必修二++空间几何证明经典题型(1)
必修2立体几何证明题详解（五篇）
必修2立体几何证明题详解（五篇）第一篇：必修2 立体几何证明题详解迎接新的挑战!必修2 证明题一．解答题（共3小题）1．（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定。
分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB ∴PB∥平面AEC（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．又FO=AB=PA=EF∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．2．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．考点：三垂线定理。
专题：作图题；证明题。
分析：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，证明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．解答：证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，∵，又∵AB⊥PE，∴AB⊥平面PEO，∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．欢迎加入高一数学组联系电话:***迎接新的挑战!必修2 证明题在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．（I）求证：A1C⊥BD；（II）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；（III）求二面角B1﹣CD﹣B的正切值．考点：三垂线定理；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题。
高中数学必修2空间立体几何大题
适用文案必修 2 空间立体几何大题一．解答题（共18 小题）1．如图，在三棱锥V﹣ ABC 中，平面 VAB ⊥平面 ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥ BC 且 AC=BC=，O，M分别为 AB ，VA 的中点．（ 1）求证： VB ∥平面 MOC ；（ 2 ）求证：平面MOC ⊥平面 VAB （ 3 ）求三棱锥V ﹣ABC 的体积．2．如图，三棱锥P﹣ ABC 中， PA⊥平面 ABC ， PA=1 ， AB=1 ，AC=2 ，∠BAC=60 °．（ 1）求三棱锥P﹣ ABC 的体积；（ 2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得 AC ⊥ BM ，并求的值．3．如图，长方体 ABCD ﹣ A 1 B1 C1D 1中，AB=16 ，BC=10 ，AA 1=8 ，点 E，F 分别在 A 1 B1，D 1C1上，A 1E=D 1F=4 ．过E，F 的平面α与此长方体的面订交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不用说出画法和原因）（Ⅱ）求平面α把该长方体分红的两部分体积的比值．适用文案4．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B1 C1的底面是边长为 2 的正三角形， E， F 分别是 BC， CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）若直线 A 1C 与平面 A 1ABB 1所成的角为45 °，求三棱锥 F﹣ AEC 的体积．5．如图，在直三棱柱ABC ﹣ A 1 B1 C1中，已知A C ⊥ BC， BC=CC 1，设 AB 1的中点为D， B1 C∩BC 1=E ．求证：（1） DE∥平面 AA 1 C1 C；（2 ）BC 1⊥ AB 1．6．如题图，三棱锥 P﹣ ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC ，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上，且 EF∥BC．（Ⅰ）证明： AB ⊥平面 PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣ DFBC 的体积为 7 ，求线段BC 的长．适用文案7．如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于（Ⅰ）若 D 为线段 AC 的中点，求证；AC ⊥平面（Ⅱ）求三棱锥P﹣ ABC 体积的最大值；A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO=OB=1，PDO ；8．如图，四边形ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE⊥平面 ABCD ．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面 BED；（Ⅱ）若∠ ABC=120 °，AE⊥ EC，三棱锥E﹣ACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积．9．如图，已知AA 1⊥平面 ABC ， BB1∥AA 1， AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和标准文档（Ⅰ）求证： EF∥平面 A 1B1 BA ；（Ⅱ）求证：平面AEA 1⊥平面 BCB 1；（Ⅲ）求直线A 1B1与平面 BCB 1所成角的大小．10 ．以下图，已知AB ⊥平面 BCD ， M 、 N 分别是 AC 、 AD 的中点， BC⊥CD ．（ 1）求证： MN ∥平面 BCD ；（ 2 ）求证：平面BCD ⊥平面 ABC ．11 ．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点 E 在底面的圆周上，BF⊥ AE， F 是垂足．（ 1）求证： BF⊥ AC ；（ 2）若 CE=1 ，∠CBE=30 °，求三棱锥 F﹣BCE 的体积．12 ．如图，已知四边形ABCD 和 BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC， CE∥BG ，且∠BCD= ∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG， BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ） EC⊥ CD ；（Ⅱ）求证： AG ∥平面 BDE ；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD 的体积．13 ．如图，已知三棱锥 A ﹣ BPC 中， AP ⊥ PC， AC⊥ BC ，M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，且△ PMB 为正三角形．（1）求证： DM ∥平面 APC ；（2）若 BC=4 ， AB=20 ，求三棱锥 D ﹣BCM 的体积．14 ．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中， PD⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，∠ BAD=60 °，AB=2 ，PD=，O为AC 与BD 的交点， E 为棱 PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面 EAC⊥平面 PBD ；（Ⅱ）若 PD ∥平面 EAC ，求三棱锥 P﹣ EAD 的体积．15 ．已知正四棱柱ABCD ﹣ A1 B1C1D 1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱A A 1、BB1、 BC 上， Q 是 BB1中点，且PQ ∥AB ，C1Q ⊥ QR（1）求证： C1Q⊥平面 PQR ；（2）若 C1Q=，求四周体C1PQR的体积．16 ．如图，直三棱柱ABC ﹣ A 1B1C1中， D ， E 分别是 AB ，BB 1的中点．（ 1）证明 BC 1∥平面 A1 CD（ 2）设 AA 1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A 1DE 的体积．17 ．如图甲，⊙ O 的直径 AB=2 ，圆上两点C， D 在直径 AB 的双侧，且∠ CBA= ∠DAB=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面相互垂直（如图乙）， F 为 BC 的中点， E 为 AO 的中点．依据图乙解答以下各题：（Ⅰ）求证： CB⊥ DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣ BOD 的体积；（Ⅲ）在劣弧上能否存在一点G，使得 FG∥平面 ACD ？若存在，试确立点G 的地点；若不存在，请说明原因．18 ．如图：是直径为的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥ CD，且DF=2，，E为FD 的中点， Q 为 BE 的中点， R 为 FC 上一点，且FR=3RC ．（Ⅰ）求证：面BCE⊥面 CDF ；（Ⅱ）求证： QR ∥平面 BCD ；（Ⅲ）求三棱锥F﹣BCE 的体积．必修 2 空间立体几何大题参照答案与试题分析一．解答题（共18 小题）1．（ 2015 ? 北京）如图，在三棱锥V﹣ ABC 中，平面 VAB ⊥平面 ABC ，△VAB 为等边三角形， AC ⊥ BC 且 AC=BC=，O ， M 分别为 AB ， VA 的中点．（ 1）求证： VB ∥平面 MOC ；（ 2）求证：平面MOC ⊥平面 VAB（ 3）求三棱锥V﹣ ABC 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判断；平面与平面垂直的判断．专题：综合题；空间地点关系与距离．剖析：（1 ）利用三角形的中位线得出OM ∥VB ，利用线面平行的判断定理证明VB ∥平面MOC ；（2）证明： OC⊥平面 VAB ，即可证明平面 MOC ⊥平面 VAB（3）利用等体积法求三棱锥 V ﹣ABC 的体积．解答：（1 ）证明：∵ O ， M 分别为 AB ， VA 的中点，∴OM ∥VB ，∵VB ? 平面 MOC ， OM ? 平面 MOC ，∴VB ∥平面 MOC ；（2）∵AC=BC ， O 为 AB 的中点，∴OC ⊥ AB ，∵平面 VAB ⊥平面 ABC ，OC ? 平面 ABC ，∴OC ⊥平面 VAB ，∵OC ? 平面 MOC ，∴平面 MOC ⊥平面 VAB（3 ）在等腰直角三角形ACB 中， AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB =，∵OC ⊥平面 VAB ，∴V C﹣VAB=?S△VAB =，∴V V﹣ABC =V C﹣VAB=．评论：此题考察线面平行的判断，考察平面与平面垂直的判断，考察体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判断定理是重点．2．（ 2015 ? 安徽）如图，三棱锥P﹣ ABC 中， PA⊥平面 ABC ， PA=1 ， AB=1 ， AC=2 ，∠BAC=60 °．（ 1）求三棱锥P﹣ ABC 的体积；（ 2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得 AC ⊥ BM ，并求的值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间地点关系与距离．剖析：（1 ）利用 V P﹣ABC = ?S△ABC ?PA，求三棱锥P﹣ ABC 的体积；（2 ）过 B 作 BN ⊥ AC，垂足为N ，过 N 作 MN ∥PA ，交 PA 于点 M ，连结 BM ，证明 AC ⊥平面 MBN ，可得 AC ⊥ BM ，利用 MN ∥PA，求的值．解答：（1 ）解：由题设，AB=1 ， AC=2 ，∠BAC=60 °，可得 S△ABC ==．因为 PA⊥平面 ABC ， PA=1 ，因此 V P﹣ABC = ?S△ABC ?PA=；（2）解：过 B 作 BN ⊥ AC，垂足为 N ，过 N 作 MN ∥PA，交 PC 于点 M ，连结 BM ，由 PA⊥平面 ABC ，知 PA⊥ AC ，因此 MN ⊥ AC，因为 BN ∩MN=N ，因此 AC⊥平面 MBN ．因为 BM ? 平面 MBN ，因此 AC⊥ BM ．在直角△BAN 中， AN=AB ?cos ∠BAC=，从而 NC=AC ﹣AN=．由 MN ∥PA 得==．评论：此题考察三棱锥P﹣ ABC 的体积的计算，考察线面垂直的判断与性质的运用，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．3．（ 2015 ? 黑龙江）如图，长方体ABCD ﹣ A 1 B1 C1D 1中， AB=16 ， BC=10 ， AA 1 =8 ，点 E， F 分别在 A 1 B1，D 1C1上， A 1E=D 1F=4 ．过 E， F 的平面α与此长方体的面订交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不用说出画法和原因）（Ⅱ）求平面α把该长方体分红的两部分体积的比值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基天性质及推论．专题：综合题；空间地点关系与距离．剖析：（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6 ，AH=10 ，HB=6 ，即可求平面 a 把该长方体分红的两部分体积的比值．解答：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH 以下图；（Ⅱ）作EM ⊥ AB ，垂足为 M ，则 AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为 EFGH 为正方形，因此EH=EF=BC=10，于是 MH==6 ，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分红两个高为10 的直棱柱，因此其体积的比值为．评论：此题考察平面与平面平行的性质，考察学生的计算能力，比较基础．4．（ 2015 ? 湖南）如图，直三棱柱ABC ﹣ A 1 B1 C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是 BC， CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）若直线 A 1C 与平面 A 1ABB 1所成的角为45 °，求三棱锥 F﹣ AEC 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判断．专题：空间地点关系与距离．剖析：（Ⅰ）证明AE ⊥ BB1，AE⊥ BC ，BC∩BB 1=B ，推出 AE ⊥平面 B1 BCC1，利用平面余平米垂直的判断定理证明平面AEF ⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）取 AB 的中点 G，说明直线 A 1C 与平面 A 1ABB 1所成的角为45 °，就是∠CA1 G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面 ABC ， AE ? 底面 ABC ，∴AE ⊥BB1，∵直三棱柱 ABC ﹣ A 1 B1 C1的底面是边长为 2 的正三角形， E 分别是 BC 的中点，∴AE ⊥BC，BC ∩BB1 =B ，∴AE⊥平面 B1BCC 1，∵AE ? 平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 B1 BCC1；（Ⅱ）解：取AB 的中点 G，连结 A1 G， CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面 A 1ABB 1，直线 A 1C 与平面 A 1ABB 1所成的角为45 °，就是∠CA 1G，则 A 1G=CG=，∴AA 1==，CF=．三棱锥 F﹣ AEC 的体积：×==．评论：此题考察几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考察空间想象能力以及计算能力．5．（2015 ? 江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣ A 1 B1C1中，已知 AC ⊥ BC， BC=CC 1，设 AB 1的中点为D， B1 C∩BC1=E ．求证：（1） DE∥平面 AA 1 C1 C；（2） BC1⊥ AB 1．考点：直线与平面平行的判断；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间地点关系与距离．剖析：（1 ）依据中位线定理得DE∥AC ，即证 DE ∥平面 AA 1C1 C；（2）先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC ，即证 AC ⊥ CC1；再证明 AC ⊥平面 BCC1 B1，即证 BC1⊥AC ；最后证明 BC1⊥平面 B1 AC，即可证出 BC 1⊥AB 1．解答：证明：（ 1 ）依据题意，得；E 为 B1 C 的中点， D 为 AB 1的中点，因此DE ∥AC ；又因为 DE ? 平面 AA 1C1C， AC ? 平面 AA 1 C1 C，因此 DE∥平面 AA 1 C1C；（2）因为棱柱 ABC ﹣ A1 B1C1是直三棱柱，因此 CC1⊥平面 ABC ，因为 AC? 平面 ABC ，因此 AC⊥ CC1；又因为 AC ⊥ BC，CC1? 平面 BCC1B1，BC? 平面 BCC1 B1，BC∩CC1 =C ，因此 AC⊥平面 BCC1 B1；又因为 BC1 ? 平面 BCC 1B1，因此 BC1⊥AC ；因为 BC=CC 1，因此矩形BCC1 B1是正方形，因此 BC1⊥平面 B1 AC；又因为 AB 1? 平面 B1 AC，因此 BC1⊥AB 1．评论：此题考察了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的地点关系，也考察了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．6．（ 2015 ? 重庆）如题图，三棱锥 P﹣ ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC ，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明： AB ⊥平面 PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣ DFBC 的体积为7 ，求线段 BC 的长．考点：直线与平面垂直的判断；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：开放型；空间地点关系与距离．剖析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC ，可证 PE⊥ AB ．又 EF∥BC，可证 AB⊥ EF，从而 AB 与平面 PEF 内两条订交直线PE， EF 都垂直，可证AB ⊥平面 PEF．由 AD=AE ，可求 S △AFD ，从而求得四边形 DFBC 的面积，由（Ⅰ）知PE 为四棱锥P ﹣ DFBC 的高，求得 PE ，由体积 V P ﹣DFBC = S DFBC ?PE=7 ，即可解得线段 BC 的长．解答： 解：（Ⅰ）如图，由 DE=EC ， PD=PC 知， E 为等腰△PDC 中 DC 边的中点，故PE ⊥AC ，又平面 PAC ⊥平面 ABC ，平面 PAC ∩平面 ABC=AC ， PE? 平面 PAC ， PE ⊥AC ，因此 PE ⊥平面 ABC ，从而 PE ⊥AB ．因为∠ABC=，EF ∥BC ，故 AB ⊥ EF ，从而 AB 与平面 PEF 内两条订交直线PE ， EF 都垂直，因此 AB ⊥平面 PEF ．（Ⅱ）设 BC=x ，则在直角△ ABC 中， AB== ，从而 S △ABC = AB ?BC= x，由 EF ∥BC 知，得△AFE ≌△ABC ，故= （ ）2= ，即 S △AFE = S △ABC ，由 AD=AE ， S △AFD ==S △ABC = S △ABC = x，从而四边形 DFBC 的面积为： S DFBC =S △ABC ﹣ S AFD = x﹣x = x ．由（Ⅰ）知， PE ⊥平面 ABC ，因此 PE 为四棱锥 P ﹣ DFBC 的高．在直角△PEC 中， PE===2 ，故体积 V P ﹣DFBC =S DFBC ?PE=x=7 ，故得 x 4 ﹣ 36x 2+243=0 ，解得 x 2 =9 或 x 2=27 ，因为 x ＞ 0，可得 x=3或 x=3 ．因此： BC=3 或 BC=3．评论：此题主要考察了直线与平面垂直的判断，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考察了空间想象能力和推理论证能力，考察了转变思想，属于中档题．7．（ 2015 ? 福建）如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且 PO=OB=1，（Ⅰ）若 D 为线段 AC 的中点，求证；AC ⊥平面 PDO ；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ ABC 体积的最大值；（Ⅲ）若 BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．考点：直线与平面垂直的判断；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间地点关系与距离．剖析：（Ⅰ）由题意可证AC⊥ DO ，又 PO ⊥ AC ，即可证明AC ⊥平面 PDO ．（Ⅱ）当CO ⊥ AB 时， C 到 AB 的距离最大且最大值为 1 ，又 AB=2 ，即可求△ ABC面积的最大值，又三棱锥P﹣ ABC 的高 PO=1 ，即可求得三棱锥P﹣ ABC 体积的最大值．（Ⅲ）可求PB===PC ，即有 PB=PC=BC ，由 OP=OB ，C′P=C ′B，可证 E 为 PB 中点，从而可求OC ′=OE+EC ′==，从而得解．解答：解：（Ⅰ）在△ AOC 中，因为OA=OC ，D 为 AC 的中点，因此 AC⊥ DO ，又PO 垂直于圆 O 所在的平面，因此 PO ⊥ AC ，因为 DO ∩PO=O ，因此 AC⊥平面 PDO ．（Ⅱ）因为点 C 在圆 O 上，因此当 CO ⊥ AB 时， C 到 AB 的距离最大，且最大值为 1 ，又 AB=2 ，因此△ABC 面积的最大值为，又因为三棱锥P﹣ ABC 的高 PO=1 ，故三棱锥P﹣ ABC 体积的最大值为：．（Ⅲ）在△ POB 中， PO=OB=1，∠POB=90°，因此 PB==，同理 PC=，因此PB=PC=BC，在三棱锥P﹣ ABC 中，将侧面BCP 绕 PB 旋转至平面BC′P，使之与平面ABP 共面，以下图，当O ，E，C′共线时，CE+OE 获得最小值，又因为 OP=OB ，C′P=C ′B，因此 OC ′垂直均分PB，即 E 为 PB 中点．从而 OC ′=OE+EC ′==．亦即 CE+OE 的最小值为：．评论：此题主要考察了直线与直线、直线与平面的地点关系、锥体的体积的求法等基础知识，考察了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察了数形联合思想、化归与转变思想，属于中档题．8．（ 2015 ? 河北）如图，四边形ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE⊥平面 ABCD ．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面 BED；（Ⅱ）若∠ ABC=120 °，AE⊥ EC，三棱锥E﹣ACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积．考平面与平面垂直的判断；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．点：专空间地点关系与距离．题：分（Ⅰ）依据面面垂直的判断定理即可证明：平面AEC⊥平面 BED ；析： （ Ⅱ）依据三棱锥的条件公式，进行计算即可．解 证明：（Ⅰ）∵四边形 ABCD 为菱形，答： ∴AC ⊥ BD ，∵BE ⊥平面 ABCD ，∴AC ⊥ BE ，则 AC ⊥平面 BED ，∵AC? 平面 AEC ，∴平面 AEC ⊥平面 BED ；解：（Ⅱ）设 AB=x ，在菱形 ABCD 中，由∠ABC=120 °，得 AG=GC= x ，GB=GD= ，∵AE ⊥EC ，△EBG 为直角三角形，∴BE= x ，∵三棱锥 E ﹣ACD 的体积 V= = = ，解得 x=2 ，即 AB=2 ，∵∠ABC=120 °，∴AC 2 =AB 2 +BC 2﹣ 2AB ?BCcosABC=4+4 ﹣ 2 × =12 ，即 AC= ，在三个直角三角形 EBA ， EBG ， EBC 中，斜边 AE=EC=ED ，∵AE ⊥EC ，∴△EAC 为等腰三角形，则 AE 2+EC 2 =AC 2 =12 ，即 2AE 2=12 ，∴AE 2 =6 ，则 AE=，∴从而得 AE=EC=ED= ，∴△EAC 的面积 S= =3 ，在等腰三角形 EAD 中，过 E 作 EF ⊥AD 于 F ，则 AE= ， AF= = ，则 EF= ，∴△EAD 的面积和△ ECD 的面积均为 S= = ，故该三棱锥的侧面积为 3+2 ．点 此题主要考察面面垂直的判断，以及三棱锥体积的计算，要求娴熟掌握相应的判断定理评： 以及体积公式．9．（2015 ? 天津）如图，已知 AA 1 ⊥平面 ABC ，BB 1 ∥AA 1， AB=AC=3 ，BC=2 ，AA 1= ， BB 1 =2 ，点 E 和 F分别为 BC 和 A 1C 的中点．（Ⅰ）求证： EF ∥平面 A 1B 1 BA ；（Ⅱ）求证：平面AEA 1⊥平面 BCB 1；（Ⅲ）求直线 A 1B1与平面 BCB1所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判断；直线与平面平行的判断；直线与平面所成的角．专题：空间地点关系与距离．剖析：（Ⅰ）连结 A 1 B，易证 EF∥A 1B，由线面平行的判断定理可得；（Ⅱ）易证AE ⊥ BC， BB 1⊥ AE，可证 AE⊥平面 BCB1，从而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中点 M 和 B1 C 中点 N ，连结 A 1 M ， A 1N ， NE ，易证∠ A 1B1N 即为直线A 1B1与平面 BCB1所成角，解三角形可得．解答：（Ⅰ）证明：连结 A 1B，在△A 1BC 中，∵E 和 F 分别是 BC 和 A 1 C 的中点，∴ EF∥A 1B，又∵A 1 B? 平面 A 1B1BA ， EF? 平面 A 1B1BA ，∴EF∥平面 A 1B1BA ；（Ⅱ）证明：∵ AB=AC ， E 为 BC 中点，∴ AE ⊥ BC，∵AA 1⊥平面 ABC ， BB1∥AA 1，∴BB 1⊥平面 ABC ，∴BB 1⊥AE ，又∵BC∩BB1 =B ，∴AE ⊥平面 BCB1，又∵AE? 平面 AEA ，∴平面 AEA ⊥平面 BCB；（Ⅲ）取BB1中点 M 和 B1 C 中点 N ，连结 A 1 M ， A 1N ， NE ，∵N 和 E 分别为 B1 C 和 BC 的中点，∴ NE 平行且等于B1 B，∴NE 平行且等于 A 1A ，∴四边形 A 1AEN 是平行四边形，∴A 1N 平行且等于AE，又∵AE⊥平面 BCB 1，∴A 1N ⊥平面 BCB1，∴∠A 1B1N 即为直线A1 B1与平面 BCB1所成角，在△ABC 中，可得AE=2 ，∴A 1 N=AE=2，∵BM ∥AA 1，BM=AA1 ，∴A 1M∥AB且A 1 M=AB，又由 AB ⊥ BB1，∴A 1 M ⊥ BB1，在 RT△A 1MB 1中， A 1B1 ==4 ，在 RT△A 1NB 1中， sin ∠A 1B1 N==，∴∠A 1B1N=30 °，即直线 A 1B1与平面 BCB 1所成角的大小为30 °评论：此题考察线面垂直与平行关系的证明，波及直线与平面所成的角，属中档题．10 ．（ 2015 ? 醴陵市）以下图，已知AB ⊥平面 BCD ， M 、 N 分别是 AC、 AD 的中点， BC⊥ CD ．（1）求证： MN ∥平面 BCD ；（2）求证：平面 BCD ⊥平面 ABC ．考点：平面与平面垂直的判断；直线与平面平行的判断．专题：空间地点关系与距离．剖析：（1 ）由中位线定理和线面平行的判断定理，即可得证；（2 ）由线面垂直的性质和判断定理，可得CD ⊥平面 ABC ，再由面面垂直的判断定理，即可得证．解答：证明：（ 1 ）因为 M ，N 分别是 AC ， AD 的中点，因此 MN ∥CD．又MN ? 平面 BCD 且 CD ? 平面 BCD ，因此 MN ∥平面 BCD ；（2 ）因为 AB ⊥平面 BCD ， CD ? 平面 BCD ，因此 AB ⊥ CD．又CD ⊥ BC， AB ∩BC=B ，因此 CD ⊥平面 ABC ．又CD ? 平面 BCD ，因此平面 BCD ⊥平面 ABC ．评论：此题考察线面平行的判断和面面垂直的判断，考察空间直线和平面的地点关系，考察逻辑推理能力，属于中档题．11 ．（ 2015 ? 葫芦岛一模）如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点 E 在底面的圆周上，BF⊥ AE，F 是垂足．（1）求证： BF⊥ AC ；（2）若 CE=1 ，∠CBE=30 °，求三棱锥 F﹣ BCE 的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间地点关系与距离．剖析：（1 ）欲证 BF⊥ AC ，先证 BF⊥平面 AEC，依据线面垂直的判断定理可知只要证CE ⊥BF ，BF⊥AE 且 CE∩AE=E ，即可证得线面垂直；（2 ）V F﹣BCE=V C﹣BEF= ?S△BEF?CE= ? ?EF?BF?CE，即可求出三棱锥F﹣ BCE 的体积．解答：（1 ）证明：∵ AB ⊥平面 BEC， CE? 平面 BEC，∴AB ⊥ CE∵BC 为圆的直径，∴ BE⊥ CE．∵BE? 平面 ABE， AB ? 平面 ABE ， BE∩AB=B∴CE⊥平面 ABE ，∵BF? 平面 ABE ，∴CE⊥ BF，又 BF⊥AE 且 CE∩AE=E ，∴BF⊥平面 AEC，∵AC ? 平面 AEC ，∴BF⊥ AC⋯（6 分）（2 ）解：在Rt △BEC 中，∵CE=1 ，∠CBE=30 °∴BE=，BC=2又∵ABCD 正方形，∴ AB=2 ，∴AE=，∴BF?AE=AB ?BE，∴BF=，∴EF=∴V F﹣BCE=V C﹣BEF= ?S△BEF?CE=? ?EF?BF?CE= ? ???1=⋯（12分）点：本小主要考空面关系、柱性、空想象能力和推理能力，考三棱F BCE 的体的算，属于中档．12 ．（ 2015 ? 商丘三模）如，已知四形ABCD 和 BCEG 均直角梯形，AD ∥BC， CE∥BG，且∠BCD= ∠BCE=，平面 ABCD ⊥平面 BCEG， BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求：（Ⅰ） EC⊥ CD ；（Ⅱ）求： AG ∥平面 BDE ；（Ⅲ）求：几何体EG ABCD 的体．考点：棱柱、棱、棱台的体；直与平面平行的判断．：合；空地点关系与距离．剖析：（Ⅰ）利用面面垂直的性，明EC⊥平面 ABCD ，利用面垂直的性明EC⊥CD ；（Ⅱ）在平面BCEG 中， G 作 GN ⊥ CE 交 BE 于 M ， DM ，明四形ADMG 平行四形，可得AG ∥DM ，即可明AG ∥平面 BDE ；（Ⅲ）利用切割法即可求出几何体EG ABCD 的体．解答：（Ⅰ）明：由平面ABCD ⊥平面 BCEG，平面 ABCD ∩平面 BCEG=BC ， CE⊥ BC， CE? 平面 BCEG，∴EC⊥平面 ABCD ，⋯（ 3 分）又CD ? 平面 BCDA ，故 EC⊥ CD ⋯（4 分）（Ⅱ）明：在平面BCEG 中， G 作 GN ⊥ CE 交 BE 于 M ， DM ，由已知知； MG=MN，MN∥BC∥DA，且，∴MG ∥AD ， MG=AD，故四形ADMG平行四形，∴ AG∥DM⋯（6分）∵DM ? 平面 BDE ， AG ? 平面 BDE ，∴AG ∥平面 BDE ⋯（8 分）（Ⅲ）解：⋯（10 分）=⋯（12 分）点：本考面面垂直、面平行，考几何体体的算，考学生剖析解决的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判断定理是重点．13 ．（ 2015 ? 南昌模拟）如图，已知三棱锥 A ﹣ BPC 中， AP ⊥ PC， AC ⊥ BC， M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证： DM ∥平面 APC ；（2）若 BC=4 ， AB=20 ，求三棱锥 D ﹣BCM 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判断．专题：空间地点关系与距离．剖析：（1 ）可由三角形的中位线定理获得线线平行，从而获得线面平行．（2 ）先证明MD ⊥底面 BCD ，从而可计算出体积．解答：（1 ）证明：∵ M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，∴ MD 为△PAB 的中位线，∴ MD ∥AP ．而AP ? 平面 PAC， MD ? 平面 PAC ，∴MD ∥平面 PAC ．（2 ）解：∵△PMB 为正三角形， PD=DB ，∴MD ⊥ PB．∵MD ∥AP， AP ⊥ PC，∴MD ⊥ PC．又 PC∩PB=P ，∴MD ⊥平面 PBC．即 MD 为三棱锥 M ﹣ BCD 的高．由 AB=20 ，∴MB=10，BD=5，∴MD=5．在 Rt △PCB 中（因为 AC ⊥ BC，因此 PC ⊥BC），由勾股定理得PC==2．于是 S△BCD =S △BCP× ==．∴V 三棱锥D﹣BCM =V 三棱锥M﹣BCD ==10．评论：利用三角形的中位线定理证明线线平行是证明线面平行常用的方法之一．先证明线面垂直是求体积的重点．14 ．（ 2015 ? 沈阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中， PD⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，∠ BAD=60 °，AB=2 ，PD=， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面 PBD ；（Ⅱ）若 PD ∥平面 EAC ，求三棱锥P﹣ EAD 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判断．专题：空间地点关系与距离．剖析：（Ⅰ）由已知得AC⊥ PD ，AC ⊥ BD，由此能证明平面EAC ⊥平面 PBD ．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取 AD 中点 H ，连结 BH ，由此利用，能求出三棱锥P﹣ EAD 的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵ PD ⊥平面 ABCD ， AC ? 平面 ABCD ，∴AC ⊥ PD ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥ BD ，又∵PD ∩BD=D ， AC ⊥平面 PBD ．而AC ? 平面 EAC，∴平面 EAC ⊥平面 PBD ．（Ⅱ）解：∵ PD∥平面 EAC，平面 EAC∩平面 PBD=OE ，∴PD ∥OE，∵O 是 BD 中点，∴ E 是 PB 中点．取 AD 中点 H ，连结 BH ，∵四边形 ABCD是菱形，∠ BAD=60°，∴BH ⊥ AD ，又 BH ⊥ PD， AD ∩PD=D ，∴BD ⊥平面 PAD ，．∴（还能够用 VP-ABD-VE-ABD）==．评论：此题考察平面与平面垂直的证明，考察三棱锥的体积的求法，解题时要仔细审题，注意空间思想能力的培育．15 ．（ 2015 ? 上海模拟）已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B1C1 D 1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA 1、BB1、BC 上，Q 是 BB1中点，且PQ ∥AB ， C1Q ⊥ QR（1）求证： C1Q⊥平面 PQR ；（2）若 C1Q=，求四周体C1PQR的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判断．专题：空间地点关系与距离；空间角．剖析：（1 ）由已知得AB ⊥平面 B1 BCC1，从而 PQ ⊥平面 B1 BCC1，从而 C1Q ⊥ PQ ，又C1 Q⊥ QR，由此能证明C1 Q ⊥平面 PQR ．（2 ）由已知得B1Q=1 ，BQ=1 ，△B1 C1 Q ∽△BQR ，从而 BR=，QR=，由C1Q、QR 、QP 两两垂直，能求出四周体C1PQR 的体积．解答：（1 ）证明：∵四棱柱ABCD ﹣ A 1 B1C1D 1是正四棱柱，∴AB ⊥平面 B1 BCC1，又PQ ∥AB ，∴PQ ⊥平面 B1BCC1，∴C1Q ⊥ PQ ，又已知C1Q ⊥ QR ，且 QR∩QP=Q ，∴C1Q ⊥平面 PQR ．（2 ）解：∵ B1 C1 =，，∴B1Q=1 ，∴BQ=1 ，∵Q 是 BB1中点， C1 Q ⊥QR，∴∠B1C1Q= ∠BQR ，∠C1 B1 Q= ∠QBR ，∴△B1 C1Q ∽△BQR，∴BR=，∴QR=，∵C1Q 、 QR 、 QP 两两垂直，∴四周体 C1 PQR 的体积 V=．评论：本小题主要考察空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考察数形结合、化归与转变的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．16 ．（ 2015 ? 凯里市校级模拟）如图，直三棱柱ABC ﹣ A 1B1C1中， D ， E 分别是 AB ， BB 1的中点．（1）证明 BC 1∥平面 A1 CD（ 2）设 AA 1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣ A 1DE 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判断．专题：空间地点关系与距离．剖析：（1）连结 AC1交 A 1 C 于点 F，连结 DF ，则 BC 1∥DF ，由此能证明 BC 1∥平面 A 1CD ．（2）由已知得 AA 1⊥CD ，CD⊥ AB ，从而 CD ⊥平面 ABB 1 A 1．由此能求出三菱锥 C﹣A 1 DE 的体积．解答：（1）证明：连结 AC 1交 A 1C 于点 F，则F 为 AC 1中点又 D 是 AB 中点，连结 DF ，则 BC1∥DF．因为 DF ? 平面 A 1CD ， BC1不包括于平面 A 1 CD ，因此 BC1∥平面 A 1 CD．（2 ）解：因为ABC ﹣ A1 B1C1是直三棱柱，因此AA 1⊥ CD ．由已知 AC=CB ， D 为又AA 1∩AB=A ，于是由 AA 1 =AC=CB=2 ，AB 的中点，因此CD ⊥AB ．CD⊥平面 ABB 1A 1．得∠ACB=90 °，，，，A1E=3，故A 1D 2+DE2=A 1E2，即 DE⊥ A 1D ．因此三菱锥C﹣ A 1 DE 的体积为：==1 ．评论：此题考察直线与平面平行的证明，考察三菱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思想能力的培育．17 ．（ 2015 ? 东城区一模）如图甲，⊙ O 的直径 AB=2 ，圆上两点C， D 在直径 AB 的双侧，且∠ CBA= ∠DAB=．沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面相互垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．依据图乙解答以下各题：（Ⅰ）求： CB⊥ DE；（Ⅱ）求三棱 C BOD 的体；（Ⅲ）在劣弧上能否存在一点G，使得 FG∥平面 ACD ？若存在，确立点G 的地点；若不存在，明原因．考点：棱柱、棱、棱台的体；直与平面平行的性．：合；空地点关系与距离．剖析：（Ⅰ）利用等三角形的性可得DE⊥AO ，再利用面面垂直的性定理即可获得DE⊥平面 ABC ，而得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面 ABC ，利用底面的方法，即可求三棱的体；（Ⅲ）存在，G 劣弧的中点．接OG，OF，FG，通明平面OFG ∥平面 ACD ，即可获得．解答：（Ⅰ）明：在△ AOD 中，∵， OA=OD ，∴△AOD 正三角形，又∵E OA 的中点，∴DE⊥ AO ⋯（1 分）∵两个半所在平面ACB 与平面 ADB 相互垂直且其交AB ，∴DE⊥平面 ABC ．⋯（3分）又 CB? 平面 ABC ，∴CB⊥ DE．⋯5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE ⊥平面 ABC ，∴DE 三棱 D BOC 的高．∵ D 周上一点，且AB 直径，∴，在△ABD 中，由 AD ⊥ BD ，，AB=2，得AD=1，．⋯（6分）∵，∴==．⋯（8分）（Ⅲ）解：存在足意的点G， G 劣弧的中点．⋯（9分）明以下：接OG ， OF ， FG，易知 OG ⊥ BD ，又 AD ⊥ BD ∴OG ∥AD ，∵OG ? 平面 ACD ，∴OG ∥平面 ACD ．⋯（10分）在△ABC 中， O ，F 分 AB ， BC 的中点，∴OF ∥AC ， OF ? 平面 ACD ，∴OF∥平面 ACD ，⋯（ 11 分）∵OG ∩OF=O ，∴平面 OFG∥平面 ACD ．又 FG? 平面 OFG ，∴FG ∥平面 ACD ．⋯（12分）点：本考、面、面面关系，考垂直的判断、面面垂直的性、面平行的判断及几何体高与体的算，考空想象能力、推理能力、运算求解能力及剖析研究和解决的能力．18 ．（2015 ? 威海模）如：是直径的半，O心，C是上一点，且．DF⊥ CD，且DF=2，，E FD 的中点， QBE 的中点， R FC 上一点，且 FR=3RC ．（Ⅰ）求：面 BCE⊥面 CDF ；（Ⅱ）求： QR ∥平面 BCD ；（Ⅲ）求三棱 F BCE 的体．考棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判断；平面与平面垂直的判断．点：专 空间地点关系与距离．题：分（Ⅰ）证明 BD ⊥ DF ， DF ⊥ BC ，利用直线与平面垂直的判断定理证明 BC ⊥平面 CFD ，析： 而后证明面 BCE ⊥面 CDF ．（Ⅱ）连结 OQ ，经过证明 RQ ∥OM ，而后证明 QR ∥平面 BCD ．（Ⅲ）利用 v F ﹣BCE =v F ﹣BCD ﹣ v E ﹣BCD 求解几何体的体积即可．解（本小题满分 12 分）答： 证明：（Ⅰ）∵ DF=2 ，，，∴BF 2=BD 2+DF 2，∴BD ⊥ DF ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1 分）又 DF ⊥ CD ，∴DF ⊥平面 BCD ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2 分）∴DF ⊥ BC ，又 BC ⊥ CD ，∴BC ⊥平面 CFD ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 3分）∵BC? 面 BCE∴面 BCE ⊥面 CDF ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 4 分）（Ⅱ）连结 OQ ，在面 CFD 内过 R 点做 RM ⊥ CD ，∵O ，Q 为中点，∴ OQ ∥DF ，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 5 分）∵DF ⊥ CD ∴RM ∥FD ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 6 分）又 FR=3RC ，∴ ，∴，∵E 为 FD 的中点，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 7分）∴OQ ∥RM ，且 OQ=RM∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 8 分）又RQ? 平面 BCD ，OM ? 平面 BCD ，∴QR ∥平面 BCD ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 9 分）（Ⅲ）∵，∴∠DBC=30 °，∴在直角三角形 BCD 中有，，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）（或求 VB-FCE 1/3*1/2*FE*CD*BC）点此题考察直线与平面垂直的判断定理的应用直线与平面平行的判断定理以及几何体的评：体积的求法，考察空间想象能力以及逻辑推理计算能力．。
必修二++空间几何证明经典题型
∴GF∥平面ABC（5分）
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN
（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴ （2分）
又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
10．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．
【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）
∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ= CD．…（2分）
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO为VA﹣BCDE的高， ，∴ ．
6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC= ．
（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．
【解答】证明：（1）∵BC∥B1C1，且B1C1⊂平面AB1C1，BC⊄平面AB1C1，
【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．
所以在△CPA中，EF∥PA，
又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD；
（2）平面PAD⊥平面ABCD
平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA
正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD
高中数学-必修二-立体几何常考证明题汇总
新课标立体几何常考证实题汇总1、四边形 ABCD 是空间四边形,E,F,G,H 分别是边AB, BC,CD, DA 的中点 (1) 求证：EFGK 平行四边形(2)假设BD=2掷,AC=2 EG=2求异面直线 AC BD 所成的角和EG BD 所成的角.1证实：在 ABD 中,: E, H 分别是 AB, AD 的中点,EH //BD ,EH - BD21同理,FG//BD,FG — BD EH //FG,EH FG .♦・四边形 EFGH 是平行四边形. 2(2) 90 °30°考点：证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角2、如图,空间四边形 ABCD 中,BC AC,AD BD , E 是AB 的中点. (2)由(1)有AB 平面CDE考点：线面垂直,面面垂直的判定求证：(1) AB 平面CDE;(2)平面CDE 平面ABC .证实：(1) B C AC CE AB AE BE同理,AD BD AE BEDE AB又「 CE DE E••• AB 平面 CDE又••• AB平面ABC,・•・平面CDE 平面ABCA3、如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E是AA1的中点,求证：AC//平面BDE.证实：连接AC交BD于O ,连接EO ,••• E为AA i的中点,.为AC的中点•• EO为三角形AAC的中位线EO//AC又EO在平面BDE内,AC在平面BDE外•• AC //平面BDE.考点：线面平行的判定4、ABC 中ACB 90o,SA 面ABC, AD SC,求证：AD 面SBC. 证实：: ACB90BC AC又SA 面ABC SA BCBC 面SACBC ADX SC AD,SC BC C AD 面SBC考点：线面垂直的判定5、正方体ABCD AB1C1D1, O是底ABCD对角线的交点求证：(1 ) C i O // 面AB1D1 ; (2) AC 面AB1D1 .证实：(1)连结AC1 ,设A1C1B1D1 01, 连结AO1••• ABCD AB1c l D1是正方体AACC1是平行四边形,AiCi//AC 且A1c l AC又O1,O 分别是AC〔,AC 的中点,,O i C i//AO 且01c l AO AOC i O i是平行四边形CiO// AO1, AO1面AB1D1 , C1O 面AB[D〔 . . C iO//面ABR(2) QCC1面A^CR CC1 B1D!又'A1.1 BiDi, B1D1面AC1C 即AC B i D1同理可证AC AD、又DC AD i D iAC 面ABR考点：线面平行的判定〔利用平行四边形〕,线面垂直的判定6、正方体ABCD A'B'C'D'中,求证：⑴ AC 平面B'D'DB；〔2〕BD1平面ACB’考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD—A i B i C i D i 中.〔1〕求证：平面A i BD//平面B i D i C;〔2〕假设E、F分别是AA i, CC i的中点,求证：平面EB i D i//平面FBD .证实：〔i〕由B i B// DD i,得四边形BB i D i D是平行四边形,, B i D i // BD ,又BD 平面B i D i C, B i D i 平面B i D i C,BD //平面B i D i C.同理A i D //平面B i D i C.而A i DABD=D,平面A i BD//平面B i CD.(2)由BD// B i D i,得BD//平面EB i D i.取BB i 中点G, AE//B i G.从而得B i E // AG,同理GF//AD. ,AG// DF. ,B i E// DF. DF //平面EB i D i, 平面EB i D i//平面FBD.考点：线面平行的判定〔利用平行四边形〕8、四面体ABCD中,AC BD,E, F分别为AD,BC的中点,.且EF ——AC, 2BDC 900,求证：BD 平面ACD i 证实：取CD的中点G ,连结EG,FG,; E,F分别为AD, BC的中点,,EG //-AC 2i i_ _ _2_21_22FG 〃一BD,又.AC BD,,FG —AC,...在EFG 中,EG FG -AC EF2 2 2EG FG, •. BD AC,又BDC 900,即BD CD , AC CD CBD 平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形9、如图P是ABC所在平面外一点, PA PB,CB 平面PAB, M.是PC的中点,N是AB上的点,AN 3NB(i)求证：MN AB; (2)当APB 90°, AB 2BC 4时,求MN 的长.证实：(i)取PA的中点Q ,连结MQ,NQ , •「M是PB的中点,M MQ // BC , ••• CB 平面PAB ,, MQ 平面PAB・♦.QN是MN在平面PAB内的射影,取AB的中点D,连结PD , . PA PB,..PD AB ,又AN 3NB, .. BN NDB NQN //PD,.二QN AB ,由三垂线定理得MN ABo 1(2) ••• APB 90°, PA PB, PD -AB 2 , QN 1 , 「MQ2MQ -BC 1, MN .2 2考点：三垂线定理考点：线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定12、ABCD 是矩形,PA 平面ABCD, AB 2, PA AD 为BC的中点.(1)求证：DE 平面PAE; (2)求直线DP与平面PAE所成的角.证实：在ADE 中,AD2 AE2 DE2, AE DEPA 平面ABCD, DE 平面ABCD, PA DE又PA AE A, DE 平面PAE(2) DPE为DP与平面PAE所成的角在Rt PAD, PD 4垃,在Rt DCE 中,DE 2%/2在Rt DEP 中,PD 2DE , DPE 30°考点：线面垂直的判定,构造直角三角形平面PAB./. MQ10、如图,在正方体ABCD AB i C i D i中,E、F G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面DEF //平面BDG .证实：••• E、F分别是AB、AD的中点, EF // BD又EF 平面BDG , BD 平面BDG EF //平面BDGD1G旦EB 四边形D1GBE为平行四边形, D1E // GB又D1E 平面BDG , GB 平面BDG D1E //平面BDGEF DE E 平面D1EF //平面BDG考点：线面平行的判定(利用三角形中位线)11、如图,在正方体ABCD AB1c〔D^(中,E是AA的中点.(1)求证：AC 〃平面BDE ;(2)求证：平面A AC 平面BDE .证实：(1)设AC BD O,••• E、O分别是AA、AC的中点, AC // EO又AC 平面BDE , EO 平面BDE , A1C //平面BDE(2) ••• AA1 平面ABCD , BD 平面ABCD , AA1 BD又BD AC , ACAA1A BD平面AAC , BD 平面BDE , 平面BDE 平面AAC13、如图,在四^B 隹P ABCD 中,底面ABCD 是 DAB 且平面PAD 垂直于底面 ABCD.(1)假设G 为AD 的中点,求证：BG 平面PAD ; (2)求证：AD PB;(3)求二面角A BC P 的大小.证实：(1) ABD 为等边三角形且 G 为AD 的中点, BG AD又平面PAD 平面ABCD , BG 平面PAD(2) PAD 是等边三角形且 G 为AD 的中点,AD PG且 AD BG, PGBG G , AD 平面 PBG ,PB 平面 PBG , AD PB(3)由 AD PB , AD // BC, BC PB又 BG AD , AD // BC , BG BCPBG 为二面角A BC P 的平面角在 Rt PBG 中,PG BG, PBG 450,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)14、如图1,在正方体 ABCD AB 1c l D 1中,M 为CC 1的中点,AC 交BD 于点O,求证：A 1O 平面MBD .证实：连结 MO , AM ,DB± A 1A , DB ±AC,A 1AAC A••• DB ,平面 A ACC 1 ,而 A 1O 平面 A 1ACC 1DB ± A 1O .................................................... c3 cc 3 c设正方体梭长为 a ,那么A 1O—a , MO —a .2 4 29 2222在 RtA A 1C 1M AM -a • . AO MO A 〔M , . . AO OM4•. OMnDB=O,A1OL 平面 MBD.考点：线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图 2,在三棱锥 A —BCD 3, BC= AG AD= BD作BE! CD E 为垂足,作 AHL BE 于H .求证：AHL 平面BCD 证实：取 AB的中点F,连结 CF DF.. AC BC , CF AB .. AD BD , DF AB .又 CF I DF F , AB 平面 CDF. CD 平面 CDF CD AB .又 CD BE , BE AB B,CD 平面 ABE CD AH . .AH CD , AH BE , CD BE E ,••• AH 平面 BCD考点：线面垂直的判定16、证实：在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中,A I C,平面 BC I D考点：线面垂直的判定600且边长为a 的菱形,侧面PAD 是等边三角形,证实：连结AC 「 BDXACAC 为A i C 在平面AC 上的射影考点：线面垂直的判定,三垂线定理17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC,且/ ASB=/ASC=60°平面ABC ,平面BSC.证实••• SB=SA=SC , / ASB= / ASC=60 ° . . AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO 、SO, 那么 AO ± BC , SO ± BC,工丁./AOS 为二面角的平面角, 设 SA=SB=SC=a ,又/ BSC=90° ,BC= V2 a, SO = 2 a,1 1AO 2=AC 2 —OC 2=a 2— 2a 2= 2 a 2, .•.SA 2=AO 2+OS 2, .•./ AOS=90 ° ,从而平面 ABC ± 平面BSC.考点：面面垂直的判定〔证二面角是直二面角〕BD AC同理可证A 1c BC 1AC 平面BC 1DDi Ci,/ BSC=90 ° ,求证:。
必修二立体几何典型例题(人教版)
必修二立体几何【知识要点】空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．②性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．空间中平行的判定(2)空间中垂直的判定1.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是d ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是 （ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB ⊂α2.已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.； 其中可能成立的有A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线 （ ） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内4.已知直线a ∥平面α，且它们的距离为d ，则到直线a 与到平面α的距离都等于d 的 点的集合是 （ ）A.空集 B.两条平行直线 C.一条直线 D.一个平面5. A 、B 是直线l 外的两点，过A 、B 且和l 平行的平面的个数是 （ ） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能6.已知直线a 、b ，平面α、β，以下条件中能推出α∥β的是 （ ）①a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ； ②a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β；③a ∥b ，a ⊥α，b ⊥β. A.① B.② C. ③ D.均不能7.若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么直线a ，b 的位置关系是 （ ）A.垂直B.平行C.相交D.不相交 8.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面A. 若l ∥α，l ∥β，则α∥βB. 若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD. 若α⊥β, l ∥α，则l ⊥β9.若有平面α与β，且,,,l P P l αβαβα=⊥∈∉，则下列说法不正确的是( ) A.过点P 且垂直于α的直线平行于β B.过点P 且垂直于l 的平面垂直于β C.过点P 且垂直于β的直线在α内 D.过点P 且垂直于l 的直线在α内 10.已知l ⊥α，m ⊂β，则下面说法中正确的是 （ ） ①α∥β则l ⊥m ②α⊥β则l ∥m ③l ∥m 则α⊥β ④l ⊥m 则α∥β A.①② B.③④ C.②④ D .①③11．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，AD ＝2，E 为BC 的中点，点M 为棱AA 1的中点． (1)证明：DE ⊥平面A 1AE ；(2)证明：BM ∥平面A 1ED .12.如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：AE ⊥BE ；(2)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE .13.在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB．2==DC54(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．14.如图，已知空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点．求证：(1)AB⊥平面CDE；(2)平面CDE⊥平面ABC；(3)若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE.简单几何体的面积和体积1.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的表面积为________．2.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．3.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．4.矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成两个互相垂直的平面则四面体ABCD的外接球的体积为________．5.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝6.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD －A 1C 1D 1，且这个几何体的体积为403.(1)证明：直线A 1B ∥平面CDD 1C 1； (2)求棱A 1A 的长；(3)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积．7.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为________．8.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是________．9.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．10.在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为________11.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体A －B 1CD 1的外接球的体积为________．12.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点． (1)求证：AF ⊥平面CDE ； (2)求证：AF ∥平面BCE ； (3)求四棱锥C －ABED 的体积．。
必修二立体几何典型例题(人教版) (1)
必修二立体几何【知识要点】空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．②性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．空间中平行的判定a∥c，b∥c，a∥α，a⊂βα∥βa⊥α，b⊥αα∩β＝bγ ∩α＝a，γ ∩β＝b⇒a∥b⇒a∥b⇒a∥b⇒a∥b(2)a∩α＝∅a∥bα∥βb⊂α，a⊄αa⊂β⇒a∥α⇒a∥α⇒a∥αα∩β＝∅a∥β，b∥βa⊥α，a⊥βα∥γ ，β∥γa，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β⇒α∥β⇒α∥β⇒α∥βa⊥c，b∥c，a⊥αb⊂α⇒a⊥b⇒a⊥ba⊥m，a⊥n a∥b，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩β＝l m，n⊂α，m∩n＝A a⊂β，a⊥l ⇒a⊥α⇒a⊥α⇒a⊥α⇒a⊥αa⊥β，a⊂α⇒α⊥β1.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是d ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是 （ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB ⊂α2.已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.； 其中可能成立的有A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线 （ ） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内4.已知直线a ∥平面α，且它们的距离为d ，则到直线a 与到平面α的距离都等于d 的 点的集合是 （ ）A.空集 B.两条平行直线 C.一条直线 D.一个平面5. A 、B 是直线l 外的两点，过A 、B 且和l 平行的平面的个数是 （ ） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能6.已知直线a 、b ，平面α、β，以下条件中能推出α∥β的是 （ ）①a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ； ②a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β；③a ∥b ，a ⊥α，b ⊥β. A.① B.② C. ③ D.均不能7.若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么直线a ，b 的位置关系是 （ ）A.垂直B.平行C.相交D.不相交 8.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面A. 若l ∥α，l ∥β，则α∥βB. 若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD. 若α⊥β, l ∥α，则l ⊥β9.若有平面α与β，且,,,l P P l αβαβα=⊥∈∉，则下列说法不正确的是( ) A.过点P 且垂直于α的直线平行于β B.过点P 且垂直于l 的平面垂直于β C.过点P 且垂直于β的直线在α内 D.过点P 且垂直于l 的直线在α内 10.已知l ⊥α，m ⊂β，则下面说法中正确的是 （ ） ①α∥β则l ⊥m ②α⊥β则l ∥m ③l ∥m 则α⊥β ④l ⊥m 则α∥β A.①② B.③④ C.②④ D .①③11．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，AD ＝2，E 为BC 的中点，点M 为棱AA 1的中点． (1)证明：DE ⊥平面A 1AE ；(2)证明：BM ∥平面A 1ED .12.如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：AE ⊥BE ；(2)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE .13.在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB．2==DC54(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．14.如图，已知空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点．求证：(1)AB⊥平面CDE；(2)平面CDE⊥平面ABC；(3)若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE.简单几何体的面积和体积1.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的表面积为________．2.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．3.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．4.矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成两个互相垂直的平面 则四面体ABCD 的外接球的体积为________．5.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球的半径等于________，球的表面积等于________．6.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD －A 1C 1D 1，且这个几何体的体积为403.(1)证明：直线A 1B ∥平面CDD 1C 1； (2)求棱A 1A 的长；(3)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积．7.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为________．8.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是________．9.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．10.在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为________11.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体A －B 1CD 1的外接球的体积为________．12.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点． (1)求证：AF ⊥平面CDE ； (2)求证：AF ∥平面BCE ； (3)求四棱锥C －ABED 的体积．。
必修二 空间几何证明经典练习题型(解析版)
必修二空间几何证明经典练习题型一．解答题（共25小题）1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E 和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）BE∥平面PAD；（Ⅰ）PA⊥BC；（Ⅰ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅰ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅰ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．2．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（Ⅰ）求证：VB∥平面M OC；（Ⅰ）求证：平面MOC⊥平面VAB；（Ⅰ）求三棱锥A﹣MOC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（Ⅰ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；（Ⅰ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，=，∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB∵O，M分别为AB，VA的中点．∴．又∵OC⊥平面VAB，∴三棱锥．3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面BEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在△APC中，因为E、F分别是PA、AC的中点，所以EF∥PC，…（3分）又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF∥平面PBC．…（6分）（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE，…（9分）又PA⊥PC，EF∥PC，所以PA⊥EF，…（12分）因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，所以PA⊥平面BEF，又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面BEF．…（14分）合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．5．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅰ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…（4分）（Ⅰ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，∴BG⊥面ADC．…（6分）∵EF∥BG∴EF⊥面ADC∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC．…（8分）解：（Ⅰ）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．．…（12分）方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，的高，，∴．∴AO为V A﹣BCDE6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC=．（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．【解答】证明：（1）∵BC∥B1C1，且B1C1⊂平面AB1C1，BC⊄平面AB1C1，∴BC∥平面AB1C1．（2）∵平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，∵平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1⊥C1B1，∴C1B1⊂平面AB1C1，∴平面A1ABB1⊥平面AB1C1．7．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅰ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅰ）求几何体ADEBC的体积V．【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴（2分）∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）（Ⅰ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅰ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）∵C﹣ABED是四棱锥，∴V C==（14分）﹣ABED8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）9．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，G为BC的中点，求证：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴O是AC中点，∵G为BC的中点，∴OG∥AB，∵OG⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．（2）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，O是AC中点，∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，∵EO∩BD=O，∴AC⊥平面BDE．10．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅰ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分）又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AQ．…（4分）又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．…（5分）（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC．为PC中点．所以在△CPA中，EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD．因为CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC所以PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，所以面PAB⊥面PDC．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC=．求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．【解答】解：（1）ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，AB=BC=EC=．可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形，E为CC1的中点．连接AC与DB交于O，连接OE，可得：AC1∥OE，OE⊂平面BDE．∴AC1∥平面BDE．（2）连接OA1，根据三垂线定理，可得OA1⊥DB，OE⊥DB，OA1∩OE=O，可得A1E⊥DB．∵E为CC1的中点．设AB=BC=EC=AA1=a∴，A1E=，A1B=∵A1B2=A1E2+BE2．∴A1E⊥EB．∵EB⊂平面BDE．BD⊂平面BDE．EB∩BD=B，∴A1E⊥平面BDE13．如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若分别是PQ，CQ的中点．求证：（1）CE∥平面PBD；（2）平面FBD⊥平面PBD．【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，连接PO，则∵O是AC的中点，E是PQ的中点，∴PE=OC，PE∥OC，∴四边形POCE是平行四边形，∴CE∥PO，∵CE⊄平面PBD，PO⊂平面PBD，∴CE∥平面PBD；（2）∵平面ACQP⊥平面ABCD，平面ACQP∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACQP，∵PO⊂平面ACQP，∴BD⊥PO，连接AQ，OF，则由三角形相似可AQ⊥PO，∵F是CQ中点，O是AC的中点，∴OF∥AQ，∴OF⊥PO，∵BD∩OF=O，∴PO⊥平面FBD，∴平面FBD⊥平面PBD．14．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；（Ⅰ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB1的中点，所以，F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（Ⅰ）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A=A，AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．…（2分）又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．…（4分）因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．…（6分）（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①…（8分）因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②…（10分）由①②得CD∥AB，…（12分）因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．…（14分）16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅰ）求证：平面PEC⊥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅰ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C l中，M，N分别为CC1，A1B1的中点．CA⊥CB1，CA=CB1，BA=BC=BB1．（Ⅰ）求证：直线MN∥平面CAB1；（Ⅰ）求证：直线BA1⊥平面CAB1．【解答】证明：（Ⅰ）设A1B与AB1交于点O，连接CO，ON．因为四边形ABB1A1是平行四边形，所以是O是AB1的中点，又N是A1B1的中点，所以．ON又因为M是CC1的中点，所以．所以四边形CMNO是平行四边形，所以MN∥CO．又因为MN⊄平面CAB1，CO⊂CAB1平面，所以直线NM∥平面CAB1．…（6分）（Ⅰ）因为BA=BB1，所以平行四边形ABB1A1是菱形，所以BA1⊥AB1．因为CA=CB1，O是AB1的中点，所以CO⊥AB1，又CA⊥CB1，∴CO=AO．又因为BA=BC，所以△BOC≌△BOA，所以∠BOC=∠BOA，故BO⊥CO，即BA1⊥CO．又AB1∩CO=O，AB1⊂平面CAB1，CO⊂平面CAB1，所以直线BA1⊥平面CAB1．…（12分）18．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求证：MN∥平面ADE；（III）求点A到平面BCE的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，（1分）∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，（4分）∵AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD．（5分）（Ⅰ）取DE的中点F，连接AF，NF，∵N是CE的中点．，∴NF CD，∵M是AB的中点，∴AM，∴NF AM，∴四边形AMNF是平行四边形，（7分）∴MN∥AF，（8分）∵MN⊄平面ADE，AF⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE．（10分）解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，由（I）知ME⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=，则CE=，BN==，（12分）∴，=，=V E﹣ABC，（13分）即，∵V A﹣BCE解得d=，故点A到平面BCE的距离为．（14分）19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是PB，BC的中点，∴PC∥EF，又PC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PC∥平面DEF．（2）取CD的中点M，连结BM，则AB DM，又AD⊥AB，AB=AD，∴四边形ABMD是正方形，∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD=，∴BC=，∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．20．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD⊥平面ABCD，．（I）求证：EF∥平面ABCD；（II）求证：平面ACF⊥平面BDF．【解答】证明：（Ⅰ）如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴．∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，，∴FD∥EH，FD=EH．∴四边形EHDF为平行四边形．∴EF∥HD．∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（7分）（Ⅰ）∵FD⊥面ABCD，∴FD⊥AC，又四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又FD∩BD=D，∴AC⊥面FBD，又AC⊂面ACF，从而面ACF⊥面BDF．…（12分）21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，∴DE∥BC，∵DE⊄平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，∴DE∥平面B1BCC1；（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AA1=A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ACC1．22．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．（1）求证：BF∥平面ADP（2）已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF．【解答】证明：（1）作FM⊥CD，垂足为M，连接BM，则DM=2PE=AB，EM∥PD∵DM∥AB，∴DMBA是平行四边形，∴BM∥AD，∵BM⊄平面ADP，AD⊂平面ADP∴BM∥平面ADP同理EM∥平面ADP∵BM∩EM=M．∴平面BFM∥平面ADP∵BF⊂平面BFM，∴BF∥平面ADP；（2）由（1）可知FM=PE，DM=BM=2PE，∴FD=FB=PE，∵O是BD的中点，∴FO⊥BD，∵AD=AB，O是BD的中点，∴AO⊥BD，∵AO∩FO=O，∴BD⊥平面AOF．23．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED=．M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：ED⊥CD；（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅰ）若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以VD⊥AD．[（1分）]又因为CD⊥EA，[（2分）]所以CD⊥平面EAD．[（3分）]所以ED⊥CD．[（4分）]（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[（5分）]所以AD∥平面FBC．[（7分）]又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．[（8分）]（Ⅰ）解：平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：[（9分）]连接DF．因为AD⊥ED，AD⊥CD．ED∩CD=D，所以AD⊥平面CDEF．[（10分）]所以AD⊥DM．因为AD∥MN，所以DM⊥MN．[（11分）]因为平面ADMN∩平面FBC=MN，若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC．[（12分）]在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，CD=2EF=2，ED=，所以DF=DC=2．所以若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．所以=．[（14分）]24．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，∴BD∥EF，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平ABD面．（2）∵AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD，由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，∴EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，∴CD⊥平面AEF，又CD⊂平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD．25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=PC，AB=2BC=2，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接OE，∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD中点，又E为PD中点，∴OE∥PB，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE．（Ⅰ）∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC．在△ABC中，AB=2BC=2，∠ABC=60°，∴=，∴AC2=AB2+BC2，∴BC⊥AC．又PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．。
(完整版)必修二立体几何11道经典证明题
1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．B 1C BADC 1A 14. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.ABDPMFGE6. 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。
EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;7.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥。
高中数学-必修二-立体几何常考证明题汇总
新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形（2） 若BD=AC=2，EG=2。
求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1//,2EH BD EH BD = 同理，1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。
(2) 90° 30 °考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定AHGFEDCB AEDBC3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外∴1//A C 平面BDE 。
考点：线面平行的判定4、已知ABC ∆中90ACB ∠=o,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设11111A CB D O ⋂=，连结1AO∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111A CB D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂=∴1A C ⊥面11AB DAED 1CB 1DCBASDCBAD 1ODB AC 1B 1A 1CMP考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC = 12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=o，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N是ABA 1 AB 1C 1D 1D G EF上的点，3AN NB =（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=o，24AB BC ==时，求MN 的长。
必修二立体几何经典证明题资料
学习资料1、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个3．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( )A ．a ⊂α，b ⊂αB ．a ⊂α，b ∥αC ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊂α，b ⊥α 4．下面四个命题：①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④ 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.学习资料2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．4. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.B 1C BADC 1A 1ADP MFGE图 5DGBFCAE图 4GEF ABCD5.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；6.如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中22BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.7.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCDHDF1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ，∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。
高中数学必修二几何证明题练习
DCABP N M C1D1B1A1CDFE 1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB AC ==，点E 是PD 的中点. （1）求证：//PB 平面AEC ；（2）求证:AC PB ⊥ （3） 求异面直线,PB AD 所成角.2、已知，如图P 是平行四边形ABCD 外一点同M ，N 分别是PC ，AB 的中点。
求证：MN//平面PAD3、在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 与C 1D 1的中点。
求证：EF//平面BDD 1B 1.CMBA 1B 1C 1 ANA BCDS M N 1、如图，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是AD 、SB 上的中点，且SD=DC ，SD ⊥DC 求证：（1）MN//平面SDC ；（2）求异面直线MN 与CD 所成的角.2、已知四棱锥V —ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，E 、F 、G 分别是AD 、BC 、VB 的中点， 求证：平面EFG // 平面VDC 。
8. 如图：直三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 中，1==CB CA ，︒=∠90BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点 求证：平面A 1NC ∥平面BMC 11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝22，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．1如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .2．如图，棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱AB 和BC 的中点，M 为棱1B B 的中点. 求证：（1）EF ⊥平面11BB D D ；（2）平面1EFB ⊥平面11D C M .16．如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点． (1)求证：P A ∥面BDE ； (2)求证：平面P AC ⊥平面BDE ；BDC A 1B 1D 1C 1FM。
必修2几何证明练习题
必修2几何证明练习题
1. 垂直线段证明
题目：在平面上给定两条互相垂直的线段AB和CD，证明它
们互相垂直。
在平面上给定两条互相垂直的线段AB和CD，证明
它们互相垂直。
证明：
假设线段AB在直线BC上，则我们需要证明直线BC垂直于
线段AB。
根据垂直线段的定义，我们知道直线BC与线段AB相交于点B。
假设直线BC不垂直于线段AB，即有一点D在直线BC上与线
段AB的垂直线段BF的延长线上。
因此，我们可以得到以下事实：
1. 直线BC和线段AB的垂直线段BF之间存在重叠的线段BD。
2. 由于线段AB与垂直线段BF垂直，因此BD与垂直线段BF 也垂直。
3. 由于直线BC与垂直线段BF相交于点D，因此直线BC与线段AB的垂直线段BF的延长线BF'相交于点D。
4. 根据重叠线段扩展的原理，由BD的垂直性，可以得到BF'的垂直性。
5. 由于直线BC与线段AB相交于点B，同时与垂直线段BF'相交于点D，因此我们得到了一个矛盾：直线BC既与线段AB在点B相交，又与垂直线段BF'在点D相交。
由于假设直线BC不垂直于线段AB导致矛盾，我们可以得出结论：直线BC垂直于线段AB。
因此，我们证明了给定的两条互相垂直的线段AB和CD互相垂直。
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必修二空间几何证明经典题型考试围：必修二空间几何；考试时间：100分钟；命题人：罗文波第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．解答题（共25小题）1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E 和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）BE∥平面PAD；（Ⅱ）PA⊥BC；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．2．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（Ⅰ）求证：VB∥平面M OC；（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB ；（Ⅲ）求三棱锥A﹣MOC的体积．3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面BEF⊥平面PAB．4．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D 不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．5．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC=．（1）求证：BC∥平面AB 1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．7．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD 的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．9．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，G为BC的中点，求证：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．10．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD 上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC=．求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．13．如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若分别是PQ，CQ的中点．求证：（1）CE∥平面PBD；（2）平面FBD⊥平面PBD．14．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD 的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C l中，M，N分别为CC1，A1B1的中点．CA⊥CB1，CA=CB1，BA=BC=BB1．（Ⅰ）求证：直线MN∥平面CAB1；（Ⅱ）求证：直线BA1⊥平面CAB1．18．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求证：MN∥平面ADE；（III）求点A到平面BCE的距离．19．在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．20．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD⊥平面ABCD，．（I）求证：EF∥平面ABCD；（II）求证：平面ACF⊥平面BDF．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C 1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．22．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD ⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．（1）求证：BF∥平面ADP（2）已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF．23．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF ∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED=．M 为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：ED⊥CD；（Ⅱ）求证：AD∥MN；（Ⅲ）若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．24．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC⊥平面ABCD，E为PD 的中点，PA=PC，AB=2BC=2，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PAC．必修二空间几何证明经典题型一．解答题（共25小题）1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E 和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）BE∥平面PAD；（Ⅱ）PA⊥BC；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF．而EF和BE是平面BEF的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．2．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（Ⅰ）求证：VB∥平面M OC；（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB；（Ⅲ）求三棱锥A﹣MOC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC ∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；（Ⅲ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB=，∵O，M分别为AB，VA的中点．∴．又∵OC⊥平面VAB，∴三棱锥．3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面BEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在△APC中，因为E、F分别是PA、AC的中点，所以EF∥PC，…（3分）又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF∥平面PBC．…（6分）（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE，…（9分）又PA⊥PC，EF∥PC，所以PA⊥EF ，…（12分）因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，所以PA⊥平面BEF，又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面BEF．…（14分）4．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC ⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D 不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．5．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取AC 中点G ，连接FG 、BG ， ∵F ，G 分别是AD ，AC 的中点 ∴FG ∥CD ，且FG=DC=1． ∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等 ∴EF ∥BG ． EF ⊄面ABC ，BG ⊂面ABC ∴EF ∥面ABC…（4分）（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC ，BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC ，DC ，∴BG ⊥面ADC ． …（6分） ∵EF ∥BG ∴EF ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …（8分） 解：（Ⅲ）方法一：连接EC ，该四棱锥分为两个三棱锥E ﹣ABC 和E ﹣ADC ．．…（12分）方法二：取BC 的中点为O ，连接AO ，则AO ⊥BC ，又CD ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥AO ，BC ∩CD=C ，∴AO ⊥平面BCDE ， ∴AO 为V A ﹣BCDE的高，，∴．6．如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，且∠ABC=．（1）求证：BC ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．【解答】证明：（1）∵BC ∥B 1C 1，且B 1C 1⊂平面AB 1C 1，BC ⊄平面AB 1C 1， ∴BC ∥平面AB 1C 1．（2）∵平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∴平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∵平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1B 1，A 1B 1⊥C 1B 1， ∴C 1B 1⊂平面AB 1C 1， ∴平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．7．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．【解答】解：（I）证法一：取BE 的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB 的中点N连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴（2分）又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）∵C﹣ABED是四棱锥，∴V C﹣ABED==（14分）8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）9．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD 相交于点O，EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，G为BC的中点，求证：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴O是AC中点，∵G为BC的中点，∴OG∥AB，∵OG⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．（2）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，O是AC中点，∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，∵EO∩BD=O，∴AC⊥平面BDE．10．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC 的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分）又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AQ．…（4分）又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．…（5分）（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC．【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．所以在△CPA中，EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD．因为CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC所以PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，所以面PAB⊥面PDC．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC=．求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．【解答】解：（1）ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，AB=BC=EC=．可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形，E为CC1的中点．连接AC与DB交于O，连接OE，可得：AC1∥OE，OE⊂平面BDE．∴AC1∥平面BDE．（2）连接OA1，根据三垂线定理，可得OA1⊥DB，OE⊥DB，OA1∩OE=O，∴平面A1OE⊥DB．可得A 1E⊥DB ．∵E为CC 1的中点．设AB=BC=EC=AA1=a∴，A1E=，A1B=∵A1B2=A1E2+BE2．∴A1E⊥EB．∵EB⊂平面BDE ．BD⊂平面BDE．EB∩BD=B，∴A 1E⊥平面BDE．13．如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若分别是PQ ，CQ的中点．求证：（1）CE∥平面PBD；（2）平面FBD⊥平面PBD．【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，连接PO，则∵O是AC的中点，E是PQ的中点，∴PE=OC，PE∥OC，∴四边形POCE是平行四边形，∴CE∥PO，∵CE⊄平面PBD，PO⊂平面PBD，∴CE∥平面PBD；（2）∵平面ACQP⊥平面ABCD，平面ACQP∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACQP，∵PO⊂平面ACQP，∴BD⊥PO，连接AQ，OF，则由三角形相似可AQ⊥PO，∵F是CQ中点，O是AC的中点，∴OF∥AQ，∴OF⊥PO，∵BD∩OF=O，∴PO⊥平面FBD，∵PO⊂平面PBD，∴平面FBD⊥平面PBD．14．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB1的中点，所以，F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（Ⅱ）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A=A，AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．…（2分）又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．…（4分）因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．…（6分）（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①…（8分）因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②…（10分）由①②得CD∥AB，…（12分）因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ．…（14分）16．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA=AD ．（Ⅰ）求证：AF ∥平面PEC ； （Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PCD ．【解答】证明：（Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△CDP 的中位线，FG ∥CD ，FG=CD ．∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，∴AE ∥CD ，AE=CD ． ∴FG=AE ，FG ∥AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE ； （Ⅱ）∵PA=AD ．∴AF ⊥PD PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又因为CD ⊥AB ，AP ∩AB=A ，∴CD ⊥面APD ∴CD ⊥AF ，且PD ∩CD=D ，∴AF ⊥面PDC 由（Ⅰ）得EG ∥AF ，∴EG ⊥面PDC又EG ⊂平面PCE ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C l 中，M ，N 分别为CC 1，A 1B 1的中点．CA ⊥CB 1，CA=CB 1，BA=BC=BB 1． （Ⅰ）求证：直线MN ∥平面CAB 1； （Ⅱ）求证：直线BA 1⊥平面CAB 1．【解答】证明：（Ⅰ）设A 1B 与AB 1交于点O ，连接CO ，ON ．因为四边形ABB 1A 1是平行四边形，所以是O 是AB 1的中点，又N 是A 1B 1的中点，所以．ON又因为M 是CC 1的中点，所以．所以四边形CMNO 是平行四边形，所以MN ∥CO ． 又因为MN ⊄平面CAB 1，CO ⊂CAB 1平面， 所以直线NM ∥平面CAB 1．…（6分）（Ⅱ）因为BA=BB 1，所以平行四边形ABB 1A 1是菱形，所以BA 1⊥AB 1． 因为CA=CB 1，O 是AB 1的中点，所以CO ⊥AB 1， 又CA ⊥CB 1，∴CO=AO ．又因为BA=BC ，所以△BOC ≌△BOA ，所以∠BOC=∠BOA ，故BO ⊥CO ，即BA 1⊥CO ． 又AB 1∩CO=O ，AB 1⊂平面CAB 1，CO ⊂平面CAB 1， 所以直线BA 1⊥平面CAB 1．…（12分）18．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求证：MN∥平面ADE；（III ）求点A到平面BCE的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，（1分）∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，（4分）∵AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD．（5分）（Ⅱ）取DE的中点F，连接AF，NF，∵N 是CE的中点．，∴NF CD，∵M是AB的中点，∴AM，∴NF AM，∴四边形AMNF是平行四边形，（7分）∴MN∥AF，（8分）∵MN⊄平面ADE，AF⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE．（10分）解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，由（I）知ME ⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=，则CE=，BN==，（12分）∴，=，∵V A﹣BCE=V E﹣ABC，（13分）即，解得d=，故点A到平面BCE 的距离为．（14分）19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是PB，BC的中点，∴PC∥EF，又PC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PC∥平面DEF．（2）取CD的中点M ，连结BM，则AB DM，又AD⊥AB，AB=AD，∴四边形ABMD是正方形，∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD=，∴BC=，∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．20．如图，菱形ABCD 与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD⊥平面ABCD，．（I ）求证：EF∥平面ABCD；（II）求证：平面ACF⊥平面BDF．【解答】证明：（Ⅰ）如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴．∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，，∴FD∥EH，FD=EH．∴四边形EHDF为平行四边形．∴EF∥HD．∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（7分）（Ⅱ）∵FD⊥面ABCD，∴FD⊥AC，又四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又FD∩BD=D，∴AC⊥面FBD，又AC⊂面ACF，从而面ACF⊥面BDF．…（12分）21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，∴DE∥BC，∵DE⊄平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，∴DE∥平面B1BCC1；（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AA1=A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．22．如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB=PD=DA=2PE ，CD=3PE ，F 是CE 的中点． （1）求证：BF ∥平面ADP（2）已知O 是BD 的中点，求证：BD ⊥平面AOF ．【解答】证明：（1）作FM ⊥CD ，垂足为M ，连接BM ，则DM=2PE=AB ，EM ∥PD ∵DM ∥AB ，∴DMBA 是平行四边形， ∴BM ∥AD ，∵BM ⊄平面ADP ，AD ⊂平面ADP ∴BM ∥平面ADP 同理EM ∥平面ADP ∵BM ∩EM=M ． ∴平面BFM ∥平面ADP ∵BF ⊂平面BFM ， ∴BF ∥平面ADP ；（2）由（1）可知FM=PE ，DM=BM=2PE ，∴FD=FB=PE ，∵O 是BD 的中点，∴FO ⊥BD ，∵AD=AB ，O 是BD 的中点，∴AO ⊥BD ，∵AO ∩FO=O ， ∴BD ⊥平面AOF ．23．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥CD ，CD ⊥EA ，CD=2EF=2，ED=．M为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ． （Ⅰ）求证：ED ⊥CD ； （Ⅱ）求证：AD ∥MN ；（Ⅲ）若AD ⊥ED ，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为矩形，所以VD ⊥AD ．[（1分）] 又因为CD ⊥EA ，[（2分）] 所以CD ⊥平面EAD ．[（3分）] 所以ED ⊥CD ．[（4分）]（Ⅱ）证明：因为ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，[（5分）] 所以AD ∥平面FBC ．[（7分）] 又因为平面ADMN ∩平面FBC=MN ， 所以AD ∥MN ．[（8分）]（Ⅲ）解：平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[（9分）] 连接DF ．因为AD ⊥ED ，AD ⊥CD ．ED ∩CD=D ， 所以AD ⊥平面CDEF ．[（10分）]所以AD⊥DM．因为AD∥MN，所以DM⊥MN．[（11分）]因为平面ADMN ∩平面FBC=MN，若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC．[（12分）]在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，CD=2EF=2，ED=，所以DF=DC=2．所以若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．所以=．[（14分）]24．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，∴BD∥EF，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平ABD面．（2）∵AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD，由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，∴EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，∴CD⊥平面AEF，又CD⊂平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD．25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC⊥平面ABCD，E为PD 的中点，PA=PC，AB=2BC=2，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接OE，∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD中点，又E为PD中点，∴OE∥PB，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE．（Ⅱ）∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC．在△ABC中，AB=2BC=2，∠ABC=60°，∴=，∴AC2=AB2+BC2，∴BC⊥AC．又PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．。