化工应用数学 3第三章 三传一反基本方程

3.1 质量传递——连续性方程
3.1 质量传递——连续性方程
连续性方程
化工传递过程所研究的体系一般都遵循质量守恒定律。并且，质量守恒 定律不仅适用于单组分流体，而且适用于多组分流体。 在流体中选取一无限小微元体，该微元体的体积为 dxdydz , 假定流体的 质量流率在某一方向存在微小变化 (ux x)dx, 而在三维空间上应满足质量 守恒定律， 即
M
式中，速度 u 的随体导数正好是流体质点的加速度。流体所受合力 F 一般可分为质量 力 Fb 和表面力 Fs 。 (1)质量力和表面力 作用在流体上的质量力属于非接触力，只与流体本身的物质存在有关，与流体接触 的环境无关(如重力、超重力、静电力)。为了方便，下面只考虑重力 G 。在直角坐标 系中，对于dV dxdydz 这样的微元体，流体所受质量力在三个坐标方向上的分量为
正应力(静压力、剪切力的分量)的本构关系为
(3-17)
u x 2 u x u y u z ) ( ) xx p 2 ( x 3 x y z u y 2 u x u y u z ) ( ) yy p 2 ( y 3 x y z u z 2 u x u y u z p 2 ( ) ( ) zz z 3 x y z
i ( ji i u) ri t
式中的分子扩散通量由 Fick 定律确定，如 x 方向的扩散通量为
(3-7)
i ji Dik x
(3-8)
在解决具体问题时，要适当选择坐标，这样会简化问题的求解。连续性方程在柱坐 标系中的一般表达式为
1 1 ( r ur ) ( u ) ( u z ) 0 t r r r z
在球坐标系中的一般表达式为
(3-9)
1 2 1 1 2 ( r ur ) ( u sin ) ( u ) 0 (3-10) t r r r sin r sin
思考题：连续性方程在柱坐标系和球坐标系中的推导
3.2 动量传递——运动方程
u 0
将式(3-1)展开，可以得到连续性方程的另一种表达形式
(3-3)
u u u ux uy uz ( x y z ) 0 (3-4) t x y z x y z
式中前4项正好是密度的随体导数(也称质点导数)。
D ( u ) 0 Dt t
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——面力可以用三个正应力和三个切应力来表述。通过对微元 表面力的微分分析，可以得到作用在流体微元三个坐标方向上的表面力分别为
(3-14)
(2) 应力表示的运动方程 将式(3-12)和式(3-14)代入式(3-11)得应力表示的流体微分运动方程
Du x xx yx zx G x x y z Dt xy yy zy Du y G y x y z Dt Du xz yz zz z Gz D t x y z
上式忽略了流体的体膨胀黏性系数。
(3-18)
(4) Navier-Stokes 方程 将式(3-17)和(3-18)代入到式(3-15)中应力表示的运动方程，即得到
Dux 2u x 2u x 2u x 1 u x u y uz p Gx ( 2 2 2 ) ( ) x x y z 3 x x y z Dt 2u y 2u y 2u y p 1 ux u y uz Du y G ( ) ( ) (3-19) y 2 2 2 D t y x y z 3 y x y z Du 2u z 2u z 2u z p 1 u u y u z z Gz ( 2 2 2 ) ( x ) D t z x y z 3 z x y z
第三章 三传一反基本方程
任课老师：程道建 副教授 E-mail: chengdj@
第三章 三传一反基本方程
• 3.1 质量传递——连续性方程
• 3.2 动量传递——运动方程 • 3.2 热量传递——能量方程 • 3.4 反应动力学方程
三传基本方程
三传基本方程
三传基本方程
(3-22)
NS方程在球坐标系中的形式为
2 u r u ur u2 u ur u ur p ur ) Gr ( t r r r sin r r 2 2 u 2 2 u 2ur 2 ur 2 2 u cot 2 r r r r sin 2 u u cot u u u u u u u 1 p ( u r ) G r (3-23) t r r r sin r r r 2 u 2 u r 2 cos u u 2 2 2 2 2 r r sin r sin u u u u u u u ur u u cot 1 p ( u ) G r r r r sin r r r sin t u 2 2 u 2 cos u u 2 2 2 2 2 r sin r sin r sin
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
3.2 动量传递——运动方程
化工研究和处理的对象大多数是流体，所以对流体的认识非常重要。按照牛顿力学 第二定律，流动流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的诸外力之合力， 在直角坐标系中，流体运动方程为
因此，采用向量的形式表示为
(3-5)
1 D u 0 Dt
(3-6)
式(3-6)中第一项表示流体微团的相对密度变化率，第二项表示流体微团的相对体积变 化率。为了维持流体微团的质量守恒，流体微团的相对密度变化率必须等于负的相对 体积变化率。
对于多组分流体体系，需对体系的每一个组分分别建立连续性方程。多组分体系的 质量通量是由对流通量和分子扩散通量两部分组成。由于多组分体系往往还存在化学 反应，因而还需考虑源项。多组分连续性方程的一般形式为
(3-15)
以上方程中除G 为已知量外，其他都是未知量，所以必须寻求其他补充关系。 (3) 流体运动本构关系——应力与形变速率的关系 对于一维黏性流体，本构关系符合牛顿黏性公式

dux dy
(3-16)
对于三维流体，其切应力本构关系为
u x u y ( ) xy yx y x u y u z ( ) yz zy z y u z u x ) zx xz ( x z

Du G p 2u Dt
有时根据具体问题，使用柱坐标系或球坐标系更加方便些。NS方程在柱坐标系中为
2 u r ur u ur u u p ur u z r ) Gr ( t r r r z r 1 1 2ur 2 u 2ur [ ( rur )] 2 2 2 2 r r r r r z u u u u u u u 1 p ( ur r u z ) G r r r z r t 1 1 2u 2 ur 2u [ ( ru )] 2 2 2 2 r r r r r z u z u u z uz p u z ( u u ) G r z z t r r z z 1 u z 1 2u z 2u z [ (r )] 2 2 2 r z r r r
流体相互作用而产生的。在黏性流体中，将表面力分解成一个垂直于作用面的法向应 力(正应力)和两个平行于作用面的切向应力(切应力)。 表面力作用在 dxdydz 六面体微元上，微元体每个面将存在三个力的分量(正应力 ik )。应力的下标中第一个字母表示应力分量作用面的法向，第二个字 ii 和切应力 ij 、 母表示应力本身的方向。易知，作用于流体微元的表面力包括三个正应力和六个切应 力。又对偶切应力应该相等，即
[累计质量流率] + [输出质量流率] - [输入质量流率] = 0 可得到无源或无汇条件下的连续性方程
ux u y uz 0 t x y z
如写成向量形式，则有
(3-1)
( u) 0 t
(3-2)
当流体为不可压缩流体时，即介质密度 为常数时，连续性方程变为更简单的形式
Du F Dt
(3-11)
如果
x, y 轴取水平方向，Gx Gy 0 ，Gz g 。
dFbx Gx dxdydz dFby Gy dxdydz dFbz Gz dxdydz
(3-12)
表面力是指流体微元表面所受到的作用力(静压力、黏性力)，是由微元体与外部
将上式写成向量形式，则有
Du 1 G p 2u ( u) Dt 3 对于不可压缩的牛顿流体，满足 u 0，因而