专题12 圆的有关性质与计算 (解析版)

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专题12 圆的有关性质与计算

【典例分析】

【考点1】垂径定理

【例1】（2019·湖北中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，

CD m

=，则这段弯路所在圆的半径为（）

AB m

=，点C是AB的中点，且10

40

A．25m B．24m C．30m D．60m

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，可以推出AD ＝BD ＝20，若设半径为r ，则OD ＝r ﹣10，OB ＝r ，结合勾股定理可推出半径r 的值．

【详解】

解：OC AB ⊥，

20AD DB m ∴==，

在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+，

设半径为r 得：()2

221020r r =-+，

解得：25r m =， ∴这段弯路的半径为25m

故选：A ．

【点睛】

本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r 后，用r 表示出OD 、OB 的长度．

【变式1-1】（2019·四川中考真题）如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为（ ）

A ．5

B ．4

C ．213

D ．4.8

【答案】C

【解析】

【分析】 先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到

142

CD AD AC ==

=，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】 ∵AB 为直径，

∴90ACB ︒∠=， ∴22221086BC AB AC =-=-，

∵OD AC ⊥， ∴142CD AD AC ===， 在Rt CBD ∆中，2246213BD =

+=．

故选C ．

【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．

【变式1-2】（2019·四川中考真题）如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则CD 的长为( )

A ．62

B ．32

C ．6

D ．12

【答案】A

【解析】

【分析】 先根据垂径定理得到CE DE =，再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=，可得OCE ∆为等腰直角三角形，所以2322

CE =

=CD 的长． 【详解】

∵CD AB ⊥，AB 为直径，

∴CE DE =，

∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，

∴2222.545BOC A ∠=∠=⨯=，

∴OCE ∆为等腰直角三角形，

∵OC=6，

∴

22

632 CE OC

==⨯=，

∴262

CD CE

==.

故选A．

【点睛】

本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．

【考点2】弧、弦、圆心角之间的关系

【例2】（2019·四川自贡中考真题）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB CD

=,连接AD BC

、.求证：⑴AD BC

=；

⑵AE CE

=.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）由AB=CD知=

AB CD，即AD AC BC AC

+=+，据此可得答案；

（2）由AD BC

=知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．【详解】

证明（1）∵AB=CD，

∴=

AB CD，即AD AC BC AC

+=+，

∴AD BC

=；

（2）∵AD BC

=，

∴AD=BC，

又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，

∴△ADE≌△CBE（ASA），

∴AE=CE．

【点睛】

本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．

【变式2-1】（2018·黑龙江中考真题）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

延长AD交⊙ O于E,可得、AB=AE，可得出结论.

【详解】

延长AD交⊙O于E，

∵OC⊥AD，

∴，AE=2AD，

∵，

∴，

∴AB=AE，

∴AB=2AD．

【点睛】

本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键.

【变式2-2】（2019·江苏中考真题）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．