高二数学参数方程
高考数学知识点参数方程
高考数学知识点参数方程高考数学知识点：参数方程数学在高考中占据着重要的地位，其中一个重要的知识点就是参数方程。
参数方程是描述物体运动以及数学曲线的一种有效方式。
本文将从基本概念开始，逐步深入探讨参数方程的相关内容。
一、什么是参数方程？参数方程是一种使用参数表示变量关系的表达方式。
在平面直角坐标系中，我们通常使用 x 和 y 坐标轴来表示一个点的位置。
但在有些情况下，一个点的位置需要通过另外的变量来确定。
例如，我们可以使用时间作为参数来描述物体的运动轨迹。
二、参数方程的表示方法通常，参数方程可以用以下形式表示：x = f(t)y = g(t)其中，f(t) 和 g(t) 是关于参数 t 的函数。
通过不同的 t 值，我们可以得到一组点 (x, y) 的坐标。
三、平面曲线的参数方程1. 点的轨迹考虑一个点 P(x, y)，沿着一条轨迹运动。
如果我们能够找到一个参数 t，能够唯一确定点的位置，那么我们可以使用参数方程来描述点的轨迹。
2. 直线的参数方程对于直线，我们可以使用参数方程表示。
例如，一条直线的参数方程可以写作：x = at + by = ct + d其中 a、b、c、d 是常数。
3. 圆的参数方程对于一个圆，我们可以使用参数方程表示。
以原点 O 为圆心，半径为 r 的圆的参数方程可以写作：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，t 是参数，范围在[0, 2π]。
四、参数方程的应用1. 物体运动在物理学中，参数方程常常用于描述物体的运动轨迹。
例如，一个抛体运动的轨迹可以使用参数方程来表示。
2. 曲线绘制在计算机图形学中，参数方程可以用于生成各种复杂的曲线。
通过调整参数的取值，我们可以绘制出各种形状的曲线，如椭圆、双曲线等。
3. 函数的参数化有些函数无法用解析式直接表示，但可以通过参数方程来表示。
例如，钟摆的运动可以通过一个参数方程来描述。
五、参数方程的优点和不足1. 灵活性参数方程具有很大的灵活性，可以描述出各种复杂的曲线。
高中数学参数方程知识点总结
高中数学参数方程知识点总结
高中数学参数方程知识点总结
导语：高中数学涉及的知识点很多，今天小编就来为广大高中同学们总结一下高中数学参数方程的知识点，参数方程和函数很相似：它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。
例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。
以下是小编为大家精心整理的高中数学参数方程知识点总结，欢迎大家参考！
高中数学知识点之参数方程定义
一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)
并且对于t的.每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。
高中数学知识点之参数方程
圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数
椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数
双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数
抛物线的参数方程x=2pty=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数直线的参数方程x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y')，且倾斜角为a,t为参数
高中数学知识点之参数方程的应用。
高二数学选修4-42参数方程的概念优选课堂.ppt
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选修4-4 坐标系与参数方程
信宜第二中学 高二数学1、2班
简易辅导
8
y
M(x,y)
r
o
M0 x
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9
如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是
M (x, y)，那么＝t，设OM ＝r，那么由三
角函数的定义有：
cost x ,sin t y 即{x r cost (t为参数)
r
r y r sin t
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由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程，它们表示 的曲线可
以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
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例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
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选修4-4 坐标系与参数方程
信宜第二中学 高二数学1、2班
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由参数方程
x y
cos sin
3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
高二数学曲线的参数方程
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
y
2 o
x
2
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2 1,
在过去的学习中我们已经掌握了 一些求曲线方程的方法，在求某些曲 线方程时，直接确定曲线上的点的坐 标x,y的关系并不容易，但如果利用某 个参数作为联系它们的桥梁，那么就 可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件，即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)＝0。
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行， 为使投放的救援物资准确落于灾区指定 的地面（不计空气阻力），飞行员应如 何确定投放时机呢？
y A
o
M(x,y)
x
纯天然的壮扭公主！！”Ｌ．了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加 傻转七周的惊人招式！接着像灰蓝色的飞臂海湾鹏一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立狂跳的特技神功，身上忽然生出了六十只美如木瓜一般的暗黑色鼻子！紧接着 纯黄色花苞耳朵奇特紧缩闪烁起来……笨拙的眼睛喷出浓绿色的飘飘雪气……矮胖的牙齿透出浓黑色的点点神香……最后摆起粗犷的鼻子一叫，萧洒地从里面窜出一 道流光，他抓住流光豪华地一颤，一套明晃晃、凉飕飕的兵器『褐光伞魔滚珠壶』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边扭曲，一边发出“咕 ”的美音！…… 猛然间Ｌ．崴敕柯忍者狂鬼般地使了一套盘坐振颤盗的怪异把戏，，只见他活像黄瓜般的屁股中，萧洒地涌出四十串深峡煤角鸟状的漏斗，随着Ｌ．崴敕柯忍者的晃 动，深峡煤角鸟状的漏斗像布条一样在双臂上明丽地调整出朦胧光盔……紧接着 Ｌ．崴敕柯忍者 又使自己威风的腰带耍出青古磁色的叉子味，只见他新奇的金橙色香 槟一样的磨盘海天帽中，酷酷地飞出四十片磁盘状的仙翅枕头号，随着Ｌ．崴敕柯忍者的扭动，磁盘状的仙翅枕头号像皮球一样，朝着壮扭公主圆润光滑的下巴飞劈 过来……紧跟着Ｌ．崴敕柯忍者也旋耍着兵器像痰盂般的怪影一样向壮扭公主飞劈过紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的亮红色手掌。紧接着扁圆的蒜瓣鼻子闪 眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！最后颤起震地摇天、 夯锤一般的金刚大脚一挥，猛然从里面流出一道玉光，她抓住玉光奇特地一扭，一套亮光光、银晃晃的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件东西儿，一边 膨胀，一边发出“咻咻”的疑声。……猛然间壮扭公主狂鬼般地秀了一个滚地抽动叹蛋黄的怪异把戏，，只见她震地摇天、夯锤一般的金刚大脚中，猛然抖出四十片 甩舞着¤飞轮切月斧→的森林玻璃耳虎状的猪精，随着壮扭公主的抖动，森林玻璃耳虎状的猪精像糖块一样在双臂上明丽地调整出朦胧光盔……紧接着壮扭公主又使 自己涂绘着自娱自乐、充满童趣的梦幻纹身隐出暗白色的鸡妖味，只见她白绿双色条纹包中，轻飘地喷出三十团转舞着¤飞轮切月斧→的漩涡状的仙翅枕头蝇拍，随 着壮扭公主的旋动，漩涡状的仙翅枕头蝇拍
高二数学选修4-4参数方程知识点总结
高二数学选修4-4参数方程知识点总结参数方程是解决实际问题的重要的数学模型，高二学习的重要内容之一，下面是店铺给大家带来的高二数学选修4-4参数方程知识点，希望对你有帮助。
高二数学参数方程知识点高二数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
(5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
(6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。
如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
(8)经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
(9)无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。
高二数学选修4-4单元测试题1.极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是 .2.已知圆的极坐标方程，直线的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为_________.3.在极坐标系下，直线与圆的公共点个数是_______.4.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .5.在极坐标系中，圆的极坐标方程是 .现以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则圆的半径是，圆心的直角坐标是.6.在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则________ _.7. 设、分别是曲线和上的动点，则、的最小距离是 .8.已知曲线、的极坐标方程分别为， ( ). 则曲线与交点的极坐标为 .9.在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是 .10.在极坐标系下，已知直线的方程为，则点到直线的距离为__________.11.在极坐标系中，点到直线：的距离为__________.12.过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为 .13.在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为，则 ( 为极点)所在直线被曲线所截弦的长度为 .14.在极坐标系下，圆的圆心到直线的距离是 .15.已知直线的极坐标方程为，则点(0,0)到这条直线的距离是 .16.在极坐标系中，曲线截直线所得的弦长为 .17.在极坐标系中，点关于极点的对称点的极坐标是.18.若直线与直线垂直，则常数 = .19. 在直角坐标系中，曲线的极坐标方程为，写出曲线的直角坐标方程____ ____.20.在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，，则△(其中为极点)的面积为 .21.在极坐标系中，曲线截直线所得的弦长等于 .22.在极坐标系( ，)( )中，曲线与的交点的极坐标为______________.23.点M，N分别是曲线上的动点，则|MN|的最小值是 .24.在极坐标系中, 圆上的点到直线的距离的最大值是 .25.在极坐标系中，直线被曲线：所截得弦的中点的极坐标为 .26.以极坐标系中的点为圆心，为半径的圆的直角坐标方程是 .27. 圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为，该圆的面积为 .28.同时给出极坐标系与直角坐标系，且极轴为，则极坐标方程化为对应的直角坐标方程是 .29.在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 __ .30.在极坐标系中，点与点关于直线对称，则 =____________.31.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是，它与方程所表示的图形的交点的极坐标是 .32.在极坐标系中，点和点的极坐标分别为和，为极点，则的面积= .33.在极坐标系中,和极轴垂直相交的直线与圆相交于、两点,若 ,则直线的极坐标方程为 .34.已知直线的极坐标方程为，则点到这条直线的距离为____.35.两直线，的位置关系是__________. (判断垂直或平行或斜交)36.在极坐标系中，是圆，则点A 到圆心C的距离是 .37.在极坐标系中，曲线的中心与点的距离为 .38.在极坐标系下，圆与圆的公切线条数为 .39.在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为 .40.在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 .。
数学的参数方程公式有哪些
数学的参数方程公式有哪些直线参数方程是高中数学在解析几何这一模块中非常重要的知识点,也是整个高中数学的一大难题,接下来店铺为你整理了数学参数方程公式，一起来看看吧。
数学参数方程公式数学参数方程概念一般在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
圆的参数方程x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径θ为参数椭圆的参数方程x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴长 b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数直线的参数方程x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.数学学习技巧一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用“不清楚立即翻书”之举。
认真独立完成作业，勤于思考，对于有些题目，由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯。
高二数学参数方程讲课文档
第一页，共9页。
一、复习引入：
求轨迹方程的一般步骤
圆的参数方程及参数的几何
意义
第二页，共9页。
二、讲授新课：
问题:
第三页，共9页。
与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.
练习1： 将下列参数方程化为普通方程,普通
方程化为参数方程:
第四页，共9页。
例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0) 为半径作两个大圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点， 过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足
第八页，共9页。
练习2：
1、
第九页，共9页。
为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程 。
第五页，共9页。
解:
第六页，共9页。
y
A
BM
O
N
x
问题:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?名称方程各元素的几何意义圆
椭圆
第七页，共9页。
例2、如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直 线l:x-y+4=0的距离最小.
Y
P
O l
X
高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)
5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线 ） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（ ）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
3 2
人教版高二数学2-2第二章参数方程
4-4第二章 参数方程【知识点梳理】一、参数方程的概念：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称 参数 . 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
二、几种常见的参数方程1．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 0≤α<π．2．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝btan θ(θ为参数，0≤θ≤2π且2π3θ，2πθ≠≠)．，则{，有sec 2θ-tan 2θ=1(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．三、参数方程与普通方程的互化将参数方程化成普通方程的常用方法有： (1)代数法消去参数①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程. (2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程. (3)注意事项① 互化中必须使,x y 的取值范围保持一致. ② 同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.几种常见的参数方程例1：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.【答案】 (1)⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝t sin 60°，即⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数).(2)过点P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________.【答案】 ⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2【解析】∵直线l 过点P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即(t 为参数)⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2.(3)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________. 【解析】方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.(4)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( ) A.40° B.50° C.－45° D.135°【答案】 D 【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.例2：(1)圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A.(0,2)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(2,0)【答案】 D 【解析】 由圆的参数方程知，圆心为(2,0). (2)圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 【答案】 D 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π)).故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π).例3：(1)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ的长轴长和短轴长分别为( )A.3 2B.6 2C.3 4D.6 4【答案】 D 【解析】 由方程可知a ＝3，b ＝2，∴2a ＝6,2b ＝4.(2)曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________.【答案】 23 【解析】由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3，b ＝5，得a 2＝9，b 2＝5，⇒c 2＝4，所以e＝c a ＝23. 例4：双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________.【答案】 (－5,0)，(5,0)【解析】 曲线C 的普通方程为x 29－y 216＝1，得焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)参数方程与普通方程的互化例1：(1)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】 把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x .(2)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝t ＋1(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2.(3)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.【解析】由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得x 2＋y 2＝1.(4)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是________【解析】由y ＝－1＋cos 2θ，可得y ＝－2sin 2θ， 把sin 2θ＝x －2代入y ＝－2sin 2θ，可得y ＝－2(x －2)， 即2x ＋y －4＝0. 又∵2≤x ＝2＋sin 2θ≤3，∴所求的方程是2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)，它表示的是一条线段. (5)将(x －2)2＋y 2＝1化为参数方程是 【解析】令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．【练一练】1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为( )A.y ＝0B.x ＋y ＝0C.x －y ＝0D.2x ＋y ＝0【答案】 D 【解析】 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C的坐标为(－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.2.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝cos 2t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝sin 2t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－tan 2t (t 为参数) 【答案】 D【解析】 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1]. D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈(－∞，1].参数方程的应用【例1】(1)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________. 【答案】 (1,1) 【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，(x ≥0，y ≥0)，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1).(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________.【答案】 3 【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【例2】已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上.(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.【例3】已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(θ为参数)． (1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和圆C 相交．【例4】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解 (1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0. ∴(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， ∴4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离d ＝14，∴|AB |＝2× 1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.。
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tanα（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆+＝1（a＞b＞0）（θ为参数）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tanα（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆+＝1（a＞b＞0）（θ为参数）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
高中数学参数方程知识点大全-参数方程 高中
高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（ ） A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解： ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y xA.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21) C.双曲线的一支，这支过(-1，21)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=21x 2(x ＞0). ∴应选B. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=21代入，得y=21 ∴应选C.例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==ty t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==，即x 2y=1，故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cos θ=ρ2=OPOB ，得ρcos θ=2，∴应选B.例10 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ 把ρ=22y x + ρcos θ=x ，代入上式，得222y x +=2x-5.平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线. ∴应选D.例11 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲 线：①θ=6π和sin θ=21；②θ=6π和tg θ=33，③ρ2-9=0和ρ= 3；④ ⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M ，N 两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2πD.关于极轴对称 5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线 6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 2152317.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是( )A.)(12222a xb y a x ≠=+B.)(12222a x b y a x -≠=+ C.)(12222a x b y a x ≠=-D.)(12222a x by a x -≠=-8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1, -3π),r=29.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方 程为( )A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21±C.y-1=)2(2+±xD.y+1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A.3π B.32πC.3π或32π D. 3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M ，N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是( )A ．θθρsin cos 23-=B ．θθρcos cos 23-=C ．θθρsin 2cos 3-=D ．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时 ，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左 半部分交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在?并说明理由 . (2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ，B 为椭圆2222by a x +=1，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l ∶812y x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且 满足│OQ │·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x ≤21);18.抛 物线；19.135°,|32t|(三)20.(5154,558)；21.;33222.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。
参数方程_精品文档
参数方程参数方程是一种数学描述形状的方法，通过给定参数的范围，可以得到一系列点的坐标，进而得到形状。
在许多科学和工程领域中，参数方程被广泛应用。
什么是参数方程参数方程是一种使用参数变量来描述形状的方法。
通常情况下，我们使用的坐标系是直角坐标系，其中一个点的坐标由它在 x 轴和 y 轴上的投影得到。
但是在参数方程中，我们使用参数变量 t 来表示一个点的位置。
通过改变参数 t 的值，我们可以得到一系列点的坐标，这些点连接在一起可以形成一个曲线。
参数方程的表示方法参数方程可以用以下形式表示：x = f(t)y = g(t)这里的 f(t) 和 g(t) 是两个关于参数变量 t 的函数。
通过给定参数 t 的范围，我们可以计算出相应的 x 和 y 坐标。
参数方程的例子让我们来看一个简单的例子：绘制一个圆。
圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中 r 是圆的半径，t 是参数变量，在范围[0, 2π] 内变化。
通过改变参数 t 的值，我们可以计算出圆上一系列点的坐标，从而绘制出整个圆。
参数方程的优点参数方程有一些独特的优点，使它在某些情况下比直角坐标系更有用：1.参数方程可以轻松地描述曲线的弯曲和扭曲，而直角坐标系可能需要更复杂的表达式。
2.参数方程可以很容易地绘制出一些具有特殊形状的曲线，如椭圆、双曲线等。
3.参数方程可以轻松地描述一些与时间相关的现象，如物体在空中的轨迹。
参数方程的应用参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.物理学中，参数方程可以用来描述物体在空间中的运动轨迹，如抛体运动、行星运动等。
2.工程学中，参数方程可以用来描述曲线的形状，如航线规划、平面曲线设计等。
3.计算机图形学中，参数方程可以用来描述二维和三维模型的形状，如计算机动画、三维建模等。
参数方程的总结参数方程是一种描述形状的方法，通过使用参数变量 t，我们可以得到一系列点的坐标，从而形成曲线或者其他形状。
高考参数方程知识点讲解
高考参数方程知识点讲解高考数学中，参数方程是一个比较重要的知识点。
参数方程是一种以参数形式表示的函数，通过引入一个或多个参数，可以更灵活地描述图形在坐标平面上的运动轨迹。
接下来，我们将对参数方程的相关知识点进行讲解。
1. 参数方程的概念及表示方式在解析几何中，参数方程是用参数表示一个集合点的位置所满足的运算关系。
一般来说，参数方程通过引入独立变量（或称为参数），从而将平面上的点与参数之间建立起一种对应关系。
参数方程的标准形式可以写作：x = f(t)，y = g(t)，其中x和y是平面上的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。
2. 参数方程的图形表示参数方程可以用于描述一条曲线在平面上的运动轨迹。
以二维平面为例，我们可以通过改变参数t的取值范围，使得曲线上的点在平面上运动。
通过适当地选择参数的取值范围，可以得到曲线的各个特点，例如曲线的形状、方向等。
3. 参数方程与直角坐标方程的转换在解题时，有时我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程表示为参数方程。
这种转换可以帮助我们更好地理解和分析问题。
将直角坐标方程转换为参数方程时，我们可以通过引入适当的参数，将曲线上的点与参数建立起一一对应的关系，从而得到参数方程的表示式。
相反地，将参数方程转换为直角坐标方程时，我们需要通过消元法或代数运算将参数方程表示为关于x和y的等式。
这样，在直角坐标系下，我们可以得到曲线的方程。
4. 参数方程的应用参数方程在物理学、力学等领域有着广泛的应用。
通过引入参数，我们可以更好地描述和分析运动过程中物体的位置、速度、加速度等物理量。
在几何学中，参数方程可以用于描述曲线的性质和形状。
例如，通过引入角度参数，我们可以得到单位圆的参数方程，进而分析圆的性质。
参数方程也可以用于描述曲线的运动轨迹、曲率等特征。
此外，参数方程还可以用于解决几何题。
在解题过程中，我们可以通过构造合适的参数方程，将问题转化为方程组求解或参数边界求解等数学问题。
参数方程知识点总结
参数方程知识点总结
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，而联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。
参数方程的一般形式为x=f(t)，y=g(t)，其中x、y是曲线上某一点的坐标，t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
一些常见的参数方程包括：
圆的参数方程：x=a+r cosθ，y=b+r sinθ，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆半径，θ为参数。
椭圆的参数方程：x=a cosθ，y=b
sinθ，其中a为长半轴长，b为短半轴长，θ为参数。
双曲线的参数方程：x=a secθ，y=b tanθ，其中a为实半轴长，b为虚半轴长，θ为参数。
抛物线的参数方程：x=2pt^2，y=2pt，其中p表示焦点到准线的距离，t为参数。
直线的参数方程：x=x'+tcosa，y=y'+tsina，其中x',y'表示直线经过的点，a表示直线的倾斜角，t为参数。
参数方程的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有重要的应用。
此外，在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。
总结来说，参数方程是数学中的一个重要工具，它可以用来表示各种复杂的曲线和曲面，并且在解决实际问题中具有广泛的应用。
学习和掌握参数方程的概念和应用，对于提高数学能力和解决实际问题都具有重要的意义。
高二数学必修2直线的参数方程知识点
高二数学必修2直线的参数方程知识点直线参数方程是高二数学必修2这一模块中非常重要的知识点，那么有哪些知识点需要学生掌握?下面是店铺给大家带来的高二数学直线的参数方程知识点，希望对你有帮助。
高二数学必修2直线的参数方程知识点直线的参数方程：过定点倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)。
直线的参数方程及其推导过程：设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右(l的倾斜角为0)的单位方向向量(单位长度与坐标轴的单位长度相同).直线l的倾斜角为α，定点M0、动点M的坐标分别为直线的参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M到定点Mo的距离，当同向时，t取正数;当异向时，t取负数;当点M与Mo重合时，t=0.高二数学必修2抛物线的参数方程知识点抛物线的参数方程：如图，抛物线y2=2px(p>0)(或x2=2py(p>0))的参数方程为(或)(t为参数，t∈R)。
几何意义为：t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
即M(x,y)为抛物线上任意一点，则有抛物线的参数方程的推导：设抛物线的普通方程为因为点M在α的终边上,根据三角函数的定义可得由(5)(6)解出x,y，得到这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程。
如果令，则有当t=0时，由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点(0，0)，因此时，参数方程就表示抛物线。
高二数学必修2双曲线的参数方程知识点双曲线的参数方程：双曲线的参数方程是(θ是参数，0≤θ<2π，)。
双曲线的参数方程是双曲线上任意点M的坐标可设为双曲线的普通方程和参数方程的关系:。
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参数方程 考点要求1 了解参数方程的定义。
2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。
会选择适当的参数，写出他们的参数方程。
并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。
3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。
考点与导学1参数方程的定义：在取定的坐标系中。
如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (t ∈T) （1） 这里T 是)(),(t g t f 的公共定义域。
并且对于t 的每一个允许值。
由方程（1）所确定的点),(y x M 。
都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。
2过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线l 的参数方程（I ）⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（i ）通常称（I ）为直线l 的参数方程的标准形式。
其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p 0的数量。
t>0时，p 在0p 上方或右方；t<0时，p 在0p 下方或左方，t=0时，p 与0p 重合。
（ii ）直线的参数方程的一般形式是：⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）这里直线l 的倾斜角α的正切ba =αtan （00900==αα或时例外）。
当且仅当122=+b a 且b>0时. （1）中的t 才具有（I ）中的t 所具有的几何意义。
2 圆的参数方程。
圆心在点),,(00'y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3 椭圆12222=+by a x 的参数方程。
⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） 4 双曲线12222=-b y a x 的参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）5 抛物线px y 22=的参数方程。
⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数）例1 已知某曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=221aty tx （其中t 是参数，R a ∈）,点M （5，4）在该曲线上。
（1）求常数a ；（2）求曲线C 的普通方程。
解：（1）由题意可知有⎩⎨⎧==+45212at t 故 ⎩⎨⎧==12a t ∴1=a （2）由已知及（1）可得，曲线C 的方程为⎩⎨⎧=+=221ty t x 由第一个方程得21-=x t 代入第二个方程得：2)21(-=x y 。
即y x 4)1(2=-为所求。
〔点评〕 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。
若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过)(),(t g y t f x ==。
根据t 的取值范围导出y x ,的取值范围。
例2 圆M 的参数方程为03sin 4cos 4222=+--+R Ry Rx y x αα（R>0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M 的半径。
（2）当R 固定，α变化时。
求圆心M 的轨迹。
并证明此时不论α取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆。
解：（1）依题意得 圆M 的方程为222)sin 2()cos 2(R R y R x =-+-αα 故圆心的坐标为M （R R R 半径为).sin 2,cos 2αα。
（2）当α变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2R y R x （其中α为参数）两式平方相加得2224R y x =+。
所以所有的圆M 的轨迹是圆心在原点。
半径为2R 的圆由于RR R R R R R R R R +==+-==+2)sin 2()cos 2(32)sin 2()cos 2(2222αααα所以所有的圆M 都和定圆222Ry x =+外切，和定圆2229R y x =+内切。
〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。
例3已知A ，B 分别是椭圆193622=+y x 的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求∆ABC 的重心的轨迹的普通方程。
解：由动点C 在椭圆上运动，可设C 的坐标为（6cos θ,3θsin ）,点G 的坐标为),(y x .依题意可知：A （6，0），B （0，3） 由重心坐标公式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=θθθθsin 13sin 330cos 223cos 606y x 由此得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2(sin 1)1(cos 22θθy x 得22)2()1(+ 1)1(4)2(22=-+-y x 即为所求。
〔点评〕①本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。
运用参数方程显得很简单。
运算更简便。
常用于解决有关最值问题。
②“平方法”是消参的常用方法。
例4求经过点（1，1）。
倾斜角为0135的直线截椭圆1422=+y x 所得的弦长。
解：由条件可知直线的参数方程是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 221221（t 为参数）代入椭圆方程可得： 1)221(4)221(22=++-t t 即0123252=++t t 设方程的两实根分别为21,t t 。
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+525262121t t t t 则直线截椭圆的弦长是 5264)(2122121=-+=-t t t t t t 〔点评〕利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。
但必须注意：直线的参数方程必须是标准形式。
即 ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00（t 为参数）当122=+b a 且b>0时才是标准形式。
若不满足122=+b a 且b>0两个条件。
则弦长为 d=212)(1t t ab -+〔解题能力测试〕1 已知某条曲线的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21)1(21a a y aa x 其中a 是参数。
则该曲线是（ ）A 线段B 圆C 双曲线的一部分D 圆的一部分2 已知某条曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=12322t y t x )50(≤≤t 则该曲线是（ ）A 线段B 圆弧C 双曲线的一支D 射线3实数y x ,满足191622=+y x ，则y x z -=的最大值为： ；最小值为 。
4已知直线l 的斜率为1-=k .经过点)1,2(0-M。
点M 在直线上，以−−→−MM 0的数量t 为参数.则直线l 的参数方程为： 。
5 已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+=ααcos 2sin 1t y t x （t 为参数） 其中实数α的范围是),2(ππ。
则直线l 的倾斜角是： 。
〔潜能强化训练〕 1 在方程⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x （θ为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为 （ ）A )7,2(-B )32,31( C )21,21( D )0,1(2下列参数方程（t 为参数）与普通方程02=-y x 表示同一曲线的方程是（ ）A ⎩⎨⎧==t y t x B⎩⎨⎧==ty tx 2cos cos C ⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1tan D ⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tx 2cos 12cos 1tan 3 直线0943=--y x 与圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数）的位置关系是（ ）A 相切B 相离C 直线过圆心D 相交但直线不过圆心。
4 设直线⎩⎨⎧-=+=ααsin 2cos 1t y t x （t 为参数）。
如果α为锐角，那么直线01:21=+x l l 到直线的角是（ ） Aαπ-2 B απ+2C αD απ- 5 过点（1，1），倾斜角为o135的直线截椭圆1422=+y x 所得的弦长为（ ） A522 B 524 C 2 D5236 双曲线⎩⎨⎧==θθsec tan 3y x （θ为参数），那么它的两条渐近线所成的锐角是： 。
7 参数方程⎩⎨⎧+==θθθcos sin 2sin y x （θ为参数）表示的曲线的普通方程是： 。
8 已知点M （2，1）和双曲线1222=-y x ，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l 的方程。
9 已知椭圆的中心在原点。
焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2。
直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==tm y tx 2（t 为参数）。
当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？１0、求椭圆1121622=+y x 上的点到直线0122:=--y x λ的最大距离和最小距离。
〔知识要点归纳〕1． 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的一种表示形式，而且有的参数还有几何意义或物理意义。
2． 面临一个轨迹问题，如何选择参数？如何用参数？是主要问题，必须在学习过程中深刻去领会。
3． 在参数方程与普通方程互化过程中，要注意等价性。
四、参数方程 〔解题能力测试〕1．C 2、A 3、5，-5 4、2212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩5、32πα-〔潜能强化训练〕1、C2、D3、C4、B5、B6、6007、21(11)y x x =+-≤≤8、490x y +-= 9、5m =±10、max min 5d d ==。