选:A .5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln 2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-【答案】C 【解析】【分析】选项A ，由sin ||sin |2|33πππ-≠-+可判断；选项B ，代入2x =，可判断；选项C ，结合定义域和()()f x f x -=-，可判断；选项D ，由1ab=-得0a b +=且0b ≠，可判断【详解】由于353sin ||,sin |2|sin()32332ππππ-=-+==-，所以函数sin ||y x =的周期不是2π，故选项A 是假命题；当2x =时22x x =，故选项B 是假命题；函数2()ln 2x f x x+=-的定义域(2,2)-关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题；由1a b =-得0a b +=且0b ≠，所以“0a b +=”的必要不充分条件是“1ab=-”，故选项D 是假命题故选：C6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.【答案】C 【解析】【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：0,0,lg a b >>Q 是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知a b k αβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0m nm n a b+>，为常数)的最小值时常用()1m n m n a b a b k a b αβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知k a bαβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0ma nb m n +>，为常数)的最小值时也可以用同样的方法.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A.27B.0C.716-D.916-【答案】D 【解析】【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A ，B ，C 的坐标，再设出点M 的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.【详解】解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可知，()0,4A ，()3,0C ，3,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0M t ，其中[]3,3t ∈-，则3,22MD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0MC t =- ，故()22399993222416MD MC t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以当94t =时，MD MC ⋅ 有最小值916-.故选：D.8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染,则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=- ，∵0R 3=，∴当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ，由563243,3729==，故得6n ≈，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-【答案】AB 【解析】【分析】推导出1113()22n n a a ++=+，11322a +=，从而数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解： 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，*n ∈N ，131n n a a +∴=+，1113(22n n a a +∴+=+， 11322a +=，∴数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，故A 正确；113133222n n n a -+=⨯=⨯，∴11322n n a =⨯-，故B 正确；数列{}n a 是递增数列，故C 错误；数列1{}2n a +的前n 项和为：13(13)3132(31)313444n n n n S +-'==-=⨯--，{}n a ∴的前n 项和1111332424n n n S S n n +'=-=⨯--，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为35【答案】BD 【解析】【分析】利用向量的数量积的定义得到角C 为钝角，从而否定A ；利用向量的和、差的模的平方的关系求得26a b -= ，进而判定B ；注意到a 与a b λ+ 同向的情况，可以否定C ；延长AO 交BC 于D ,∵,AO OD共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到58BD BC = ,进而35CD DB =，然后得到35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，利用分比定理得到35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，从而判定D.【详解】0a b ⋅>即0BC CA ⋅> ,∴0CB CA ⋅<,∴C 为钝角，故A 错误；2222222810a b a b a b -++=+=+= ，2224a b +== ，21046a b -=-=，a b -=B 正确；(1,2)a b λλλ+=++r r，当0λ=时，a 与a b λ+ 同向，夹角不是锐角，故C 错误；∵2350OA OB OC ++=，∴3522AO OB OC =+ ，延长AO 交BC 于D ,如图所示.∵,AO OD共线，∴存在实数k ，3522k k OD k AO OB OC ==+ ，∵,,D B C 共线，∴35122k k +=,∴14k =,∴3588OD OB OC =+ ，∴555888BD OD OB OB OC BC =-=-+= ，∴35CD DB =.∴35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，∴35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】将0x =代入()f x 求出函数值，根据ϕ的范围即可判断选项A ；根据偶函数的性质即可判断选项B ；根据()f x 在[],a b 上单调，则2Tb a ≥-即可判断选项C ；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D.【详解】对于选项A ，若()0f =，则2cos ϕ=3cos 2ϕ=，∵[]0,πϕ∈，∴π6ϕ=，则A错误；对于选项B ，若函数()y f x =为偶函数，则0ϕ=或πϕ=，即2cos 1ϕ=，则B 正确；对于选项C ：若()f x 在[],a b 上单调，则π2T b a ω-≤=，但不一定小于π2ω，则C 错误；对于选项D ：若2ϕπ=，则()2sin f x x ω=-，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，∴ππ32ππ42ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则D 正确．故选：BD ．12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax x x f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据()0f x ≥，得到1a ≥，画出函数图象，可得单调区间；B 选项，结合函数图象得到方程()f x m =的根的个数；C 选项，分[0,6π)x ∈和[]6π,7πx ∈两种情况，得到00tan x x =或0001cos sin x x x -=；D 选项，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，分M 为切点和不是切点，结合函数图象可得过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线.【详解】A 选项，因为函数()0f x ≥，[6π,7π]x ∈时，由于1cos 0x -≥恒成立，故3π(1cos )y a x =-要想恒正，则要满足0a ≥，[0,6π]x ∈时，sin 0y ax x =-≥恒成立，cos y a x '=-，当1a ≥时，cos 0y a x '=-≥在[)0,6π恒成立，故sin y ax x =-在[)0,6π单调递增，又当0x =时，0y =，故sin 0y ax x =-≥在[)0,6π上恒成立，满足要求，当01a <<时，令cos 0y a x '=-=，故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos a x =，当()00,x x ∈时，0'<y ，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，故sin y ax x =-在()00,x x ∈上单调递减，又当0x =时，0y =，故()00,x x ∈时，sin 0y ax x =-<，不合题意，舍去，综上：1a ≥，当6πx →时，sin 6πy ax x a =-→，(6)3π[1cos(6π)]0f a π=-=，且(7π)3π[1cos(7π)]6πf a a =-=，画出函数图象如下，故()f x 的单调递增区间为(0,6π),(6π,7π)，A 错误；B 选项，可以看出方程()f x m =最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B 错误；C 选项，当[)0,6πx ∈时，()cos f x a x '=-，则()00cos f x a x '=-，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()0000sin cos y ax x a x x x --=--，将()0,0代入切线方程得()()0000sin cos ax x x a x --=--，解得00tan x x =，当[]6π,7πx ∈时，()3πsin f x a x '=，则()003πsin f x a x '=，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()0003π1cos 3πsin y a x a x x x --=-⎡⎤⎣⎦，将()0,0代入切线方程得，0001cos sin x x x -=，其中06πx =满足上式，不满足00tan x x =，故C 错误；D 选项，当[)0,6πx ∈时，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，()cos f x a x '=-，当切点为()111,sin M x ax x -，则()11cos f x a x '=-，故切线方程为()()()1111sin cos y ax x a x x x --=--，此时有一条切线，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()222,sin N x ax x -，则()22cos f x a x '=-，此时有()2211221sin sin cos ax x ax x a x x x ---=--，即12212sin sin cos x x x x x -=-，其中1212sin sin x x t x x -=-表示直线MN 的斜率，画出cos ,[0,6π)y x x =∈与y t =的图象，最多有6个交点，故可作6条切线，[]6π,7πx ∈时，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()()22,3π1cos N x a x -，则()3πsin f x a x '=，()223πsin f x a x '=，()7π3πsin 7π0f a '==，()6π3πsin 6π0f a '==，13π13π3πsin 3π22f a a ⎛⎫⎪==⎭'⎝，结合图象可得，存在一个点()()22,3π1cos N x a x -，使得过点()()22,3π1cos N x a x -的切线过[)0,6πx ∈上时函数的一点，故可得一条切线，当M 点在[]6π,7πx ∈时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过()f x 图象上任何一点，最多可作函数f(x)的8条切线，D 正确.故选：ABC【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2)已知斜率k 求切点()()11,A x f x ,即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点,设出切点()()00,A x f x ,利用()()()10010f x f x k f x x x -=='-求解.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1nn n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14.已知ABC 的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；【答案】2【解析】【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A ==3A π∠=，所以解得4bc =由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯= 【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题．15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】19-【解析】【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．【答案】21223n +-【解析】【分析】设n A 中有n c 项为0，其中1和1-的项数相同都为n b ，由已知条件可得()111222n n n b c n ---+=≥①，()112n n n b b c n --=+≥②，进而可得()1122n n n b b n --+=≥③，再结合12n n n b b ++=④可得()11122n n n b b n -+--=≥，分别研究n 为奇数与n 为偶数时{}n b 的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.【详解】因为()11,1A =-，依题意得，()21,0,0,1A =-，()31,0,1,1,1,1,0,1A =---，显然，1A 中有2项，其中1项为1-，1项为1，2A 中有4项，其中1项为1-，1项为1，2项为0，3A 中有8项，其中3项为1-，3项为1，2项为0，由此可得n A 中共有2n 项，其中1和1-的项数相同，设n A 中有n c 项为0，所以22nn n b c +=，11b =，从而()111222n n n b c n ---+=≥①，因为()f A 表示把A 中每个1-都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，则()112n n n b b c n --=+≥②，①+②得，()1122n n n b b n --+=≥③，所以12nn n b b ++=④，④-③得，()11122n n n b b n -+--=≥，所以当n 为奇数且3n ≥时，()()()324122411222122211143n n n n n n n n n b b b b b b b b ------+=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++=+=-，经检验1n =时符合，所以213n n b +=（n为奇数），当n 为偶数时，则n 1-为奇数，又因为()1122n n n b b n --+=≥，所以111121212233n n n n n n b b ----+-=-=-=，所以2+1,321,3n n n n b n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，+112121233n n nn n b b ++-+=+=，所以{}n b 的前2n 项和为21211352112345621222422()()()()2+2+2++2143n n n n n b b b b b b b b -+---⨯-++++++++===- .故答案为：21223n +-.【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）取PC 的中点M ，根据题意证得//AE MF 且AE MF =，得到四边形AEMF 为平行四边形，从而得到//AE ME ，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量31(,,1)22PB =-和平面PAD的一个法向量n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 的中点M ，连接,MF EM ，在PCD 中，因为,M F 分别为,PC PD 的中点，可得//MF CD 且12MF CD =，又因为E 为AB 的中点，所以//AE CD 且12AE CD =，所以//AE MF 且AE MF =，所以四边形AEMF 为平行四边形，所以//AE ME ，因为ME ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以//AF 平面PCE .【小问2详解】解：因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，连接BD ，可得ABD △为等边三角形，又因为E 为AB 的中点，所以DE AB ⊥，则DE DC ⊥，又由PD⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以,,DE DC DP 所在的直线分别为,x y 和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，1PD AD ==，可得3131(0,0,0),(,,0),(,,0),(0,0,1)2222D A B P -，则3131(,,1),(,,0),(0,0,1)2222PB DA DP =-=-= ，设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z = ，则310220n DA x y nDP z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取x =，可得3,0y z ==，所以n =，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，则6sin cos ,4n PB n PB n PB θ⋅=== ，所以直线PB与平面PAD 所成角的正弦值为6 4.19.已知数列{}n a满足11a=，且()1111n na an n n n+-=++．（1）求{}n a的通项公式；（2）若数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S，且312nnS-=，求数列{}n b的前n项和n T．【答案】（1）21na n=-（2）1133n nnT-+=-【解析】【分析】（1）利用累加法求出nan，进而得na；（2）求得1213n nnb--=，利用错位相减法可求出答案.【小问1详解】因为()1111111n na an n n n n n+-==-+++，所以11221111221n n n n na a a a a a a an n n n n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111121212n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21na n=-．【小问2详解】因为312n n S -=，所以当1n =时，1111a S b ==，得11b =；当2n ≥时，1113131322n n n n n n n a S S b -----=-=-=，所以1213n n n b --=（1n =时也成立）．因为0121135213333n n n T --=++++ ，所以12311352133333n n n T -=++++ ，所以1012111121222212133121333333313n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⨯-- 112122112333n n n n n --+=+--=-，故1133n n n T -+=-．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅= ；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．【答案】（1）2π3B =（2）[)8,12【解析】【分析】（1）选①时：利用面积和数量积公式代入化简即可；选②时：利用正弦定理代入，结合余弦定理得到；选③时：正弦定理进行边角转换，结合角度的范围即可确定角B .（2）结合（1）的角度，和边的大小，用余弦定理进行代换，结合基本不等式即可得到最终范围.【小问1详解】选①，由2ABC BC S ⋅=可得：1cos2sin sin2B ac B ac B=⋅=，故有sintancosBBB==又∵()0,πB∈，∴2π3B=；选②，∵()()()sin sin sin sin sin sin sinB A B AC C A+-=+，由正余弦定理得222c ac b a+=-，∴2221cos22a c bBac+-==-，又()0,πB∈，∴2π3B=；选③，∵()2cos cosc a B b C+=-，由正弦定理可得()sin2sin cos sin cosC A B B C+=-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sinA B B C C B C B A=--=-+=-，∵()0,πA∈，∴sin0A≠，∴1cos2B=-，又()0,πB∈，∴2π3B=．【小问2详解】由余弦定理得2222cos12c a b ac B ac+=+=-∵0ac>，∴2212a c+<．又有222222122c ac a ac c a+=++≤++，当且仅当2a c==时取等号，可得228c a+≥．即22a c+的取值范围是[)8,12．21.已知等差数列{}n a满足212a a=，且1a，32a-，4a成等比数列.（1）求{}n a的通项公式；（2）设{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T.若{}n a的公差为整数，且()111n nnnSbS+-=-，求nT.【答案】（1）25na n=或2na n=（Nn+∈）（2）当n为正偶数时，1nnTn=-+，当n为正奇数时，231nnTn+=-+【解析】【分析】（1）设出公差d，根据已知条件列出相应的等式即可求解.（2）由题意可以先求出{}n b的通项公式，再对n进行讨论即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a的公差为d，∵2112a a a d ==+，∴1a d =，∵1a ，32a -，4a 成等比，∴()21432a a a =-，即()()2111322a a d a d +=+-，得()22432d d =-，解得25d =或2d =，∴当125d a ==时，25n a n =；当12d a ==时，2n a n =；∴25n a n =或2n a n =（N n +∈）.【小问2详解】因为等差数列{}n a 的公差为整数，由（1）得2n a n =，所以()()2212n n n S n n +==+，则()()112n S n n +=++，∴()()()()()()()12121111111111n n n n n n n b n n n n n n n ⎡⎤++-+⎛⎫=-=--=-++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.①当n 为偶数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++--+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++----+++-+ 1111n =-++1n n =-+.②当n 为奇数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++-+++----+ 1111111n n n =-+---+231n n +=-+.所以当n 为正偶数时，1n n T n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+.22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()m f x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【答案】（1）递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间；（2）转化为1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,x ∈+∞上恒成立，令()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，分0m ≥和0m <两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出m 的取值范围；（3）在（2）基础上得到12ln x x x <-，赋值得到211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，利用累加法得到结论.【小问1详解】当3m =-时，()ln 3,0f x x x x =->，则()1133x f x x x -'=-=，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >，所以()f x 的单调递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()m f x x <，得1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，设()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，当()1,x ∈+∞时，1ln 0,0x x x >->，所以当0m ≥时，()0g x >，不符合题意．当0m <时，()2111g x m x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭22mx x m x ++=，设()()2,1,h x mx x m x =++∈+∞，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为12x m =-0>，当112m ->，即102m -<<时，因为()1210h m =+>，所以当11,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x >，即()0g x '>，此时()g x 单调递增，所以()()10g x g >=，不符合题意．当1012m <-≤，即12m ≤-时，()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h m <=+≤，所以()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=，符合题意．综上所述，m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【小问3详解】由（2）可得当1x >时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12ln x x x <-，令*1,n x n n +=∈N ，则211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，所以22223351212ln ,2ln ,,2ln 111222n n n n n++<<⋅⋅⋅<+++，以上各式相加得22223135212ln ln ln 121122n n n n n++⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，即22223135212ln 121122n n n n n ++⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，所以()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。
哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题-含答案
哈尔滨市第九中学2020--2021学年度.上学期期末学业阶段性评价考试高二学年数学学科(理)试卷(考试时间:120分钟满分:150分共2页第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是A.x -y+3=0B.x+y+1=0C.x -y -1=0D.x+y -3=02.双曲线221169y x -=的虚半轴长是 A.3 B.4 C.6 D.83.直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2 .C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,x y +≤若将军从点A(4,-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为A.8B.7C.6D.55.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,满足|AB|=6,则线段AB 的中点的横坐标为A.2B.4C.5D.66.直线kx -y+2k+1=0与x+2y -4=0的交点在第四象限,则k 的取值范围为A.(-6,-2) 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 11.(,)62D -- 7.设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点,点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF ︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A .B .C .D 8.已知点A(-2,3)在抛物线C 2:2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 9.已知点(x,y)满足:221,,0x y x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1,1] .C .D10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为32.15A 34.15B 17.5C 19.5D 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF=α,且[,]64ππα∈则该椭圆的离心率e 的取值范围是.A .1]B .C .D12.如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于1.2A B.1.C.D 第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为___.14.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为___. 15.椭圆221123x y +=的焦点分别是12,F F 点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的___倍.16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且A,B 两点在准线上的射影分别为M,N ，,,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ∆∆∆==则λμ=___. 三､解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y -2=0上,③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(-1,2),B(6,3)且___;(1)求圆E 的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(本题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>,焦点为F,准线为1,抛物线C 上一点M 的横坐标为3,且点M 到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)设过点P(6,0)的直线'l 与抛物线交于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过点F,求直线'l 的方程.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2acosθ(a>0),且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)设A,B 为曲线C.上的两点,且,3AOB π∠=求|OA|+|OB|的最大值.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2:4cos .C ρθ=(1)求曲线2C 的直角坐标方程;(2)若点A(1,0),且1C 和2C 的交点分别为点M,N,求11||||AM AN +的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(F F 且过点1).2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为B,过点(-2,-1)作直线交椭圆于M,N 两点,记直线MB,NB 的斜率分别为,,MB NB k k 试判断MB NB k k +是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.22.(本题满分12分)已知点F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F 的直线l 交椭圆于M,N 两点,当直线l 过C 的下顶点时,l当直线l垂直于C的长轴时,△OMN的面积为3 . 2(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|MF|=2|FN|时,求直线l的方程;(3)若直线l上存在点P满足|PM|,|PF|,|PN|成等比数列,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上.。
2024—2025学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期中考试数学试卷
2024—2025学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 下列函数中，函数的图象关于y轴对称是（）A．B．C．D．(★) 3. 若命题“，”为假命题，则a的范围是（）A．B．C．D．(★★) 4. 若，，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知函数的对称中心为点A，且点A在函数图象上，则的最小值为（）A． 4B．C．D．(★★★) 6. 若函数在上单调递增，则取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在R上定义的函数是奇函数，且，若在区间上是减函数，则关于下列说法正确的是（）A．在区间上是增函数，在区间上是增函数B．在区间上是增函数，在区间上是减函数C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．在区间上是减函数，在区间上是减函数(★★) 8. “相约哈尔滨，逐梦亚冬会”．哈尔滨地铁3号线预计年底全线载客运营，届时，哈尔滨地铁1号线2号线3号线将形成“十字+环线”地铁线网，将为哈尔滨2025年第九届亚冬会的举办提供有力交通保障.通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，则当发车时间间隔为时，列车的载客量为（）A． 410B． 420C． 450D． 480二、多选题(★★) 9. 下列有关不等式的说法正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★★★) 10. 已知，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（）A．B．若，C．若，则D．，，使得三、填空题(★) 12. 已知集合，，且，则 ______ ．(★★) 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ________ ．(★★★) 14. 设函数，则 ________ ，不等式的解集为 ________ ．四、解答题(★★) 15. 计算下列各式的值：(1) ；(2)(3)(★★★) 16. 已知幂函数是奇函数，且在上单调递增．(1)求函数的解析式；(2)若，求x的取值范围；(3)若实数，满足，求的最小值．(★★★) 17. 已知函数(1)若，，求在上的最小值；(2)若函数在区间上的最大值为9，最小值为1，求实数a、b的值．(★★★) 18. 已知函数（，且）(1)用定义证明：在区间上单调递减；(2)若函数在上的值域恰为函数定义域，求的值域；(3)函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，求b的取值范围．(★★★★) 19. 已知函数．(1)当，时，求满足的x的值；(2)若函数是定义在上的奇函数.①存在，使得不等式有解，求实数k的取值范围；②令，对于定义域内的，，，若且，求的最大值．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题理含解析
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．命题“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，C．∃x0∈R，D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞02．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜2）＝0.8，则P（0＜ξ＜1）的值为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.63．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则常数c为（）X0 1P9c2﹣c 3﹣8cA．B．C．或D．4．每年新春佳节时，我国许多地区的人们有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．如图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色部分的面积，将窗花图案放置在边长为20cm的正方形内，在该正方形内随机生成1000个点，恰有535个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为（）A．168cm2B．214cm2C．248cm2D．336cm25．设条件p：a＞0，条件q：a2+a＞0；那么p就是q的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件6．掷一枚硬币两次，记事件A＝“第一次出现正面”，B＝“第二次出现反面”，下列结论正确的为（）A．P（AB）＝B．P（A∪B）＝P（A）+P（B）C．A与B互斥D．A与B相互独立7．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词搜索指数变化的走势图．据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的搜索指数稳定性小于11月份的搜索指数稳定性，故去年10月份的方差小于11月份的方差8．二项式（x2﹣）5展开式中，x4的系数是（）A．﹣40 B．10 C．40 D．﹣109．某工厂对一批新研发产品的长度（单位：mm）进行测量，将所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，据此图估计这批产品长度的中位数是（）A．23.25mm B．22.50mm C．21.75mm D．21.25mm10．若函数f（x）＝lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，1]11．育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种12．已知函数f（x）＝e x﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（）A．a＞eB．x1+x2＞2C．x1x2＞1D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知直线1l 过点()2,5A 且与直线2:240l x y +-=平行，则直线1l 的一般式方程为（）A ．290x y ++=B ．290x y +-=C ．290x y ++=D ．290x y +-=2．“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -+-=垂直”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知1F ，2F 为椭圆2211612x y+=的两个焦点，P 为椭圆上一点，2135PF PF =，则12PF F 的面积为（）A ．152B ．6C ．8D ．4．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则()()1AB AD AD AA +⋅+=（）A ．2-B ．1-C ．0D ．15．已知点F ，A 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点、右顶点，()0,B b 满足0FB AB ⋅= ，则椭圆的离心率等于（）A ．12B ．12C ．12-D ．126．已知(4,4)P --，Q 是椭圆22216x y +=上的动点，M 是线段PQ 上的点，且满足13PM MQ =，则动点M 的轨迹方程是A ．22(3)2(3)1x y -+-=B ．22(3)2(3)1x y +++=C ．22(1)2(1)9x y +++=D ．22(1)2(1)9x y -+-=7．已知平面α的一个法向量为()2,2,1n =-，点M 在α外，点N 在α内，且()1,4,3MN =-- ，则点M 到平面α的距离d =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．若圆()2221:(1)(2)0C x y r r ++-=>上恰有2个点到直线:43100l x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．()5,+∞C ．()3,5D ．[]3,5二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．若直线l 的方向向量为()2,4,2m =- ，平面α的一个法向量为()1,2,1n =--，则l α⊥B ．若空间中任意一点O ，有111362OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面C ．若空间向量a ，b 满足0a b ⋅<，则a 与b 夹角为钝角D ．若空间向量()1,0,1= a ，()0,1,1b =- ，则a在b 上的投影向量为110,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知直线:10l kx y -+=和圆22:(1)(2)4M x y -+-=，则下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过点()0,1-B ．圆M 与圆22:1C x y +=公共弦所在直线方程为210x y +-=C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为D ．当1k =时，圆M 上存在无数对关于直线l 对称的点11．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,2F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则下列说法正确的有（）A ．椭圆的长轴长为B ．线段AB 长度的取值范围是4,2+⎡⎣C ．ABF △面积的最小值是4D ．AFG 的周长为4+三、填空题12．已知椭圆22214x y a +=（0a >）的一个焦点是（0），则椭圆的长轴长是.13．已知点()()1,0,0,3A B -，点P 是圆222(3)5x y -+=上任意一点，则P 到直线AB 距离的最小值为.14．关于x 23kx k =-+有实数解，则实数k 的取值范围是.四、解答题15．已知直线:10l x y -+=和圆22:2440C x y x y +-+-=．(1)若直线l 交圆C 于A ，B 两点，求弦AB 的长；(2)求过点()41-,且与圆C 相切的直线方程．16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>长轴长为4，且椭圆C 其左右焦点分别为12,F F ．(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率为2F 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，求1F PQ 的面积．17．如图，在以P的圆锥中，底面圆O 的直径AB 长为2，C 是圆O 所在平面内一点，且AC 是圆O 的切线，连接BC 交圆O 于点D ，连接,PD PC .(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若E 是PC 的中点，连接,OE ED ，当120BOD ∠=︒时，求平面PAC 与平面DOE 夹角的余弦值.18．如图，已知椭圆G22+22=1>>0过点()3,1P ，焦距为，斜率为13-的直线l与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.(1)求椭圆C 的方程；(2)求MN 中点E 的轨迹方程；(3)记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明：12k k 为定值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面,//ABCD AB CD ，且2CD =，1,1,,,===⊥AB BC PA AB BC E F 分别为,PD BC 的中点.(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是13若存在，求出DMDP的值，若不存任，说明理由；(3)在平面PBC 内是否存在点H ，满足0HD HA ⋅=，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H 的轨迹图形形状.。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二下学期期中考试理科数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二下学期期中考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．由曲线1y x=，直线1x =，3x =和x 轴所围成平面图形的面积为（ ） A ．13B ．ln 3C ．1D ．3ln 33．以下说法中正确的是（ ） ①x R ∀∈，210x x -+>；②若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题； ③2,0x R x ∀∈>的否定是0x R ∃∈，使200x ≤； ④“若x y >，则22x y >”的逆否命题为真命题. A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④4．函数3()1216f x x x =--的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数()f x ，()g x 满足()()21f x xg x x +=-，且()11f =，则()()11f g ''+=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数2()2ln ||f x x x =-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．)222x dx -=⎰（ ）A ．2πB ．8C ．1623π+ D ．1623π+8．已知函数()e 1x f x x-=，则（ ）A ．()f x 在()0,∞+上为增函数B ．()f x 在()0,∞+上为减函数C ．()f x 在()0,∞+上有极大值D ．()f x 在()0,∞+上有极小值9．若函数()21ln 2f x x x ax =-定义域上单调递减，则实数a 的最小值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．210．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是A ．()1,2B ．()2,+∞C．(D．)211．已知函数()2ln f x a x x=-，在区间()0,3内任取两个实数12,x x ，且12x x ≠，若不等式()()1221111f x f x x x +-+<-恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．92-B ．2-C．-D ．113-12．已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >都成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．2e - B ．e -C ．e 2-D ．1e-二、填空题13．已知命题p :“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，则实数m 的最大值是____. 14．曲线()ln f x x x =在点(,())e f e 处的切线方程为__________________.15．已知函数()3sin f x x x x =+-则满足不等式()()2120f m f m-+≤成立的实数m 的取值范围是_____．16．已知函数()2xxf x e e -=+，()g x x a =-，若关于x 的不等式()()f x g x ≥在R上恒成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题17．已知函数()ln 22f x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =的斜率等于1的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．18．已知函数()ln 2f x x x ax =-+（a 为实数）（1）若2a =，求()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦的最值；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 19．已知函数22()ln (0)f x x ax a x a =+-≥. （1）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； （2）求函数()y f x =的单调区间. 20．已知函数()cos f x x x =⋅.（1）当0()x π∈，时，求证：()sin f x x <；（2）求证：当(0)2x π∈，时，方程2()10f x -=有且仅有2个实数根.21．已知函数()2xxf x e beax -=--，其中e 是自然对数的底数．（1）若0b =，2ea =，证明：()0f x ≥， （2）若1b =时，()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知函数()()122ln x e f x a x a R x x -⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在()0,2上有两个极值点1x 、()212x x x <． ①求实数a 的取值范围； ②求证：121x x <．参考答案1．A 【分析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A. 2．B 【分析】利用定积分表示平面图形的面积，再利用微积分基本定理进行计算，即得结果. 【详解】依题意，由曲线1y x=，直线1x =，3x =和x 轴所围成平面图形的面积为： ()33111ln ln3ln1ln3S dx x x ===-=⎰.故选：B. 3．B 【分析】利用配方法可判断①；根据真值表可判断②；根据含有一个量词的命题的否定可判断③；根据互为逆否命题的两个命题同真同假可判断④. 【详解】对①，因为221331()0244x x x -+=-+≥>，故①正确； 对②，因为p q ∨为真命题，根据真值表可知，p ,q 至少有一个为真命题，当p ,q 中有一个为假时，p q ∧为假命题，故②错误；对③，2,0x R x ∀∈>的否定是200,0x R x ∃∈≤，故③正确；对④，取1x =，2y =-，此时x y >，但22x y <，所以原命题为假命题，则其逆否命题也为假命题,故④错误.故选：B 4．C 【分析】求出函数的单调区间得到函数的极值，即得解. 【详解】由题得2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '>得2x >或2x <-，令()0f x '<得22x -<<， 所以函数的单调递增区间为(,2),(2,)-∞-+∞，减区间为(2,2)-. 所以函数的极大值为(2)0f -=，极小值为(2)32f =-， 当x →-∞时，0,y <当x →+∞时，0,y > 所以函数的零点个数为2. 故选：C 【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的性质画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法“（令()=0f x 重新构造函数()()g x h x =，画出两个函数的图象得解）” 5．C 【分析】通过赋值1x =，求()1g ，再等式两边求导后，赋值1x =，求()()11f g ''+. 【详解】当1x =时，()()110f g +=，()11f =，得()11g =-，原式两边求导，得()()()2f x g x xg x x +''+=，当1x =时，()()()1112f g g ''++=，得()()()()1121213f g g ''+=-=--=. 故选：C 6．A 【分析】根据奇偶性的定义，结合函数极限以及利用导数求得函数单调性，即可判断和选择. 【详解】容易得()f x 定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称， 又2()2ln ||()f x x x f x =-=-，故函数()f x 是偶函数，()f x ∴的图象关于y 轴对称，故排除B ， 又lim ()x f x →→+∞，故排除D.当0x >时，()14f x x x ='-，令 ()0f x '=，解得12x =； 故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.此时111ln 0222f ⎛⎫=->⎪⎝⎭ 故排除C. 故选：A . 【点睛】本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性、单调性的判断，属综合基础题. 7．D 【分析】化简定积分)2222222x dx x dx ---=+⎰⎰⎰，根据定积分的几何意义，求得22π-=⎰和又由222163x dx -=⎰，即可求解. 【详解】由)2222222x dx x dx ---=+⎰⎰⎰，根据定积分的几何意义，可得2-⎰表示以原点为圆心，半径为2的上半圆的面积，所以221222ππ-=⨯=⎰，又由223233221116|[2(2)]333x dx x --==--=⎰，所以)222x dx -=⎰1623π+.故选：D. 8．A 【分析】求导后，令()1x x g x xe e =-+，需要再次求导，从而求得()'f x 的正负，来判断原函数的单调性及极值情况. 【详解】21()x x xe e f x x-+'=，(0)x ≠，令()1x x g x xe e =-+，则()x g x xe '=， 因此在(,0)-∞上，()0g x '<，()g x 单减；在(0,)+∞上，()0g x '>，()g x 单增； 又(0)0g =，因此()(0)0g x g >=，即()0f x '>， 故在(,0)-∞及(0,)+∞上，()f x 单增，()f x 无极值， 故选：A 【点睛】关键点点睛：求导后，需要对导数再次求导，从而求得原函数的单调性及极值情况. 9．C 【分析】根据单调性可得()ln 10f x x ax '=+-≤在(0,)+∞上恒成立，即ln 1x a x+≥，构造ln 1()x g x x+=，求导数分析单调性求最大值即可得解. 【详解】由函数()21ln 2f x x x ax =-定义域上单调递减， 得()ln 10f x x ax '=+-≤在(0,)+∞上恒成立，即ln 1x a x+≥， 令ln 1()x g x x+=，221(ln 1)ln ()x xg x x x -+-'==， 在(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增；在(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以max ()(1)1g x g ==， 所以1a ≥. 故选：C. 10．D 【详解】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,a <2，故答案为点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解 11．C 【分析】由已知不等式得新函数(1)f x +的切线的斜率均大于1-，求出(1)f x +的导数，由不等式恒成立求解． 【详解】因为在区间()0,3内任取两个实数12,x x ，且12x x ≠，若不等式()()1221111f x f x x x +-+<-恒成立，即在区间()0,3内任取两个实数12,x x ，且12x x ≠，若不等式()()1212111(1)(1)f x f x x x +-+>-+-+恒成立，它表示函数y =(1)f x +在(0,3)上任意两点间连线的斜率大于1-，也即()y f x =在(1,4)上任意两点间连线的斜率大于1-．所以22()1a f x x x '=+≥-在(1,4)x ∈恒成立， 变形得2≥--a x x 2()x x=-+，(1,4)x ∈时，2x x+≥2()x x -+≤-x =所以a ≥-a的最小值为-． 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键掌握斜率与导数的关系．12x x ≠时，1212()()f x f x x x --表示()f x 图象上两点1122(,()),(,())P x f x Q x f x 连线的斜率，而当2x 无限趋近于1x （21x x →）时，1212()()f x f x x x --无限趋近于函数()f x 在P 点处切线的斜率，即1()f x '． 12．B 【分析】把不等式变形为ln ln ax a x xe x e --≥⋅，设()(1)xf x xe x =>，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立，转化为()(ln )af x f x -≥对任意1x >恒成立，根据函数的单调性，得出ln a x x -≥对任意1x >恒成立，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由题意，不等式变形为(ln )x a xe x a x -≥- ，即ln ln ax a x xe x e --≥⋅，设()(1)xf x xe x =>，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立，等价于()(ln )af x f x -≥对任意1x >恒成立，又由()(1)0xf x x e '=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增，所以ln a x x -≥，即ln x a x ≥-对任意1x >恒成立， 所以()ln x a x -≤恒成立，即min ()ln x a x-≤， 令()ln xg x x=，则()2ln 1,(1)(ln )x g x x x -'=>， 当1x e <<时，()()0,g x g x '<在()1,e 上单调递减； 当x e >时，()()0,g x g x '>在()1,e 上单调递增，所以当x e =时，()g x 取得最小值()g e e =，所以a e -≤，即a e ≥-， 所以a 的最小值是e -. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 13． 【分析】根据任意性的定义，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】当3x ≥时，26215x x ≥⇒-≥，因为“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，所以5m ≤. 故答案为：5 14．2y x e =- 【分析】根据导数的几何意义，求得切线的斜率k ，再求得()f e ，可得切点的坐标，代入公式，即可求得切线方程. 【详解】由题意得()11ln 1ln f x x x x x'=⋅+⋅=+， 所以在点(,())e f e 处切线的斜率()1ln 2k f e e '==+=， 又()ln f e e e e ==，即切点为(,)e e ，所以切线方程为2()y e x e -=-，整理可得2y x e =-. 故答案为：2y x e =- 15．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用导数判断函数()f x 为增函数，利用奇偶性的定义判断()f x 为奇函数，从而可将()()2120f m f m -+≤，转化为212m m -≤-，利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由()3sin f x x x x =+-，得()2'31cos 0f x x x =+-≥，∴函数()f x 为增函数，又()()()()()33sin sin f x x x x x x x f x -=----=-+-=-，∴()f x 为奇函数．由()()2120f m f m -+≤，得()()212f m f m -≤-即212m m -≤-，∴2210m m +-≤．解得112m -≤≤． 故答案为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用与利用导数研究函数的单调，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往先确定所给区间上的单调性，根据奇偶性转化为函数值的不等关系，然后再根据单调性列不等式求解. 16．[)3ln 2,-++∞ 【分析】首先不等式转化为2x x a x e e -≥--恒成立，利用导数求()2xxh x x e e -=--，即可求得结果. 【详解】由条件可知，2x x e e x a -+≥-恒成立，即2x x a x e e -≥--恒成立， 即()max2x xa x e e-≥--，设()2xxh x x e e -=--，()12xxh x e e -'=-+，设()12xxm x e e -=-+，()20x x m x e e -'=--<，()m x ∴单调递减，令()120xxm x e e-=-+=，设0x e t =>，即()2020m x t t =⇒--=，解得：2t =，即()0h t '=，得2t =，当02t <<时，()0h t '>，()h t 单调递增， 当2t >时，()0h t '<，()h t 单调递减，所以当2t =时，即ln 2x =时，函数()h x 取得最大值，()ln2ln22ln22ln23h e e -=--=-所以3ln 2a ≥-+. 故答案为：[)3ln 2,-++∞ 【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围. 17．（1）1y x =-；（2）极小值ln 21-，无极大值． 【分析】（1）首先求函数的导数，根据()01f x '=，求切点坐标，再求切线方程；（2）根据极值的定义，利用导数求极值. 【详解】（1）设切点为()00,x y ，因为()12f x x=-+'， 所以0121x -+=，01x =，0ln1220y =-+-=， 所以切线方程l 为()011y x -=⨯-，即1y x =-．（2）()f x 的定义域为()0,∞+． 令()0f x '=即120x-+=，12x =，令()0f x '>，得12x >， 令()0f x '<，得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 存在极小值1ln 212ln 212f ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭， 无极大值． 18．（1）2e -；（2）(],1ln 2-∞+． 【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，再根据最值的定义，求解函数的最值；（2）首先参变分离为2ln x a x +≥恒成立，利用导数求()2ln g x x x=+的最小值，即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()ln 22f x x x x =-+，()ln 1f x x '=- 由()0f x '<得0x e <<﹐由()0f x '>得x e >， 所以()f x 在() 0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，且()e elne 2e 22e f =-+=-()11ln12120f =-⨯+=()2222ln 222f e e e e =-+=则函数()f x 的最小值为2e -，最大值为2．（2）由题得0x >，若()0f x ≥恒成立，则ln 20x ax -+≥， 即2ln x a x+≥恒成立令()2ln g x x x=+，则()22122x g x x x x -'=-=，当02x <<时，()0g x '<； 当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， 则()()min 21ln 2g x g ==+，所以1ln 2a ≤+， 故a 的取值范围为(],1ln 2-∞+．19．（1）1a =（2）答案不唯一，具体见解析 【分析】（1）利用()01f '=，解得1a =，再检验可得答案；（2）求导后，对a 分0a =和0a >讨论，根据()0f x '>可得增区间，()0f x '<可得递减区间. 【详解】（1）函数定义域为(0,)+∞，2221()a x ax f x x-++'=，因为1x =是函数的极值点，所以2(1)120f a a '=+-=，解得12a =-（舍）或1a = 经检验，1a =时，1x =是函数的极值点， 所以1a =.（2）若0a =，1()0f x x'=>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无递减区间； 若0a >，令(21)(1)()0ax ax f x x +-+'=>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a>， 所以函数()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述：0a =，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无递减区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，考查了分类讨论思想，考查了由导数求单调区间，属于基础题.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）令()()sin g x f x x =-利用导数研究函数的单调性，即可得证；（2）设()2()1h x f x =-求出函数的导函数，再令()cos sin x x x x ω=-⋅，利用导数研究函数的单调性，即可得到()h x 的单调性，再利用零点存在性定理证明即可； 【详解】解：(1)令()()sin cos sin g x f x x x x x =-=⋅-，()g x 的定义域为(0)π，，()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-⋅'⋅，当0()x π∈，时，()0g x '<恒成立，∴()g x 在(0)π，上单调递减， ∴当0()x π∈，时，()(0)0g x g <=恒成立， 故当0()x π∈，时，()sin f x x <；(2)设()2()12cos 1h x f x x x =-=⋅-，()h x 的定义域为(0)2π，，()2(cos sin )h x x x x =-⋅'，设()cos sin x x x x ω=-⋅，()x ω的定义域为(0)2π，，()2sin cos x x x x ω=--⋅'，当(0)2x π∈，时，()0x ω'<恒成立，∴()x ω在(0)2π，上单调递减，又(0)10ω=>，()022ππω=-<，∴存在唯一的0(0)2x π∈，使据0()0x ω=， 当00x x <<时()0x ω>，则()2()0h x x ω'=>，∴()h x 在0(0)x ，上单调递增， 当02x x π<<时()0x ω<，则()2()0h x x ω'=<，∴()h x 在0()2x π，上单调递减，∴()h x 在0x x =处取得极大值也是最大值，又(0)10h =-<，()1044h π=->，()102h π=-<，∴()h x 在(0)4π，与()42ππ，上各有一个零点，即当(0)2x π∈，时，方程2()10f x -=有且仅有2个实数根.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 21．（1）证明见解析；（2）(],1-∞． 【分析】（1）由当0b =，2e a =时，求得()xf x e e '=-，得出函数()f x 单调性和最值，即可求解；（2）当1b =时，求得()2xxf x e ea -'=+-，得到()0x xf x e e -''=-≥在[)0,+∞恒成立，且()022f a '=-，分1a ≤和1a >两种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，当0b =，2e a =时，可得()xf x e ex =-，则()x f x e e '=-， 当1x =时，可得()0f x '=；当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 所以()f x 在1x =时取得极小值，也是最小值， 所以()()10f x f ≥=．（2）当1b =时，函数()2xxf x e eax -=--，可得()2x x f x e e a -'=+-，()0x x f x e e -''=-≥在[)0,+∞恒成立，所以()f x '在[)0,+∞上单调递增，()022f a '=-．①当1a ≤时，()()00f x f ''≥≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00f x f ≥=，满足题意． ②当1a >时，因为()f x '在[)0,+∞上单调递增， 所以()()min 0220f x f a ''==-<，存在()0,t ∈+∞，使得当()0,x t ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,t 上单调递减， 所以当()0,x t ∈时，()()00f x f <=，这与()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立矛盾 综上所述，1a ≤，即实数a 的取值(],1-∞． 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．（1）递减区间为()0,2，递增区间为()2,+∞；（2）①1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，②证明见解析． 【分析】 （1）求得()()()()1320x x e x f x x x---'=>，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和单调递减去加； （2）①分析可知()1x g x eax -=-在()0,2上有两个不同的零点，对实数a 的取值进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围； ②1212ln ln x x x x -<-，其中1202x x <<<，由已知条件可得出1212ln ln x x x x -=-1212ln ln x x x x --可证得结论成立.【详解】（1）()()()()1320x x e x f x x x---'=>，令()()10x g x ex x -=->，()11x g x e -'=-，因为0x >，所以当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()0110g x g e ≥=-=，所以当()0,2x ∈时，()0f x '<，当()2,x ∈+∞时，()0f x '<， 因此，()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞；（2）（i ）()()()()1320x x e ax f x x x--'-=>，要使()f x 在()0,2上有两个极值点1x 、2x ， 则()1x g x eax -=-在()0,2上有两个不同的零点，①1a ≤时，由（1）知，()11x x g x e ax e x --=-≥-，令()1x S x ex -=-，故()110x S x e -'=->，所以()S x 在()0,2上为增函数，所以()()00S x S >=，故()0g x >， 故()g x 在()0,2上无零点，舍； ②当a e ≥时，()0,2x ∈，11,x e e e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10x g x e a -'=-<，则()g x 在()0,2上单调递减，故()g x 最多只有一个零点，不合题意，舍去； ③当1a e <<时，()1x g x ea -'=-，当0ln 1x a <<+时，()0g x '<；当ln 12a x +<<时，()0g x '>. 所以，函数()g x 在()0,ln 1a +上单调递减，在()ln 1,2a +上单调递增，所以()()minln 1ln g x g a a a =+=-，即要使()()()100ln 1ln 0220g e g a a a g e a ⎧=>⎪⎪+=-<⎨⎪=->⎪⎩，解得12ea <<.综上所述，a 的取值范围为1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（ii ）由（i ）知，()()120g x g x ==，120ln 12x a x <<+<<，1212ln ln x x x x -<-，其中1202x x <<<，即证12ln ln x x ->=12ln x x >令()0,1t =，即证()12ln 01t t t t >-<<，构造函数()12ln t t t t ϕ=-+，则()()22212110t t t t tϕ-'=--=-<， 所以，函数()t ϕ'在区间()0,1上单调递减，故()()10t ϕϕ>=，由已知可得121112x x e ax e ax --⎧=⎨=⎩，故11221ln ln 1ln ln x a x x a x -=+⎧⎨-=+⎩，所以1212ln ln x x x x -=-，则12121ln ln x x x x -=-12121ln ln x x x x -=-，因此，121x x <. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{M x y ==，{}2N y y x ==，则M N = （）A ．[]0,2B ．(]0,2C ．(],0-∞D ．[)2,+∞2．下列函数中，函数的图象关于y 轴对称是（）A ．3y x =B ．1y x x=+C ．211y x =+D ．21x y x =-3．若命题“12x ∃<<，2a x >”为假命题，则a 的范围是（）A ．2a <B ．2a ≤C ．4a <D ．4a ≤4．若 1.12a =， 1.32b =， 1.10.6c =则（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a>>D ．b a c>>5．已知函数1xy x =-的对称中心为点A ，且点A 在函数(),0y mx n m n =+>图象上，则22m n +的最小值为（）A ．4B ．12C ．43D ．326．若函数224(1)()42(1)x a x f x x ax a x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上单调递增，则a 取值范围是（）A ．(]14，B ．[]34，C ．(]13，D ．[)4∞+，7．在R 上定义的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]1,2上是减函数，则关于()f x 下列说法正确的是（）A ．在区间[]0,1上是增函数，在区间[]3,4上是增函数B ．在区间[]0,1上是增函数，在区间[]3,4上是减函数C ．在区间[]0,1上是减函数，在区间[]3,4上是增函数D ．在区间[]0,1上是减函数，在区间[]3,4上是减函数8．“相约哈尔滨，逐梦亚冬会”．哈尔滨地铁3号线预计年底全线载客运营，届时，哈尔滨地铁1号线2号线3号线将形成“十字+环线”地铁线网，将为哈尔滨2025年第九届亚冬会的举办提供有力交通保障.通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，则当发车时间间隔为5t =时，列车的载客量为（）A ．410B ．420C ．450D ．480二、多选题9．下列有关不等式的说法正确的有（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则33a b >C ．若a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b >10．已知14a a -+=，则（）A ．1122a a -+=B ．2214a a -+=C ．3352a a -+=D ．1a a --=11．已知定义在R 上函数()f x 的图象连续不间断，且满足以下条件：①(1)f x +是偶函数；②1x ∀，()2,1x ∈-∞，且12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③()30f =，则下列成立的是（）A ．()()12f f <-B ．若()0f x x<，()()3,03,x ∞∈-⋃+C ．若()()12f m f -<，则()(),13,m ∈-∞+∞ D ．x ∀∈R ，M ∃∈R ，使得()f x M≤三、填空题12．已知集合{}1,3A =-，{}260B x ax bx =++=，且A B =，则a b +=．13．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，当0x >时，()224f x x x =-+，则当0x <时，()f x =．14．设函数()442xx f x =+，则()()()()1012f f f f -+++=，不等式()()221f x f x <-⎡⎤⎣⎦的解集为．四、解答题15．计算下列各式的值：)102123-⎛⎫+++⎪⎝⎭；(2)1230.527110.25826-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)25551log 16log 35log 14log 50+--16．已知幂函数()()()225222k kf x m m x k -=-+∈Z 是奇函数，且在()0,∞+上单调递增．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；(3)若实数(),,a b a b +∈R，满足2a b m +=，求1aa b+的最小值．17．已知函数()()220f x ax ax b a =-+≠(1)若1a =，2b =，求()f x 在[],1t t +上的最小值；(2)若函数在区间[]2,4上的最大值为9，最小值为1，求实数a 、b 的值．18．已知函数()22x f x x =-（∈，且2x ≠）(1)用定义证明：()f x 在区间0,2上单调递减；(2)若函数()f x 在[]0,1x ∈上的值域恰为函数()xg x a =定义域，求()g x 的值域；(3)函数()()2135h x b x b =-+，1b ≥，[]0,1x ∈，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12f x h x =成立，求b 的取值范围．19．已知函数()22x x af x b+=+．(1)当4a =，2b =-时，求满足()2xf x =的x 的值；(2)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数.①存在[]1,1t ∈-，使得不等式()()222f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；②令()()()11f x g x f x +=-，对于定义域内的1x ，2x ，3x ，若()()()()2323g x g x g x g x +=且()()()()()()123123g x g x g x g x g x g x ++=，求1x 的最大值．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合35,122M x x N x x ⎧⎫⎧⎫=>-=∈-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ，则M N = （）A ．312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}2,1,0--C ．{}1,0-D ．{}0,12．若复数z 满足2025i 2i z =-，则z 的实部与虚部之和为（）A ．12i-+B ．12i--C ．1D ．3-3．已知等差数列{}n a 的前6项和为60，且12315a a a ++=，则5a =（）A ．5B ．10C ．15D ．204．在平面直角坐标系中，若α∠的终边经过点()2,1P ，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．10-B ．10C ．10D 5．如图，四边形O A C B ''''表示水平放置的四边形OACB 根据斜二测画法得到的直观图，2O A ''=，4B C ''=，O B ''=，//O A B C ''''，则AC =（）AB ．C ．6D ．6．若曲线e x y a =+的一条切线方程是1y x =-，则a =（）A ．2-B ．1C ．1-D ．e7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为4π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A ．256π63B ．4πC ．9π2D ．9π8．在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如()()()112122n n n n a n n n +=+⋅=-+⋅--⋅，故数列{}n a 的前n项和()()()()()1223112302121222122n n n n S a a a a n n +=++++=⨯--⨯+-⨯--⨯++-+⋅--⋅ 12n n +=⋅．记数列2{}2n n 的前n 项和为n T ，利用上述方法求306T -=（）A ．305132B ．305132-C ．295132D ．295132-二、多选题9．已知平面向量1e ，2e 的夹角为π3，且121e e == ，若122a e e =- ，12b e e =+ ，则下列结论正确的是（）A ．a b⊥ B ．a与b可以作为平面内向量的一组基底C ．a =D ．a在b 上的投影向量为12b- 10．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，D 为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（）A ．ABC V 为钝角三角形B ．ABC V 的最大内角是最小内角的2倍C ．若D 为AC 中点，则:BD AC =D ．若ABD CBD ∠=∠，则:5BD AC =11．设数列的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且21232482n n b b b b n n ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A ．72364a =-B ．设数列的前n 项积为n T ，则n T 有最大值，无最小值C ．数列{}n S 中没有最大项D ．若对任意*n ∈N ，2504n m m S --≥成立，则1m ≤-或94m ≥三、填空题12．若3sin 5α=，且α为第二象限角，则sin 2α=.13．已知函数2()()(2)f x x a x x =--在x a =处取得极大值，则a =．14．已知数列满足12,2,n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，10a =，则10a =；设数列的前n 项和为n S ，则2024S =．（第二个空结果用指数幂表示）四、解答题15．已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-．(1)求()f x 的最小正周期；(2)将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0g x 的解集．16．数列{}n a 满足1111,202n n n n a a a a a ++=+-=．(1)求数列{}n a 通项公式．(2)设()cos 1π2n nn b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2cos ,3cos b c Ca a A-==．(1)求角A ；(2)若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．18．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：当0x >时，()ln 11x x x+>+(3)若数列满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．19．定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x=--．(1)当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；(2)是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；(3)若522a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期期中学业阶段评价考试数学试卷
哈尔滨市第九中学2023～2024学年度下学期期中学业阶段性评价考试高一数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项．．．．符合题意）1．若复数z 满足32i 4i z +-=+，则z =（）．A ．13i--B ．13i+C ．1i +D ．1i--2．下列向量中与()2,3a =-共线的是（）．A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫-⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭D ．()1,23．下列说法正确的是（）．A ．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥B ．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台C ．圆柱、圆锥、圆台都有两个质面D ．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高4．在ABC △中，AB =，45A =︒，75C =︒，则BC =（）．A ．3-BC ．2D ．3+5．已知向量a ，b满足(1,a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-= （）．A ．3B ．4C ．5D ．66．如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线1BE =，则它的表面积为（）．A．24B．16+C．24+D．24+7．在锐角三角形ABC中，()222bc a b c-=-，a=ABC△周长的取值范围是（）．A．(+B．(3,2⎤+⎦C．(3D．(3,38．某同学打算测量一座塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为45︒，再沿AC方向前进20米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60︒，塔底点E的仰角为30︒，那么在下列选项中，塔高最接近．．（）米．1.7≈1.4≈）A．31.33B．31.94C．32.45D．33.21二、多选题（共3小题，每小题有多个选项．．．．．符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知1z与2z是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（）．A．12z z=B．2121z z z⋅=C．12z z+∈R D．12zz∈R10．在图示正方体中，O为BD中点，直线1AC⋂平面1C BD M=，下列说法正确的是（）．A．A，C，1C，1A四点共面B．1C，M，O三点共线C．M∈平面11BB D D D．1A C与BD异面11．《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．图中的曲池，1AA 垂直于底面，15AA =，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则下列说法正确的是（）．A ．弧AD 长度为3π2B ．曲池的体积为10π3C ．曲池的表面积为1014π+D ．三棱锥1A CC D -的体积为5第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3小题，每小题5分）12OD BA ⋅=__________．13．如图，直角梯形ABCD 是某个多边形的斜二测直观图，45ABC ∠=︒，1AD DC ==，DC BC ⊥，则该多边形原本的面积为__________．14．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为3km ，高为，B 是母线SA 上一点，且7km AB =．现要建设一条从A 到B 的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A 出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为__________千米．四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，7a =，3b =且3sin 5sin C B =．（1）求c ；（2）求A 的大小及ABC △的面积．16．已知()2,1A -，()1,3B -，()3,4C ，()1AD AB AC λλ=-+，λ∈R ．（1）若点D 在第一、三象限的角平分线上，求λ的值；（2）若点D 为线段BC 的一个三等分点，求D 的坐标．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，M ，N ，Q ，S 分别为PC ，CD ，AB ，PA 的中点．（1）求证：平面MNQ ∥平面PAD ；（2）求证：NS ∥平面PBC ．18．Ⅰ．四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：（1）如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，BD 为外接圆直径，CB CD =，30ACD ∠=︒，4AB =，求BD 与AC 的长度；Ⅱ．古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：图1图2（2）见图1，若AB =，1BC =，π2ACD ∠=，AC CD =，求线段BD 长度的最大值；（3）见图2，若2AB =，6BC =，4AD CD ==，求四边形ABCD 面积取得最大值时角A 的大小，并求出此时四边形ABCD 的面积．19．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对()()1212,,z z z z C ∈视为一个向量，记作()12,z z α= ．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量()12,z z α=，()34,z z β= 的数量积记作αβ⋅ ，定义为1324z z z z αβ⋅=+ ；复向量α的模定义为α= ．（1）设()3,4α=，()1,i i β=- ，求复向量α与β 的模；（2）已知对任意的实向量α与β，都有αβαβ⋅≤ ，当且仅当α与β 平行时取等；①求证：对任意实数a ，b ，c ，d ，不等式ac bd +≤成立，并写出此不等式的取等条件；②求证：对任意两个复向量α与β，不等式αβαβ⋅≤仍然成立；（3）当αβαβ⋅= 时，称复向量α 与β 平行．设()1,2i i α=+-，(),i z β= ，z ∈C ，若复向量α与β平行，求复数z 的值．。
黑龙江省哈九中10-11年度上学期高二期中考试(数学理)
哈尔滨市第九中学2010---2011学年度上学期期中学业阶段性评价考试高二学年数学学科试卷（理科）（考试时间：120分钟满分：150分共2页命题人：许立明校题人：高霞）注：1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，将条形码准确的粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
5.．．绘图先用铅笔，确定后用签字笔涂黑。
．．．．．．．．．．．．．．．．．第 I 卷(选择题共60分)一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的。
每小题5分共60分。
请将答案填涂在客观题答题卡上）1．若，则有( )A．最小值4 B．最大值-4 C．最小值-4 D．无最值2．若那么下列各式中正确的是( )A． B．C． D．3．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )A． B． C． D．4．不等式的解集是( )A． B． C． D．5．异面直线与成角为60°，过空间任一点与和都成60°角的直线有( )A．4条 B．3条 C．2条 D．1条6．已知直线∥平面，距离为，平面内直线与相距且∥∥,与相距，则与相距（）A． B．或 C． D．或7．若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①；②；③．其中正确的命题的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．若且，则的最大值是( )A． B． C． D．9.下面关于空间向量的说法正确的是（）A.若向量平行，则所在直线平行B. 若A、B、C、D四点不共面，则不共面C. 若不共线，则空间任一向量D. 若向量平行且向量平行，则向量平行10．中心角为135°的扇形，其面积为，其围成的圆锥的全面积为，则为( )A ．11：8B ．3：8C ．8：3D ．13：8 11．如图，在长方体中， 分别过、的两个平行截面将长方体分成三部分， 其体积分别记为，，若，则截面的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）A ．（0,）B ．（1,）C ．(,）D ．（0,）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
哈尔滨第九中学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前哈尔滨市第九中学2021级高二上学期期中考试文科数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一．选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线013=++y x 的倾斜角是 ( ) A.030 B.060 C.0120 D.01502.椭圆1162522=+y x 的离心率是 ( ) A.53 B.54C.35D.43 3.若双曲线12222=-b y a x 的离心率为35，则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A.x y 54±= B.x y 45±= C.x y 34±= D.x y 43±= 4.顶点在原点，准线为2=y 的抛物线方程为（）A.x y 82=B.x y 82-=C.y x 82=D.y x 82-=5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图,得到如图所示的一个正方形,则该平面图形的原图是 ( )A B C D6.直线0552=+-+y x 被圆04222=--+y x y x 截得的弦长为 ( )A.1B.2C.64D.47.圆0222:221=-+++y x y x C 与圆0424:222=+--+y x y x C 的公切线有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条8.夹在两平行直线043:1=-y x l 与02043:2=--y x l 之间的圆的最大面积等于()A.π2B.π4C.π8D.π129.过点)2,1(P 的直线与圆122=+y x 相切,且与直线01=-+y ax 垂直,则实数a 的值为( ) A.34B.34- C.340或 D.340-或 10．经过椭圆1222=+y x 的一个焦点作倾斜角为045的直线l ，交椭圆于B A ,两点．设O 为坐标原点，则→→⋅OB OA 等于( )A.3-B.31-C.313--或D.31± 11.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3,左、右焦点分别为21,F F ,P 为双曲线右支上一点,21PF F ∠的平分线为l ,点1F 关于l 的对称点为Q ,2||2=Q F ,则双曲线的方程为 ( ) A.1222=-y x B.1222=-y x C.14222=-y x D.12422=-y x 12.已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，过其焦点F 的直线与C 交于B A ,两点,O 是坐标原点，记OAB ∆的面积为S ，且满足S FB AB 223||3||==，则=p ( ) A.1 B.21C.23D.2 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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圆 x2 y2 6x 55 0 可化为 x 32 y2 82 ，所以圆心为 C 3,0 ，半径 R 8 ，
则 PC 6 .由于动圆 M 与已知圆相切，且过点 P，所以 MP MC R 8 PC ， 所以 M 的轨迹是椭圆，且 2a 8, 2c 6, a 4, b2 a2 c2 7 ，所以 M 的轨迹方程 为 x2 y2 1.
___________________.
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D． 3 3
由于以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以 b c ， a2 b2 c2 2c2 ，所以
c2 a2
1,c 2a
2. 2
故选：B
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【点睛】 本小题主要考查椭圆离心率的求法，属于基础题.
6．已知双曲线
x2 25
y2 9
1 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，若双曲线左支上有一点 M
p 1.
故选：D 【点睛】 本小题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.
2．若椭圆 x2 16
yห้องสมุดไป่ตู้ b2
1 过点（－2，
3 ），则其焦距为
（）
A．2 5
B．2 3
C．4 3
D．4 5
【答案】C
【解析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数 b ，从而 得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的 a ， b ， c 之间的关系即可求出焦距 2c ．
【详解】
抛物线的交点 F 1, 0 ，准线为 x 1 .由于 AF 5 ，根据抛物线的定义可知 xA 4 ，
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所以
y
2 A
4xA ，解得
yA
4 .不妨设
A4, 4 ，则 kAB
k AF
4 4 1
4 ，所以直线 3
AB
的方程为 y 4 x 1 ，代入抛物线方程并化简得16x2 68x 17 0 ，所以
求解能力，属于中档题.
二、填空题
13．命题“ x R ， 2x2 3ax 9 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是________．
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【答案】 2 2, 2 2 【解析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知 0 ，解不等式求得结
果. 【详解】
若原命题为假命题，则其否定“ x R ， 2x2 3ax 9 0 ”为真命题
16 7
故选：B
【点睛】 本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查椭圆的定义和标准方程，属于基础题. 5．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． 1 2
B． 2 2
C． 3 2
【答案】B
【解析】根据已知得到 b c ，由 a2 b2 c2 ，求得离心率 c . a
【详解】
的公共焦点，它们在第一象限内交于点 ， 曲线 的离心率 的值为（ ）
，若椭圆的离心率 ，则双
A． B． 【答案】B
C． D．
【解析】由椭圆与双曲线的定义，知|
所以
．因为
所以
，即
即 故选 B．
因为 ，所以
12．如图，已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F，过点 P4,0 的直线交抛物线
A x1, y1, B x2, y2 两点，直线 AF, BF 分别与抛物线交于 M , N 点，记直线 MN 的
图一），我们形象的称为“筷子夹汤圆”.若 P 点在变化过程中，保持两根“筷子”垂直不变， 则 P 到原点的距离始终为一个定值，即 P 的运动轨迹为一个以原点为圆心，半径为定 值的一个圆，我们把该圆称为椭圆的“准圆”，试写出该“准圆”的方程是______________.
若矩形 ABCD 的四条边都与该椭圆相切（如图二），则矩形 ABCD 的面积最大值为
3
xA
xB
17 4
，所以
AB
xA
xB
p
17 4
2
25 ，所以 4
BF
AB
AF
25 5
5
.
4
4
故答案为： 5 4
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交所得弦长的有关计算，考查运算
求解能力，属于中档题.
16．已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) ，过椭圆外一点 P 可以做出两条切线（如
2
15．已知过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点， AF 5 ，
BF _____________. 【答案】 5
4 【解析】根据 AF 5求得 A 点坐标，进而求得直线 AB 的方程，联立直线的方程和抛
物线的方程，利用抛物线的弦长公式求得 AB ，由此求得 BF .
9a2 72 0 ，解得： 2 2 a 2 2
a 的取值范围为 2 2, 2 2 故答案为： 2 2, 2 2
【点睛】 本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否 定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.
14．如果椭圆 x2 y2 1 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________ 36 9
A． 48 3
B． 24 3
C． 16 3 7
D． 16 3 9
【答案】A
【解析】设正三角形为 OAB ，根据对称性求得直线 OA 的斜率，由此求得直线 OA 的
方程，联立直线 OA 的方程和抛物线方程，求得 A 点坐标，由此求得 OA 2 ，进而求得
正三角形的面积. 【详解】
设正三角形为 OAB ， A 在第一象限，根据正三角形和抛物线的对称性可知， OA 的倾
【详解】
由题意知，把点 (2, 3) 代入到椭圆的方程可求得 b2 4 ，故椭圆的方程为
x2 y2 1. 16 4 ∴a 4，b 2.
∵ a2 b2 c2
∴ c 16 4 2 3 ，则其焦距为 4 3 .
故选 C. 【点睛】
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本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，解答本题的关键是正确求出 b ，及熟记椭圆 方程中 a ， b ， c 之间的关系.
斜率为 k1 ，直线
AB 的斜率为 k2 ，则
k1 k2
（
）
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A．1 【答案】D
B．2
C．3
D．4
【解析】设出 A, B, M , N 的坐标，求得直线 AF, BF 的方程，由此求得 M , N 两点的
坐标，由此求得
k1 k2
.
【详解】
依题意 F 1,0 ，设 A x1, y1, B x2, y2 , M x3, y3 , N x4, y4 ，所以 AM 的方程是
到
右焦点 F2 距离为18 ， N 为 MF2 的中点， O 为坐标原点，则 NO 等于（ ）
A． 2 3
【答案】D
B．1
C． 2
D． 4
【解析】由题得 NO 为△ MF1F2 的中位线，所以|NO|＝ 1 |MF1|.再利用双曲线的定义求出 2
|MF1|＝8，所以|NO|＝4．
【详解】
由题得 NO 为△ MF1F2 的中位线，所以|NO|＝ 1 |MF1|.又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1| 2
y2 x2 4
，所以
k1
y1 y2 x1 x2 11
x1 y2 x2 y1 x2 x1
x1 k2 x2 4 x2 k2 x1 4
x2 x1
4k2 x2 x1
x2 x1
4k2 ，
x1 x2
所以
k1 k2
4.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算
2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二上学期期中 数学（理）试题
一、单选题
1．抛物线 y2 2x 的焦点到准线的距离是（ ）
A． 1 8
【答案】D
B． 1 4
C． 1 2
【解析】根据抛物线的几何性质，求得焦点到准线的距离.
【详解】
D．1
由于抛物线焦点到准线的距离为 p ，而抛物线方程为 y2 2x ，所以焦点到准线的距离
的离心率 c 2 ，所以 a 1，所以 b2 c2 a2 3，所以双曲线的方程为 x2 y2 1.
a
3
故选：C
【点睛】
本小题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的有关计算，属于基础题.
9．一个正三角形的三个顶点都在抛物线 y2 4x 上，其中一个顶点在原点，这个三角
形面积为（ ）
3．已知原命题“若 a 1，则 a 1a 2 0 ”，那么原命题与其逆命题的真假情况是
（）
A．原命题为真，逆命题为假
B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
【答案】A
【解析】首先判断原命题的真假性，然后写出逆命题，并判断出逆命题的真假性.
【详解】
由于 a 1时， a 1a 2 0 ，所以原命题为真命题.
逆命题为：若 a 1a 2 0 ，则 a 1.是假命题，因为 a 可能为 2 .
故选：A 【点睛】 本小题主要考查原命题与逆命题的真假性，属于基础题.
4．点 P 3,0 是圆 x2 y2 6x 55 0 内的定点，动圆 M 与已知圆相切，且过点 P，
如图，则圆心 M 的轨迹方程为（ ）
y
y1 x1
1
x
1
，设
k0
y1 ，则 x1 1
AM
:
y
k0
x 1 ，与抛物线方程联立可得
k02x2