高中数学竞赛 不等式
不等式高中数学竞赛标准教材
第九章不等式(高中数学竞赛标准教材)第九章不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b a-b>0；（2）a>b, b>ca>c；（3）a>b a+c>b+c；（4）a>b, c>0 ac>bc；（5）a>b, c<0 ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0 ac>bd; （7）a>b>0, n∈N+ an>bn; （8）a>b>0, n∈N+ ; （9）a>0, |x|<a -a<x<a, |x|>a x>a或x<-a; （10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b∈R，则(a-b)2≥0 a2+b2≥2ab; （12）x, y, z∈R+，则x+y≥2 , x+y+z 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2 ≥0，所以x+y≥ ，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥ ，等号当且仅当x=y=z时成立。
高中数学竞赛解题方法篇不等式
高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式,平均值不等式,柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程,并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解; 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助;不等式在数学中占有重要的地位,由于其证明的困难性和方法的多样性,而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中,常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤,则有1211...n n n a b a b a b -+++ 倒序积和 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++乱序积和1122 ...n n a b a b a b ≤+++顺序积和其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列,等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.说明： 本不等式称排序不等式,俗称倒序积和乱序积和顺序积和.证明：考察右边不等式,并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++;不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时,S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此,首先证明n a 必须和n b 搭配,才能使S 达到最大值.也即,设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ 1-1事实上,不等式1-1告诉我们当nr n <时,调换n b 和n r b 的位置其余n-2项不变,会使和S 增加.同理,调整好n a 和n b 后,再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后,和S 达到最大值1122 ...n na b a b a b +++,这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端,得即 1211...nn n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 美国第3届中学生数学竞赛题设a,b,c 是正数,求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数,再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥,则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：以上两式相加,两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈,求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和,将它们拆开,再用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥,则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式,有 两式相加除以2,得 再考虑333ab c ≥≥,并且111bc ca ab≥≥利用排序不等式, 两式相加并除以2,即得 综上所述,原不等式得证. 例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤,而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.求证：1111r snnn ni j r sr s r s a b a b r sr s====≥++∑∑∑∑. 1-2 思路分析：已知条件中有两组有序实数,而式1-2具有“积和”形式,考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑r=1,2,...,n显然 12...n d d d ≥≥≥因为 12...n b b b ≤≤≤ , 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑注意到r a ≥0 故11111r ssrnnn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑故 原式得证. 2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数,则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中,121()111...nH n a a a =+++,()G n ,12...()na a a A n n+++=,分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数,几何平均数,算术平均数,均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c =令 i ia b c=,则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式,易证下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n +++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道,当且仅当12...n a a a ===时,不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ,应用 ()()G n H n ≤,得即 ()()H n G n ≤等号成立的条件是显然的. 例4已知2201,0a x y <<+=,求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<,0,0xy a a >>,有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ , 即 14x y +≤; 又因为 2111()244x y x x x +=-=--+≤,等号在x=12这时y=14时取得所以 1log ()log 28x ya a a a +≤+ .例5IMO 设a,b,c 是正实数,且满足abc=1.证明：111(1)(1)(1)1a b c b c a -+-+-+≤ 证明：令 ,,y y za b c x z x===,其中x,y,z 是正实数,将原不等式变形为()()()x y z y z x z x y xyz -+-+-+≤ 2-1记 ,,u x y z v y z x w z x y =-+=-+=-+,注意到u,v,w 任意两个之和是一个正数,所以它们中间至多有一个负数. 如果恰有一个负数,那么0uvw xyz ≤<,2-1式成立.如果这三个数都大于0,由算术—几何平均不等式 同理可证yz ≤ 于是xyz ≤即 uvw xyz ≤,2-1式得证.例6 已知12,, 0a a a >,且12...1n a a a +++=.求证：1223131211...1...1 (21)n n n n a a a na a a a a a a a a n -++≥++++++++++++-.思路分析：左边各项形式较复杂,首先将其化简为112(1)22nni i i i ia a a ===---∑∑. 左边为和的形式,但其各项之和难与右边联系,利用算术平均大于几何平均难以求证,而左边各项22ia -可看为倒数形式,尝试用调和平均. 证明：不等式左边化为112(1)22nni i i i i a a a ===---∑∑, 对12222,, (222)a a a ---,利用()()A n H n ≥有即 22211221122122ni ni i i a n n n n n n a ==-≥==---∑∑ 所以 2111222(1)22221nn ni i i i i i i a a n n n a a n ===-=-=-≥----∑∑∑21n n =- . 3．柯西不等式成立.构造二次函数证明 当021====n a a a 或021===n b b b 时,不等式显然成立先用数学归纳法证明如下恒等式,然后证明柯西不等式：对于两组实数n n b b b a a a ,,,;,,,2121 有柯西—拉格朗日恒等式 由实数性质()R ∈≥αα02可得柯西不等式成立;以上给出了柯西不等式的几种证法;不难看出柯西不等式的重要性;它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱;所以,若将此定理作进一步剖析,归纳它的各类变形,将会有更多收获; 柯西不等式的推广 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛,则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221;证明：∑∑==ni in i ib a 1212, 收敛,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛,且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni in n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立;命题23若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛,且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221,则对定义在[]b a ,上的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续,所以函数()()()()x g x f x g x f 22、、与在[]b a ,上可积,将[]b a ,区间n 等分,取每个小区间的左端点为i ξ,由定积分的定义得：令()()12211221,ξξg b f a==,则∑∑==ni in i i b a 1212与收敛,由柯西不等式得()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===ni i n n i i n ni i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 121221121221lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222;例7 设12,,...,n x x x R +∈,求证：222211212231......n n n n x x x x x x x x x x x -++++≥+++.思路分析：注意到式子中的倒数关系,考虑运用柯西不等式来证明. 证明：因为12,,...,nx x x >0,故由柯西不等式,得所以 222211212231......n n n n x x x x x x x x x x x -++++≥+++.例8 已知实数,,,a b c d ,e 满足222228,16a b c d e a b c d e ++++=++++=,求e 的取值范围.思路分析：由22222ab c d e ++++联想到应用柯西不等式.解：因为222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++即 224(16)(8)e e -≥-,即 25160ee -≤,所以(516)0e e -≤,故605e ≤≤. 评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值,十分典型,它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目. 例9 123,,x x x R +∈满足2221231x x x ++=,求312222123111x x x x x x ++---的最小值.解：容易猜到123x x x ===,312222123111x x x x x x ++---取最小值2. 为了证明这一点,利用柯西不等式,得3333222111.(1)11i i i i i i i i x x x x x ===-≥=-∑∑∑, 只需要证明3321(1)i i i x x =-≤∑等价于335311i i i i x x ==+≥∑∑ 3-1由几何—算术平均不等式,得25311x x +≥=,同理可证25322x x ≥=,25333x x +≥=, 以上三式相加,3-1式得证,进而证得312222123111x x x x x x ++---当且仅当123x x x ===时;评述：柯西不等式中的i ia b ∑的项i ia b 如何拆成两个因式ia 和ib 的积,可以说是应用此不等式的主要技巧上例3321(1)i ii x x=-≤∑,我们将321ii x=∑中的2i x表示为的积,正因为i i a b 可以按照我们的需要加以分解,柯西不等式的应用更为广泛. 例10 试问：当且仅当实数01,,...,(2)n x x x n ≥满足什么条件是,存在实数01,,...,ny y y 使得2222012...n z z z z =+++成立,其中k k k z x iy =+,i 为虚数单位,k=0,1,…,n. 证明你的结论.高中联赛,1997思路分析：将2222012...n z z z z =+++成立转换到实数范围内求解;根据表达式的特点,结合柯西不等式寻找(1,2,...,)i x i n =的范围.解：将2222012...n z z z z =+++转化到实数范围内,即22220011001,n nk k k k nk k k x x y y x y x y ===⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑ 3-2若存在实数01,,...,n y y y 使3-2成立,则22201()nk k k x y x y ==∑.由柯西不等式可得 222211()()nnk k k k xy x y ==≤∑∑ 3-3 如果2201nkk xx=>∑,由3-2可知2201nk k y y =>∑,从而222211()()nnkk k k x y x y ==>∑∑与 3-3矛盾 于是得 2201nk k xx =≤∑ 3-4反之若3-4成立,有两种情况：⑴2201nk k xx ==∑,则取k k y x =,k=0,1,2,…,n,显然3-2成立.⑵2201nkk xx=<∑,记222010nk k ax x ==->∑,则1,...,n x x 不全为0. 不妨设0nx ≠,取0,0,1,2,...,2k y k n ==-,并且取1n n y y -==易知3-2成立.综上,所求的条件为 2201nk k xx =≤∑.4．切比雪夫不等式定理4 设12,,...,n x x x ,12,,...,n y y y 为任意两组实数,若12...n x x x ≤≤≤且12...n y y y ≤≤≤或12...n x x x ≥≥≥且12...n y y y ≥≥≥,则 111111()()n n ni i i i i i i x y x y n n n ===≥∑∑∑ 4-1 若12...n x x x ≤≤≤且12...n y y y ≥≥≥或12...n x x x ≥≥≥且12...n y y y ≤≤≤,则 111111()()n n ni i i i i i i x y x y n n n ===≤∑∑∑ 4-2 当且仅当12...n x x x ===或12...n y y y ===时,4-1和4-2中的不等式成立.证明： 设1212,,...,,,,...,n n x x x y y y 为两个有相同次序的序列,由排序不等式有…………把上述n 个式子相加,得 111()()n n nii i i i i i n x y x y ===≥∑∑∑ 上式两边同除以2n ,得 111111()()n n ni i i i i i i x y x y n n n ===≥∑∑∑ 等号当且仅当12...n x x x ===或12...n y y y ===时成立. 例 10 设0(1,2,...,)ia i n >=, 求证：12121(...)1212...(...)n n a a a a a a n n n a a a a a a +++≥证明：不妨令 12...0n a a a ≥≥≥>,则12lg lg ...lg n a a a ≥≥≥ 由切比雪夫不等式,有11221212lg lg ...lg 1(...)(lg lg ...lg )n nn n a a a a a a a a a a a a n+++≥++++++ 即 12121(...)1212lg(...)lg(...)n n a a a a a a n n n a a a a a +++≥ 从而证得 12121(...)1212...(...)n n a a a a a a n n n a a a a a a +++≥.例11 已知1211...0,...0n n n a a a b b b -≥≥≥>≥≥≥>.求证： 111n i ni i ni i i i a b n a b===≥∑∑∑. 证明：取,i i i i x a y b ==,则由2211...0,...0n n n a a a b b b -≥≥≥>≥≥≥>, 可知i x ,i b 满足切比雪夫不等式的条件,故又由均值不等式,正数12,,...,n b b b 的调和平均数不大于它们的算术平均数, 即 111n i i n i i b n n b ==≤∑∑.其中等号仅在12...n b b b ===时成立.这样就有 1111n i n i i ni i i i a b n a b===≥∑∑∑, 即 111n i ni i ni i i i a b n a b ===≥∑∑∑, 而且等号仅在12...n b b b ===时成立.。
全国高中数学联赛一试常用解题方法之基本不等式法
全国高中数学联赛一试常用解题方法八、基本不等式法 方法介绍基本不等式法是指利用基本不等式求解数学问题的方法.中学数学竞赛中常见的基本不等式有：(1)平均值不等式； (2)柯西不等式； (3)绝对值不等式；(4)函数的单调性的应用. 例题精讲例1设P 是椭圆192522=+x y 的任意一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，试求||||21PF PF ⋅的取值范围.注：设n PF m PF ==||,||21，则10=+n m ，由焦半径公式得9,1≤≤n m ， 所以25)10(||||21≤-==⋅m m mn PF PF ，当5==n m 时等号成立. 例2数列}{n a 定义如下：1,51,2411≥+==+n a a a a nn n .求证：对任意1>n ，均有251<<n a . 注：由条件可知对任意0,1>≥n a n ，51155145154331>⨯≥+=+n n n a a a . 另一方面，当2=n 时，210172<=a .设k n =时，有2<k a .若21<≤k a ，则1+k a 21515815153<⨯+<+=k k a a ；若151<<k a ，则25151********<⨯+<+=+k k k a a a .所以总有21<+k a .下略.例3已知523≤≤x ，求证：1923153212<-+-++x x x .注：利用公式151521522211521a a a a a a +++≤+++ （平方平均值），可得左边15931531632441815331534324418x x x x x x -⨯+-⨯++⨯≤-⨯+-⨯++⨯= 1921541915<⨯==右边. 另法1：利用公式33232221321a a a a a a ++≤++，可得 左边193963913)315()32()1(31<+<++=-+-++++≤x x x x x ，下略.另法2：利用公式22222121a a a a +≤+，可得 左边2)315()32(212)31532(12x x x x x x -+-++≤-+-++=1921422)26()1(42612≤+=-++≤-++=x xx x x . 另法3：利用柯西不等式，可得左边192)14(4)3153211)(1111(≤+=-+-+++++++x x x x x .例4设λ是给定的正数，若对所有非负实数y x ,均有222)(y x c xy y x +≥++λ，求实数c的最大值.注：(1)若2≥λ，则22222)(2y x xy y x xy y x +=++≥++λ，当0=x 或0=y 时取等号，此时c 的最大值为1； (2)若20<<λ，则222222)2(42)2)(2()()2()(y x y x y x xy y x xy y x ++=+--+≥--+=++λλλλ， 当y x =取等号，此时c 的最大值为42λ+. 例5设实数c b a ,,满足2332222=++c b a ，求证：12793≥++---c b a .注：由柯西不等式得[]9)3()2()1()321()32(2222222=⋅+⋅+⋅++≤++c b a c b a ，所以332≤++c b a ，故133332793333)32(=≥≥++-++----c b a c b a . 例6设βα,为锐角，且)sin(sin sin 22βαβα+=+，求证：2πβα=+.注：由βα,为锐角得0)cos(>-βα，又=+)sin(βα)cos()cos(1sin sin 22βαβαβα-+-=+（*）于是0)cos()sin(1)cos(≥-+-=+βαβαβα，故)cos()cos(0,2||0βαβαπβα-<+≤≤-≤，代入（*）式得，)(sin )(cos 1)sin(022βαβαβα+=+-≤+≤，所以1)sin(≥+βα，只能是2,1)sin(πβαβα=+=+.另法：若2πβα>+，则0c o s )2s i n (s i n ,2>=->->ββπαβπα，同理0cos sin >>αβ，故)sin(sin cos cos sin sin sin 22βαβαβαβα+=+>+，与)si n(si n si n 22βαβα+=+矛盾，所以2πβα=+.例7已知不等式632sin 2cos sin 6)4cos()32(2+<-++-+a a θθθπθ对于]2,0[πθ∈恒成立，求a 的取值范围.注：设x =+θθcos sin ，则x x x 22)4cos(,12sin ],2,1[2=--=∈πθθ，从而原不等式可化为0436322,63)1(26)32(22>++---+<--++a xx ax x a x x x a ，也即为 0)2(3)2(2>-+--+a x x a x x x ，故0)2)(32(>-+-a x x x ，故02,032<-+<-a xx x ，即02<-+a xx 对]2,1[∈x 恒成立，从而只要max )2(x x a +>，又容易证明x x x f 2)(+=在]2,1[∈x 上递减，所以3,3)2(max >=+a xx .例8设1,0,,=++≥z y x z y x .求证：311)2(11)2(11)2(11827222≤+-++-++-≤x z z y y x .注：因为z z z z z y x ++-=+-=--=+-1131)1)(3(4)1(44)2(1122，所以原不等式等价于311)313131()111111(827≤-+-+-++++++≤z y x z y x ，由柯西不等式得 []49111111,9)1()1()1()111111(≥+++++≥++++++++++z y x z y x z y x ； []89313131,9)3()3()3()313131(≥-+-+-≥-+-+--+-+-z y x z y x z y x . 又z z y y x x 21111,21111,21111-≤+-≤+-≤+， 故25)(213111111=++-≤+++++z y x z y x . 又)2(6131),2(6131),2(6131z z y y x x +≤-+≤-+≤-， 故67)(611313131=+++≤-+-+-z y x z y x . 下略.例9求函数25501022+++-=x x x y 的值域.注：222255)5(+++-=x x y ，设),5,(),5,5(x OB x OA =-=由55||||||=+≥+知，55≥y ，等号当,同向取到，此时25=x . 说明：本题亦可构造距离求解.例10已知c b a ,,为实数，函数c bx ax x f ++=2)(，当10≤≤x 时，1|)(|≤x f . 求||||||c b a ++的最大值.注：因c b a f c b a f c f ++=++==)1(,42)21(4,)0(， 故)0(3)1()21(4),0(2)21(4)1(2f f f b f f f a --=+-=，=++||||||c b a |)0(||)0(3)1()21(4||)0(2)21(4)1(2|f f f f f f f +--++-|)0(||)0(|3|)1(||)21(|4|)0(|2|)21(|4|)1(2|f f f f f f f ++++++≤17|)0(|6|)21(|8|)1(|3≤++≤f f f .当1)21(,1)0()1(-===f f f ，或1)21(,1)0()1(=-==f f f ，即1,8,8=-==c b a 或1,8,8==-=c b a 或1,8,8=-=-=c b a 时，上式中的两个""≤同时取到.例11将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S ，求S 达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）.注：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有!8种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有2!8种.下求使S 达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣统两条路径，对其中任一条路径，设k x x x ,,,21 是依次排列于这段弧上的小球号码，则8|91||)9()()1(||9||||1|211211=-=-++-+-≥-++-+-k k x x x x x x x x ，取等号当且仅当9121<<<<<k x x x ，即每一段弧上的小球编号都是由1到9递增排列，因此1682min =⨯=S .由上知，当每个弧段上的球号}9,,,,,1{21k x x x 确定之后，达到最小值的排列方案便惟一确定.在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们对应为两个子集，元素较少的一个子集共有6372717072=+++C C C C 种情况，每种情况对应圆周上使S 达到最小的惟一排法，即有利事件总数有62种，故所求概率为31512!826==P . 同步操练1．设0,|,lg |)(>=b a x x f ，且b a ≠，则下列关系中不可能成立的是（ ）A.)2()()2(b a ab f ab f b a f +>>+ B. )()2()2(ab f ba fb a ab f >+>+ C. 2()()2(b a f ab f b a ab f +>>+ D. )2()2()(b a f b a ab f ab f +>+>注：利用函数|lg |)(x x f =的图象及ba abab b a +>>+2)2，选D . 2．使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是 .注：由柯西不等式得6)63)(11()63(2=-+-+≤-+-x x x x ，当29=x 时取到等号，因原不等式有解，故6≤k .3．给定正数c b a q p ,,,,，其中q p ≠，若q a p ,,是等比数列，q c b p ,,,是等差数列，则一元二次方程022=+-c ax bx 的根的情况是 .注：由题意得b q c c p b a pq +=+==2,2,2，于是32,32q p c q p b +=+=，进而可得232323232a pq pq q p q p q p bc ==⋅≥+⋅+=，于是0,2<∆>a bc ，无实根.4．直线134=+yx 与椭圆191622=+y x 相交于B A ,两点，该椭圆上点P 使得ABP ∆的面积等于3，则这样的点P 共有 个.注：设)20)(sin 3,cos 4(πααα<<P ，即点P 在第一象限的椭圆上，考虑四边形PAOB 的面积)4sin(26)cos (sin 6)sin 4(321)sin 3(421πααααα+=+=⨯+⨯=+=∆∆OBP OAP S S S ，所以)4(26max π==x S ，因64321=⨯⨯=∆AOB S ，所以PAB S ∆的最大值为3)12(6<-，故点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P 满足条件.5．已知y x ,都在区间)2,2(-内，且1-=xy ，则函数229944yx u -+-=的最小值为 . 注：消去y 之后，可得)49(3735122xx u +-+=，求得函数u 的最小值为512.6．已知正实数b a ,满足1=+b a ，则b a M 2112+++=的整数部分是 . 注：因10<<a ，故8)42(2)211(2)211(2222<+-=+++≤+++a a b a b a ，又22112>+++b a ，所以M 的整数部分是2.7．用一张长16厘米、宽10厘米的矩形铁皮，四角各截去一个正方形，折成一个无盖铁盒，由此铁盒的最大容积是 .注：设正方形边长为)50(<<x x （单位：厘米），则x x x V 3)210)(8(32⋅--=， 于是144]33)210()8([323=+-+-≤x x x V ，当2,32108==-=-x x x x 时等等号成立，故最大容积为144立方厘米.8．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f ，且对任意R x ∈，都有1)()1(,5)()5(+≤++≥+x f x f x f x f ，若x x f x g -+=1)()(，则=)2012(g . 注：由x x f x g -+=1)()(得1)()(-+=x x g x f ，所以,1)1()()1()1(,5)1()(1)5()5(+-+≤-++++-+≥-+++x x g x x g x x g x x g 即)()1(),()5(x g x g x g x g ≤+≥+，所以)()2()3()4()5()(x g x g x g x g x g x g ≤+≤+≤+≤+≤，所以)()1(x g x g =+， 即)(x g 是以1为周期的周期函数，又1)1(=g ，故1)2012(=g .9．函数112424+--++=x x x x y 的值域为 .注：构造向量)23,21(),23,21(22-=+=x x ，则||||y -=，而)0,1(=-，又q p ,不同向，所以11,1||||||||<<-=-<-=y q p q p y ；另一方面222222)23()21()23()21(+-≥++x x ，故0≥y ，于是值域为]1,0[.10．过定点)1,2(P 作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于B A ,，使A O B ∆的面积最小，则l的方程为 .注：设直线1=+bya x ，则ab b a 22121≥+=，等号在2,4==b a 时取到，所以使AOB ∆面积最小的直线方程为042=-+y x .11．在ABC ∆中，c b a ,,是角C B A ,,的对边，且满足2222c b a =+，则角C 的最大值是 .注：2142cos 22222≤+=-+=ab b a ab c b a C ，当c b a ==时，等号成立，故3π≤∠C .12．设1122)(----=x x x f ，若20πθ≤≤时，0)22()sin 2(cos 2<--++m f m f θθ恒成立，则实数m 的取值范围是 .注：易知)(x f 为奇函数，又)(x f 在R 上是增函数，故22sin 2cos 2+<+m m θθ，令θsin =t ，则)10(0)12(22≤≤>++-t m mt t 恒成立，即)1()1(22+->-t t m . 当1=t 时，R m ∈；当10<≤t 时，]12)1[(2)(2t t t h m -+--=>，由函数x x x g 2)(+=在]1,0(上递减，知当0=t 时1)(max -=x h ，于是得21->m .综上所述，21->m .13．设*,321N n n S n ∈++++= ，求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值为 .注：)8(50134641)2)(32()32()(1f nn n n n S n S n f n n =≤++=++=+=+. 14．设椭圆16222=+y x 有一个内接PAB ∆，射线OP 与x 轴正向成3π角，直线BP AP ,的斜率适合条件0=+BP AP k k .(1)求证：过B A ,的直线的斜率k 是定值； (2)求PAB ∆面积的最大值.注：(1)直线x y OP 3:=，代入6322=+y x ，得)3,1(P ，设直线PB PA ,的方程分别为)1(3),1(3-=---=-x k y x k y ，得3332,33322222+--=+-+=k k k x k k k x B A ，从而3)632(,3)632(22+---=+--=k k k y k k k y B A ，于是3=AB k 为定值. (2)设直线AB 方程为b x y +=3，故0)6(32622=-++b bx x ，1634||22+-=b AB ，而点P 到直线AB 的距离为2||b d =，于是3)12(12222≤-=∆b b S PAB ，当2212b b -=，即6±=b 时，取到最大值3.15．已知βα,是方程)(01442R t tx x ∈=--的两个不等实根，函数12)(2+-=x t x x f 的定义域为],[βα.(1)求)(min )(max )(x f x f t g -=；(2)证明：对于)3,2,1)(2,0(=∈i u i π，若1sin sin sin 321=++u u u ，则643)(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g .注：(1)设βα≤<≤21x x ，则0144,0144222121≤--≤--tx x tx x ， 因此021)(2,02)(4)(42121212221<-+-≤-+-+x x t x x x x t x x ，又0212)(22)(21212121>+-+>+-+x x x x t x x x x t ， 于是0)1)(1(]22)()[()()(212221211212>+++-+-=-x x x x x x t x x x f x f ， 故函数)(x f 在区间],[βα上是增函数.因41,-==+αββαt ，故)()()(min )(max )(αβf f x f x f t g -=-=，即2516)52(181625)25(11)]22()[()(2222222222+++=+++=++++-+-=t t t t t t t t g αβαββααβαβ. (2)因ii i i i i i i i u u u u u u u u u g 222222cos 916616cos 91624162cos 916cos 24cos 1625tan 16)5tan 2(1tan 8)(tan +=+⨯≥++=+++= 故∑=+≤++312321)cos 916(6161)(tan 1)(tan 1)(tan 1i i u u g u g u g )sin 939316(6161312∑=-⨯+⨯=i i u . 因)2,0(,1sin312π∈=∑=i i i u u ，故1)sin (sin 3231312=≥∑∑==i i i i u u ，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，所以643)31975(6161)(tan 1)(tan 1)(tan 1321=⨯-<++u g u g u g .。
高中数学竞赛中不等式的解法
证明 ：不妨设 a b c ，则有 lg a lg b lg c
根据排序不等式有：
a lg a b lg b c lg c alg b b lg c c lg a
a lg a blg b c lg c a lg c b lg a c lg b
以上两式相加，两边再分别加上
高中数学竞赛中不等式的解法
摘要 ：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并
挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型
1 ( a1
a2
...
an )2
n
所以
a1 a2 ... an
a12 a22 ... an2 .
n
n
从上述证明知道，当且仅当 a1 a2 ... an 时，不等式取等号 .
下面证明 H (n) G (n)
对 n 个正数
11 1 , ,..., ，应用
G ( n)
H (n) ，得
a1 a2
an
1 1 ... 1
求证：
n
a b n ir js
r 1s1 r s
n n ar bs . r 1s 1r s
（1-2 ）
思路分析 ：已知条件中有两组有序实数，而式（ 1-2 ）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式 .
证明 ：令 dr
b n js
（ r= 1,2,..., n ）
s1r s
显然 d1 d 2 ... dn
高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)
（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。
高中竞赛之重要不等式精简版
高中竞赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）定理1 对任意实数组,(1,2,,)i i a b i n = 恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当 时成立。
本不等式称为柯西不等式。
证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1左=2212ni i i i j j i i ja b a b a b =≠+∑∑ ∴右-左=当且仅当 时，等式成立。
柯西不等式的两个推论：ⅰ．设同号（），则当且仅当 时取等号。
ⅱ．若，且，则（分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。
3次可以推广为4、5等n 次。
3333333333123123123111222333(a +a +a )(b +b +b )(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) ≥证明:对333333123123(a +a +a )(b +b +b )和3333123111222333(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式 设，，…，； ，，…，是两组正数，0k >且1k ≠ ，则（ ）（）当且仅当1212n na a ab b b === 时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。
若记，，则上式为特例：多个根式可转化为一个根式。
赫尔德不等式 已知 （ ）是 个正实数， ，则上式中若令12αβ== ， ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。
2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）设n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有∑∑∑===-+≤≤ni i i n i t i ni in i b a b a ba i 1111．即“反序和”≤“乱序和”≤“同序和”．其中{}{}n t t t n ,,2,1,,,21 =．当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立． 〔切比雪夫不等式〕实数i a ，i b 满足n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21（1=i ，2，…，n ）．则∑∑∑∑=-+===≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥ni i n i n i i n i i n i i i b a n b n a n b a n 111111111． 当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立． 下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解。
高中数学联赛不等式专题练习(带答案详解,word精校版)
高中数学联赛不等式专题练习（带答案详解）一、解答题1．已知a ，b 为正数，且a b2112a b a b+>>>+. 【答案】证明见解析 【分析】如图所示，可先构造Rt ABC △，再构造Rt BCD ，最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，由图形直观得AB BC BD BE >>>，即得证. 【详解】=可先构造Rt ABC △，使得2a b BC +=，2a bAC -=，如图所示.此时，AB =再以2a b BC +=为斜边，2a bCD -=为直角边构造Rt BCD ，则BD ===最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，过点D 作DE BC ⊥'交BC '于点E ，由2BD BE BC =⋅'得22112BD BE BC a b==='+， 由图形直观得AB BC BD BE >>>，2112a ba b+>>>+.2．已知：0a>，0b>，1a b+=.2≤.【答案】证明见解析.【分析】构造一个直角三角形，图所示）cos)2αα+≤,即得证.【详解】证明：为了使得条件1a b+=与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形：11222a b⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而有222+=.①.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件1a b+=.由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”，而有不等式.至于这个双联不等式的右边部分，也可由图，并根据直角三角形的边角关系知αα=.cos)24πααα⎛⎫+=+≤⎪⎝⎭∴2≤成立.3．设x，y，0z>1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.【答案】证明见解析. 【详解】等价于已知x ，y ，0z >，1x y z ++=，证：()8445221x y z x y z +≥+∑， 由三元均值不等式有()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()84444622()x y z x y xyz yx ∏+⎛⎫=∏+ ⎪⎝⎭，所以有()()8446653()()xy z x y xyz xyz ++≥∏∏，则可知()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()()()866444444322()893xy x y x xyxyz xxy++≥≥≥+∏∏∑∑∑∏，则有()844522x y z x y z+≥+∑1x y z =++≥∴≥又13，所以()8445221x y z x y z +≥+∑, 所以原不等式成立.4．对每一个正整数2n ≥，求最大的常数n c 使得不等式1nn i i j i i jc a a a =<≤-∑∑对任意满足10nii a==∑的实数12,,,n a a a 成立．【答案】2n【详解】首先，我们证明2n n c ≤；若n 为偶数，设2n k =，取1121,1k k k a a a a a +=======-，此时21,2nii j i i jan a a k =<=-=∑∑．所以2122iji jn nii a ak n c k n a<=-≤===∑∑． 若n 为奇数，设21n k =+，取121221,11k k k ka a a a a k +++=======-+，此时1(1)121ni i k a k k k k ==++⋅=+∑，(1)1(21)1i j i j k a a k k k k k <⎡⎤⎛⎫-=++=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑． 所以1(21)21222iji jn nii a ak k k nc k a<=-++≤===∑∑，所以对n +∈Z 均有2n n c ≤． 下面我们证明2n nc =满足条件，即12ni i j i i jn a a a =<≤-∑∑．又()1112(1)n n ni j i j i j i j i ji j ii j ii j ia a a a a a n a a <=≠=≠=≠-=-≥-=--∑∑∑∑∑∑∑．因为10n i i a ==∑，所以0i j j ia a ≠+=∑．所以112(1)n ni j i i i i j i i a a n a a n a <==-≥-+=∑∑∑，得证．所以n c 的最大值为2n．5．已知正实数12,,,(2)n a a a n >满足121n a a a +++=．证明：23131212121222(1)n nn n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+--．【答案】证明见解析. 【详解】当4n ≥时，由平均值不等式知1111111n nn j i nj i jj j ia a a a n n --==≠⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭∑∏．又111i a n -<-，则131111n i i a a n n ---⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以 231312112222n n n n a a a a a a a a a a n a n a n -++++-+-+-()()3311(1)2ni i ia n a n =-≤-+-∑ 33321(10)1(1)(02)(1)(2)(1)ni n n n n n n =-<=≤-+----∑．当3n =时，即证312311(1)4=≤+∑i i i a a a a a ． 由于()()()()11123121311111111411a a a a a a a a a ⎛⎫=≤+ ⎪+-+---⎝⎭，所以3112131111()(1)4(1)(1)=≤++--∑∑i iia a a a a a()()2131111411a a a a ⎛⎫=+⎪--⎝⎭∑ ()2323123111414a a a a a a a +==-∑∑，所以31231111(1)44=≤=+∑∑i i i a a a a a a ．命题得证．6．已知12,,,n a a a …为正实数(4)n ≥，且满足(1)j i ia ja i j i j n +≥+≤<≤，求证：()()()()12121n a a a n n +++≥+！．【答案】证明见解析 【详解】设ii a b i =，则有11(1)i j b b j i j i n +≤≥<≤+，命题即证1(1)(1)ni i b n =+≥+∏．（1）若对于所有(1)i i n ≤≤，有1i b i ≥，则11111(1)(1)1n n ni i i i i b n i i ===+⎛⎫+≥+==+ ⎪⎝⎭∏∏∏．（2）若存在某一个(1)i i n ≤≤，有1i b i<.设1i c b i=-，则有111111()j i b b i c j i j j +≥+-++≠=+，则11111(1)(1)11nni i i c i b c j c i==+-+≥⋅++++∏∏. 注意到21111111111(1)111c c i i i c c c i i i+-+-+=⋅≥++++++， 故只需证211111(1)11(1)n ni i n c c j j ==⎛⎫⋅+++=+ ⎪⎝⎭≥+∏∏， 即2111(1)11n i c jc j =⎛⎫++ ⎪ ⎪≥+ ⎪+ ⎪⎝⎭∏．又因为111111211cc c jj j++=+≥+++， 故()421244122111312121122212ni c c c c c c c j C C =⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪≥+≥++ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎭≥++⎝∏ 因此命题成立．7．求所有实数1,1,1x y z ≥≥≥满足：=【答案】22221{,,}1,1,11l x y z l l l ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+++⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭，其中0l >． 【详解】记2221,1,1x k y l z m =+=+=+，不妨0k l m ≤≤≤，k l m =++．平方整理得()2221(1)(1)0k lm kl km +-++-=，于是有11,ml m l k=+=， 所以210,,,1ll m k l l l ≠===+相应的222211,11y y yx k z m y y +-=+==+=-． 由x y ≤，即2321(1)(1)0y y y y y +-≤⇔-+≥，符合假设．由x z ≤，即()231(1)210y y y y y +--≤⇔-≥，又1y ≥，符合假设．综上，22221{,,}1,1,11l x y z l l l ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+++⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭，其中0l >． 8．已知12,,,0n a a a >，求证：()()()()()()1232341212231n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++>+++．【答案】证明见解析. 【详解】因为()()()2221232213132a a a a a a a a a ++=++++ ()222131324a a a a a a ≥+++()()221321222a a a a a a =+++()()122322a a a a =++，所以()()()()()()21232341212231n n a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭()()()()()()()()()1223233411222212231222222nn a a aa a a a a aa a a a a a a a a +++++≥++++， 当且仅当1324,a a a a ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅时等号成立． 以下配对柯西约分： 因为()()()22121212222a a a a a a ++≥=+，()()()22232323222a a a a a a ++≥=+，……，显然柯西不等式等号不成立．所以()()()()()()212323412122312n nn a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭>， 即()()()()()()1232341212231n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++>+++.9．在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值． 【答案】23【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=， 所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=， 所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=， 当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．10．求常数C 的最大值，使得对于任意实数122020,,x x x ﹐均有20192120201()i i i i x x x Cx +=+≥∑．【答案】20194040- 【详解】定义数列{}n a 满足1110,()4(1)n n a a n a N ++=-∈=．不难用数学归纳法证明1()2n n a n nN +-∈=． 对于正整数i ，由22222111111111(1))04i i i i i i i i i i i i i a x x x a x x x x a x a ++++++++-++=++=≥， 得222111i i i i i i i x x x a x a x ++++≥-.上式两边对i 从1到2019求和，得2019201922222111202020002020112019()()4040ii i i i i i i i x x x a x a x a x x +++==+≥-=-=-∑∑． 另一方面，取11111,1,2,,201(9)2n n n n x n x x x n a n +++==-=-⋅=⋅⋅，可得20194040C ≤-． 故常数C 的最大值为20194040-． 11．设正整数2n ≥，非负实数12,,,n a a a ，满足11ni i a ==∑，求2211n n i i i i a i a i ==⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑的最大值.【答案】23224(1)27(1)n n n n +++ 【详解】注意到，对任意的1i n ≤≤，都有22(1)1n n n i n i++++≤， (这是因为上式等价于(1)()(1)0i n i n i i--++≥） 于是由均值不等式，()222222111114()()()(1)2nnnn i i i i i i i i n n a i a i a a i n n i ====+⎛⎫⋅=⋅ ⎪+⎝⎭∑∑∑∑ 32122(1)4(1)3n i i n n i a i n n =⎡+⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥≤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 32232222414(1)(1)327(1)n n n n n n n n ⎛⎫++++≤= ⎪++⎝⎭等号成立当且仅当2111(1),12n nni i i i i i n n i a a a i ===+==∑∑∑及2310n a a a -====，即1231212,,03(1)3(1)n n n n a a a a a n n -++======++时.综上，原式的最大值为23224(1)27(1)n n n n +++. 12．设正实数1299,,,a a a 满足对任意199i j ≤≤≤有i j ja ia i j +≥+，求证：()()()12991299100a a a +++≥!．【答案】证明见解析 【详解】 令(199)ii a b i i=≤≤，条件转化为对任意199i j ≤<≤有11i j b b i j +≥+．要证不等式即()()()1299111100b b b +++≥．若对任意199i ≤≤均有1i b i ≥，则左式99111100i i=⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭∏．否则恰存在一个i 使得1i b i <，记1i c b i=-，则对任意j i ≠，有1j b c j ≥+．于是左式9919911111111111j j j ic i c c c i j j c i≤≤=≠-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++∏∏． 即只需证：991121100111j c c j c i =⎛⎫ ⎪⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-+⎝⎭∏． ① 由Bernoulli 不等式知 ①式左端9999999911111110011001111j j j j j j j j c c c j j j j ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+⋅≥+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏∏． 显然99122111j j j c i=>>+-+∑，因此①式成立，即证原不等式成立． 13．已知12,,,n a a a R ∈，且满足222121n a a a +++=，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-的最大值.【答案】当n为偶数时，最大值为n 为奇数时，最大值为【详解】i j i j a a a a -≤+当且仅当·0i j a a ≤时等号成立. （1）当n 为偶数时，122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-最大时，显然需满足10i i a a +⋅≤，否则用1i a +-替换1i a +依然满足条件，且值增大.设11n a a +=，所以()111112n n ni i i i i i i i a a a a a ++===-≤+=≤=∑∑∑当且仅当i j a a ==i 为奇数，j 为偶数或i 为偶数，j 为奇数）时等号成立. （2）当n 为奇数时，122311,,,,n n n a a a a a a a a -----必存在()111,i i n a a a a ++=同号，不妨设12,a a 同号，则：112112211232A nn ni i i i i i i i a aa a a a a a a a a ++===-=-+-≤-+++=∑∑∑.不妨设210a a ≥≥，则122122aa a a a-++=，所以：23A 22ni i a a ==+≤≤=∑当且仅当12413110,,11a a a a a n n =======---或12413110,,11a a a a a n n ====-===--时等号成立.14．已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++. 【答案】证明见解析 【详解】()()()()111abc a b ab bc ca c a b ab ⎡⎤⎣⎦++-++=-+⨯-，因为a ，b ，0,2c a b c ≥++=，所以()1,1c a b ab +≤≤. 于是()1abc a b ab bc ca ++≥++，同理()1abc b c ab bc ca ++≥++，()1abc c a ab bc ca ++≥++. 则：1()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++++++++1bc ca abab bc ca ab bc ca ab bc ca≤++=++++++.故题中的不等式成立. 15．设1,2,3,,()k k a b k n =、均为正数，证明：（1）若112212n n n a b a b a b b b b ++⋯+≤++⋯+，则12121n b b bn a a a ≤；（2）若121n b b b +++=…，则1222212121n b b b n n b b b b b b n++≤+≤.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】设()()ln 1,0,f x x x x =-+∈+∞，令1()10f x x'=-=解得1x =. 当01x <<时，()()0,f x f x '>在()0,1内是增函数； 当1x >时，()()0,f x f x <在()1,+∞内是减函数； 故函数()f x 在1x =处取得最大值()10,ln 1f x x =≤-.（1）因为,0k k a b ≥，从而有ln 1k k a a ≤-，得()ln 1,2,k k k k k b a a b b k n ≤-=⋯， 求和得111ln k nnnb kk k k k k k a b b a ===≤-∑∑∑.因为11nnk k k k k a b b ==≤∑∑，所以1n 0l k nbk k a =≤∑，即1212ln()0n b b b n a a a ⋅⋅≤⋅，所以12121n b b bn a a a ⋯≤.（2）①先证12121n n b b b b nb b ≤令1(1,2,,)k k a k n nb ==.则11111nnnk k k k k k a b b n ======∑∑∑，于是由（1）得1212111()()()1nb b b nnb nb nb ≤， 即1212211nn b b b b b b nb n bn b+++≤=，所以12121n n b b b b nb b ≤⋯. ②再证122221212n b bbn n b b b b b b ≤+++.记21nkk S b ==∑，令(1,2,,)kk b a k n S ==，则211111n n nk k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，于是由（1）得1212()()()1n b b bn b b b S S S≤.即121212nnb b b b b bn b b S S b +++==，所以122221212n b b n n b b b b b b b ⋯≤+++.综合①②，（2）得证. 16．给定整数2n ≥．设1212,,,,,,,0n n a a a b b b >，满足1212n n a a a b b b +++=+++，且对任意,(1)i j i j n ≤<≤，均有i j i j a a b b ≥+．求12n a a a +++的最小值．【答案】最小值为2n ． 【分析】 记1212n n S a a a b b b =+++=+++．由条件知()11(1)i j iji j ni j na ab b n S ≤<≤≤<≤≥+=-∑∑．结合222111122n i ji j i i j ni j ni a a n a a a ≤<≤≤<≤=+-≤=⋅∑∑∑，将2221112n ni i i j i i i j n S a a a a ==≤<≤⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑∑变成不等关系，求得最小值，并验证等号成立条件即可. 【详解】 解：记1212n n S a a a b b b =+++=+++．由条件知()11(1)i j iji j ni j na ab b n S ≤<≤≤<≤≥+=-∑∑．又222111122n i ji j i i j ni j ni a a n a a a ≤<≤≤<≤=+-≤=⋅∑∑∑，于是222111122221n ni i i j i j i i i j n i j n S a a a a a a nS n ==≤<≤≤<≤⎛⎫⎛⎫==+≥+≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑． 注意0S >，故2S n ≥． 另一方面，当2(1,2,,)i i a b i n ===时，条件满足，且2S n =．综上，12n S a a a =+++的最小值为2n ．17．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明：（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++ 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析． 【分析】（1）先由基本不等式可得222x y z xy yz xz ++≥++，再结合()2x y z ++的展开式即可证明原式成立；（2）利用柯西不等式[]2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭证明. 【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222x y y z x z x y zxy yz xz +++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故13xy yz zx ++≤，当且仅当x y z ==时“=”成立.（Ⅱ）,,x y z 均为正数，由柯西不等式得：2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭， 故22212x y z y z x z x y ++≥+++，当且仅当x y z ==时“=”成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换.18．设x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，求证：33311116xy yz zxx y y z z x ++++≥ . 【答案】证明见解析 【分析】由基本不等式+a b ≥. 【详解】因为x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，所以31682xy yz x y x+≥==（当且仅当24x y =，即x z =时取等号），31682yz xz y z y +≥==（当且仅当24y z =，即x y =时取等号），31682xz xy z x z+≥=（当且仅当24z x =，即y z =时取等号）， 所以333161616+++2+2+2xy yz xz yz xz xy x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当x y z ==取等号），所以33311116xy yz zx x y y z z x ++++≥，当且仅当x y z ==取等号. 【点睛】本题考查运用基本不等式证明不等式，关键在于构造基本不等式和满足基本不等式的条件，属于中档题.19．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）记1n n n d a S +=-，证明：1132n d <<【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）先令n=1求出首项，再由前n 项的积的定义表示1111n n na a a ++-=-，进而整理化简，再由等差数列定义得证；（2）由（1）表示数列{}n a 的通项公式，进而由放缩法放缩2n T ，再由裂项相消法求n S ，最后再放缩不等式得证. 【详解】解析：（1）因为1n n T a =-，所以111a a =-，解得112a =. 由题可知11111n n n n nT a a T a +++-==-， 所以11111n n n a a a ++=--，即()1111111n n n a a a ++--=--，则111111n n a a +-=--. 所以11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列，且首项1121a =-. （2）由（1）可知()1121111111n n n nn n a a a n n =+-⋅=+⇒-=⇒=-++，则111n n T a n =-=+. 首先，()()()22111112121n T n n n n n =>=-+++++.所以222111111111123341222n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+>-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又112n n a n ++=+，所以111112222n n n n d a S n n ++=-<+-=++. 其次，()()2221111112113212311422n T n n n n n n ⎛⎫=<=-=- ⎪++⎝⎭++-++. 所以2221111111111222235572123323n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以111112212232322433n n n n n d a S n n n n +++⎛⎫=->-->+-= ⎪++++⎝⎭. 综上所述：1132n d <<.【点睛】本题考查由已知递推关系证明等差数列，还考查了由放缩法证明数列不等式以及裂项相消法求和，属于难题.20．用适当的方法证明下列不等式： （1）若0x >，0y >，证明：22x y xyx y+≥+；（2）设a ，b 是两个不相等的正数，且111a b+=，证明：4a b +>．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】（1）采用分析法证明，当0x >，0y >时，欲证22x y xyx y+≥+，只需证2()4x y xy +≥，再根据重要不等式即可证明；（2）采用综合法证明，由题意得()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++，再根据基本不等式即可证明． 【详解】证明：（1）当0x >，0y >时，欲证22x y xyx y+≥+， 则只需证：2()4x y xy +≥， 即证：2()40x y xy +-≥， 即证：2220x xy y -+≥，∵,x y R ∀∈，2222()0x xy y x y -+=-≥恒成立， ∴22x y xyx y+≥+成立； （2）∵0a >，0b >，111a b+=且ab ，∴()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++24≥+，∵a b ，∴不能取等号，即4a b +>．【点睛】本题主要考查不等式的证明方法，考查分析法与综合法证明不等式，考查基本不等式的应用，属于中档题．。
(完整版)高中数学竞赛讲义(九)──不等式
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a>b>0, nCN+=an>bn;⑻a>b>0, nCN+=^^>^/^;
a>0, |x|<aQ -a<x<a, |x|>a= x>a或x<-a;
a, b€ R,则|a|-|b| < |a+b| <|a|+|b|;
a, bC R,贝U (a-b)2a2+b2> 2ab;
x, y, z € R+,则x+y>2*/^, x+y+z—刊Q电
-|b| w b与师以-（|a|+|b|） wa+bq|嘛|雄|a+b| < |a|-+ |b|T面再证（10）的左边，
|a|=|a+b-b| w |a+b|+回所以|a|-|b| w |a+b所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12）
为x+y-2而=（质-6）'>0,所以x+yP历，当且仅当x=y时，等号成立，再证另
工工
… …x+y —f+e一耳+沙，原不等式成立。
(6)放缩法，即要证A>B,可证A>C1, 01>C2,---,Cn-1>Cn, Cn>B(nCN+).
1 +--i--+,+---《厘(用主2).
例8求证：2 3 2*-1
【证明】
因为r: 2而=白+疝+疯>3^c~o~h=3狙瓦，所以原不等式成立。
1
例4已知实数a, b, c满足0<awbwc2,求证：。。一切 却一右)8(1-浦
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全
高中数学竞赛中涉及到不等式的公式大全包括但不限于以下内容：
1. 平均值不等式（AM-GM不等式），对于非负实数a1,
a2, ..., an，有(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)。
这个
公式在解决求最值问题时非常常用。
2. 柯西-施瓦茨不等式，对于实数a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，有|(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)| ≤ √(a1^2 +
a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
这个不等
式在向量和内积的相关问题中经常被应用。
3. 阿贝尔不等式，对于实数序列a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，若a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an且b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn，则有a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ (a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... + bn)。
这个不等式在求和问题中有着重要的应用。
4. 杨辉不等式，对于非负实数a, b, c，有(a+b)^n ≥ a^n + b^n，其中n为自然数。
这个不等式在代数不等式证明中经常被使用。
5. 三角不等式，对于任意实数a, b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
这个不等式在解析几何和向量的运算中常常被用到。
以上是高中数学竞赛中常见的不等式公式，当然还有其他一些不等式公式和定理，但这些是比较基础和常见的。
希望这些内容能够对你有所帮助。
高中竞赛之重要不等式(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高中竞赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方） 定理1 对任意实数组,(1,2,,)i i a b i n =恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当 时成立。
本不等式称为柯西不等式。
证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1左=2212ni i i i j j i i ja b a b a b =≠+∑∑ ∴右-左=当且仅当 时，等式成立。
柯西不等式的两个推论： ⅰ．设 同号（），则当且仅当时取等号。
ⅱ．若 ，且，则（分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。
3次可以推广为4、5等n 次。
3333333333123123123111222333(a +a +a )(b +b +b )(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) ≥ 证明:对333333123123(a +a +a )(b +b +b )和3333123111222333(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式. 柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式设 ， ，…， ； ， ，…， 是两组正数，0k >且1k ≠ ，则 （ ）（）当且仅当1212n na a ab b b === 时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。
若记，，则上式为特例：2212122222221122()()m mm ma a ab b ba b a b a b+++++++≤++++++222121212222222222111222()()()m m mm m ma a ab b bc c ca b c a b c a b c+++++++++++≤+++++++++多个根式可转化为一个根式。
高中数学竞赛holder不等式
高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。
它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。
2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。
霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。
霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。
3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。
4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。
当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。
5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。
根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。
高中竞赛常用的不等式
高中竞赛常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。
附：给出大家可能没见过的证明:对于一元二次方程0)()(2)(2n 2221n 221122n 2221=+++++++-+++b b b x b a b a b a x a a a n 等价于0)()()(2222211=-++-+-n n b x a b x a b x a ，该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ， 得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。
2．四个平均的关系： 平方平均na a a Q n 2n 2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均n n n a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。
满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。
调和平均不常用。
3．排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和） （乱序和） （逆序和） 。
其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 21212211。
高中数学竞赛专题---几个重要不等式及其应用
几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。
1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a是非负实数，则12na a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ== 变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。
等号成立当且仅当n b b b === 21 3．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。
（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全（实用版）目录1.竞赛不等式的基本概念2.高中竞赛不等式的分类3.高中竞赛不等式的解题技巧4.高中竞赛不等式的应用实例正文【高中竞赛不等式公式大全】一、竞赛不等式的基本概念竞赛不等式是高中数学竞赛中经常出现的一类题型，它涉及到较深的数学知识，需要运用较高的数学技巧来解决。
竞赛不等式主要考察学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
二、高中竞赛不等式的分类高中竞赛不等式主要分为以下几类：1.一元一次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是一次的。
2.一元二次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是二次的。
3.多元不等式：涉及多个未知数。
4.绝对值不等式：包含绝对值符号的不等式。
5.复合不等式：包含多个不等式的不等式。
三、高中竞赛不等式的解题技巧1.符号法则：根据不等式的符号，确定未知数的取值范围。
2.同向相乘，反向相加：将不等式中的乘法项同向相乘，加法项反向相加，使不等式变形，便于求解。
3.移项：将不等式中的项移到同一侧，使未知数的系数为 1。
4.分类讨论：根据不等式的特点，对未知数的取值范围进行分类讨论，求解不等式。
5.利用基本不等式：运用基本不等式求解复杂的不等式。
四、高中竞赛不等式的应用实例1.求解一元一次不等式：根据符号法则，同向相乘，反向相加，移项等技巧，求解一元一次不等式。
2.求解一元二次不等式：运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解一元二次不等式。
3.求解多元不等式：根据不等式的特点，运用分类讨论，符号法则等技巧，求解多元不等式。
4.求解绝对值不等式：利用绝对值不等式的性质，运用符号法则，同向相乘，反向相加等技巧，求解绝对值不等式。
5.求解复合不等式：根据不等式的特点，运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解复合不等式。
全国高中数学竞赛——不等式专题讲义
2022高中数学竞赛---不等式讲义--对几个不等式的认识与思考一、认识并纠正一个不等式例题1：证明或者否定：已知：，，，0>c b a求证：()()()()()().0108510851085222222222≥+--++--++--ab b a a c ca a c c b bc c b b a 证明：【思路分析】假如不等式正确，我们试着证明不等式，不妨设.0,,,≥=-=-≤≤y x y a c x a b c a b a ，，原不等式等价于()()++-++--++=a y xy y x x y x a y x x y x T 32232234420461420111055 .0]441414[222≥+-+a y xy x到这一步，仍然无法证明。
另一方面，令a=1,b=3,c=4，不等式不成立事实上，上述等式不成立原因思考：可能是字母系数[5，-8，10]放大了，下面对不等式调整，纠正这个不等式 分别令[5，-8，10] [5，-5，16]；[5，-8，10] [5，-5，10]；[5，-8，10][5，-5，9]；可以证明下列命题【1】已知：，，，0>c b a求证：()()()()()().0165516551655222222222≥+--++--++--ab b a a c ca a c c b bc c b b a 证明：不妨设.0,,,≥=-=-≤≤y x y a c x a b c a b a ，，()()()()()()ab b a a c ca a c c b bc c b b a Q 165516551655222222222+--++--++--= ()()()++++-++-+=a x y x xy y x y y x y xy x ]26626[65323422 ().0][3222≥+-+a xy y x 所以()()()()()().0165516551655222222222≥+--++--++--ab b a a c ca a c c b bc c b b a 命题【2】已知：，，，0>c b a求证：()()()()()().0105510551055222222222≥+--++--++--ab b a a c ca a c c b bc c b b a 证明：不妨设.0,,,≥=-=-≤≤y x y a c x a b c a b a ，，则()()()()()()ab b a a c ca a c c b bc c b b a Q 105510551055222222222+--++--++--= ()()++-+-+=a x y x y y xy x ]2020[532222().0][2022≥+-a xy y x 所以()()()()()().0105510551055222222222≥+--++--++--ab b a a c ca a c c b bc c b b a命题【3】的研究：判断不等式正误已知：，，，0>c b a求证：()()()()()().0955955955222222222≥+--++--++--ab b a a c ca a c c b bc c b b a 实质上，这个不等式不成立，令a=1,b=20,c=30不等式左边等于-3015小于0.综上所述，这类不等式最强是◆已知：，，，0>c b a求证：()()()()()().0222222222222≥+--++--++--ab b a a c ca a c c b bc c b b a对这个不等式进行改革：思考练习：【1】：已知c b a ，，为正实数，求证：().0256222≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∑ac c b b a证明：不妨设.0,,,≥=-=-≤≤y x y a c x a b c a b a ，，则()()()()()a y x a y x y x xy y x y x Q 33222222812355+++-+++-=().0][1822≥+-+a xy y x 所以().0256222≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∑ac c b b a 【2】已知c b a ，，为正实数，求证：()().01075222≥+--∑ac c b b a证明：不妨设.0,,,≥=-=-≤≤y x y a c x a b c a b a ，，则()()()()()a y x a y x y x xy y x y x Q 3322222262055+++-+++-=().0][1622≥+-+a xy y x 所以()().01075222≥+--∑ac c b b a 对该不等式加强，这个不等式是否可以加强为已知c b a ，，为正实数，求证：()().0975222≥+--∑ac c b b a这个不等式似乎是正确的，但是，目前无法证明.二、C -S 与分式不等式例题2：设，，，0>c b a 求证：3222222222≥++++++++abc b a ca b a c bc a c b 证：()()()()()()()()().33]2[233]2[][32)(222222222222242222222222≥++++-≥++++-+≥-+++≥-++∑∑∑∑∑∑∑∑c b bc b a b a b a c b bc b a b a ab b a a GM AM c b bc ba cb S C bc a c b 例题3：设a,b,c>0，求证：.22222≤+++++++++caab bc ca ab c b a c b证： ca ab bc ca ab c b a c b +++++++++2222⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++-+=ab ca bc bc c b a a 212122()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-+=c b a c b a a 22121122。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：1.竞赛不等式的概念和意义2.高中竞赛不等式的分类和特点3.高中竞赛不等式的解题方法与技巧4.高中竞赛不等式的应用实例5.总结与展望正文：【1.竞赛不等式的概念和意义】竞赛不等式是指在解决各类数学竞赛题目中，涉及到的不等式问题。
这类问题不仅在高中数学竞赛中占有重要地位，也是选拔和培养优秀数学人才的重要手段。
高中竞赛不等式作为数学竞赛的一个组成部分，对于提高学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
【2.高中竞赛不等式的分类和特点】高中竞赛不等式可以分为以下几类：（1）代数不等式：涉及变量的代数式大小关系问题。
（2）几何不等式：涉及线段、角、三角形等几何元素的大小关系问题。
（3）三角不等式：涉及正弦、余弦、正切等三角函数的大小关系问题。
（4）对数不等式：涉及对数函数的大小关系问题。
（5）指数不等式：涉及指数函数的大小关系问题。
高中竞赛不等式的特点主要表现在：题目难度较大，需要运用一定的数学知识和技巧进行解答。
同时，这类题目具有较高的灵活性和广泛性，能够充分检验学生的数学能力。
【3.高中竞赛不等式的解题方法与技巧】解决高中竞赛不等式问题，需要掌握一定的解题方法和技巧：（1）分析法：通过对题目中的条件进行分析，找到不等式成立的充分条件。
（2）综合法：将题目中的条件综合起来，利用数学公式和定理进行推导。
（3）代换法：将题目中的变量进行代换，化简原不等式，便于求解。
（4）构造法：通过构造新的数学对象，将原不等式转化为更容易解决的问题。
（5）特殊值法：通过取特殊值，检验原不等式是否成立。
【4.高中竞赛不等式的应用实例】例题：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x+1，求证：f(x)≥0。
解：首先，我们可以求出函数的导数f"(x)=6x^2-6x+1，然后令f"(x)=0，解得x=1/2 或x=1。
接着，我们可以通过分析法，得出当x∈(-∞,1/2]∪[1,+∞) 时，函数f(x) 单调递增；当x∈[1/2,1] 时，函数f(x) 单调递减。
[实用参考]高中数学竞赛解题方法篇(不等式).doc
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高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1）事实上，()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好na 和nb 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即1211...nn n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++.例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b ca b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++有3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故3()a b c a b cab c abc ++≥.例2设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++ 222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证. 例3设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.求证：1111r snnn ni j r sr s r s a b a b r sr s====≥++∑∑∑∑.（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式. 证明：令1snj r s b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然12...n d d d ≥≥≥ 因为12...n b b b ≤≤≤，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为12...n a a a ≤≤≤所以11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0） 故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111n n nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证. 2.均值不等式定理2设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n ，12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证()()G n A n ≤.记c =i ia b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中12121...( (1)n nb b b a a ac ==取12,,...,n x x x 使11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --===则1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥ 下证()()A n Q n ≤因为222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明()()H n G n ≤ 对n 个正数12111,,...,na a a ，应用()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）. 例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于01a <<，0,0xy a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x yaa ++≤=+下证128x y +≤，即14x y +≤。
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高 中 数 学 竞 赛 不等式 有答案1．不等式的概念与性质 【一】知识要点1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用性质正确、迅速地对不等式进行转换。
2．在利用不等式的性质时，应特别注意条件的限制。
【二】解题指导 例1： 若610≤≤a ，122a b a ≤≤，c a b =-，求c 的取值范围。
例2：设c d R ,∈+，且c d a +≤，c d b +≤，证明：ca db ab +≤例3：已知函数f x ax c ()=-2满足-≤≤-411f ()，-≤≤125f () 求证：-≤≤1320f ()【三】巩固练习 一、选择题1、下列四个命题：（1）若ax b >，则x b a>；（2）若a x a y 22>，则x y >；（3）若()()a x a y 2211+>+，则x y >； （4）若xa y a 22>，则x y >。
其中正确的命题的个数是（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2、若a b ,是任意实数，且a b >，则（A ）a b 22> （B ）b a>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）b a )21()21(< 3、若a b >+1，下列各式中正确的是 （A ）a b 22> （B ）ab>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）lg lg a b > 4、已知a b <-<<010,，则下列不等式成立的是（A ）a ab ab >>2 （B ）ab ab a 2>> （C ）ab a ab >>2 （D ）ab ab a >>2 5、若x y z ,,均为大于-1的负数，则一定有 （A ）x y z 2220--< （B ）xyz >-1（C ）x y z ++<-3 （D ）()xyz 21> 6、当a b c >>时，下列不等式成立的是（A ）ab ac > （B ）a c b c ||||> （C ）||||ab bc > （D ）()||a b c b -->0 二、填空题1、已知a b c R ,,∈，且a c b <<，则c ab 2+ ()a b c +（用不等号连结）。
2、设x >1，-<<10y ，试将x y y xy ,,,-- 。
3、设a b m n >>>>000,,，则a b b a b m a m a n b n,,,++++按由小到大的顺序排列为 。
三、解答题1、设6084<<a ，2833<≤b ，求a b +、a b -及a b的范围。
2、若45<<a ，123a b a ≤≤，c a b =+，求c 的取值范围。
3、已知函数f x ax bx ()=+2满足-≤-≤112f ()，214≤≤f ()求f ()-2的范围。
2．不等式的证明（比较法） 【一】知识要点1．比较法是证明不等式常用的方法之一，主要有作差比较法和作商比较法两种。
在使用作商比较法时必须考虑符号。
2．比较法证明不等式有作差（作商）、变形和判断三个步骤。
因式分解和配方法是变形的主要手段。
【二】解题指导 例1：设a b >>00,，证明：a b b aa b 22+≥+例2：设a b c R ,,∈+，且ab bc ca ++=1，求证：a b c ++≥3例3：设a b R ,∈+，证明：a b ab a b a b ≥+()2例4：若10<<x ，求证：|)1(log ||)1(log |x x a a +>-【三】巩固练习 一、选择题1、设2,2>>b a ，则（A ）b a ab +> （B ）b a ab +< （C ）b a ab += （D ）1>ba2、若)1()1(32log ,log ,10+-+-==<<a a aa a a Q P a ，则P 与Q 的大小关系是 （A ）P >Q （B ）P <Q （C ）P =Q （D ）P 与Q 的大小不确定 3、若R x x x B x A ∈+=+=,2,21234，则B A ,的大小关系是（A ）B A ≥ （B ）B A ≤ （C ）B A > （D ）B A < 4、已知下列不等式：①x x 232>+ ②322355b a b a b a +≥+ ③)1(222--≥+b a b a 其中正确的不等式的个数为（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 5、设正数d c b a ,,,满足c b d a +=+，且||||c b d a -<-，则（A ）bc ad = （B ）bc ad > （C ）bc ad < （D ）bc ad ,的大小不确定 6、设b a R m b a >∈+,,,，则 （A ）ma mb a b ++>（B ）ma mb a b ++=（C ）ma mb a b ++<（D ）ma mb a b ++,的大小关系不确定 二、填空题1、已知c b a <<，且0=++c b a ，则ac b 42-与0的大小关系是 。
2、若01,0<<-<b a ，则2,,ab ab a 的大小关系是 。
3、若02<+x x ，则22,,x x x -的大小关系是 。
三、解答题1、证明：33322b a b a +≥+2、设N n R b a ∈∈+,,，求证：ba b a a b nn nn 1111+≥+--3、设∆ABC 的三边分别为c b a ,,，求证：)(4)(2ca bc ab c b a ++<++。
3．不等式的证明（综合法、分析法） 【一】知识要点1．综合法是由因导果，分析法是执果索因。
分析和综合是证明不等式中相互联系，相互渗透，相互转化的思维过程。
2．利用重要不等式是综合法与分析法证明不等式的重要手段，应注意重要不等式成立的条件。
【二】解题指导例1：若+∈R c b a ,,，求证：)(444c b a abc c b a ++≥++例2：若+∈R c b a ,,，求证：ab b a abc c b a 233-+≥-++例3：若3≥a ，求证：321---<--a a a a例4：设+∈R y x ,，且1=+y x ，求证：425)1)(1(≥++y y x x【三】巩固练习 一、选择题 1、若+∈R b a ,，设b a Q ba P +=+=,2，则Q P ,的大小关系是 （A ）Q P ≥ （B ）Q P ≤ （C ）Q P > （D ）Q P <2、已知b a R b a >∈+,,，设333,b a B b a A -=-=，则B A ,的大小关系是 （A ）B A ≥ （B ）B A ≤ （C ）B A > （D ）B A <3、若+∈R b a ,，且b a <，则下列不等式一定成立的是（A ）b ab ba a >>+>2 （B ）a ba ab b >+>>2 （C ）a ab ba b >>+>2（D ）ab ba ab >+>>24、在下列结论中，不一定成立的是 （A ）21222≥++x x（B ）当2sin 1sin ,0≥+<<xx x π （C ）当4)11)(1(,≥++∈+aa R a （D ）3≥++xzz y y x 5、若525,25-=-=b a ，则 （A ）b a > （B ）b a =（C ）b a < （D ）b a ,的大小不确定6、若0>>a b ，且1=+b a ，则 （A ）a ab b a b >>>+>21222 （B ）a ab b a b >>>+>22122 （C ）ab a b b a 22122>>>>+（D ）a b ab b a >>>>+21222二、填空题1、函数1log 22-=x x y 的值域是。
2、当+∈R b a ,，且b a ≠时，2ba +与222b a +的大小关系是 。
3、设0>>>c b a ，且ca mc b b a -≥-+-11恒成立，则m 的最大值为 。
三、解答题1、若+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，证明： （1）abc c b a 64)1)(1)(1(≥+++ （2）8)11)(11)(11(≥---cb a2、若c b a ,,是不全相等的正数，求证：3>-++-++-+ccb a b b ac a a c b3、+∈R m b a ,,，且b a >，证明：bam b m a <++4．不等式的证明（换元法、放缩法、反证法）【一】知识要点1．换元法、放缩法及反证法也是证明不等式的常见证法。
2．用换元法证明不等式主要是三角换元，换元时要注意等价性。
用放缩法证明不等式时，要注意放缩中做到放缩有度，恰到好处，这是放缩法的一大技巧。
在证明含有“至少”“唯一”“不可能”等一类词的命题，或在直接证明较困难时，可采用反证法。
【二】解题指导 例1：（1）若x y R m n x a b y ,,,∈+=+=+222222，求证：ma nb xy +≤ （2）若x xy y 22222-+≤，求证：x y +≤10例2：若a b c d ,,,都是正数，设S a a b d b b c a c c d b dd a c=+++++++++++， 求证：12<<S例3：求证：111212222+++< n例4：设a b c ,,(,)∈01，求证：(),(),()111---a b b c c a 中至少有一个不大于14。
【三】巩固练习 一、选择题1、若x y 224+=，则23x y +的最大值是（A ）6 （B ）4 （C ）213 （D ）132、设a =⨯lg lg 911，则a 与1的大小关系是（A ）a >1 （B ）a <1 （C ）a =1 （D ）不确定3、设x y =-12，则x y +的最小值是（A ）0 （B ）-1 （C ）-2（D ）24、设x y M x y x y N x x yy>>=+++=+++00111,,,，则M N ,的大小关系是（A ）M N > （B ）M N <（C ）M N = （D ）M N ,的大小关系不确定 5、设x y a >><<001,，则下列不等式成立的是（A ）x y a a --> （B ）a a x y --> （C ）log log a a x y > （D ）a a x y > 6、设x y R ,∈+，且xy x y -+=()1，则（A ）223+≥+y x （B ）2)22(+≥+y x （C ）xy ≤+21 （D ）xy ≥+221() 二、解答题1、若a b 221+≤，求证：a ab b 2222+-≤2、若4122≤+≤y x ，求证：62122≤+-≤y xy x3、设a b c R ,,∈+，且a b c 222+=，求证：当n n N ≥∈3,时，a b c n n n +<4、若x y z ,,≥0，求证：x xy y y yz z x y z 2222+++++≥++5、求证：121112121≤+++++<∈n n nn N ,()6、试用反证法证明：若a b c ab bc ca abc ++>++>>000,,，则a b c >>>000,, 5．不等式的应用 【一】知识要点1．利用基本不等式求最值是不等式应用的主要方面。