2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二上学期期中数学(理)试题(解析版)

【答案】A
【解析】根据 b 与 c 的关系，求得双曲线离心率的取值范围. aa
【详解】
D． 1, 2
依题意 k
b a
1， b2 a2
1,1
b2 a2
2, e2
1
b2 a2
2 ，所以 e
2.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查双曲线 b 与 c 的关系，属于基础题. aa
11．设 ， 分别为椭圆 ：
与双曲线 ：
【详解】
圆 x2 y2 6x 55 0 可化为 x 32 y2 82 ，所以圆心为 C 3,0 ，半径 R 8 ，
则 PC 6 .由于动圆 M 与已知圆相切，且过点 P，所以 MP MC R 8 PC ， 所以 M 的轨迹是椭圆，且 2a 8, 2c 6, a 4, b2 a2 c2 7 ，所以 M 的轨迹方程 为 x2 y2 1.
9a2 72 0 ，解得： 2 2 a 2 2
a 的取值范围为 2 2, 2 2 故答案为： 2 2, 2 2
【点睛】 本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否 定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.
14．如果椭圆 x2 y2 1 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________ 36 9
A． 48 3
B． 24 3
C． 16 3 7
D． 16 3 9
【答案】A
【解析】设正三角形为 OAB ，根据对称性求得直线 OA 的斜率，由此求得直线 OA 的
方程，联立直线 OA 的方程和抛物线方程，求得 A 点坐标，由此求得 OA 2 ，进而求得
正三角形的面积. 【详解】
设正三角形为 OAB ， A 在第一象限，根据正三角形和抛物线的对称性可知， OA 的倾
逆命题为：若 a 1a 2 0 ，则 a 1.是假命题，因为 a 可能为 2 .
故选：A 【点睛】 本小题主要考查原命题与逆命题的真假性，属于基础题.
4．点 P 3,0 是圆 x2 y2 6x 55 0 内的定点，动圆 M 与已知圆相切，且过点 P，
如图，则圆心 M 的轨迹方程为（ ）
16 7
故选：B
【点睛】 本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查椭圆的定义和标准方程，属于基础题. 5．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． 1 2
B． 2 2
C． 3 2
【答案】B
【解析】根据已知得到 b c ，由 a2 b2 c2 ，求得离心率 c . a
【详解】
的公共焦点，它们在第一象限内交于点 ， 曲线 的离心率 的值为（ ）
，若椭圆的离心率 ，则双
A． B． 【答案】B
C． D．
【解析】由椭圆与双曲线的定义，知|
所以
．因为
所以
，即
即 故选 B．
因为 ，所以
12．如图，已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F，过点 P4,0 的直线交抛物线
A x1, y1, B x2, y2 两点，直线 AF, BF 分别与抛物线交于 M , N 点，记直线 MN 的
2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二上学期期中 数学（理）试题
一、单选题
1．抛物线 y2 2x 的焦点到准线的距离是（ ）
A． 1 8
【答案】D
B． 1 4
C． 1 2
【解析】根据抛物线的几何性质，求得焦点到准线的距离.
【详解】
D．1
由于抛物线焦点到准线的距离为 p ，而抛物线方程为 y2 2x ，所以焦点到准线的距离
求解能力，属于中档题.
二、填空题
13．命题“ x R ， 2x2 3ax 9 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是________．
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【答案】 2 2, 2 2 【解析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知 0 ，解不等式求得结
果. 【详解】
若原命题为假命题，则其否定“ x R ， 2x2 3ax 9 0 ”为真命题
3．已知原命题“若 a 1，则 a 1a 2 0 ”，那么原命题与其逆命题的真假情况是
（）
A．原命题为真，逆命题为假
B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
【答案】A
【解析】首先判断原命题的真假性，然后写出逆命题，并判断出逆命题的真假性.
【详解】
由于 a 1时， a 1a 2 0 ，所以原命题为真命题.
＝10.因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4．
故答案为 D
【点睛】
(1)本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)
在双曲线中，||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|. 7．设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足．如
B． x2 y2 1 93
C． x2 y2 1 3
D． x2 y2 1 39
【答案】C
【解析】求得椭圆 x2 y2 1 的焦距，由此求得双曲线的 2c ，结合双曲线的离心率求 5
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得 a ，由此求得 b2 ，进而求得双曲线方程.
【详解】
椭圆 x2 y2 1 的焦距为 2 5 1 4 ，所以双曲线的 2c 4 ， c 2 ，由于双曲线 5
斜率为 k1 ，直线
AB 的斜率为 k2 ，则
k1 k2
（
）
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A．1 【答案】D
B．2
C．3
D．4
【解析】设出 A, B, M , N 的坐标，求得直线 AF, BF 的方程，由此求得 M , N 两点的
坐标，由此求得
k1 k2
.
【详解】
依题意 F 1,0 ，设 A x1, y1, B x2, y2 , M x3, y3 , N x4, y4 ，所以 AM 的方程是
果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|=
A． 4 3
B．8
【答案】B
【解析】设 A（-2，t），
C． 8 3
D．16
∴
，∴
∴ PF 8
8．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的离心率为
2，且与椭圆
x2 5
y2
1 有相等的
焦距，则 C 的方程为（ ）
A． x2 y2 1 3
y2 x2 4
，所以
k1
y1 y2 x1 x2 11
x1 y2 x2 y1 x2 x1
x1 k2 x2 4 x2 k2 x1 4
x2 x1
4k2 x2 x1
x2 x1
4k2 ，
x1 x2
所以
k1 k2
4.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算
到
右焦点 F2 距离为18 ， N 为 MF2 的中点， O 为坐标原点，则 NO 等于（ ）
A． 2 3
【答案】D
B．1
C． 2
D． 4
【解析】由题得 NO 为△ MF1F2 的中位线，所以|NO|＝ 1 |MF1|.再利用双曲线的定义求出 2
|MF1|＝8，所以|NO|＝4．
【详解】
由题得 NO 为△ MF1F2 的中位线，所以|NO|＝ 1 |MF1|.又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1| 2
___________________.
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2
15．已知过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点， AF 5 ，
BF _____________. 【答案】 5
4 【解析】根据 AF 5求得 A 点坐标，进而求得直线 AB 的方程，联立直线的方程和抛
物线的方程，利用抛物线的弦长公式求得 AB ，由此求得 BF .
y
y1 x1
1
x
1
，设
k0
y1 ，则 x1 1
AM
:
y
k0
x 1 ，与抛物பைடு நூலகம்方程联立可得
k02x2
2k02 4
x k02 0 ，所以 x1x3 1， x3
1 x1
，所以
y3
k0
x3
1
y1 x1
，
即M
1 x1
,
y1 x1
，同理可得
N
1 x2
,
y2 x2
，由于
k2
y1 x1 4
【详解】
抛物线的交点 F 1, 0 ，准线为 x 1 .由于 AF 5 ，根据抛物线的定义可知 xA 4 ，
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所以
y
2 A
4xA ，解得
yA
4 .不妨设
A4, 4 ，则 kAB
k AF
4 4 1
4 ，所以直线 3
AB
的方程为 y 4 x 1 ，代入抛物线方程并化简得16x2 68x 17 0 ，所以
3
xA
xB
17 4
，所以
AB
xA
xB
p
17 4
2
25 ，所以 4
BF
AB
AF
25 5
5
.
4
4
故答案为： 5 4
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交所得弦长的有关计算，考查运算
求解能力，属于中档题.
16．已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) ，过椭圆外一点 P 可以做出两条切线（如
斜角为 ，斜率为 3 ，所以直线 OA 的方程为 y 3 x ，代入抛物线 y2 4x 并化简
6
3
3
得 x2 12x 0，解得 x 0 或 x 12 ，则 O 0, 0, A 12, 4 3 ，所以 OA 2 192 ，
所以在三角形的面积为 3 OA 2 3 192 48 3 .
的离心率 c 2 ，所以 a 1，所以 b2 c2 a2 3，所以双曲线的方程为 x2 y2 1.
a
3
故选：C
【点睛】
本小题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的有关计算，属于基础题.
9．一个正三角形的三个顶点都在抛物线 y2 4x 上，其中一个顶点在原点，这个三角
形面积为（ ）
【详解】
由题意知，把点 (2, 3) 代入到椭圆的方程可求得 b2 4 ，故椭圆的方程为
x2 y2 1. 16 4 ∴a 4，b 2.
∵ a2 b2 c2
∴ c 16 4 2 3 ，则其焦距为 4 3 .
故选 C. 【点睛】
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本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，解答本题的关键是正确求出 b ，及熟记椭圆 方程中 a ， b ， c 之间的关系.
4
4
故选：A
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中三角形面积的计算，属于中档
题.
10．双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 经过一、三象限的渐近线斜率为
k，当 k
1 时，则
双曲线离心率的取值范围（ ）
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A． 2,
B． 2,
C． 1, 2
图一），我们形象的称为“筷子夹汤圆”.若 P 点在变化过程中，保持两根“筷子”垂直不变， 则 P 到原点的距离始终为一个定值，即 P 的运动轨迹为一个以原点为圆心，半径为定 值的一个圆，我们把该圆称为椭圆的“准圆”，试写出该“准圆”的方程是______________.
若矩形 ABCD 的四条边都与该椭圆相切（如图二），则矩形 ABCD 的面积最大值为
【答案】 y=-0.5x+4 【解析】【详解】
设弦为
AB ，且
A
x1,
y1
,
B
x2
,
y2
，代入椭圆方程得
x12 36
y12 9
1, x22 36
y22 9
1 ，两式
作差并化简得 y2 y1 x1 x2 1 ，即弦的斜率为 1 ，由点斜式得
x2 x1
y1 y2
2
2
y 2 1 x 4 ，化简得 y 0.5x 4 .
p 1.
故选：D 【点睛】 本小题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.
2．若椭圆 x2 16
y2 b2
1 过点（－2，
3 ），则其焦距为
（）
A．2 5
B．2 3
C．4 3
D．4 5
【答案】C
【解析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数 b ，从而 得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的 a ， b ， c 之间的关系即可求出焦距 2c ．
A． x2 y2 1 16
【答案】B
B． x2 y2 1 16 7
C． x2 y2 1 43
D． x2 y2 1 16 12
【解析】求得圆 x2 y2 6x 55 0 的圆心 C ，根据 MP MC 为定值判断出 M 的
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轨迹是椭圆，并根据已知条件求得 M 的轨迹方程.
D． 3 3
由于以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以 b c ， a2 b2 c2 2c2 ，所以
c2 a2
1,c 2a
2. 2
故选：B
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【点睛】 本小题主要考查椭圆离心率的求法，属于基础题.
6．已知双曲线
x2 25
y2 9
1 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，若双曲线左支上有一点 M