由传递函数转换成状态空间模型(1)

由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统

高阶微分方程化为状态空间表达式

SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211

)(2

211110n

n n n m

m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=--- 假设1+=m n

外部描述

←—实现问题：有了部结构—→模拟系统

部描述

SISO ⎩

⎨⎧+=+=du cx y bu Ax x

实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、

直接分解法

因为

1

0111

11()()()()()()()()

1m m m m

n n n n

Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----⨯=⨯

=⨯++++++++

⎩⎨⎧++++=++++=----)

()()()

()()(11

11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m 对上式取拉氏反变换，则

⎩

⎨⎧++++=++++=----z a z a z a z u z

b z b z b z b y n n n n m m m m 1)

1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z

x z x ，于是有

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+----===-u x a x a x a x

x x

x x n n n n 12113

221 写成矩阵形式

式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。 则输出方程

121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--

写成矩阵形式

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--n n m m x x x x b b b b y 12101

1][ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。

在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。

例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。

4

2383)()(2

3++++=s s s s

s U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即

u x x x u x x x a a a x x x ⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100324100010

100100010321321123

321 ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32132101

2

]083[][x x x x x x b b b y 若选择状态变量[]T

n x x x x 21

=满足下列条件（如何考虑？）

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎨

⎧----+++=----+++=--++=-+==------------u b u b u b y a y a y x u b u b u b y a y a y x u b u b y a y a y x u b y a y x y x m m m n n n m m m n n n n n n

)2(1)1(0)2(1)1(11)3(1)2(02)3(1)2(210212011 考虑式

()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211

设系统的输出n x y =，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带入第三式；依次类推，便得到

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨

⎧+-=+-=+-=+-=-----u b x a x x u b x a x x u b x a x x u

b x a x n n n

n n n m n n m n n 0111221

11121 写成矩阵形式

u b b b b x x x x a a a a x x x x m m n n n n n n n I

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----011121121

11210

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n x x x x y 121]1000[

式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的A 阵和c 阵具有上式的形式，b 阵的形式可以任意，则称之为能观标准型

从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A 是互为转置，能控标准型输入阵b 和能观标准型输出阵c 互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶关系。将在第六章进一步讨论。

通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：

（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。

（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵A 的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B 的元素。

（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即n m =，状态空间表达式的输出方程中才出现Du 项，否则D 为零阵。 例：求前例的能观标准型的状态空间模型 解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即

u x x x x x x

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡083310201400321321