运筹学图论

(a)
图7-5
(b)
(c)
一、求解最小生成树的破圈算法
算法的步骤：
1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两
条或两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉 其中一条）。
3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余 下的图即为最小生成树，否则返回第1步。
例1： 如何架设电话线，使得耗材最少？
●D
● E
●F
案例2： 某厂办公室在三天内开一个会，请10位领导 第一天上午开幕式A 第三天下午闭幕式F 每天每位领导只能开半天会。
领导
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
内容
A
√√√
√
√√
B
√
√
√√
C
√
√√√
√
D
√
√
√
E
√
√√
F
√√
√
√√
A●
B ●
A-E-B-C-D-F
C●
●D
A-E-C-B-D-F
● E
●F
二、七桥问题
A
哥尼斯堡的 普雷格尔河
C
D
B
提出问题：一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只 走过一次，最后回到出发点。
1973年，欧拉将此问题归结为如图所示的一笔画问 题。
·A
d(A)=3
C·
·D d(B)=3
d(C)=5
·B
d(D)=3
将点看成事物，边看成事物与事物的联系。
秩为奇数的为奇顶点；秩为偶数的为偶顶点。
5 8
避圈法： 最小支撑树=22
5-3 最短路问题
• 最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找到一条 从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称 之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt 的距离。
• 一、Dijkstra算法 • 1、思路： • 这种算法的基本思路是：假定V1-V2-V3-V4是V1-V4的最短路。 • 2、假设： • 若用dij表示两相邻点i与j的距离，若i与j不相邻，令dij=∞，显然dii=0。 • 3、步骤： • （1）从点s出发，因Lss=0，将此值标注在s旁的小方框内，表示s点已标
e2
(v1) 赵
e1 e3
e4
(v2)钱 孙(v3) 李(v4)
周பைடு நூலகம்v5)
图5-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图5-3就是
一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图7-5中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。
如果图G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树， 在图7-5中，(c)就是(a)的生成树。
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
至少存在一条链，则G为连通图。 5、回路：若路的第一个点和最后一个点相同，则该
路为回路。
6、赋有的权一权图个 。：数对wi一j，个则无称向图图G为G的赋每权一图条，边wi(j称vi,v为j)，边相(vi应,vj)地上
7、网络：在赋权的有向图D中指定一点，称为发点， 指定另一点称为收点，其它点称为中间点，并把D 中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就称为网 络。
第五章 图与网络分析
§1 图与网络的基本概念 §2 最小生成树问题 §3 最短路问题 §4 最大流问题
5-1 图与网络的基本概念
一、图与网络的基本概念
1、图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表
示，图7-1就是一个表示这种关系的图。
如何一个图都可以由边的集合和点的集合所组成。
点——不考虑位置；边——不考虑形状与联系； 欧拉定理：
a、一个图奇顶点的个数为“0”时，可既不重复，也不遗 漏走完所有桥还能回到原处。
b、一个图奇顶点的个数为“2”时，可不重复，不遗漏走 完所有桥但不能回到原处；
c、一个图奇顶点的个数大于“2”时，不可能既不重复， 也不遗漏走完而且回到原处。
案例1：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、C、 D、E、F六个项目的比赛。如表所示中打的是各运动员报名参
加的比赛项目。问六个项目的比赛顺序应如何安排，做到每名 运动员都不连续地参加两项比赛。
A
B
C
D
E
F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
A●
B ●
A-C-B-F-E-D
C●
5-2 最小生成树问题
• 树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v7
v8
v9
(a)
v1
v2
v3
v4
v5
v6
(b)
v8 v7
图7-4
v1
v2
v8
v3
v4
v9
v5
v7
v6
(c)
图7-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是 树， (c)因为不连通所以也不是树。
(v3)孙
(v1)
e2
赵
e1 (v2)钱 (v5) 周
e4 e3
(v4)李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图7-1
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关 系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与 点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要 的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图5-2来表示， 可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图5-3
2、无向图：由点和边构成的图，记作G=（V，E）。 3、有向图：由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。 4、连通图：对无向图G，若任何两个不同的点之间，
V2
e4
V4
e1 V1 5
5
1 e3
7 e5
e9 4
V6
5 e2
3 e7 4 e8
2
V3
e6
V5
• （一）破圈法： • 丢边（大边），破圈。 • ∴最少费用为：5+1+2+3+4=15
例2： 如何架设电话线，使得耗材最少？
V2
e4
V4
V1
e1
5
1 e3
5 e2
5 7 e5 2
e9 4
3 e7 4 e8
V6
V3
e6
V5
• （二）避圈法： ∴最少费用为：5+1+2+3+4=15
练习： （a）
5
2
2
32
2
3
1
3
4
2
3
2
2
2
5
破圈法： 最小支撑树=18
5
2
2
32
2
3
1
3
4
2
3
2
2
2
5
避圈法： 最小支撑树=18
（b）
7 5
3 5
6 4
2
3
5 8
破圈法： 最小支撑树=22
（b）
7 5
3 5
6 4
2
3