点集拓扑(答案)

选择公理定义：设X 是一个集合。记X 为X 中的所有非空子集构成的集族，即

(){}X X ζφ=-。如果一个映射ε：

X X →满足条件：对于任意A X ∈，有

()A A ε∈ ，则此映射ε称为集合X 的一个

选择函数。任何一个函数都有选择函数就是选择公理。

1.设X 和Y 是两个集合。证明：cardY ≤cardX 当且仅当存在一个从X 到Y 的满射。 证：设cardY ≤cardX ，即存在一个Y 到X 的一一映射f ，定义g ：X Y →，使

10

()()

()()f x x f Y g x y x f Y -⎧∈=⎨

∉⎩当当其中0y 为Y 中一固定元，则g 是从X 到Y 上的映射。 反之，若存在从X 到Y 上的映射g ，记

1

{:,()}y y A y Y g y A α-=∈=则α是X 中

非空族，并且α中成员两两无交，由Zermelo 假定存在集合C X ⊂，使得对于每一A α∈，A C ⋂是单点集，所以存在C 到Y 上的一一映射，即c C Y =，又c C Y ≤，故c Y X ≤。

2.设1T 和2T 是集合X 的两个拓扑。证明

12T T ⋂也是集合X 的拓扑。举例说明12

T T ⋃可以不是X 的拓扑。

证：若1T ，2T 都是X 的拓扑，由于

12,,X T T φ∈，所以12,X T T φ∈；任意

12,A B T T ∈,即12,,A B T T ∈，所以

12A B T T ∈，任意12T T T ⊂，即12,T T T ⊂，即，则

12,A T

A T T ∈∈，所以

12A T

A T T ∈∈，因此12T T 是X 的拓扑。

例：设{,,}X a b c =，1={{a}{b,c},T ， {a,b,c},}φ，2={{b}{a,c},{a,b,c},}T φ，

易见12,T T 都是

X

的拓扑，但

12{{a}{a,c},{b,c},{a,b,c},}T T φ=，，而12{},{}a b T T ∈，{,}{}{}a b a b =1T ∉

2T ，因此12T T 不是X 的拓扑。

3.设(,)X T 是一个拓扑空间，其中∞是任何一个不属于X 的元素。令{}X X

*

=∞，

{}T T

X *=。证明(,)X T *

是一个拓扑空

间。

证：显然,X T φ*

∈；任意,A B T ∈，若A ，

B 中有一个为X *

，显然A

B T ∈；若

,A B T ∈，则A B T T ∈⊂，故总有

A B T ∈；任意1T T ⊂，若1X T *∈，则

1

A T A X T *∈=∈；若1X T *∉，即1T T ∈，

也有

1A T A T T ∈=∈，故总有

1

A T A T ∈∈，所

以(,)X T *

为拓扑空间。

4.证明实数集R 有一个拓扑以集族

{[a,+)}{(,]}a R b b R ∞∈-∞∈为它的

一个基，并说明这个拓扑的特点。

证：记{(,]:}{[,):P a a R b =-∞∈+∞

}b R ∈。因为S (,]S T

R a ∈⊃⊃-∞

[a,+)R ∞=。所以

S S T

∈，由定理知，存

在R 的唯一拓扑T 以P 为子基。任意x R ∈，因为(,]x -∞，[,+)x P T ∞∈⊂所以{}(,][,+)x x x T =-∞∞∈，

即R 的每一单点集皆为开集，因此T 是R 的离散拓扑。 5.如果Y 是拓扑空间X 的一个开子集，则Y 作为X 的子空间时特别称为X 的开子空间。证明：（1）如果Y 是拓扑空间X 的一个开子空间，则A Y ⊂是Y 中的一个开集当且仅当A 是X 的一个开集。

证：设Y 为X 的开子空间，A X ⊂，则

A A Y =为Y 的开集；反之，若A 为Y 的

开集，则存在X 的开集B 使A B

Y =，而

Y 为X 的开集，所以A 为X 的开集。 有限补空间。

设X 是一个集合。首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不是每次提起。因此在后文中对于X 的每一个子集A ，它的补集我们写为'

A 。令T ={}U X ⊂∣

{}∅

先验证T 是X 的一个拓扑：（1）X T ∈，因为'

X =∅；另外，根据定义便有T ∅∈。（2）设,A B T ∈，如果,A B 之中有一个是

空集，则A B T =∅∈。假定,A B 都不是

空集。这时

A B =A

B ’‘

’（）是X 的一个

有限子集，所以A

B T ∈。

（3）设1T T ⊂。令{}21T T =-∅。显然有

1

2

A A A=

A T T ∈∈如果

2=T ∅，则

1

2

A A A=

A T T T ∈∈=∅∈,设

2T ≠∅。任意选取02A T ∈。这时

''A A (

A)=(

A)T T ∈∈1

2

2

''0A =

A A T ∈⊂是X 的

一个有限子集，所以

1

A A T T ∈∈。根据上

述是X 的一个拓扑，称之为X 的有限补拓扑。拓扑空间(,)X T 称为一个有限空间。 可数补空间。

设X 是一个集合。令

{}

'T U X U =⊂∣是一个有限可数子集

{}∅通过与例

2.2.4中完全类似的做法

容易验证（请读者自证）T 是X 的一个拓扑，称之为X 的可数补拓扑。拓扑空间

(,)X T 成为一个可数补空间。

6,、证明：1、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射。2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射。 证：1、设:f X Y →为从拓扑空间X 到平

庸空间Y 的映射，因为-1=f ϑ（）-1

f ϑ（Y ）=

X ，而Y 为平庸空间，所以Y 中任一开集的原像都是X 的开集，即f 为连续映射。 2、设:f X Y →为从离散空间X 到任一拓

扑空间Y 的映射，对Y 中每开集U ，因为X

为离散空间，所以1

()f U -是X 的开集，即f

是连续映射。