郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第6章 信号的矢量空间分析【圣才出品

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其中

的共轭。
三.完备正交函数集、帕塞瓦尔定理 1.完备正交函数集 (1)定义 1
方均误差为
当 n 增加时, 下降,若
(2)定义 2 如果在某正交函数集外不存在函数 于此正交函数集,此函数集 函数集。 2.帕塞瓦尔定理 (1)定义
,则
,此时
为完备的正交函数集。
,使
,则
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第 6 章 信号的矢量空间分析[视频讲解] 6.1 本章要点详解 本章要点
■信号矢量空间的基本概念 ■信号的正交函数分解 ■完备正交函数集、帕塞瓦尔定理 ■相关 ■能量谱和功率谱 ■码分复用、码分多址通信
重难点导学
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且有
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此公式适合于任何正交函数集,且
是相互独立的,互不影响。
正交函数集规定:
①所有函数应两两正交;
②不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数集。
(3)总结
①两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是 c12=0,即
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一、信号矢量空间的基本概念 1.线性空间 线性空间是指这样一种集合,其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素,任一元 素与任一数相乘后得到此集合内的另一元素。常见的线性空间有 N 维实数空间 与复数
空间 、连续时间信号空间 L、离散时间信号空间 l 等。
根据此原理,平面中任一矢量可分解为 x,y 二方向矢量;空间中任一矢量可分解为 x,
y,z 三方向矢量;且一个三维空间矢量
,必须用三个正交的
矢量来表示,如果用二维矢量表示则会出现误差,即
2.正交函数
两个函数在区间 (t1,t2 ) 内正交的条件:
t2 t1
f1(t) f2 (t)dt
0。
3.正交函数集
②对一般信号在给定区间正交,而在其他区间不一定满足正交; ③两个信号不正交,则存在相关关系,必能分解出另一信号。 4.复变函数的正交特性 两复变函数在(t1,t2)内相互正交的条件是
若在区间(t1,t2)内复变函数集
满足的关系为
则此复变函数集为正交函数集。 用
表示
,则系数为
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直角坐标平面内两矢量相对位置关系为
cos(f1 -f2 ) =
x1 y1 + x2 y2
1
1
(x12 + x22 )2 ( y12 + y22 )2
利用范数符号,将矢量长度分别写作
1
x 2 = (x12 + x22 ) 2
1
y 2 = ( y12 + y22 ) 2
二、信号的正交函数分解 信号分解的目的: (1)将任意信号分解为单元信号之和,从而考查信号的特性。 (2)简化系统分析与运算,总响应等于单元响应之和。 1.矢量的正交分解
用 表示,方式不唯一,为得到最小的误差分量,使两矢量正交。即
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令 p 为实数,1≤p≤∞,在 或 空间元素
的 p 阶范数定
义为
②常用范数
在二维或三维实数矢量空间( R2 或 R3 )之中,二阶范数的物理意义是矢量的长度, x 2
又称欧氏范数或欧氏距。
(3)连续时间信号空间 L 和离散时间信号空间 l 的范数 ①连续时间信号空间 L 中,元素 x 的 p 阶范数 x p 定义为
②离散时间信号空间 l 中,元素 x(n)的 p 阶范数 x p 定义为
式中 sup 表示信号的最小上界,对于定义在闭区间内的信号,sup 表示其幅度值。 (4)常用的范数
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①一阶范数
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a.L 空间中表达式为
b. l 空间中表达式为
(1)定义
假设有 n 个函数 g1(t), g2 (t)...gn (t) 构成的一个函数集,这些函数在区间 (t1,t2 ) 内满
足正交特性
t2 t1 t2 t1
gi (t)g j (t)dt 0,i
g
2 i
(t
)dt
Ki ,i
百度文库
j
j
则称此函数集为正交函数集。
(2)特性
任意信号 f(t)可表示为 n 维正交函数之和,即
(2)内积的运算
①信号空间 L 内两连续时间信号的内积为
②信号空间 l 内两离散时间信号的内积为
③对于 L 空间或 l 空间,信号 x 与其自身的内积运算分别为
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4.柯西—施瓦茨不等式
x, y 2 x, x y, y
于是
x1 y1 + x2 y2 =
x 2
y 2 cos(f1 -f2 )
x1y1 x2 y2 对应于二维矢量空间的内积运算。这表明:给定的矢量长度,标量乘积式
反映了两矢量之间相对位置的“校准”情况。即 cos(1 2 ) 0 ,两矢量夹角为 90 ,标
量乘积为零;而 cos(1 2 ) 1,两矢量夹角为 0 ,标量乘积取最大值。
可见,一阶范数表示信号作用的强度。 ②二阶范数 a.L 空间中表达式为
b. l 空间中表达式为
可见,二阶范数的平方表示信号的能量。 ③无穷阶范数 a.L 空间中表达式为
b. l 空间中表达式为
可见,无穷阶范数表示信号可测得的峰值。 3.内积
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(1)内积的定义
2.范数 (1)公理
线性空间中元素 x 的范数以符号 x 表示,范数满足以下公理: ①正定性 x 0 ,当且仅当 x 0 时 x 0; ②齐次性对所有数量 ,有 x x ; ③三角不等式 x y x y 。
(2) 与 空间的范数 ①定义
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必属
称为完备正交
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式中
为信号的能量,
为基底信号的能量,
为各信号分量的能量。
(2)物理意义 一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率) 之和。 (3)数学本质 矢量空间信号正交变换的范数不变性。
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