高中数学竞赛 不等式

高 中 数 学 竞 赛 不等式 有答案

1．不等式的概念与性质 【一】知识要点

1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用性质正确、迅速地对不等式进行转换。

2．在利用不等式的性质时，应特别注意条件的限制。

【二】解题指导 例1： 若610≤≤a ，

1

2

2a b a ≤≤，c a b =-，求c 的取值范围。

例2：设c d R ,∈+，且c d a +≤，c d b +≤，证明：ca db ab +≤

例3：已知函数f x ax c ()=-2满足-≤≤-411f ()，-≤≤125f () 求证：-≤≤1320f ()

【三】巩固练习 一、选择题

1、下列四个命题：

（1）若ax b >，则x b a

>；

（2）若a x a y 22>，则x y >；

（3）若()()a x a y 2211+>+，则x y >； （4）若x

a y a 22

>，则x y >。

其中正确的命题的个数是

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

2、若a b ,是任意实数，且a b >，则

（A ）a b 22> （B ）b a

>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）b a )2

1()21(< 3、若a b >+1，下列各式中正确的是 （A ）a b 22> （B ）

a

b

>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）lg lg a b > 4、已知a b <-<<010,，则下列不等式成立的是

（A ）a ab ab >>2 （B ）ab ab a 2>> （C ）ab a ab >>2 （D ）ab ab a >>2 5、若x y z ,,均为大于-1的负数，则一定有 （A ）x y z 2220--< （B ）xyz >-1

（C ）x y z ++<-3 （D ）()xyz 21> 6、当a b c >>时，下列不等式成立的是

（A ）ab ac > （B ）a c b c ||||> （C ）||||ab bc > （D ）()||a b c b -->0 二、填空题

1、已知a b c R ,,∈，且a c b <<，则c ab 2+ ()a b c +（用不等号连结）。

2、设x >1，-<<10y ，试将x y y xy ,,,-- 。

3、设a b m n >>>>000,,，则

a b b a b m a m a n b n

,,,

++++按由小到大的顺序排列

为 。 三、解答题

1、设6084<

的范围。

2、若45<

2

3a b a ≤≤，c a b =+，求c 的取值范围。

3、已知函数f x ax bx ()=+2满足-≤

-≤112f ()，214≤≤f ()

求f ()-2的范围。

2．不等式的证明（比较法） 【一】知识要点

1．比较法是证明不等式常用的方法之一，主要有作差比较法和作商比较法两种。在使用作商比较法时必须考虑符号。 2．比较法证明不等式有作差（作商）、变形和判断三个步骤。因式分解和配方法是变形的主要手段。 【二】解题指导 例

1：设a b >>00,，证明：a b b a

a b 22

+≥+

例2：设a b c R ,,∈+，且ab bc ca ++=1，求证：a b c ++≥3

例3：设a b R ,∈+，证明：a b ab a b a b ≥+()2

例4：若10<-

【三】巩固练习 一、选择题

1、设2,2>>b a ，则

（A ）b a ab +> （B ）b a ab +< （C ）b a ab += （D ）

1>b

a

2、若)

1()

1(32log ,log ,10+-+-==<

a a a Q P a ，则P 与Q 的大小关系是 （A ）P >Q （B ）P

（A ）B A ≥ （B ）B A ≤ （C ）B A > （D ）B A < 4、已知下列不等式：

①x x 232>+ ②322355b a b a b a +≥+ ③)1(222--≥+b a b a 其中正确的不等式的个数为

（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 5、设正数d c b a ,,,满足c b d a +=+，且||||c b d a -<-，则

（A ）bc ad = （B ）bc ad > （C ）bc ad < （D ）bc ad ,的大小不确定 6、设b a R m b a >∈+,,,，则 （A ）

m

a m

b a b ++>

（B ）

m

a m

b a b ++=

（C ）

m

a m

b a b ++<

（D ）

m

a m

b a b ++,

的大小关系不确定 二、填空题

1、已知c b a <<，且0=++c b a ，则ac b 42-与0的大小关系是 。

2、若01,0<<-

3、若02<+x x ，则22,,x x x -的大小关系是 。 三、解答题

1、证明：33322b a b a +≥+

2、设N n R b a ∈∈+

,,，求证：

b

a b a a b n

n n

n 1111+≥

+

--

3、设∆ABC 的三边分别为c b a ,,，求证：)(4)(2ca bc ab c b a ++<++。