第二章离散系统的振动微分方程课件

2.3 振动微分方程的建立
广义坐标 广义速度 广义加速度 外力向量
x x1, x2 , , xi , , xn

T
x 1 , x 2 , , x i , , x n T x
1 , 2 , , i , , n T x x x x x
Ts kt
2
1 势 能 ：U kx 2
3.阻尼元件
---无质量、无弹性、线性耗能元件
平动： 转动：
Fd c x
力、阻尼系数和速度的单位分 别为N、N s/ m和m/s。 力矩、扭转阻尼系数和角速度的单 位分别为Nm、 Nms / rad和rad/s
Td ct
n t
耗散能：
i d xi P 0c i x
i 1
i 1
0
n
t
i2 d t ci x
2.2 力学基础
2.2 力学基础
2.2 力学基础
2.2 力学基础
2.2 力学基础
2.3 振动微分方程的建立
一.单自由度系统
1. 力法 工具：牛顿第二定律、质系动量矩定理 步骤： 1）建立广义坐标
由D’Alembert原理得到
(2 g / l ) y 0 y
2.3 振动微分方程的建立
2. 能量法 工具：机械能守恒定律 步骤：
当系统中质量较 多时，用此方法
1）建立广义坐标。建立方法与前者相同。 2）写出系统的动能V、势能U和耗散能P
n t n t
i d xi c i x i2 d t P 0c i x 0
k n 1 k n kn

C x K x F t M x
2.3 振动微分方程的建立
质量矩阵 (对称、正定)
m 1 0 0 m2 M 0 mi 0 0 0 mn
1 1 2 2 Ve J 1e 2 J 2 2 2 2
∵
Ve V
J 1e J 1 / i
2
2.3 振动微分方程的建立
三. 多自由度系统
1. 力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理
例 2-10
（1）建立广义坐标。 质量mi 的位移xi，质 量mi静平衡位置为原 点，方向向右为正。 （2）隔离体受力分析

C x K x F t M x
2.3 振动微分方程的建立
2. 视察法（力法的物理意 义） 质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的特点
1) 质量矩阵[M]是对角矩阵，对角元mii=mi，即第i个对角元 素就是第i个质量元件的质量。 2) 阻尼矩阵[C]是对称矩阵，对角元cii为所有与第i个质量元 件相连接的阻尼元件阻尼系数之和（等效阻尼），非对 角元cij = cji ，连接第i个质量元件和第j个质量元件的阻尼 元件阻尼系数之和是cij 。 3) 刚度矩阵[K] 是对称矩阵，对角元kii为所有与第i个质量元 件相连接的弹性元件刚度之和（等效刚度），非对角元 kij = kji ，连接第i个质量元件和第j个质量元件的弹性元件 刚度之和是kij 。
等效刚度
k t1e k t1 / i 2
2.3 振动微分方程的建立
2. 等效阻尼
计算方法：（类似于等效刚度）
n n 1 1 串联阻尼： ce i 1 ci
并联阻尼： c e c i
i 1
传动系统：传动比i，主动轴扭转阻尼系数ct1，从动轴 扭转阻尼系数ct2，主动轴向从动轴等效时， 主动轴等效扭转阻尼系数 ct1e=ct1 / i 2
m g l sin 0 m l 2
sin
（g l） 0
2.3 振动微分方程的建立
建立图示U形管中液柱振动 的微分方程。（截面积a，液柱长 ） l
例2-5
建立广义坐标。设系统平衡时液面 的位置为广义坐标的零位，液柱沿 直管上升的距离y为广义坐标。 受力分析 图2-5 U形管
2 c
Tm J
2
1 1 ， 刚体移动： V mx V mx 动 质点平动： 2 2 能 1 刚 体 转 动 ： V J 2
2
2.弹性元件
---无质量、不耗能，储存势能的元件
平动： 转动：
Fs k x
力、刚度和位移的单位分别为 N、N / m和m 。 力矩、扭转刚度和角位移的单位 分别为Nm、 Nm / rad和rad
2）作质量元件的隔离体受力分析图
3）建立振动微分方程并整理成标准的形式
2.3 振动微分方程的建立
例2-3 建立图示系统在铅垂方 向振动的微分方程。
建立广义坐标。取质量元件沿铅垂 方向的位移作为广义坐标x。原点在 系统的静平衡位置，向下为正。 图2-3 有阻尼单自由度系统 隔离体受力分析 由力学原理得到
C x K x F t M x
2.3 振动微分方程的建立
阻尼矩阵 (对称)
c1 c2 c 2 0 C 0 c2 c2 c3 0 c3 ci c i c i 1 c i 1 c n 1 c n 1 c n 0 cn 0 cn c n c n 1 0
mg F (t ) m k ( x ) cx x
cx kx F (t ) m x
2.3 振动微分方程的建立
例2-4
建立图示单摆作微小振动的
微分方程。
建立广义坐标。单摆偏离平衡位置 的转角θ，坐标零位在铅垂位置， 逆时针方向为正。 图2-4 单摆 隔离体受力分析 由动量矩原理得到
广义位移、速度、加 速度均为正
n个自由度的系统
2.3 振动微分方程的建立
（3）建立方程
1 c 2 (x 1 x 2 ) k 1 x1 k 2 ( x1 x 2 ) m1 1 F1 (t ) c1 x x

i x i 1 ) c i 1 ( x i x i 1 ) k i ( x i x i 1 ) k i 1 ( x i x i 1 ) m i i Fi (t ) c i ( x x
2.1 实际系统离散化的力学模型
例2-2
二.离散化的力学模型 （“三要素”） 1.质量元件
---无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件
平动： 转动：
Fm m x
力、质量和加速度的单位分别 为N、kg和m / s 2。 力矩、转动惯量和角加速度的单位分别 为Nm、kg m 2和rad / s 2
) ] 0
2.3 振动微分方程的建立
二. 等效系统 单自由度振动系统微分方程的一般形式
ce x ke x F ( t ) 平动： m e x
c t kt 转动： J e e e
T (t )
多个质量（弹性、阻尼）元件等效为一个质量（刚度、阻尼）元件。 连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件。
2.3 振动微分方程的建立
传动系统
等效前势能
速比 i 2 / 1. 1 U k t1 12 k t 2 22 2 1 22 2 k t1 2 k t 2 2 2 i


等效后势能
传动系统
2 2 U e k t1e 2 / 2 kt2 2 /2
第二章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型 2.2 力学基础
2.3 振动微分方程的建立
2.4 振动微分方程的一般形式
第二章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
一.实际系统的离散化 依 据
简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用形式和 分析结果的精度要求等
i 1 i 1
关键是要清楚各个 元件的能量表达式
3）利用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量守恒原理
d （V U P ） / d t 0
得到的方程经整理，线性化后就能得到系统的振动 微分方程。
2.3 振动微分方程的建立
例2-6 建立图示系统作微振动 的微分方程。 解：
建立广义坐标。 选θ为 广义坐标，逆时为负， OB静止时θ 为零，则 x1=a θ ，x2=2a θ 。
原 则
• • • • 弹性较小而质量较大的构件 质量较小而弹性较大的构件 阻尼较大的部分 质量、弹性和阻尼均布 → → → →
振动力学系 质量元件 统“三要素” 弹性元件 阻尼元件 质量、弹性、阻尼均有的单元
2.1 实际系统离散化的力学模型
例2-1
机组质量集中 为一个质量元 件，弹性支承 简化成并联的 弹簧和阻尼器。
图2-6 多质量系统
2.3 振动微分方程的建立
系统的动能V
势能U
耗散能P 由能量守恒原理得到
1 1 2 2 2 2 V m 1 a 2 m 2 a m 3 a 2 2 2 2 1 1 1 9 U k 1 a 2 2 k 2 4a 2 2 k 3 a 2 2 2 2 2 4
等效弹簧刚度
Fx (
i 1

n
ki ) x
n
Fx ki ke x i 1
并联弹簧
2.3 振动微分方程的建立
串联弹簧
等效弹簧刚度
Fx 1 ke n 1 x
k
i 1
i
x
x
i 1 i i 1
n
n
n Fx 1 Fx ki i 1 ki
串联弹簧
∵
Ve V