构造全等三角形的四种技巧

∴PN＝PC.
在△BPN中，PB－PN<BN，
∴PB－PC<AB－AN.
∴AB－AC>PB－PC.
证法二(补短法)：如图②，延 长AC至点M，使AM＝AB， 连接PM. 在△ABP和△AMP中，
AB＝ AM， 1＝ 2， AP＝ AP，
∴△ABP≌△AMP(SAS)． ∴PB＝PM. 在△PCM中，CM>PM－PC， ∴AM－AC＞PB－PC. ∴AB－AC＞PB－PC.
证明：如图，过点B作BG⊥BC，交CF
的延长线于点G.
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＋∠ACF＝90°.
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°.
∴∠1＋∠ACF＝90°. ∴∠1＝∠2.
在△ACD和△CBG中，
1＝ 2， AC＝CB， ACD＝CBG＝90，
∴△ACD≌△CBG(ASA)．
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技巧
4 截长补短法
4．如图，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P为AD
上任意一点．求证AB－AC>PB－PC.
证法一(截长法)：如图①，在AB上截 取AN＝AC，连接PN.
AN＝ AC， 在△APN和△APC中， 1＝ 2， AP＝ AP，
∴△APN≌△APC(SAS)．
∴∠CHM＝∠CHN，
即HC平分∠AHE.
(3)求∠CHE的度数(用含α的式子表示)．
解：由(2)知∠B＝∠A，
如图，设BC与AD交于点F，
则∠BFH＝∠AFC，
∴∠AHB＝∠ACB＝α. ∴∠AHE＝180°－α.
又由(2)知∠CHA＝∠CHE，
1 1 ∴∠CHE＝ (180°－α)＝90°－ α. 2 2
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在△BDF和△BGF中，
技巧
3 旋转法
3．如图，CA＝CB，CD＝CE， ∠ACB＝∠DCE＝α，AD，
BE交于点H，连接CH.
(1)求证△ACD≌△BCE；
证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE.
又∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)求证：HC平分∠AHE； 证明：如图，过C作CM⊥AH于
第12章 全等三角形
双休作业(三)
2 构造全等三角形的四种技巧
1
2
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技巧
1 翻折法
1．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于点M，∠1
＝∠2，CA＝CB.求证：
(1)∠3＋∠4＝180°；
证明：如图，过点C作CE⊥OB， 交OB的延长线于点E.
∵CE⊥OE，CM⊥OA，
∴∠E＝∠CMO＝90°
由(1)知△OCE≌△OCM，
Rt△BCE≌Rt△ACM，
∴OE＝OM，BE＝AM.
∴OA＋OB＝OM＋AM＋OB＝OM＋
BE＋OB＝OM＋OE＝2OM.
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技巧
2 构造法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E， 其延长线交AB于点F，连接DF. 求证∠ADC＝∠BDF.
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点D为BC的中点，
∴CD＝BD. ∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°，
∠DBF＝45°，
∴∠GBF＝∠DBG－
BD＝BG， DBF＝GBF， BF＝BF，
∠DBF＝90°－45°＝45°.
∴∠DBF＝∠GBF.
∴△BDF≌△BGF(SAS)． ∴∠BDF＝∠G. ∴∠ADC＝∠BDF.
在△OCE和△OCM中，
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1＝ 2， E＝ CMO， OC＝ OC，
∴∠3＝∠CBE. ∴∠3＋∠4＝∠CBE＋∠4＝180°.
∴△OCE≌△OCM(AAS)．
∴CE＝CM.
又∵CB＝CA， ∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL)．
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(2)OA＋OB＝2OM.
M，CN⊥BE于N.
CMA＝CNB＝90， A＝B， AC＝BC，
由(1)知△ACD≌△BCE，
∴∠A＝∠B.
∠CMA＝∠CNB＝90°，
在△CAM和△CBN中，
∠A＝∠B，AC＝BC，
在Rt△CMH和Rt△CNH中，
CH＝CH， CM＝CN，
∴Rt△CMH≌Rt△CNH(HL)．
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