高二数学参数方程

参数方程 考点要求

1 了解参数方程的定义。

2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。会选择适当的参数，写出他们的参数方程。并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。 3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。 考点与导学

1参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数

⎩⎨

⎧==)

()

(t g y t f x (t ∈T) （1） 这里T 是)(),(t g t f 的公共定义域。并且对于t 的每一个允许值。由方程（1）所确定的点

),(y x M 。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。

2过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线l 的参数方程

（I ）⎩

⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）

（i ）通常称（I ）为直线l 的参数方程的标准形式。其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p 0的数量。

t>0时，p 在0p 上方或右方；t<0时，p 在0p 下方或左方，t=0时，p 与0p 重合。

（ii ）直线的参数方程的一般形式是：⎩

⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）

这里直线l 的倾斜角α的正切b

a =

αtan （0

0900==αα或时例外）。当且仅当122=+b a 且b>0时. （1）中的t 才具有（I ）中的t 所具有的几何意义。

2 圆的参数方程。

圆心在点),,(00'

y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨

⎧+=+=θ

θ

sin cos 00r y y r x x （θ为参数）

3 椭圆122

22=+b

y a x 的参数方程。

⎩

⎨

⎧==θθ

sin cos b y a x （θ为参数） 4 双曲线122

22=-b y a x 的参数方程：⎩⎨⎧==θ

θtan sec b y a x （θ为参数）

5 抛物线px y 22

=的参数方程。⎩⎨⎧==pt

y pt x 222

（t 为参数）

例1 已知某曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=2

21at

y t

x （其中t 是参数，R a ∈）,点M （5，4）在该曲线上。（1）求常数a ；（2）求曲线C 的普通方程。 解：（1）由题意可知有⎩⎨

⎧==+4

5

212

at t 故 ⎩⎨

⎧==1

2

a t ∴1=a （2）由已知及（1）可得，曲线C 的方程为⎩⎨⎧=+=2

21t

y t x 由第一个方程得21

-=x t 代入第二个方程得：2

)2

1(

-=x y 。即y x 4)1(2=-为所求。 〔点评〕 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过)(),(t g y t f x ==。根据t 的取值范围导出y x ,的取值范围。 例2 圆M 的参数方程为03sin 4cos 42

2

2

=+--+R Ry Rx y x αα（R>0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M 的半径。（2）当R 固定，α变化时。求圆心M 的轨迹。并证明此时不论α取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆。

解：（1）依题意得 圆M 的方程为2

2

2

)sin 2()cos 2(R R y R x =-+-αα 故圆心的坐标为M （R R R 半径为).sin 2,cos 2αα。

（2）当α变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==α

α

sin 2cos 2R y R x （其中α为参数）两式平方相加得

2224R y x =+。所以所有的圆M 的轨迹是圆心在原点。半径为2R 的圆

由于

R

R R R R R R R R R +==+-==+2)sin 2()cos 2(32)sin 2()cos 2(2222αααα所以所有的圆M 都和定圆2

22R

y x =+外切，和定圆2

229R y x =+内切。

〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。

例3已知A ，B 分别是椭圆19

362

2=+y x 的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求∆ABC 的重心的轨迹的普通方程。

解：由动点C 在椭圆上运动，可设C 的坐标为（6cos θ,3θsin ）,点G 的坐标为),(y x .

依题意可知：A （6，0），B （0，3） 由重心坐标公式可知

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=++=+=++=θθθθsin 13sin 330cos 223cos 606y x 由此得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2(sin 1)1(cos 22θθy x 得2

2)2()1(+ 1)1(4

)2(22

=-+-y x 即为所求。 〔点评〕①本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。②“平方法”是消参的常用方法。

例4求经过点（1，1）。倾斜角为0

135的直线截椭圆14

22

=+y x 所得的弦长。 解：由条件可知直线的参数方程是：⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧

+=-=t y t

x 2

2122

1（t 为参数）代入椭圆方程可得： 1)221(4)

221(22=++-

t t 即01232

52=++t t 设方程的两实根分别为21,t t 。

则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=

-=+525262121t t t t 则直线截椭圆的弦长是 5264)(2

122121=-+=-t t t t t t 〔点评〕利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。但必须注意：直线的参数方程必须是标准形式。即 ⎩⎨

⎧+=+=bt

y y at x x 00（t 为参数）当12

2=+b a 且b>0时才是标准形式。若不

满足12

2=+b a 且b>0两个条件。 则弦长为 d=212

)(1t t a

b -+

〔解题能力测试〕

1 已知某条曲线的参数方程为：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21)1(21a a y a

a x 其中a 是参数。则该曲线是（ ）

A 线段

B 圆

C 双曲线的一部分

D 圆的一部分