运筹学图论
合集下载
运筹学-图论
以可允许的10个状态向量作为顶点，将可能互相转移的状态用线段连接起 来构成一个图。
根据此图便可找到渡河方法。
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
简单链：(v1 , v2 , v3 , v4 ,v5 , v3 )
v2
简单圈： (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 ,v3 , v4 )
v6
v4
v5
v3
v7
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通 图。
v1 v5
v1
v6
v2
v2
v4
v3
v5
v4
v3
连通图
以后除特别声明，均指初等链和初等圈。
不连通图
有向图：关联边有方向 弧：有向图的边 a=(u ,v),起点u ,终点v； 路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链,且 各方向一致,则称之为从u到v 的 路； 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路; 连通图： 若不考虑方向是
无向连通图; 强连通图：任两点有路;
端点的度 d(v)：点 v 作为端点的边的个数 奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v) = 偶数； 悬挂点：d(v)=1； 悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0； 空图：E = ，无边图
v1
v3
v5 v6
v2
v4
图 5.7
v5
v4
V={v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ,v6 , v7 }
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
根据此图便可找到渡河方法。
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
简单链：(v1 , v2 , v3 , v4 ,v5 , v3 )
v2
简单圈： (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 ,v3 , v4 )
v6
v4
v5
v3
v7
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通 图。
v1 v5
v1
v6
v2
v2
v4
v3
v5
v4
v3
连通图
以后除特别声明，均指初等链和初等圈。
不连通图
有向图：关联边有方向 弧：有向图的边 a=(u ,v),起点u ,终点v； 路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链,且 各方向一致,则称之为从u到v 的 路； 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路; 连通图： 若不考虑方向是
无向连通图; 强连通图：任两点有路;
端点的度 d(v)：点 v 作为端点的边的个数 奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v) = 偶数； 悬挂点：d(v)=1； 悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0； 空图：E = ，无边图
v1
v3
v5 v6
v2
v4
图 5.7
v5
v4
V={v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ,v6 , v7 }
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
图论详细讲解
如果一个图是由点和弧所构成的，那么
称为它为有向图，记作D =(V,A)，其中V 表 示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集
• 1.图的基本概念与基本定理
例如.图8.4是一个无向图G=（V，E）
其中V={v1,v2,v3,v4}
E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3],
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
图论详细讲解
•
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它
已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设 ，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络 的合理布局等问题，都可以应用图论的方法 ，简便、快捷地加以解决。
边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环，
如图8.4中的边[v,v3]是环。如果两个端点之间
有两个端点之间有两条以上的边，那么称为它
们为多重边，如图8.4中的边[v1,v2] ,[v2,v1]
。一个无环，无多重边的图标为简单图，一个 无环，有多重边的图标图称为多重图。
• 1.图的基本概念与基本定理
• 1.图的基本概念与基本定理
综上所述，图论中的图是由点和点与点 之间的线所组成的。通常，我们把点与点之 间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧 。
如果一个图是由点和边所构成的，那么
，称为为无向图，记作G =(V，E)，其中V表 示图G的点集合，E表示图G的边集合。连接 点vi,vj V的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。
•
引言
•C
•A
•B
•D
•图8.1 b
称为它为有向图，记作D =(V,A)，其中V 表 示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集
• 1.图的基本概念与基本定理
例如.图8.4是一个无向图G=（V，E）
其中V={v1,v2,v3,v4}
E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3],
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
图论详细讲解
•
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它
已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设 ，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络 的合理布局等问题，都可以应用图论的方法 ，简便、快捷地加以解决。
边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环，
如图8.4中的边[v,v3]是环。如果两个端点之间
有两个端点之间有两条以上的边，那么称为它
们为多重边，如图8.4中的边[v1,v2] ,[v2,v1]
。一个无环，无多重边的图标为简单图，一个 无环，有多重边的图标图称为多重图。
• 1.图的基本概念与基本定理
• 1.图的基本概念与基本定理
综上所述，图论中的图是由点和点与点 之间的线所组成的。通常，我们把点与点之 间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧 。
如果一个图是由点和边所构成的，那么
，称为为无向图，记作G =(V，E)，其中V表 示图G的点集合，E表示图G的边集合。连接 点vi,vj V的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。
•
引言
•C
•A
•B
•D
•图8.1 b
运筹学理论：图论
5②
5
⑥4
3
③8
1 2
2 4
1 2
⑥4
0①
3
4
0①
3
7
4
6
⑤10
7
7
4
6
⑤10
3④ 7
3④
例
5②
5 2 3
题 ：
③6
5②
5 2
⑥4
3
③6
1 2
1 2
⑥4
0①
3
4
0①
3
4
7
4
7
6
⑤10
7
7
4
⑤9
6
3④
3④
例
5②
5 2 4 3
题 ：
③6
5②
5 2
⑥4
3
③6
1 2
1 2
⑥4
0①
3
0①
3
4
7
7
4
6
⑤7
7
例
①
题：
①
1
②
11
2 7 5
⑥
③ ② ④ ③ ⑤
3
6 9 ④ 10 4
⑥
8
⑤
破 圈 法（山东师院管梅谷75 Nhomakorabea）首先，把有权图的边按权的递减顺 序排列：a1, a2, …… , an。 再检查a1, 如果去掉a1, 图仍是连通 图, 则去掉a1, 否则令a1= e1,再用 同样方法检查a2 … 如此继续下去, 直到找出有n-1条边的连通图为止
A
D
例如：哥尼斯堡七桥图： d(A)=3 d(B)=3 C d(C)=5 d(D)=3
B
(四) 特殊点:
图论 模型
图论模型图论是运筹学的一个经典和重要分支，专门研究图与网络模型的特点、性质以及求解方法。
许多优化问题，可以利用图与网络的固有特性而形成的特定方法来解决，比用数学规划等其他模型来求解往往要简单且有效得多。
图论起源于1736年欧拉对柯尼斯堡七桥问题的抽象和论证。
1936年，匈牙利数学家柯尼希（D. Kӧnig ）出版的第一部图论专著《有限图与无限图理论》，树立了图论发展的第一座里程碑。
近几十年来，计算机科学和技术的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，其理论和方法已经渗透到物理、化学、计算机科学、通信科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学各个学科中。
9.1 图的基础理论9.1.1 图的基本概念所谓图，概括地讲就是由一些点和这些点之间的连线组成的。
定义为(,)G V E =，V 是顶点的非空有限集合，称为顶点集。
E 是边的集合，称为边集。
边一般用(,)i j v v 表示，其中,i j v v 属于顶点集V 。
以下用V 表示图(,)G V E =中顶点的个数，E 表示边的条数。
如图9.1是几个图的示例，其中图9.1 (a)共有3个顶点、2条边，将其表示为(,)G V E =，123{,,}V v v v =，1213{(,),(,)}E v v v v =.23v 45v 34(a)(c)图9.1 图的示意图1.无向图和有向图如果图的边是没有方向的，则称此图为无向图（简称为图），无向图的边称为无向边（简称边）。
如图9.1 (a)和(b)都是无向图。
连接两顶点i v 和j v 的无向边记为(,)i j v v 或(,)j i v v 。
如果图的边是有方向（带箭头）的，则称此图为有向图，有向图的边称为弧（或有向边），如图9.1 (c)是一个有向图。
连接两顶点i v 和j v 的弧记为,i j v v 〈〉，其中i v 称为起点，j v 称为终点。
显然此时弧,i j v v 〈〉与弧,j i v v 〈〉是不同的两条有向边。
图论在运筹学中的名词解释
图论在运筹学中的名词解释一、引言运筹学是一门研究复杂问题的学科，它借助各种数学方法和技术，帮助我们做出最佳的决策。
图论作为运筹学的重要工具之一，被广泛应用于解决各类实际问题。
本文将就图论在运筹学中的几个重要名词进行解释和探讨。
二、图图是图论的核心概念之一。
它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。
在运筹学中，图可以用来描述和分析各种现实场景。
比如，交通网络可以用图来表示，道路是边，路口是顶点；社交网络可以用图来表示，用户是顶点，社交关系是边。
通过构建和分析图，我们可以揭示事物之间的关联性和特征，并利用这些信息进行决策。
三、路径路径是图论中一个重要概念。
它指的是在图中顶点之间连接的一系列边的序列。
在运筹学中，路径常常被用来表示两个顶点之间的最佳路线或最优解。
比如，在物流配送中，我们需要找到从仓库到目的地的最短路径，以最大程度地降低运输成本和时间。
通过图论的路径算法，我们可以高效地找到这样的最短路径，为物流管理提供有效支持。
四、最小生成树最小生成树是一种特殊的图结构，它是原图的一个子图，包含了所有顶点，但只有足够的边连接这些顶点，并使得整个图的总权重最小。
在运筹学中，最小生成树常常被用于解决资源分配和网络设计等问题。
比如，在电力输送系统中，我们需要将发电站和各个消费点以最短的电网连接起来，以确保电能的高效分配和传输。
通过构建最小生成树，我们可以优化电网的布局，降低能源损耗，提高供电可靠性。
五、网络流网络流是图论中的一个重要概念，它用来描述在一个有向图中通过各个边所能承载的最大流量。
在运筹学中，网络流被广泛应用于流程设计和资源调度问题。
比如，在工厂生产调度中，我们需要在供应链上对原材料、组件和成品进行优化配送，以实现最佳生产效率和降低成本。
通过分析网络流，我们可以确定各个节点的产能和需求，从而优化生产计划和物流调度。
六、最短路径最短路径是图论中的一个重要问题，即在图中找到连接两个顶点的最短路径。
在运筹学中，最短路径经常被用于解决物流和通信等问题。
华南理工大学 运筹学 第7章 图论-2(简) 工商管理学院
节点标号—对已标号未检查的节点v1，对与其相邻 、未标号的节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,4]
(7,3) v1 (7,2)
[+v1,4]
v4 (9,6)
(5,1) v2
[-, ∞]
vs
(8,4)
(4,0) (7,1) (16,5) (6,4) v5
18
(10,4)
vt
(4,0)
(10,4)
[-, ∞]
vs
(10,4)
(4,0) (10,4) v3
(16,5)
(6,4) v5
22
Ford-Fulkerson标号算法示例1
（第2轮迭代） 1-搜索过程：
节点标号—对节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,1]
(7,6) v1 (7,5)
[+v1,1]
v4 (9,9)
(5,1) v2
图G为流量网络。
2
最大流问题示例1
Petro公司的天然气管道输送网络：vs为Petro公 司的制气厂，vt为输送目的地的储气库，其它 中间节点为流量检测和控制站。各点间的弧代 表输送管道，其权值的两个数字分别表示容量 和当前的流量。问：如何利用输送管道，可以 使从制气厂运输到目的地的天然气最多？
(1) 已标号已检查；(2)已标号未检查；(3)未标号。
检查是指从一个已取得标号、未检查的节点vi 出发，搜寻与之邻接的其它未取得标号的节点 vj ，并根据vi的标号计算得到vj的标号。
7
Ford-Fulkerson标号算法
节点vj的标号为[+vi,θj]或[−vi,θj]：
运筹学-第六章 图论1
6、图论1
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
运筹学--图论 ppt课件
4
5
4 9 8
v1
v3
2
v6
[8,v2]
v8
5 33
1
[2,v1]
v4
v7
[10,v4]
33
Dijkstra算法示例1
3）迭代计算(c)—更新与永久标号节点v2相连的节 (d2+w25=3+7=)10< ∞ (=d5) 点的临时标号。
[3,v1]
v2
[0,-]
7
v5
[10,v2]
2 [+∞,v1] 6
v4
v7
[+∞,v1]
22
Dijkstra算法示例1
2）迭代计算(a)—从临时标号中找到距离上界dk最 小的节点v4，d4=min{dk}，将其变换为永久编号。
[3,v1] [+∞,v1]
v2
[0,-]
7
v5
2 [+∞,v1] 6 1 2 [+∞,v1]
3
5 2 [5,v1]
4
5
4 9 8
v1
v3
最小树问题不一定有唯一解。
10
10
最小支撑树问题的解法
破圈法 算法
初始化 将图G的边按权值从大到小的次序排列，从 原图开始迭代； 迭代
第1步(删边) 从排列中顺序选择一条与图中剩余边构成圈 的边，则将此边从图中删除，进入第2步(结束判断)； 第2步(结束判断) 若图中剩下n-1条边，则已经得到最小支 撑树；否则，进入下一轮迭代，返回第1步(加边)；
柯尼斯堡七桥问题
柯尼斯堡市区横跨普雷格尔河两岸，在河中心有两 个小岛。小岛的两岸共有七座桥将岛与岛、岛与河 岸连接起来。一个人怎样才能一次走遍七座桥，每 座桥只走过一次，并最后回到出发点？
运筹学-13图论概念及最小树
第一节 图的基本概念与模型
起点与终点相重合的链，称做圈。 起点与终点相重合的路，称做回路。 若在一个图中，每一对顶点之间至少存 在一条链，称这样的图为连通图。 否则，称该图不是连通的。
第一节 图的基本概念与模型
• 一个简单图中任意两点之间有边相连，称这样的图为完全图。
• 其边数有
Cn2
1 2
nn
树，称为该图的最小部分树（也称最小支撑树） (minimum spanning tree) • 定理1：图中任一点i，若 j是相邻点中距离最近的，则 边[i,j]一定必含在该图的最小树内。
• 推论：把图的所有点分成V和 V 两个集合，则两个集
合之间连线的最短的边一定包含在最小部分树内。
2-3 避圈法求最小部分树
图G1={V1,E1}和G2={V2,E2}，如果有V1 V2 和E1 E2 ，称 G1是G2的一个子图。 若有V1= V2 ， E1 E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
第一节 图的基本概念与模型
• 要对研究的问题确定具体对象及这些对象间的性质联系，并 用图形式表示出来，这就是对研究的问题建立图的模型，用
例：e1为环 如果两个点之间的边多于一条，则 称为具有多重边；（平行边） 例：e4和e5为多重边。 对无环，无多重边的图称为简单图；
有平行边，不是简单图
有环边，不是简单图
简单图
第一节 图的基本概念与模型
与某一个点vi相关联的边的数目称为点 的次，（也叫度或线数）记为d(vi)。 例： d(v1) = 4 d(v3) = 5 d(v5) = 1
树图。
• 说明1：树图上只要任意再加上一条边，必定 会出现圈；
• 说明2：由于树图是无圈的连通图，即树图上 任意两点之间有一条且仅有一条惟一通路。是 最脆弱的连通图。
运筹学基础-图论方法
间V的弧即为最小V截集，最小截集容量即为该网络最大流量；
最大流最小截 的标号法步骤
第二步：增广过程
1、对增广链中的前向弧，令 f=f +q (t)，q(t) 为节点 t 的标记 值
2、对增广链中的后向弧，令 f=fq (t) 3、非增广链上的所有支路流量保持不变
第三步：抹除图上所有标号，回到第一步
1
2
3
5
6 Θ=2
1
2
4
3 截止
截止，最大流量＝9+5＝14（或者最大流量＝7+5+2＝14
（六）利用 EXCEL求网 络最大流量
建立各结点间的流量矩阵
各结点间的流量矩阵
v1
v2
v3
v1
30
80
v2
v3
10
v4
v5
20 60
v6
2
20 30
1 80
10
100 3
v4
v5
60 100
10
4 70
10
5(34)
2(0)
6(01)
t
最大流量为5+9＝14
7(65)
2
4
(s+, 1) 9(9)
10(98)
第二条链：(s+,)→(s+,1) → (2-,1) → (1+,1)截止
又例：利用标 号法（确定最 小截集）求最
大流量
(3-,1)
(1+,1)
1
3(2)
4
5(5)
(s+,) s
3(3)
3(3(5) -,41()4)
1(0)
(s+,)
高高等教育运筹学课程--图论(3)
3、增广链
对可行流f={fij}：
非饱和弧：fij<Cij 非零流弧：fij>0
饱和弧：fij=Cij 零流弧：fij=0
链的方向：若µ是联结vs和vt的一条链，定义链的
方向是从vs到vt。 v2
5.2
v4
10.5
3.2
11.6
v1
4.1 5.1
8.3
v3
6.3
3.3
v6
17.2
v5
前向弧：弧的方向与链的方向一致，前向弧全体记为µ+。
（1）找增广链
如vt的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt）∈µ （或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk的第一个标号，若为i（或i），则(vi,vk) ∈µ(或(vk,vi) ∈µ).再检查vi的第一个标号,依 此下去,直到vs。被找出的弧构成了增广链µ。 （2）流量调整
令调整量是 l(vt)，构造新的可行流f ’，
不难验证，
f ** ij
是一个可行流，且
V(f **) V(f *) V(f *)
这与f*是最大流的假设矛盾。 设D中不存在关于f *的增广链，证明f *是最大流。
定义V1 * ，令vs∈V1*，若vi∈V1*，且弧（vi，vj）上， fij*<Cij，则令vj∈ V1*，若vi∈V1*，且弧（vj，vi）上， fji*>0，则令vj∈ V1*。
后向弧：弧的方向与链的方向相反，后向弧全体记为µ-。
v2
10.5
v1 4.1
8.3
v3
5.2
3.2 5.1
6.3
v4
11.6
3.3
v5
v6
17.2
后向弧
运筹学基础-图论方法(1)
回路：若起始点和终点是同一个点的路称为回路。 连通图：一个图中，任意两个顶点至少存在一条链，则称这样的图 为连通图。否则称为不连通的。
图的名词和基本概念
次：与一个点相关联的边的数目称为次, 如v1 的次为2， v5的次 为3，次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点，次为0 的点称为孤立点，如v6 悬挂节点: 次为1的点称为悬挂节点: v1 e1 e 5 v3 e2 v5 e7 e4 e6 e3 v4 v6 v2
1 1
利用EXCEL求起点到终点的最短路径 利用EXCEL求起点到终点的最短路径
第三步： 第三步：定义最小路线运行方案
最小路线物运行方案
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
流入 结点流 结点流限制 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
v7
流出
100 600
3
500
600
5
400 1100
7 2
900
此为最小树杈，最小线路长度为2400 此为最小树杈，最小线路长度为2400
练习：求最小树杈 v3 5 6 v1 5 v2 2 v4 1 7 3 4 4 v6 v5
破圈法答案
v3 6 v1 5 v2 1
5 7 3
v5 4 v6 4 v4
2
避圈法答案
弧：若点与点之间的连线有方向，称为弧，由此构成的图为有向图。 环：如果边的两个端点相重，称该边为环，如e10；如果两个端点之 间的边多于一条, 称为具有多重边，如[v2, v4] ,无环，无多重边的图为 简单图。
图的名词和基本概念
v1 e4 v3 e1 v5 e5 e3 e6 e9 e2 e7 v4 e10 v2 e8 v6 e1 e5 v5 e7 e6 e3 v6 v1 e2 v2 e9 e10 e8 v7
运筹学图论
其中：
bi j
wi j 0
(vi , v j ) E (vi , v j ) E
24 2019/11/19
图的基本概念与模型
例6.3 下图所表示的图可以构造邻接矩阵M如下:
v1
v4
e9
v6
e1 v2
e2
e3
e5 e6
v3
e12
e10
v5
e11 v7
e4
e7
v8 v1
e8
v2
v3
2019/11/19
无向图
有向图 8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图
多重边
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间多于一条，称为多重边，如右图 中的e4和e5，对无环、无多重边的图 称作简单图。含多重边的图称为多重 图。
e2 v2
e6
v4
e1 e4 v1 e3 e5 e7
定义6 在有向图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的 出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为 d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。
定义7 图G=(V, E), 若E'是E的子集，若V'是V的子集，且 E'中的边仅与V'中的顶点相关联，则称G' = (V', E')为图 G的一个子图，特别地，若V' =V, 则称G'为G的一个生 成子图（支撑子图）。
1. 邻接矩阵 对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵
A=(aij) nn，其中
aij
1, 0,
(vi , v j ) E 其他
运筹学第十章 图论与网络优化
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得 边与边仅在顶点相交。下图就是一个平面图：
v1
e2
v3
非平面图
e3
e1
v2
e4 e5
e6
v4
环、多重边
端点重合为一点的边称为环。 连接同一对顶点的多条边称为多重边。
v1
e1
e3
e2
v2
e4
v3
e5
简单图
一个图称为简单图,如果它既没有环也没有多重边.
含有多重边的图称为多重图.
我们只讨论有限简单图，
v1
e2
v2
即顶点集与边集都是有限的图。
只有一个顶点的图称为平凡图； e5
e7
e3
边集是空集的图称为空图。
v4
e4
v3
完全图K n
完全图是每一对不同顶点都恰有一边的简单图； 具有 n 个顶点的完全图记为K n.
|
E(Kn )
|
Cn2
n
2
n(n 1) 2
连通性
图G称为连通的，如果G的任意两个顶点u 和 v 中存在一条(u,v)路。
一个连通图称为一个连通分支。 不连通图（分离图）至少有两个连通分支。
用w 表示G的连通分支数。 割边：删除掉这条边后图G不连通。 割点：删除掉这个点后图G不连通。 割集：删除掉连通图中的若干条必要的边后，使 得图不连通，则这些边的集合称为图的一个割集.
图论(Graph Theory)是运筹学中的一个重要分支， 主要研究具有某种二元关系的离散系统的组合结构 和性质。
随着电子计算机的蓬勃发展，图论不仅得到了迅速 发展，而且应用非常广泛。它直观清晰，使用方便， 易于掌握。
运筹学图论概述
最短路线问题
一般针对赋权连通图(有向图或无向图皆可) ， 求两点之间所经路线权值之和为最小的路线
求解该问题可以采用上一章介绍的动态规划的 方法
该方法适用于无负初等回路(指所有边的权值之和 为负值的初等回路)的赋权连通图(有向图或无向图 皆可)；若有负初等回路，则不存在最短路线
该方法需要人工划分阶段，适合人工计算
在有向图中，由顶点指向外的弧的数目称为正度， 记为d+，指向该顶点的弧的数目称为负度，记为 d–
度数为0的点称为孤立点，度数为1的点称为悬挂点
图的基本概念(5)
与悬挂点连接的边称为悬挂边 若图中所有的点都是孤立点，则称为空图 定理6.1
所有顶点的度数之和，等于所有边数的两倍 原因：每条边关联两个顶点，计算顶点的度数时，每条
本章重点
图的基本概念 常见的四个问题的求解方法
图的含义
图是一种模型
如公路、铁路交通图，通讯网络图等
图是对现实的抽象
很多问题都可以用顶点和边来表示，一般顶点 表示实体，边(顶点与顶点之间的连线)表示实 体之间的关系，顶点和边的集合定义为图
图论的提出(1)
用图来描述事物及其联系，最早是由瑞士 数学家欧拉(Euler)于1736年解决哥尼斯堡七 桥问题时提出的
图的基本概念(7)
在有向图中，点边交错序列v0, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn (其中ek=(vk-1, vk) )称为路
若v0≠vn，称为开路；反之，称为回路(注意和无向 图的回路区分开来)
若路中所含的边均不相同，称为简单路 若路中所含的顶点均不相同，称为初等路 除起点和终点外均不相同的回路，称为初等回路
因此，该算法一般应用于无负权值的赋权连 通有向图或无向图
《管理运筹学》演示(图论)
v3 (v2 ,1)
检查 vs 相邻点 v1 和 v2 。 v2点，fs2 = cs2 =3，不满足标号条件；v1点，fs1 < cs1 , v1点标号为（ vs , l(v1) ）, l(v1) =min[ l(vs) ,( cs1 - fs1 )]= min[+ , 5-1] = 4； 检查 v1 相邻点 v3 和 v2 。 v3点，f13 = c13 =2，不满足标号条件； v2点，f21=1> 0 , v2点标号为（ -v1 , l(v2) ）, l(v2) =min[ l(v1) , f21]= min[4 , 1] = 1； 检查 v2 相邻点 v3 和 v4 。v3点，f32=1> 0 , v3点标号为（ -v2 , l(v3) ）, l(v3) =min[ l(v2) , f32]= min[1 , 1]=1 ； v4点，f24 < c24 =1，v4点标号为（ v2 , 1 ） ；
,
最大流量 v(f ) = 5
最小费用最大流问题
例：求下列网络最小费用最大流。弧旁数字为( bij , cij ) 步骤：
v1
(1,7)
vt
取 f ( 0 ) ＝0为初始可行流； 构造赋权有向图w( f ( 0 ))，
vs
解：
v1
0 0
v2
0
0
v3
vt
0
bij wij bij wij
v8
步 骤：
给 vs点以 P 标号，P(vs) = 0，其余各点给 T 标号，
T(vs) = ＋ ；
若 vs点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 vj：
( vi , vj )属于A(或[vi , vj ] 属于E )，且vj 为 T 标号。对 vj 的T 标号进行如下的更改：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(a)
图7-5
(b)
(c)
一、求解最小生成树的破圈算法
算法的步骤：
1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两
条或两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉 其中一条）。
3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余 下的图即为最小生成树，否则返回第1步。
例1： 如何架设电话线，使得耗材最少？
●D
● E
●F
案例2： 某厂办公室在三天内开一个会，请10位领导 第一天上午开幕式A 第三天下午闭幕式F 每天每位领导只能开半天会。
领导
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
内容
A
√√√
√
√√
B
√
√
√√
C
√
√√√
√
D
√
√
√
E
√
√√
F
√√
√
√√
A●
B ●
A-E-B-C-D-F
C●
●D
A-E-C-B-D-F
● E
●F
二、七桥问题
A
哥尼斯堡的 普雷格尔河
C
D
B
提出问题：一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只 走过一次，最后回到出发点。
1973年，欧拉将此问题归结为如图所示的一笔画问 题。
·A
d(A)=3
C·
·D d(B)=3
d(C)=5
·B
d(D)=3
将点看成事物，边看成事物与事物的联系。
秩为奇数的为奇顶点；秩为偶数的为偶顶点。
5 8
避圈法： 最小支撑树=22
5-3 最短路问题
• 最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找到一条 从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称 之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt 的距离。
• 一、Dijkstra算法 • 1、思路： • 这种算法的基本思路是：假定V1-V2-V3-V4是V1-V4的最短路。 • 2、假设： • 若用dij表示两相邻点i与j的距离，若i与j不相邻，令dij=∞，显然dii=0。 • 3、步骤： • （1）从点s出发，因Lss=0，将此值标注在s旁的小方框内，表示s点已标
e2
(v1) 赵
e1 e3
e4
(v2)钱 孙(v3) 李(v4)
周பைடு நூலகம்v5)
图5-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图5-3就是
一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图7-5中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。
如果图G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树， 在图7-5中，(c)就是(a)的生成树。
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
至少存在一条链，则G为连通图。 5、回路：若路的第一个点和最后一个点相同，则该
路为回路。
6、赋有的权一权图个 。：数对wi一j，个则无称向图图G为G的赋每权一图条，边wi(j称vi,v为j)，边相(vi应,vj)地上
7、网络：在赋权的有向图D中指定一点，称为发点， 指定另一点称为收点，其它点称为中间点，并把D 中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就称为网 络。
第五章 图与网络分析
§1 图与网络的基本概念 §2 最小生成树问题 §3 最短路问题 §4 最大流问题
5-1 图与网络的基本概念
一、图与网络的基本概念
1、图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表
示，图7-1就是一个表示这种关系的图。
如何一个图都可以由边的集合和点的集合所组成。
点——不考虑位置；边——不考虑形状与联系； 欧拉定理：
a、一个图奇顶点的个数为“0”时，可既不重复，也不遗 漏走完所有桥还能回到原处。
b、一个图奇顶点的个数为“2”时，可不重复，不遗漏走 完所有桥但不能回到原处；
c、一个图奇顶点的个数大于“2”时，不可能既不重复， 也不遗漏走完而且回到原处。
案例1：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、C、 D、E、F六个项目的比赛。如表所示中打的是各运动员报名参
加的比赛项目。问六个项目的比赛顺序应如何安排，做到每名 运动员都不连续地参加两项比赛。
A
B
C
D
E
F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
A●
B ●
A-C-B-F-E-D
C●
5-2 最小生成树问题
• 树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v7
v8
v9
(a)
v1
v2
v3
v4
v5
v6
(b)
v8 v7
图7-4
v1
v2
v8
v3
v4
v9
v5
v7
v6
(c)
图7-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是 树， (c)因为不连通所以也不是树。
(v3)孙
(v1)
e2
赵
e1 (v2)钱 (v5) 周
e4 e3
(v4)李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图7-1
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关 系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与 点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要 的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图5-2来表示， 可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图5-3
2、无向图：由点和边构成的图，记作G=（V，E）。 3、有向图：由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。 4、连通图：对无向图G，若任何两个不同的点之间，
V2
e4
V4
e1 V1 5
5
1 e3
7 e5
e9 4
V6
5 e2
3 e7 4 e8
2
V3
e6
V5
• （一）破圈法： • 丢边（大边），破圈。 • ∴最少费用为：5+1+2+3+4=15
例2： 如何架设电话线，使得耗材最少？
V2
e4
V4
V1
e1
5
1 e3
5 e2
5 7 e5 2
e9 4
3 e7 4 e8
V6
V3
e6
V5
• （二）避圈法： ∴最少费用为：5+1+2+3+4=15
练习： （a）
5
2
2
32
2
3
1
3
4
2
3
2
2
2
5
破圈法： 最小支撑树=18
5
2
2
32
2
3
1
3
4
2
3
2
2
2
5
避圈法： 最小支撑树=18
（b）
7 5
3 5
6 4
2
3
5 8
破圈法： 最小支撑树=22
（b）
7 5
3 5
6 4
2
3