最短路径问题总动员(含答案)
最短路径专题含答案解析
最短路径专题含答案1. 某同学的茶杯是圆柱体，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点A处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．解：如图1，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A，A分别位于如图所示的位置，连接AA，即是这条最短路线图．问题：某正方形盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱AA上的中点A点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．2. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AA为16cm，AA是上底面的直径．一只昆虫从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点A，求昆虫爬行的最短路程．3. 如图一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A爬一个顶点A，如果正方体棱是2，求最短的路线长．4. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从A点开始经过4个侧面爬行一圈到达A点，求蚂蚁爬行的最短路径长．5. 如图，有一半径为2cm，高为10cm的圆柱体，在棱AA1的A点上有一只蜘蛛，AA=3cm，在棱AA1的A点上有一只苍蝇，AA2=2cm．蜘蛛沿圆柱爬到A点吃苍蝇，请你算出蜘蛛爬行的最短路线长．（π取3.14；结果精确到0.01cm）6. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点A处，如图所示，假设蚊子不动，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短路线有几条?7. 如图，圆柱的高为8cm，底面直径4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的A点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米?(π≈3)8. 如图1，是一个长方体盒子，长AA=4，宽AA=2，高AA=1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点A，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?9. 如图，△AAA中，AA=AA，AA⊥AA于点A，AA⊥AA于点A，∠AAA=45∘，AA与AA交于点A，连接AA．（1）求证：AA=2AA；（2）若AA=√2，求AA的长．10. 如图，平行四边形AAAA中，AA=2，AA=1，∠AAA=60∘，将平行四边形AAAA沿过点A的直线A折叠，使点A落到AA边上的点Aʹ处，折痕交AA边于点A．（1）求证：四边形AAAAʹ是菱形；（2）若点A时直线A上的一个动点，请计算AAʹ+AA的最小值．11. 已知，⊙A为△AAA的外接圆，AA为直径，点A在AA上，过点A作AA⊥AA，点A在AA的延长线上，且AA=AA．（1）求证：AA与⊙A相切；（2）若AA=6，AA=8，AA=3，求线段AA的长．12. 已知抛物线A1的函数解析式为A=AA2−2A−3A，若抛物线A1经过点(0,−3)．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A(A1,A1)，A(A2,A2)，则A，A两点间的距离为√(A2−A1)2+(A2−A1)2）（1）求抛物线A1的顶点坐标．（2）已知实数A>0，请证明A+1A ≥2，并说明A为何值时才会有A+1A=2．（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线A2，设A(A,A1)，A(A,A2)是A2上的两个不同点，且满足：∠AAA=90∘，A>0，A<0．请你用含A的表达式表示出△AAA的面积A，并求出A的最小值及A取最小值时一次函数AA的函数解析式．13. 如图，已知：四边形AAAA中，A为AA的中点，连接AA，AA，AA=AA=AA，AA∥AA．（1）求证：四边形AAAA是菱形；（2）若AA=6，AA=5，求四边形AAAA的面积．14. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角A1处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．15. 如图，四边形AAAA为矩形，A为AA边中点，连接AA，以AA为直径的⊙A交AA于点A，连接AA．（1）求证：AA与⊙A相切；（2）若AA=2，A为AA的中点，求AA的长．16. 已知圆锥的底面半径为A=20cm，高ℎ=20√15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．17. 已知，点A是Rt△AAA斜边AA上一动点（不与A，A重合），分别过A，A向直线AA作垂线，垂足分别为A，A，A为斜边AA的中点．（1）如图1，当点A与点A重合时，AA与AA的位置关系是，AA与AA的数量关系是；（2）如图2，当点A在线段AA上不与点A重合时，试判断AA与AA的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点A在线段AA（或AA）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予证明．18. 已知四边形AAAA是平行四边形，以AA为直径的⊙A经过点A，∠AAA=45∘．（1）如图①，判断AA与⊙A的位置关系，并说明理由；（2）如图②，A是⊙A上一点，且点A在AA的下方，若⊙A的半径为3cm，AA=5cm，求点A到AA的距离．19. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点Aʹ处；①苍蝇在顶点A处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点A处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板AAAA爬行的最近路线AʹAA和往墙面AAʹAʹA爬行的最近路线AʹAA，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为10dm的⊙A与AʹAʹ相切，圆心A到边AAʹ的距离为15dm，蜘蛛A在线段AA上，苍蝇A在⊙A的圆周上，线段AA为蜘蛛爬行路线．若AA与⊙A 相切，试求AA的长度的范围．20. 如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点A与点A之间相距5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点A，需要爬行的最短距离是多少?21. 如图，平行四边形AAAA中，AA=3，AA=5，∠A=60∘，A是AA的中点，A是边AA上的动点，AA的延长线与AA的延长线交于点A．（1）求证：四边形AAAA是平行四边形；（2）①当AA=时，四边形AAAA是矩形；②当AA=时，四边形AAAA是菱形．22. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为3m，绕一圈升高4m，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为8m，绕一圈爬行10m，则爬行一圈升高多少m?如果爬行10圈到达树顶，则树干多高?23. 实践操作在矩形AAAA中，AA=8，AA=6，现将纸片折叠，点A的对应点记为点A，折痕为AA （点A，A是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）初步思考若点A落在矩形AAAA的边AA上（如图①）．①当点A与点A重合时，∠AAA=∘，当点A与点A重合时，∠AAA=∘；②当点A在AA上，点A在AA上时（如图②），求证：四边形AAAA为菱形，并直接写出当AA=7时菱形AAAA的边长．（2）深入探究若点A落在矩形AAAA的内部（如图③），且点A，A分别在AA，AA边上，请直接写出AA的最小值．（3）拓展延伸若点A与点A重合，点A在AA上，射线AA与射线AA交于点A（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段AA与线段AA的长度相等?若存在，请直接写出线段AA的长度；若不存在，请说明理由．24. 如图，已知抛物线A=−A2+AA+3与A轴相交于点A和点A（点A在点A的左侧），与A轴交于点A，且AA=AA，点A是抛物线的顶点，直线AA和AA交于点A．（1）求点A的坐标；（2）连接AA，AA，求∠AAA的余切值；（3）设点A在线段AA的延长线上，如果△AAA和△AAA相似，求点A的坐标．25. 如图，已知抛物线经过原点A，顶点为A(1,1)，且与直线A=A−2交于A，A两点．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）求证：△AAA是直角三角形；（3）若点A为A轴上的一个动点，过点A作AA⊥A轴与抛物线交于点A，则是否存在以A，A，A为顶点的三角形与△AAA相似?若存在，请求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．26. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，点A，A分别在正方形AAAA的边AA，AA上，∠AAA= 45∘，连接AA，则AA=AA+AA，试说明理由．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AA，AA是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．他的方法是将△AAA绕着点A逆时针旋转90∘得到△AAA，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形AAAA中，AA=AA，∠AAA=90∘，点A，A分别在边AA，AA上，∠AAA=45∘．若∠A，∠A都不是直角，则当∠A与∠A满足关系时，仍有AA=AA+AA；（2）如图4，在△AAA中，∠AAA=90∘，AA=AA，点A，A均在边AA上，且∠AAA= 45∘，若AA=1，AA=2，求AA的长．．在矩形AAAA中，AA=4，AA=3，27. 如图，在△AAA中，AA=11，AA=3√5，cos A=√55点A与点A重合，AA与AA重合，矩形AAAA沿着AA方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A与点A重合时停止运动．（1）AA的长度是；（2）运动秒，AA与AA重合；（3）设矩形AAAA与△AAA重叠部分的面积为A，运动时间为A，求出A与A之间的函数关系式，并直接写出A的取值范围．28. 如图1，对称轴为直线A=1的抛物线经过A(2,0)、A(0,4)两点，抛物线与A轴的另一交点2为A .（1）求抛物线的解析式；（2）若点A为第一象限内抛物线上的一点，设四边形AAAA的面积为A，求A的最大值；（3）如图2，若A是线段AA上一动点，在A轴是否存在这样的点A，使△AAA为等腰三角形且△AAA为直角三角形?若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．29. 如图，矩形AAAA中，AA=2，AA=2√3，将矩形沿对角线AA剪开，请解决以下问题：（1）将△AAA绕点A顺时针旋转90∘得到△AʹAAʹ，请在备用图中画出旋转后的△AʹAAʹ，连接AAʹ，并求线段AAʹ的长度；（2）在（1）的情况下，将△AʹAAʹ沿AA向左平移的长度为A(0<A<2√3)，设平移后的图形与△AAA重叠部分的面积为A，求A与A的函数关系式，并直接写出A的取值范围．30. 如图甲，在△AAA中，∠AAA=90∘，AA=4cm，AA=3cm．如果点A由点A出发沿AA方向向点A匀速运动，同时点A由点A出发沿AA方向向点A匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接AA，设运动时间为A(s)(0<A<4)，解答下列问题：（1）设△AAA的面积为A，当A为何值时，A取得最大值?A的最大值是多少?（2）如图乙，连接AA，将△AAA沿AA翻折，得到四边形AAAʹA，当四边形AAAʹA为菱形时，求A的值；（3）当A为何值时，△AAA是等腰三角形?31. 如图，抛物线与A轴交于A(A1,0)，A(A2,0)两点，且A1>A2，与A轴交于点A(0,4)，其中A1，A2是方程A2−2A−8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点A是线段AA上的动点，过点A作AA∥AA，交AA于点A，连接AA，当△AAA的面积最大时，求点A的坐标；（3）探究：若点A是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点A，使△AAA成为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．与A轴相交于点A，点A与点A关于32. 如图，在平面直角坐标系AAA中，抛物线A=A2+14点A对称．（1）填空：点A的坐标是；（2）过点A的直线A=AA+A（其中A<0与A轴相交于点A，过点A作直线A平行于A 轴，A是直线A上一点，且AA=AA，求线段AA的长（用含A的式子表示），并判断点A是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点A关于直线AA的对称点Aʹ恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点A的坐标．33. 已知：如图①，在Rt△AAA中，∠A=90∘，AA=4cm，AA=3cm，点A由A出发沿AA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点A由A出发沿AA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；连接AA．若设运动的时间为A(s)（0<A<2），解答下列问题：（1）当A为何值时，AA∥AA ?（2）设△AAA的面积为A(cm2)，求A与A之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段AA恰好把Rt△AAA的周长和面积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接AA，并把△AAA沿AA翻折，得到四边形AAAʹA，那么是否存在某一时刻，使四边形AAAʹA为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．34. 如图，四边形AAAA，AAAA均为正方形，（1）如图1，连接AA，AA，试判断AA和AA的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形AAAA绕点A顺时针旋转A角(0∘<A<180∘)，如图2，连接AA，AA相交于点A，连接AA，当角A发生变化时，∠AAA的度数是否发生变化?若不变化，求出∠AAA的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AA⊥AA交AA的延长线于点A，请直接写出线段AA与AA的数量关系：．35. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AAAA的顶点A，A分别在A轴和A轴的正半轴上，顶点A的坐标为(2A,A)，翻折矩形AAAA，使点A与点A重合，得到折痕AA．设点A的对应点为A，折痕AA所在直线与A轴相交于点A，经过点A，A，A的抛物线为A=AA2+AA+A．（1）求点A的坐标（用含A的式子表示）；（2）若点A的坐标为(0,−3)，求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，设线段AA的中点为A，在线段AA上方的抛物线上是否存在点A，AA ?若存在，直接写出A的坐标，若不存在，说明理由．使AA=1236. 如图，在△AAA中，点A，A，A分别在AA，AA，AA上，且∠AAA+∠AAA=180∘，∠AAA=∠AAA．（1）如图1，当AA=AA时，图1 中是否存在与AA相等的线段?若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．（2）如图2，当AA=AAA（其中0<A<1）时，若∠A=90∘，AA=A，求AA的长（用含A，A的式子表示）．37. 如图，顶点为A(−1,1)的抛物线经过点A(−5,−3)，且与A轴交于A，A两点（点A在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式；，求出点A的坐标；（2）若抛物线上存在点A，使得A△AAA=32（3）点A在抛物线上，点A在A轴上，且∠AAA=∠AAA，是否存在点A，使得△AAA与△AAA相似?若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，说明理由．38. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△AAA中，AA=AA，点A在AA边上，∠AAA=∠AAA，AA⊥AA，垂足为A，求证：AA=2AA．小明经探究发现，过点A作AA⊥AA，垂足为A，得到∠AAA=∠AAA，从而可证△AAA≌△AAA（如图 2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△AAA与△AAA全等的条件是（填"SSS"、 "SAS" 、"ASA" 、 "AAS“或”HL"中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△AAA中，AA=AA，∠AAA=90∘，A为AA的中点，A为AA的中点，点A 在AA的延长线上，且∠AAA=∠AAA，若AA=2，求AA的长；（3）如图4，△AAA中，AA=AA，∠AAA=120∘，点A，A分别在AA，AA边上，且AA=AAA（其中0<A<√33），∠AAA=∠AAA，求AAAA的值（用含A的式子表示）．39. 如图，已知二次函数A=−A2+AA+A（A，A为常数）的图象经过点A(3,1)，点A(0,4)，顶点为点A，过点A作AA∥A轴，交A轴于点A，交该二次函数图象于点A，连接AA．（1）求该二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移A(A>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△AAA的内部（不包括△AAA的边界），求A的取值范围；（3）点A是直线AA上的动点，若点A，点A，点A所构成的三角形与△AAA相似，请直接写出所有点A的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．40. 在平面直角坐标系中，A为原点，四边形AAAA是矩形，点A，A的坐标分别为(3,0)，A+A交边(0,1)．点A是边AA上的动点（与端点A，A不重合），过点A作直线A=−12 AA于点A．（1）如图（1），求点A和点A的坐标（用含A的式子表示）；（2）如图（2），若矩形AAAA关于直线AA的对称图形为矩形A1A1A1A1，试探究矩形A1A1A1A1与矩形AAAA的重叠部分的面积是否发生变化?若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；（3）矩形AAAA绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．41. 如图1，在菱形AAAA中，对角线AA与AA相交于点A，AA=13，AA=24，在菱形AAAA的外部以AA为边作等边三角形AAA．点A是对角线AA上一动点（点A不与点A重合），将线段AA绕点A顺时针方向旋转60∘得到线段AA，连接AA．（1）求AA的长；（2）如图2，当点A在线段AA上，且点A，A，A三点在同一条直线上时，求证：AA=√3AA；（3）连接AA，若△AAA的面积为40，请直接写出△AAA的周长．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）42. 如图，矩形纸片AAAA中，AA=6，AA=8．折叠纸片使点A落在AA上，落点为Aʹ．点Aʹ从点A开始沿AA移动，折痕所在直线A的位置也随之改变，当直线A经过点A时，点Aʹ停止移动，连接AAʹ．设直线A与AA相交于点A，与AA所在直线相交于点A，点Aʹ的移动距离为A，点A与点A的距离为A．（1）求证：∠AAA=∠AAʹA；（2）求A与A的函数关系式，并直接写出A的取值范围．43. 如图1，△AAA中，∠A=90∘，线段AA在射线AA上，且AA=AA，线段AA沿射线AA运动，开始时，点A与点A重合，点A到达点A时运动停止，过点A作AA=AA，与射线AA相交于点A，过点A作AA的垂线，与射线AA相交于点A．设AA=A，四边形AAAA 与△AAA重叠部分的面积为A，A关于A的函数图象如图2 所示（其中0<A≤A，1<A≤A，A<A≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：AA的长是；（2）求A关于A的函数关系式，并写出A的取值范围．A2+AA−2与A轴交于A，A两点，与A轴交于A点，且A(−1,0)．44. 如图，抛物线A=12（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标；（2）判断△AAA的形状，证明你的结论；（3）点A(A,0)是A轴上的一个动点，当AA+AA的值最小时，求A的值．45. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做"友好三角形"．性质：如果两个三角形是"友好三角形"，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1，在△AAA中，AA是AA边上的中线，那么△AAA和△AAA是“友好三角形”，并且A△AAA=A△AAA．（1）应用：如图2，在矩形AAAA中，AA=4，AA=6，点A在AA上，点A在AA上，AA=AA，AA与AA交于点A．（i）求证：△AAA和△AAA是“友好三角形”；（ii）连接AA，若△AAA和△AAA是“友好三角形”，求四边形AAAA的面积．（2）探究：在△AAA中，∠A=30∘，AA=4，点A在线段AA上，连接AA，△AAA和△AAA是“友好三角形”，将△AAA沿AA所在直线翻折，得到△AʹAA，若△AʹAA与△AAA重合部分的面积等于△AAA面积的1，请直接写出△AAA的面积．446. 如图，在平面直角坐标系中，四边形AAAA的顶点A是坐标原点，点A在第一象限，点A在第四象限，点A的坐标为(60,0)，AA=AA，∠AAA=90∘，AA=50．点A是线段AA上的一个动点（点A不与点A、A重合），过点A与A轴平行的直线A交边AA或边AA于点A，交边AA或边AA于点A，设点A横坐标为A，线段AA的长度为A．已知A=40时，直线A恰好经过点A．（1）求点A和点A的坐标；（2）当0<A<30时，求A关于A的函数关系式；（3）当A=35时，请直接写出A的值；（4）直线A上有一点A，当∠AAA+∠AAA=90∘，且△AAA的周长为60时，请直接写出满足条件的点A的坐标．47. 如图，已知抛物线A=AA2+AA+A与A轴的一个交点为A(3,0)，与A轴的交点为A(0,3)，其顶点为A，对称轴为A=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点A为A轴上的一个动点，当△AAA为等腰三角形时，求点A的坐标；（3）将△AAA沿A轴向右平移A个单位长度(0<A<3)得到另一个三角形，将所得的三角形与△AAA重叠部分的面积记为A，用A的代数式表示A．48. 在四边形AAAA中，对角线AA，AA相交于点A，将△AAA绕点A按逆时针方向旋转得到△A1AA1，旋转角为A(0∘<A<90∘)，连接AA1，AA1，AA1与AA1交于点A．（1）如图1，若四边形AAAA是正方形．①求证：△AAA1≌△AAA1．②请直接写出AA1与AA1的位置关系．（2）如图2，若四边形AAAA是菱形，AA=5，AA=7，设AA1=AAA1．判断AA1与AA1的位置关系，说明理由，并求出A的值．（3）如图3，若四边形AAAA是平行四边形，AA=5，AA=10，连接AA1，设AA1= AAA1．请直接写出A的值和AA12+(AAA1)2的值．49. 如图，四边形AAAA为一个矩形纸片．AA=3，AA=2，动点A自A点出发沿AA方向运动至A点后停止．△AAA以直线AA为轴翻折，点A落到点A1的位置．设AA=A，△AA1A 与原纸片重叠部分的面积为A．（1）当A为何值时，直线AA1过点A?（2）当A为何值时，直线AA1过AA的中点A?（3）求出A与A的函数表达式．50. 如图，以点A(−1,0)为圆心的圆，交A轴于A，A两点（A在A的左侧），交A轴于A，A两点（A在A的下方），AA=2√3，将△AAA绕点A旋转180∘，得到△AAA．（1）求A，A两点的坐标；（2）请在图中画出线段AA，AA，并判断四边形AAAA的形状（不必证明），求出点A的坐标；（3）动直线A从与AA重合的位置开始绕点A顺时针旋转，到与AA重合时停止，设直线A 与AA交点为A，点A为AA的中点，过点A作AA⊥AA于A，连接AA，AA．请问在旋转过程中∠AAA的大小是否变化?若不变，求出∠AAA的度数；若变化，请说明理由．51. 定义：当点A在射线AA上时，把AAAA的值叫做点A在射线AA上的射影值；当点A不在射线AA上时，把射线AA上与点A最近点的射影值，叫做点A在射线AA上的射影值．例如：如图1，△AAA三个顶点均在格点上，AA是AA边上的高，则点A和点A在射线AA上的射影值均为AAAA =13．（1）在△AAA中，①点A在射线AA上的射影值小于1时，则△AAA是锐角三角形；②点A在射线AA上的射影值等于1时，则△AAA是直角三角形；③点A在射线AA上的射影值大于1时，则△AAA是钝角三角形；其中真命题有．A．①②B．②③C．①③D．①②③（2）已知：点A是射线AA上一点，AA=AA=1，以A为圆心，AA长为半径画圆，点A 是⊙A上任意一点．①如图2，若点A在射线AA上的射影值为12，求证：直线AA是⊙A的切线．②如图3，已知A为线段AA的中点，设点A在射线AA上的射影值为A，点A在射线AA上的射影值为A，直接写出A与A之间的函数关系式．A2交于A，A两点，其中点A的横坐标是52. 如图，已知一条直线过点(0,4)，且与抛物线A=14−2．（1）求这条直线的函数关系式及点A的坐标；（2）在A轴上是否存在点A，使得△AAA是直角三角形?若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段AA上一点A，作AA∥A轴，交抛物线于点A，点A在第一象限，点A(0,1)，当点A的横坐标为何值时，AA+3AA的长度最大?最大值是多少?53. 已知：如图，AA是半圆A的直径，弦AA∥AA，动点A，A分别在线段AA，AA上，且AA=AA，AA的延长线与射线AA相交于点A、与弦AA相交于点A（点A与点A，A不重合），AA=20，cos∠AAA=4．设AA=A，△AAA的面积为A．5（1）求证：AA=AA；（2）求A关于A的函数关系式，并写出它的自变量A的取值范围；（3）当△AAA是直角三角形时，求线段AA的长．A2+AA+A与A轴分别相交于点A(−2,0)，A(4,0)，与A轴交于点A，54. 如图，抛物线A=−12顶点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）动点A，A从点A同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段AA，AA上向点A，A方向运动，过点A作A轴的垂线交AA于点A，交抛物线于点A．（i）当四边形AAAA为矩形时，求点A的坐标；（ii）是否存在这样的点A，使△AAA为直角三角形?若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．55. 如图，在Rt△AAA中，∠AAA=90∘，AA=5cm，∠AAA=60∘，动点A从点A出发，在AA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点A从点A出发，在AA边上以每秒√3cm的速度向点A匀速运动，设运动时间为A秒（0≤A≤5），连接AA．（1）若AA=AA，求A的值；（2）若△AAA与△AAA相似，求A的值；（3）当A为何值时，四边形AAAA的面积最小?并求出最小值．56. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3中，AA，AA是△AAA的中线，AA⊥AA于点A，像△AAA这样的三角形均为“中垂三角形”．设AA=A，AA=A，AA=A．（1）【特例探究】如图1，当tan∠AAA=1，A=4√2时，A=，A=；如图2，当∠AAA=30∘，A=2时，A=，A=；（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想A2、A2、A2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．（3）【拓展证明】如图4，平行四边形AAAA中，A、A分别是AA、AA的三等分点，且AA=3AA，AA=3AA，连接AA、AA、AA，且AA⊥AA于A，AA与AA相交点A，AA=3√5，AA=3，求AA的长．57. 在某次海上军事学习期间，我军为确保△AAA海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在A，A，A处监控△AAA海域，在雷达显示图上，军舰A在军舰A的正东方向80海里处，军舰A在军舰A的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为A的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△AAA海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径A至少为多少海里?（2）现有一艘敌舰A从东部接近△AAA海域，在某一时刻军舰A测得A位于北偏东60∘方向上，同时军舰A测得A位于南偏东30∘方向上，求此时敌舰A离△AAA海域的最短距离为多少海里?（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20√2海里/小时的速度靠近△AAA海域，我军军舰A沿北偏东15∘的方向行进拦截，问A军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A? 58. 如图，在坐标系AAA中，已知A(−5,4)，A(−3,0)，过A点分别作AA，AA垂直于A轴、A轴，垂足分别为A，A两点．动点A从A点出发，沿A轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为A秒．（1）当A为何值时，AA∥AA；（2）当A为何值时，AA⊥AA；（3）以点A为圆心，AA的长为半径的⊙A随点A的运动而变化，当⊙A与△AAA的边（或边所在的直线）相切时，求A的值．A2+AA+A与A轴交于A、A两点，与A轴交于点A，抛物线的对59. 如图，抛物线A=−12称轴交A轴于点A，已知A(−1,0)，A(0,2)．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点A，使△AAA是以AA为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出A点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点A是线段AA上的一个动点，过点A作A轴的垂线与抛物线相交于点A，当点A运动到什么位置时，四边形AAAA的面积最大?求出四边形AAAA的最大面积及此时A点的坐标．60. 如图1，在Rt△AAA中，∠AAA=90∘，AA=10，AA=6，扇形纸片AAA的顶点A与边AA的中点重合，AA交AA于点A，AA经过点A，且∠AAA=∠A．（1）证明△AAA是等腰三角形，并求出AA的长；（2）将扇形纸片AAA绕点A逆时针旋转，AA，AA与边AA分别交于点A，A（如图2），当AA的长是多少时，△AAA与△AAA相似?61. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，A为小正方形边的中点，A，A为格点，A为AA，AA的延长线的交点．（1）AA的长等于；（2）若点A在线段AA上，点A在线段AA上，且满足AA=AA=AA，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AA，并简要说明点A，A的位置是如何找到的（不要求证明）．62. 如图，二次函数A=AA2+AA+2的图象与A轴相交于点A(−1,0)，A(4,0)，与A轴相交于点A．（1）求该函数的表达式；（2）点A为该函数在第一象限内的图象上一点，过点A作AA⊥AA，垂足为点A，连接AA．①求线段AA的最大值；②若以点A，A，A为顶点的三角形与△AAA相似，求点A的坐标．63. 如图，在平面直角坐标系中，直线A=−2A+10与A轴，A轴相交于A，A两点．点A的坐标是(8,4)，连接AA，AA．（1）求过A，A，A三点的抛物线的解析式，并判断△AAA的形状；（2）动点A从点A出发，沿AA以每秒2个单位长度的速度向点A运动；同时，动点A从点A出发，沿AA以每秒1个单位长度的速度向点A运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为A秒，当A为何值时，AA=AA?（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点A，使以A，A，A为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．64. 将矩形纸片AAAA放在平面直角坐标系中，A为坐标原点，点A在A轴上，点A在A轴上，点A的坐标是(8,6)，点A是边AA上的一个动点，将△AAA沿AA折叠，使点A落在点A 处．（1）如图①，当点A恰好落在AA上时，求点A的坐标．（2）如图②，当点A是AA中点时，直线AA交AA于A点．（a）求证：AA=AA；（b）求点A的坐标．。
最短路径问题总动员(含答案)
最短路径问题专题练习1. 如图.长方体中..一蚂蚁从点出发.沿长方体表面爬到点处觅食.则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶.它的每一级的长、宽和高分别是和是这个台阶的两个相对的端点.点有一只壁虎.它想到点去吃可口的食物.请你想一想.这只壁虎从点出发.沿着台阶面爬到点.至少需爬A. B. C. D.3. 如图.个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中.如果从点到点只能沿图中的线段走.那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示.圆柱的底面周长为是底面圆的直径.高.点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.5. 如图.是一个三级台阶.它的每一级的长、宽、高分别为和是这个台阶两个相对的端点.点有一只蚂蚁.想到点去吃可口的食物.则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是 ．A. B. C. D.6. 如图.已知.要在长方体上系一根绳子连接.绳子与交于点.当所用绳子最短时.绳子的长为A. B. C. D.7. 已知蚂蚁从长、宽都是.高是的长方形纸箱的点沿纸箱爬到点.那么它所行的最短路线的长是A. B. C. D.8. 如图所示.一圆柱高.底面半径长.一只蚂蚁从点爬到点处吃食.要爬行的最短路程（ 取）是A. B. C. D. 无法确定9. 如图圆柱底面半径为 cm.高为 cm.点分别是圆柱两底面圆周上的点.且在同一母线上.用一棉线从顶着圆柱侧面绕圈到.则棉线最短为A. cmB. cmC. cmD. cm10. 如图.点为正方体左侧面的中心.点是正方体的一个顶点.正方体的棱长为.一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.11. 如图所示是一棱长为的正方体.把它分成个小正方体.每个小正方体的边长都是.如果一只蚂蚁从点爬到点.那么间的最短距离满足A. B. C. D. 或12. 如图所示.圆柱形玻璃杯的高为 .底面周长为 .在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜.此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处.则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为A. B. C. D.13. 如图.点的正方体左侧面的中心.点是正方体的一个顶点.正方体的棱长为.一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.14. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上.高二丈周三尺.有葛藤自根缠绕而上.五周而达其顶.问葛藤之长几何?”.题意是如图所示.把枯木看作一个圆柱体.因一丈是十尺.则该圆柱的高为尺.底面周长为尺.有葛藤自点处缠绕而上.绕五周后其末端恰好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度是尺．15. 如图.已知圆柱体底面的半径为.高为分别是两底面的直径．若一只小虫从点出发.沿圆柱侧面爬行到点.则小虫爬行的最短路线长度是（结果保留根号）．16. 如图.圆柱形容器高 .底面周长为 . 在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜.此时一只蚂蚁正好在杯外壁.离杯上沿与蜂蜜相对的点处.则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 .17. 如图所示的正方体木块的棱长为 .沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角.得到如图②的几何体.一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 .QQ群45011622518. 如图.长方体的底面边长分别为和.高为 ．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点.那么所用细线最短需要 ．19. 如图.长方体的长为.宽为.高为.点距离点.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点.蚂蚁爬行的最短距离是 ．20. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立在地上.高二丈.周三尺.有葛藤自根缠绕而上.五周而到其顶.问葛藤之长几何?”题意是：如图.把枯木看做一个圆柱体.因一丈是十尺.则该圆柱的高是尺.底面周长为尺.有葛藤自点处缠绕而上.绕五周后其末端恰好到达点处.则问题中的葛藤的最短的长度是尺．21. 如图.长方体的底面边长分别为和 .高为 .若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点.则蚂蚁爬行的最短路径长为 .22. 一只蚂蚁从长、宽都是.高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点.那么它爬行的最短路线的长是．23. 如图所示是一段三级台阶.它的每一级的长、宽和高分别为和是这段台阶两个相对的端点. 点有一只蚂蚁.想到点去吃可口的食物.设蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为.则以为边长的正方形的面积为 .QQ群45011622524. 如图.长方体的底面边长分别为和.高为 ．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点.那么所用细线最短需要 ；如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点.那么所用细线最短需要25. 在一个长为米.宽为米的矩形草地上.如图堆放着一根长方体的木块.它的棱长和场地宽平行且大于.木块的正视图是边长为米的正方形.一只蚂蚁从点处.到达处需要走的最短路程是米（精确到米）26. 如图为一圆柱体工艺品.其底面周长为.高为.从点出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点.则该装饰线最短长为．27. 如图.一个没有上盖的圆柱盒高为.底面圆的周长为.点距离下底面.一只位于圆柱盒外表面点处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点处吃东西.则蚂蚁需爬行的最短路程的长为 ．28. 图 1 所示的正方体木块棱长为.沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角.得到如图 2 的几何体.一只蚂蚁沿着图 2 的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 ．29. 一只蚂蚁沿棱长为的正方体表面从顶点爬到顶点.则它走过的最短路程为．30. 如图.圆锥的主视图是等边三角形.圆锥的底面半径为.假若点有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行.它要想吃到母线的中点处的食物.那么它爬行的最短路程是 ．31. 如图.圆锥的母线长是.底面半径是是底面圆周上一点.从点出发绕侧面一周.再回到点的最短的路线长是．QQ群45011622532. 如图.一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）.有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为时.求蚂蚁爬过的最短路径的长．33. 葛藤是一种植物.它自己腰杆不硬.为了争夺雨露阳光.常常绕着树干盘旋而上.它还有一个绝招.就是它绕树盘升的路线.总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为.绕一圈升高.则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为.绕一圈爬行.则爬行一圈升高多少?如果爬行圈到达树顶.则树干多高?34. 如图所示.长方体的长为.宽为.高为.点与点之间相距.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点.需要爬行的最短距离是多少?35. 图①.图②为同一长方体房间的示意图.图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点处；①苍蝇在顶点处时.试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇.沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点处时.图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线.往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线.试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中.半径为的与相切.圆心到边的距离为.蜘蛛在线段上.苍蝇在的圆周上.线段为蜘蛛爬行路线．若与相切.试求的长度的范围．QQ群45011622536. 如图.直四棱柱侧棱长为.底面是长为.宽为的长方形．一只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表面爬到顶点．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．37. 如图.观察图形解答下面的问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴一起做一个这样的物体.并把它沿剪开.铺在桌面上.则它的侧面展开图是一个．（3）如果点是的中点.在处有一只蜗牛.在处恰好有蜗牛想吃的食品.但它又不能直接沿爬到处.只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?（4）的长为.侧面展开图的圆心角为.请你求出蜗牛爬行的最短路程．38. 如图.一只虫子从圆柱上点处绕圆柱爬一圈到点处.圆柱的高为.圆柱底面圆的周长为.求虫子爬行的最短路程．39. 如图.一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）.有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当时.求蚂蚁爬过的最短路径的长；40. 如图一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）.有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．当＝＝＝时.求蚂蚁爬过的最短路径的长．41. 一只蚂蚁从长、宽都是.高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点.如图.求它爬行的最短路线的长．42. 如图所示是一段楼梯.已知 .楼梯宽 .一只蚂蚁要从点爬到点.求蚂蚁爬行的最短路程.QQ群45011622543. 如图.一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）.有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径．（2）当时.求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）求点到最短路径的距离．44. 已知圆锥的底面半径为.高.现在有一只蚂蚁从底边上一点出发．在侧面上爬行一周又回到点.求蚂蚁爬行的最短距离．45. 如图.是一个长方体盒子.长.宽.高．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点沿盒子表面爬到点.求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?46. 图1、图2为同一长方体房间的示意图.图 3为该长方体的表面展开图．（1）蜘蛛在顶点处．①苍蝇在顶点处时.试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇.沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点处时.图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线.往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线.试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中.半径为的与相切.圆心到边的距离为.蜘蛛在线段上.苍蝇在的圆周上.线段为蜘蛛爬行路线.若与相切.试求长度的范围．47. 如图.长方体中..一只蚂蚁从点出发.沿长方体表面爬到点.求蚂蚁怎样走最短.最短路程是多少?48. 如图.平行四边形中..将平行四边形沿过点的直线折叠.使点落到边上的点处.折痕交边于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点时直线上的一个动点.请计算的最小值．49. 实践操作在矩形中..现将纸片折叠.点的对应点记为点.折痕为（点是折痕与矩形的边的交点）.再将纸片还原．QQ群450116225（1）初步思考若点落在矩形的边上（如图①）．①当点与点重合时..当点与点重合时.；②当点在上.点在上时（如图②）.求证：四边形为菱形.并直接写出当时菱形的边长．（2）深入探究若点落在矩形的内部（如图③）.且点分别在边上.请直接写出的最小值．（3）拓展延伸若点与点重合.点在上.射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中.是否存在某一种情况.使得线段与线段的长度相等?若存在.请直接写出线段的长度；若不存在.请说明理由．答案1. B2. C 【解析】将台阶面展开.连接.如图.线段即为壁虎所爬的最短路线．因为.在中.根据勾股定理.得.所以 ．所以壁虎至少爬行 ．3. C 【解析】4. B5. D6. A 【解析】 .7. B 8. B 9. B 10. C11. B 12. A 13. C 【解析】将正方体的左侧面与前面展开.构成一个长方形.用勾股定理求出距离即可．如图.．14.15.【解析】将圆柱的侧面沿剪开并铺平得长方形.连接.如图．线段就是小虫爬行的最短路线．根据题意得．在中.由勾股定理.得.．所以．16.17.18.19.【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形.如图 1：长方体的宽为.高为.点离点的距离是..在直角三角形中.根据勾股定理得：；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形.如图 2：长方体的宽为.高为.点离点的距离是..在直角三角形中.根据勾股定理得：；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形.如图 3：长方体的宽为.高为.点离点的距离是..在直角三角形中.根据勾股定理得：；.蚂蚁爬行的最短距离是 ．20.21.【解析】要求长方体中两点之间的最短路径.最直接的做法就是将长方体展开.然后利用两点之间线段最短解答.如图.22.23.24.【解析】如图.依题意.得从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点时.最短距离为.此时.由勾股定理.得.即所用细线最短为 ．若从点开始经过个侧面缠绕圈到达点.则长方体的侧面展开图的一边长由变成.即.由勾股定理.得.即所用细线最短为.或 ．25.【解析】由题意可知.将木块展开.相当于是个正方形的宽.长为米；宽为米．于是最短路径为：米．26.【解析】沿剪开可得矩形.圆柱的高为.底面圆的周长为..在中. .即装饰线的最短路线长是．27.28.29.30.【解析】圆锥的底面周长是.则.即圆锥侧面展开图的圆心角是.在圆锥侧面展开图中.在圆锥侧面展开图中.这只蚂蚁爬行的最短距离是 ．31.【解析】图中扇形的弧长是.根据弧长公式得到..即扇形的圆心角是...32. （1）蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和．（2）如图.．．所以蚂蚁爬过的最短路径的长是．33. （1）（2） ；34. ．35. （1）①如图①.连接.线段就是所求作的最近路线．②两种爬行路线如图②所示.由题意可得：在中.；在中.．.路线更近．（2）如图③中.连接.为的切线.点为切点.．在中.有.当时.最短.取得最小值.此时.．当点与点重合时.最长.取得最大值.如图④.过点作.垂足为.由题意可得.在中.．在中.．综上所示.长度的取值范围是 ．36. （1）若蚂蚁沿侧面爬行.则经过的路程为；若蚂蚁沿侧面和底面爬行.则经过的路程为或．所以蚂蚁经过的最短路程是 ．（2）蚂蚁爬过的棱长依次为时.其路程为最长.最长路程是 ．37. （1）圆锥（2）扇形（3）把此立体图形的侧面展开.如图所示.为蜗牛爬行的最短路线．（4）在中.由勾股定理.得.所以．故蜗牛爬行的最短路程为．38. 如图.是圆柱的展开图.连接．由题意可知虫子爬行的最短路径为.此时 ．答：虫子爬行的最短路程为 ．39. （1）如图.木柜的表面展开图是两个矩形和 .故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径为图中的和 .（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到 .爬过的最短路径的长是 .蚂蚁沿着木柜表面经线段到 .爬过的最短路径的长是 .因为 .所以蚂蚁爬过的最短路径的长为 .40. 如图所示.木柜的部分表面展开图示两个矩形或矩形．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径是如图的或．若爬过的路径的长是.则；若爬过的路径的长是.则 ..最短路径的长是．41. 蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面内爬行.如果将这半个侧面展开（如图所示）.得到矩形.根据“两点之间.线段最短”.所求的最短路程就是半个侧面展开图矩形对角线之长．在中.底面边长.．答：最短路程约为．42. 如图①；如图②、如图③.蚂蚁爬行的最短路程为 .43. （1）木柜的部分表面展开图如图：蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有和．（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到. 爬过的路径长为．蚂蚁沿着木柜表面经线段到.爬过的路径长为．.最短路径为．（3）过点作于点.连接. 则．点到最短路径的长为．44. 设扇形的圆心角为.圆锥的顶点为.．由勾股定理可得母线.而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为.．即是等腰直角三角形.由勾股定理得： ．答：蚂蚁爬行的最短距离为 ．45. （1） 蚂蚁从点 爬到点 有三种可能.展开成平面图形如图 所示.由勾股定理计算出 的值分别为 .比较后得 最小为 .即最短路线的长是 ．（2） 如图 ..即能容下的最长木棒的长度为 ．46. （1） ①如图所示线段 为最近路线.②将长方体展开.使得长方形和长方形在同一平面内.如图.在中..．将长方体展开.使得长方形和长方形在同一平面内.如图.在中.＝＝＝.＝＋＝＝ .＜.往天花板爬行的最近路线更近.（2）过点作于.连接.半径为的与相切.圆心到边的距离为..根据勾股定理可得..．与相切于点..．当时.；当时.．长度的范围是 ．47. 如图1所示：由题意得：.在中.由勾股定理得.如图2所示：由题意得：.在中.由勾股定理得：.．第一种方法蚂蚁爬行的路程最短.最短路程是．48. （1）将平行四边形沿过点的直线折叠.使点落到边上的点处......四边形是菱形...四边形是菱形.（2）四边形是菱形.与关于对称.连接交于.则的长即为的最小值. 过点作于.......的最小值为．49. （1）① ；② 翻折的性质..四边形是矩形.......四边形是平行四边形..平行四边形是菱形.当时.菱形边长为．..（2）．（3）存在.．最短路径问题专题练习1. 如图.长方体中..一蚂蚁从点出发.沿长方体表面爬到点处觅食.则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶.它的每一级的长、宽和高分别是和是这个台阶的两个相对的端点.点有一只壁虎.它想到点去吃可口的食物.请你想一想.这只壁虎从点出发.沿着台阶面爬到点.至少需爬A. B. C. D.3. 如图.个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中.如果从点到点只能沿图中的线段走.那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示.圆柱的底面周长为是底面圆的直径.高.点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.正方形专题练习1、小明在学习了正方形之后.给同桌小文出了一道题.从下列四个条件：① ；② ；③；④ 中选出两个作为补充条件.使平行四边形为正方形（如图）．现有下列四种选法.你认为其中错误的是A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④2、.大正方形中有个小正方形.如果它们的面积分别是.那么的大小关系是A. B.C. D. 的大小关系不确定3、如图.在正方形和正方形中.点在上..将正方形绕点顺时针旋转.得到正方形.此时点在上.连接.则A. B. C. D.4五个边长都为的正方形按如图所示摆放.点分别是四个正方形的中心.则图中四块阴影部分面积的和为A. B. C. D.旋转专题练习1. 如图.在矩形中.已知.将矩形绕着点在桌面上顺针旋砖至.使其停靠在矩形的点处.若.则点的运动路径长为（1题）（2题A. B. C. D.2. 在中..把这个直角三角形绕顶点旋转后得到.其中点正好落在上.与相交于点.那么等于A. B. C. D.3. 在锐角中.（如图）.将绕点按逆时针方向旋转得到（顶点、分别与、对应）.当点在线段的延长线上时.则的长度为 QQ群450116225（3题）（4题）A. B. C. D.4. 边长一定的正方形是上一动点.交于点.过作交于点.作于点.连接.下列结论：① ；② ；③ ；④ 为定值．其中一定成立的是11.抗震救灾中.某县粮食局为了保证库存粮食的安全.决定将甲、乙两个仓库的粮食.全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。
专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案
专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案Document serial number [UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108]蚂蚁爬行的最短路径1.一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5, -3,+10, -8, -9, +12, 一10・-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10^回答下列问题：(1)蚂蚁最后是否回到出发点0；(2)在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10二-3,故没有回到0；(2) (|+5 + -3 +|+10|+|-8 +|-9 +1+12)+1-10 ) X2=114 粒2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点力出发沿着正方体的外A 表面爬到顶点方的最短距离是Z解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段力方即为最短路线.3・（2006?茂名）如图，点小方分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点月沿其表面爬到点方的最短路程是__________解：由题意得，从点月沿其表面爬到点万的最短路程是两个棱长的长,即2+2=4.4.如图，一只蚂蚁从正方体的底面力点处沿着表面爬行到点上面的万点处，它爬行的最短路线是（）A. A=> P=> BB. A=> BC. A=> BD. A=> S=^ BBQA解：根据两点之间线段最短可知选5-如图，点力的正方体左侧面的中心，点方是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2, —蚂蚁从点/沿其表面爬到点万的最短路程是（）解：如图，停^（1+2）2+12 =Vio.故选c6.正方体盒子的棱长为2,尸C的中点为胚一只蚂蚁从力点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点〃所在的面,T必的中点为必所以Mt -BO1,2在直角三角形中4庐何+（屮尸二皿.7-如图，点力和点方分别是棱长为20伽的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由力处向万处爬行，所走最短路程是解：将盒子展开，如图所示:A5E 店 1^1X204X20=20^解：将正方体展开，连接財、D1, 根据两点之间线段最短， •肛 QQM+2二 3,•也二 J M D ，+ DD ；=孙 + 2?=、厉• 9.如图所示一棱长为3⑵的正方体，把所有的面均分成3X3个小正方 形.其边长都为13,假设一只蚂蚁每故选C.A88.正方体盒子的棱长为2,庞的中点为胚 一只蚂蚁从力点爬行到朋点的最短距离为 ________ .DEFGM 7秒爬行2cm,则它从下底面点力沿表面爬行至侧面的方点，最少要用_秒钟.解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.（1）展开前面右面由勾股定理得/企血+3尸+⑵2二岳cm；（2）展开底面右面由勾股定理得&庆何+（2+疔二5皿；所以最短路径长为5他，用时最少：5于2二秒.10. （2009*恩施州）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点万离点C的距离为5, —只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点/爬到点5 需要爬行的最短距离是__________ o解：将长方体展开，连接/、B、根据两点之间线段最短，AB=V152+202=25.11・如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点力出发，沿长方体的表面爬到解：正面和上面沿45展开如图，连接AQy AMG 是直角三角形,:.AC,= J A B? + BC ；=、加+(1 + 2)2 = V42 +32 = 512. 如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到方点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
八年级上册《数学》第13章最短路径问题练习题(含答案)
13.4最短路径问题练习题一、能力提升1.如图,OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E,再爬到OB边上任意一点F,然后爬回点M处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为()A.12cmB.10cmC.7cmD.5cm2.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60°B.120°C.90°D.45°3.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD.若点A到河岸CD的中点的距离为500m,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短路程是m.4.如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张庄、李庄直接送水,水泵站修建在河边什么位置,可使所用的水管最短?(不写作法,只保留作图痕迹)5.如图,某公路(视为x轴)的同一侧有A,B,C三个村庄,要在公路边建一货栈(即在x轴上找一点)D,向A,B,C三个村庄运送农用物资,路线是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).试问在公路上是否存在点D使送货路程之和最短?若存在,请在图中画出点D所在的位置;若不存在,请说明理由.二、创新应用6.某中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图所示的两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,BO桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.答案:一、能力提升1.B设CD与OA的交点为E,与OB的交点为F.因为OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线,所以ME=CE,MF=DF,所以小蚂蚁爬行的路径最短为CD=10cm,故选B.2.B如图,作点A关于BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于点M,交CD于点N,则A'A″即为△AMN的周长的最小值.∵∠DAB=120°,∴∠A'+∠A″=180°-120°=60°.∵∠A'=∠MAA',∠NAD=∠A″,且∠A'+∠MAA'=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠A'+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠A'+∠A″)=2×60°=120°,故选B.3.10004.解:如图.点P就是修建水泵站的位置.5.解:存在点D使所走路线D→A→B→C→D的路程之和最短.作法:(1)作点A关于x轴的对称点A';(2)连接A'C,交x轴于点D.如图.则点D(3,0)就是要建货栈的位置.二、创新应用6.解:如图.作法:①作点C关于OA的对称点C1,点D关于OB的对称点D1;②连接C1D1,分别交OA,OB于点P,Q,连接CP,DQ,小明沿C→P→Q→D的路线行走时,所走的总路程最短.。
部编数学八年级上册专题10最短路径问题(解析版)含答案(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题10 最短路径问题1.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为 .【答案】120°【解析】考点有轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。
最短路径问题总动员（含答案）
最短路径问题总动员（含答案）最短路径问题专题练习1. 如图，长⽅体中，，，，⼀蚂蚁从点出发，沿长⽅体表⾯爬到点处觅⾷，则蚂蚁所⾏路程的最⼩值为A. B. C. D.2. 如图是⼀个三级台阶，它的每⼀级的长、宽和⾼分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有⼀只壁虎，它想到点去吃可⼝的⾷物，请你想⼀想，这只壁虎从点出发，沿着台阶⾯爬到点，⾄少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的⼩正⽅形及其部分对⾓线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段⾛，那么从点到点的最短距离的⾛法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所⽰，圆柱的底⾯周长为，是底⾯圆的直径，⾼，点是母线上⼀点且．⼀只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表⾯爬⾏到点的最短距离是A. B. C. D.5. 如图，是⼀个三级台阶，它的每⼀级的长、宽、⾼分别为，，，和是这个台阶两个相对的端点，点有⼀只蚂蚁，想到点去吃可⼝的⾷物，则蚂蚁沿着台阶⾯爬到点的最短路程是．A. B. C. D.6. 如图，已知，，，要在长⽅体上系⼀根绳⼦连接，绳⼦与交于点，当所⽤绳⼦最短时，绳⼦的长为A. B. C. D.7. 已知蚂蚁从长、宽都是，⾼是的长⽅形纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所⾏的最短路线的长是A. B. C. D.8. 如图所⽰，⼀圆柱⾼，底⾯半径长，⼀只蚂蚁从点爬到点处吃⾷，要爬⾏的最短路程（取）是A. B. C. D. ⽆法确定9. 如图圆柱底⾯半径为 cm，⾼为 cm，点，分别是圆柱两底⾯圆周上的点，且，在同⼀母线上，⽤⼀棉线从顶着圆柱侧⾯绕圈到，则棉线最短为A. cmB. cmC. cmD. cm10. 如图，点为正⽅体左侧⾯的中⼼，点是正⽅体的⼀个顶点，正⽅体的棱长为，⼀蚂蚁从点沿其表⾯爬到点的最短路程是A. B. C. D.11. 如图所⽰是⼀棱长为的正⽅体，把它分成个⼩正⽅体，每个⼩正⽅体的边长都是 .如果⼀只蚂蚁从点爬到点，那么，间的最短距离满⾜A. B. C. D. 或12. 如图所⽰，圆柱形玻璃杯的⾼为，底⾯周长为，在杯内离杯底的点处有⼀滴蜂蜜，此时⼀只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为A. B. C. D.13. 如图，点的正⽅体左侧⾯的中⼼，点是正⽅体的⼀个顶点，正⽅体的棱长为，⼀蚂蚁从点沿其表⾯爬到点的最短路程是A. B. C. D.14. 我国古代有这样⼀道数学问题：“枯⽊⼀根直⽴地上，⾼⼆丈周三尺，有葛藤⾃根缠绕⽽上，五周⽽达其顶，问葛藤之长⼏何?”，题意是如图所⽰，把枯⽊看作⼀个圆柱体，因⼀丈是⼗尺，则该圆柱的⾼为尺，底⾯周长为尺，有葛藤⾃点处缠绕⽽上，绕五周后其末端恰好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度是尺．15. 如图，已知圆柱体底⾯的半径为，⾼为，，分别是两底⾯的直径．若⼀只⼩⾍从点出发，沿圆柱侧⾯爬⾏到点，则⼩⾍爬⾏的最短路线长度是（结果保留根号）．16. 如图，圆柱形容器⾼，底⾯周长为，在杯内壁离杯底的点处有⼀滴蜂蜜，此时⼀只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 .17. 如图所⽰的正⽅体⽊块的棱长为，沿其相邻三个⾯的对⾓线（图中虚线）剪掉⼀⾓，得到如图②的⼏何体，⼀只蚂蚁沿着图②中的⼏何体表⾯从顶点爬⾏到顶点的最短距离为 .QQ群45011622518. 如图，长⽅体的底⾯边长分别为和，⾼为．如果⽤⼀根细线从点开始经过个侧⾯缠绕⼀圈到达点，那么所⽤细线最短需要．19. 如图，长⽅体的长为，宽为，⾼为，点距离点，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点爬到点，蚂蚁爬⾏的最短距离是．20. 我国古代有这样⼀道数学问题：“枯⽊⼀根直⽴在地上，⾼⼆丈，周三尺，有葛藤⾃根缠绕⽽上，五周⽽到其顶，问葛藤之长⼏何?”题意是：如图，把枯⽊看做⼀个圆柱体，因⼀丈是⼗尺，则该圆柱的⾼是尺，底⾯周长为尺，有葛藤⾃点处缠绕⽽上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中的葛藤的最短的长度是尺．21. 如图，长⽅体的底⾯边长分别为和，⾼为，若⼀只蚂蚁从点开始经过个侧⾯爬⾏⼀圈到达点，则蚂蚁爬⾏的最短路径长为 .22. ⼀只蚂蚁从长、宽都是，⾼是的长⽅体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它爬⾏的最短路线的长是．23. 如图所⽰是⼀段三级台阶，它的每⼀级的长、宽和⾼分别为，，，和是这段台阶两个相对的端点. 点有⼀只蚂蚁，想到点去吃可⼝的⾷物，设蚂蚁沿着台阶⾯爬到点的最短路程为，则以为边长的正⽅形的⾯积为 .QQ群45011622524. 如图，长⽅体的底⾯边长分别为和，⾼为．如果⽤⼀根细线从点开始经过个侧⾯缠绕⼀圈到达点，那么所⽤细线最短需要；如果从点开始经过个侧⾯缠绕圈到达点，那么所⽤细线最短需要25. 在⼀个长为⽶，宽为⽶的矩形草地上，如图堆放着⼀根长⽅体的⽊块，它的棱长和场地宽平⾏且⼤于，⽊块的正视图是边长为⽶的正⽅形，⼀只蚂蚁从点处，到达处需要⾛的最短路程是⽶（精确到⽶）26. 如图为⼀圆柱体⼯艺品，其底⾯周长为，⾼为，从点出发绕该⼯艺品侧⾯⼀周镶嵌⼀根装饰线到点，则该装饰线最短长为．27. 如图，⼀个没有上盖的圆柱盒⾼为，底⾯圆的周长为，点距离下底⾯，⼀只位于圆柱盒外表⾯点处的蚂蚁想爬到盒内表⾯对侧中点处吃东西，则蚂蚁需爬⾏的最短路程的长为．28. 图1 所⽰的正⽅体⽊块棱长为，沿其相邻三个⾯的对⾓线（图中虚线）剪掉⼀⾓，得到如图 2 的⼏何体，⼀只蚂蚁沿着图 2 的⼏何体表⾯从顶点爬⾏到顶点的最短距离为．29. ⼀只蚂蚁沿棱长为的正⽅体表⾯从顶点爬到顶点，则它⾛过的最短路程为．30. 如图，圆锥的主视图是等边三⾓形，圆锥的底⾯半径为，假若点有⼀蚂蚁只能沿圆锥的表⾯爬⾏，它要想吃到母线的中点处的⾷物，那么它爬⾏的最短路程是．31. 如图，圆锥的母线长是，底⾯半径是，是底⾯圆周上⼀点，从点出发绕侧⾯⼀周，再回到点的最短的路线长是．QQ群45011622532. 如图，⼀个正⽅体⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处．（1）请你在正⽅体⽊柜的表⾯展开图中画出蚂蚁能够最快达到⽬的地的可能路径；（2）当正⽅体⽊柜的棱长为时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．33. 葛藤是⼀种植物，它⾃⼰腰杆不硬，为了争夺⾬露阳光，常常绕着树⼲盘旋⽽上，它还有⼀个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为，绕⼀圈升⾼，则它爬⾏路程是多少?（2）如果树的周长为，绕⼀圈爬⾏，则爬⾏⼀圈升⾼多少?如果爬⾏圈到达树顶，则树⼲多⾼?34. 如图所⽰，长⽅体的长为，宽为，⾼为，点与点之间相距，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点爬到点，需要爬⾏的最短距离是多少?35. 图①，图②为同⼀长⽅体房间的⽰意图，图③为该长⽅体的表⾯展开图．（1）已知蜘蛛在顶点处；①苍蝇在顶点处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙⾯爬⾏的最近路线；②苍蝇在顶点处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬⾏的最近路线和往墙⾯爬⾏的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为的与相切，圆⼼到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬⾏路线．若与相切，试求的长度的范围．QQ群45011622536. 如图，直四棱柱侧棱长为，底⾯是长为，宽为的长⽅形．⼀只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表⾯爬到顶点．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬⾏（不能重复爬⾏同⼀条棱）的最长路程．37. 如图，观察图形解答下⾯的问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴⼀起做⼀个这样的物体，并把它沿剪开，铺在桌⾯上，则它的侧⾯展开图是⼀个．（3）如果点是的中点，在处有⼀只蜗⽜，在处恰好有蜗⽜想吃的⾷品，但它⼜不能直接沿爬到处，只能沿此⽴体图形的表⾯爬⾏．你能在侧⾯展开图中画出蜗⽜爬⾏的最短路线吗?（4）的长为，侧⾯展开图的圆⼼⾓为，请你求出蜗⽜爬⾏的最短路程．38. 如图，⼀只⾍⼦从圆柱上点处绕圆柱爬⼀圈到点处，圆柱的⾼为，圆柱底⾯圆的周长为，求⾍⼦爬⾏的最短路程．39. 如图，⼀个长⽅体形的⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达⽬的地的可能路径；（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；40. 如图⼀个长⽅体形的⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓A处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处．当＝，＝，＝时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．41. ⼀只蚂蚁从长、宽都是，⾼是的长⽅体纸箱的点沿纸箱爬到点，如图，求它爬⾏的最短路线的长．42. 如图所⽰是⼀段楼梯，已知，，楼梯宽 .⼀只蚂蚁要从点爬到点，求蚂蚁爬⾏的最短路程.QQ群45011622543. 如图，⼀个长⽅体⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓A处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达⽬的地的可能路径．（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）求点到最短路径的距离．44. 已知圆锥的底⾯半径为，⾼，现在有⼀只蚂蚁从底边上⼀点出发．在侧⾯上爬⾏⼀周⼜回到点，求蚂蚁爬⾏的最短距离．45. 如图，是⼀个长⽅体盒⼦，长，宽，⾼．（1）⼀只蚂蚁从盒⼦下底⾯的点沿盒⼦表⾯爬到点，求它所⾏⾛的最短路线的长．（2）这个长⽅体盒⼦内能容下的最长⽊棒的长度为多少?46. 图1、图2为同⼀长⽅体房间的⽰意图，图 3为该长⽅体的表⾯展开图．（1）蜘蛛在顶点处．①苍蝇在顶点处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙⾯爬⾏的最近路线．②苍蝇在顶点处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬⾏的最近路线和往墙⾯爬⾏的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中，半径为的与相切，圆⼼到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬⾏路线，若与相切，试求长度的范围．47. 如图，长⽅体中，，，⼀只蚂蚁从点出发，沿长⽅体表⾯爬到点，求蚂蚁怎样⾛最短，最短路程是多少?48. 如图，平⾏四边形中，，，，将平⾏四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点时直线上的⼀个动点，请计算的最⼩值．49. 实践操作在矩形中，，，现将纸⽚折叠，点的对应点记为点，折痕为（点，是折痕与矩形的边的交点），再将纸⽚还原．QQ群450116225（1）初步思考若点落在矩形的边上（如图①）．①当点与点重合时，，当点与点重合时，；②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时菱形的边长．（2）深⼊探究若点落在矩形的内部（如图③），且点，分别在，边上，请直接写出的最⼩值．（3）拓展延伸若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某⼀种情况，使得线段与线段的长度相等?若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．答案1. B2. C 【解析】将台阶⾯展开，连接，如图，线段即为壁虎所爬的最短路线．因为，，在中，根据勾股定理，得，所以．所以壁虎⾄少爬⾏．3. C 【解析】4. B5. D6. A 【解析】 .7. B 8. B 9. B 10. C11. B 12. A 13. C 【解析】将正⽅体的左侧⾯与前⾯展开，构成⼀个长⽅形，⽤勾股定理求出距离即可．如图，．14.15.【解析】将圆柱的侧⾯沿剪开并铺平得长⽅形，连接，如图．线段就是⼩⾍爬⾏的最短路线．根据题意得．在中，由勾股定理，得，．所以．16.17.18.19.【解析】只要把长⽅体的右侧表⾯剪开与前⾯这个侧⾯所在的平⾯形成⼀个长⽅形，如图 1：长⽅体的宽为，⾼为，点离点的距离是，，，在直⾓三⾓形中，根据勾股定理得：。
最短路径专题含问题详解
7. 如图，圆柱的高为
，底面直径
，在圆柱下底面的 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面
上与 点相对的 点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米? π
8. 如图 ，是一个长方体盒子，长
，宽
，高
．
（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点 沿盒子表面爬到点 ，求它所行走的最短路线的长． （2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?
树顶，则树干多高?
23. 实践操作
在矩形
中，
，
，现将纸片折叠，点 的对应点记为点 ，折痕为
（点 ， 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
（1）初步思考
若点 落在矩形
的边 上（如图①）．
①当点 与点 重合时，∠
，当点 与点 重合时，
∠
；
②当点 在 上，点 在 上时（如图②），求证：四边形
为菱形，并直
，若一只蚂蚁从 点开始经过
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5. 如 图 ， 有 一 半 径 为
，高为
的圆柱体，在棱
的 点上有一只蜘蛛，
，在棱
的 点上有一只苍蝇，
．蜘蛛沿圆柱爬到 点吃苍蝇，请
你算出蜘蛛爬行的最短路线长．（π 取 ；结果精确到
）
6. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点 处，一只蚊子在正方体的顶点 处，如图所示，假设蚊子不 动，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的 最短路线有几条?
，并说明 为何值时才会有
．
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（3）若将抛物线先向上平移 个单位，再向左平移 个单位后得到抛物线 ，设
，
是 上的两个不同点，且满足：∠
，
， ．请你用含 的
中考专题复习——最短路径问题(有答案)
--B CD AL 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题;二、原理：两点之间,线段最短;垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化） 三、例题：例１、①如右图是一个棱长为４的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点Ａ沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处,它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
例2、①如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图,直线L 同侧有两点A 、Ｂ，已知A 、B 到直线Ｌ的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为３，要在直线L 上找一个点P ，使P Ａ+ＰB 的和最小。
请在图中找出点Ｐ的位置，并计算PA+PB 的最小值。
③要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为１Km 和3Km,张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。
张村李庄ABCD 图(2)ED ACP图(3)D OP四、练习题(巩固提高）(一）1、如图是一个长方体木块,已知AB=5,B Ｃ＝3,CD=4，假设一只蚂蚁在点Ａ处,它要沿着木块侧面爬到点D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是 。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为６cm,底面圆周长为１6cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点Ｂ处吃到食物，知圆柱体的高为5 c ｍ,底面圆的周长为２4c ｍ,则蚂蚁爬行的最短路径为 。
4、正方形AB ＣD 的边长为8，M 在D Ｃ上,且DM=2，Ｎ是AC 上的一动点，D Ｎ＋ＭN 的最小值为 。
第4题 第5题 第6题 第７题 5、在菱形A ＢCD 中，ＡB=2， ∠BAD=60°，点E 是ＡB 的中点，P 是对角线ＡC 上的一个动点，则PE+ＰB 的最小值为 。
小学奥数最短路线问题(有答案)
小学六年级奥数教案—运筹学初步本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。
1.统筹安排问题例1星期天妈妈要做好多事情。
擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。
妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。
要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。
最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。
例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。
2.排队问题例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。
怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。
甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。
甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。
甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。
总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。
人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案）
人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案）13.4最短路径问题知识要点：1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．一、单选题1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在()A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处【答案】D2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（）A．线段AB上B．线段AB的延长线上C．线段AB的反向延长线上D．直线l上【答案】A3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．【答案】D4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）A．30° B．36° C．50° D．60°【答案】A5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4B．4 C．4.8D．5【答案】C6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()A．70°B．60°C．80°D．65°【答案】A7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是()A．13 cm B．6.5 cmC．30 cm D．cm【答案】B8．如图所示，从点A到点F的最短路线是()A．A→D→E→F B．A→C→E→FC．A→B→E→F D．无法确定【答案】C9．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．125B．4 C．245D．510．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）【答案】D11．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短．．的是（）二、填空题12在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）、B（4，1），点P 在轴上，则PA+PB的最小值是______________。
八年级上册体育最短路径问题(田径赛跑)专项练习(含解析)
八年级上册体育最短路径问题(田径赛跑)
专项练习(含解析)
问题描述
在田径赛跑比赛中，有一条操场跑道，跑道由若干个直线段组成，每个直线段长度不相同。
现在需要选定一个起点和一个终点，选手在跑道上跑步。
假设选手只能走直线，且只能走上方向或右方向，即只能往右或往上走。
那么，选手从起点到终点可能的最短路径长度是多少？
解析
这道问题可以用最短路径算法解决。
我们可以使用动态规划的思想来找到最短路径。
1. 定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示从起点到坐标(i, j)的最短路径长度。
2. 假设操场跑道的起点坐标为(0, 0)，终点坐标为(m, n)，其中m和n分别表示操场的行数和列数。
3. 初始化第一行和第一列的最短路径长度。
因为在这两行或两列上，选手只能一直往右或往上走，所以最短路径长度为前一个点的最短路径长度加上当前直线段的长度。
4. 从(1, 1)开始遍历操场的每个点，计算到达该点的最短路径长度。
对于每个点，最短路径长度等于上方点和左方点中较小的路径长度加上当前直线段的长度。
5. 最后，dp[m][n]即为起点到终点的最短路径长度。
示例
假设操场的跑道如下所示，其中数字表示直线段的长度：
1 3 5
2 1 4
3 2 1
根据上述解析过程，我们可以得到一个dp数组如下所示：
1 4 9
3 4 8
6 6 9
所以，选手从起点到终点的最短路径长度为9。
以上是关于八年级上册体育最短路径问题(田径赛跑)的专项练习的文档。
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最短路径问题专题练习1. 如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有一只壁虎，它想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从点出发，沿着台阶面爬到点，至少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是．A. B. C. D.6. 如图，已知，，，要在长方体上系一根绳子连接，绳子与交于点，当所用绳子最短时，绳子的长为A. B. C. D.7. 已知蚂蚁从长、宽都是，高是的长方形纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是A. B. C. D.8. 如图所示，一圆柱高，底面半径长，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取）是A. B. C. D. 无法确定9. 如图圆柱底面半径为 cm，高为 cm，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一棉线从顶着圆柱侧面绕圈到，则棉线最短为A. cmB. cmC. cmD. cm10. 如图，点为正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.11. 如图所示是一棱长为的正方体，把它分成个小正方体，每个小正方体的边长都是 .如果一只蚂蚁从点爬到点，那么，间的最短距离满足A. B. C. D. 或12. 如图所示，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为A. B. C. D.13. 如图，点的正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.14. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”，题意是如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度是尺．15. 如图，已知圆柱体底面的半径为，高为，，分别是两底面的直径．若一只小虫从点出发，沿圆柱侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线长度是（结果保留根号）．16. 如图，圆柱形容器高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 .17. 如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 .QQ群45011622518. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要．19. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点距离点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是．20. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立在地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而到其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高是尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中的葛藤的最短的长度是尺．21. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为，若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .22. 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它爬行的最短路线的长是．23. 如图所示是一段三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，，，和是这段台阶两个相对的端点. 点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，设蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为，则以为边长的正方形的面积为 .QQ群45011622524. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要；如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，那么所用细线最短需要25. 在一个长为米，宽为米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽平行且大于，木块的正视图是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达处需要走的最短路程是米（精确到米）26. 如图为一圆柱体工艺品，其底面周长为，高为，从点出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点，则该装饰线最短长为．27. 如图，一个没有上盖的圆柱盒高为，底面圆的周长为，点距离下底面，一只位于圆柱盒外表面点处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点处吃东西，则蚂蚁需爬行的最短路程的长为．28. 图1 所示的正方体木块棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图 2 的几何体，一只蚂蚁沿着图 2 的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为．29. 一只蚂蚁沿棱长为的正方体表面从顶点爬到顶点，则它走过的最短路程为．30. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为，假若点有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线的中点处的食物，那么它爬行的最短路程是．31. 如图，圆锥的母线长是，底面半径是，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是．QQ群45011622532. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．33. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为，绕一圈升高，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为，绕一圈爬行，则爬行一圈升高多少?如果爬行圈到达树顶，则树干多高?34. 如图所示，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间相距，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少?35. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点处；①苍蝇在顶点处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为的与相切，圆心到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬行路线．若与相切，试求的长度的范围．QQ群45011622536. 如图，直四棱柱侧棱长为，底面是长为，宽为的长方形．一只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表面爬到顶点．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．37. 如图，观察图形解答下面的问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个．（3）如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿爬到处，只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?（4）的长为，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程．38. 如图，一只虫子从圆柱上点处绕圆柱爬一圈到点处，圆柱的高为，圆柱底面圆的周长为，求虫子爬行的最短路程．39. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；40. 如图一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．当＝，＝，＝时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．41. 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，如图，求它爬行的最短路线的长．42. 如图所示是一段楼梯，已知，，楼梯宽 .一只蚂蚁要从点爬到点，求蚂蚁爬行的最短路程.QQ群45011622543. 如图，一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径．（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）求点到最短路径的距离．44. 已知圆锥的底面半径为，高，现在有一只蚂蚁从底边上一点出发．在侧面上爬行一周又回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．45. 如图，是一个长方体盒子，长，宽，高．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点沿盒子表面爬到点，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?46. 图1、图2为同一长方体房间的示意图，图 3为该长方体的表面展开图．（1）蜘蛛在顶点处．①苍蝇在顶点处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中，半径为的与相切，圆心到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬行路线，若与相切，试求长度的范围．47. 如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少?48. 如图，平行四边形中，，，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点时直线上的一个动点，请计算的最小值．49. 实践操作在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点，是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．QQ群450116225（1）初步思考若点落在矩形的边上（如图①）．①当点与点重合时，，当点与点重合时，；②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时菱形的边长．（2）深入探究若点落在矩形的内部（如图③），且点，分别在，边上，请直接写出的最小值．（3）拓展延伸若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段与线段的长度相等?若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．答案1. B2. C 【解析】将台阶面展开，连接，如图，线段即为壁虎所爬的最短路线．因为，，在中，根据勾股定理，得，所以．所以壁虎至少爬行．3. C 【解析】4. B5. D6. A 【解析】 .7. B 8. B 9. B 10. C11. B 12. A 13. C 【解析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．如图，．14.15.【解析】将圆柱的侧面沿剪开并铺平得长方形，连接，如图．线段就是小虫爬行的最短路线．根据题意得．在中，由勾股定理，得，．所以．16.17.18.19.【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 1：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 2：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 3：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；，蚂蚁爬行的最短距离是．20.21.【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.如图，，，22.23.24. ，【解析】如图，依题意，得从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点时，最短距离为，此时，由勾股定理，得，即所用细线最短为．若从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，则长方体的侧面展开图的一边长由变成，即，由勾股定理，得，即所用细线最短为，或．25.【解析】由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，长为米；宽为米．于是最短路径为：米．26.【解析】沿剪开可得矩形.圆柱的高为，底面圆的周长为，，，在中， .即装饰线的最短路线长是．27.28.29.30.【解析】圆锥的底面周长是，则，即圆锥侧面展开图的圆心角是，在圆锥侧面展开图中，，，在圆锥侧面展开图中，这只蚂蚁爬行的最短距离是．31.【解析】图中扇形的弧长是，根据弧长公式得到，，即扇形的圆心角是，，.32. （1）蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和．（2）如图，．．所以蚂蚁爬过的最短路径的长是．33. （1）（2）；34. ．35. （1）①如图①，连接，线段就是所求作的最近路线．②两种爬行路线如图②所示，由题意可得：在中，；在中，．，路线更近．（2）如图③中，连接，为的切线，点为切点，．在中，有，当时，最短，取得最小值，此时，．当点与点重合时，最长，取得最大值，如图④，过点作，垂足为，由题意可得，，在中，．在中，．综上所示，长度的取值范围是．36. （1）若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为或．所以蚂蚁经过的最短路程是．（2）蚂蚁爬过的棱长依次为，，，，，，时，其路程为最长，最长路程是．37. （1）圆锥（2）扇形（3）把此立体图形的侧面展开，如图所示，为蜗牛爬行的最短路线．（4）在中，由勾股定理，得，所以．故蜗牛爬行的最短路程为．38. 如图，是圆柱的展开图，连接．由题意可知虫子爬行的最短路径为 .此时．答：虫子爬行的最短路程为．39. （1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形和 .故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径为图中的和 .（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的最短路径的长是 . 蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的最短路径的长是 .因为，所以蚂蚁爬过的最短路径的长为 .40. 如图所示，木柜的部分表面展开图示两个矩形或矩形．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径是如图的或．若爬过的路径的长是，则；若爬过的路径的长是，则 .，最短路径的长是．41. 蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图所示），得到矩形.根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是半个侧面展开图矩形对角线之长．在中，底面边长，．答：最短路程约为．42. 如图①；如图②、如图③.蚂蚁爬行的最短路程为 .43. （1）木柜的部分表面展开图如图：蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有和．（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径长为．蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径长为．，最短路径为．（3）过点作于点，连接，则．点到最短路径的长为．44. 设扇形的圆心角为，圆锥的顶点为，，．由勾股定理可得母线，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为，．即是等腰直角三角形，由勾股定理得：．答：蚂蚁爬行的最短距离为．45. （1）蚂蚁从点爬到点有三种可能，展开成平面图形如图所示，由勾股定理计算出的值分别为，，，比较后得最小为，即最短路线的长是．，即能容下的最长木棒的长度为．46. （1）①如图所示线段为最近路线.②将长方体展开，使得长方形和长方形在同一平面内，如图.在中，，，，．将长方体展开，使得长方形和长方形在同一平面内，如图.在中，＝，＝，＝，＝＋＝＝ .往天花板爬行的最近路线更近.（2）过点作于，连接，，， .半径为的与相切，圆心到边的距离为，，，， .根据勾股定理可得，，．与相切于点，， .．当时，；当时，．长度的范围是．47. 如图1所示：由题意得：，，在中，由勾股定理得，如图2所示：由题意得：，，在中，由勾股定理得：，．第一种方法蚂蚁爬行的路程最短，最短路程是．48. （1）将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，，， .，...四边形是菱形.，，.四边形是菱形.（2）四边形是菱形，与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过点作于 .，，，， ...的最小值为．49. （1）①；②翻折的性质，，，四边形是矩形，，，，，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，当时，菱形边长为．，，（2）．（3）存在，．最短路径问题专题练习1. 如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有一只壁虎，它想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从点出发，沿着台阶面爬到点，至少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.正方形专题练习1、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了一道题，从下列四个条件：①；②；③；④中选出两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现有下列四种选法，你认为其中错误的是A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④2、，大正方形中有个小正方形，如果它们的面积分别是，，那么，的大小关系是A. B.C. D. ，的大小关系不确定3、如图，在正方形和正方形中，点在上，，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则A. B. C. D.4五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，，分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为A. B. C. D.旋转专题练习1. 如图，在矩形中，已知，，将矩形绕着点在桌面上顺针旋砖至，使其停靠在矩形的点处，若，则点的运动路径长为（1题）（2题A. B. C. D.2. 在中，，，把这个直角三角形绕顶点旋转后得到，其中点正好落在上，与相交于点，那么等于A. B. C. D.3. 在锐角中，，，（如图），将绕点按逆时针方向旋转得到（顶点、分别与、对应），当点在线段的延长线上时，则的长度为 QQ群450116225（3题）（4题）A. B. C. D.4. 边长一定的正方形，是上一动点，交于点，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值．其中一定成立的是11.抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。