2018届高三理科数学一轮复习导数与函数的单调性

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2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标14导数与函数的单调性理

2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标14导数与函数的单调性理[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．一、选择题1．(2017·福建福州模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( D )解析：由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0，＋∞)上f′(x)<0.选项D满足，故选D．2．(2017·苏中八校联考)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( A )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．3．(2017·吉林长春调研)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．函数f (x )对定义域R 上的任意x 都有f (2－x )＝f (x )，且当x ≠1时，其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>f ′(x )，若1<a <2，则有( C )A ．f (2a)<f (2)<f (log 2a ) B ．f (2)<f (log 2a )<f (2a) C ．f (log 2a )<f (2)<f (2a)D ．f (log 2a )<f (2a)<f (2)解析：∵函数f (x )对定义域R 上的任意x 都有f (2－x )＝f (x )，∴函数图象的对称轴为直线x ＝1.又∵其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>f ′(x )，即(x －1)f ′(x )>0，故当x ∈(1，＋∞)时，函数单调递增，x ∈(－∞，1)时，函数单调递减．∵1<a <2，∴0<log 2a <1,2a >2，∴f (log 2a )<f (2)<f (2a)，故选C ．5．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为( D )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析：由题图可知，f ′(x )>0，则x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0，则x ∈(－1,1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′x >0，x 2－2x －3>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f ′x <0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．6．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( C )A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：f ′(x )＝4x －1x＝2x －12x ＋1x，∵x >0，由f ′(x )＝0得x ＝12.∴令f ′(x )>0，得x >12；令f ′(x )<0，得0<x <12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1<12<k ＋1⇒1≤k <32.故C 正确．二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为(－1,11)．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，解得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．8．f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z )是偶函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝1或2.解析：∵f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z )是偶函数，∴n 2－3n ＝2k (k ∈Z )，即f (x )＝x 2k，∴f ′(x )＝2kx 2k －1，∵f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数， ∴在(0，＋∞)上f ′(x )＝2kx 2k －1<0恒成立．∵x2k －1>0，∴2k <0.即n 2－3n <0，解得0<n <3.∵n ∈Z ，∴n ＝1或n ＝2.9．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的最大值是－1.解析：函数的定义域是x ＋2>0，即x >－2，而f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＝－x 2－2x ＋bx ＋2.因为x ＋2>0，函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，即－x 2－2x ＋b ≤0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，得b ≤x 2＋2x 在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈(－1，＋∞)，则g (x )>g (－1)＝－1，所以b ≤－1，则b 的最大值为－1.三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解析：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －ke x，又f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，递减区间是(1，＋∞)．11．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析：(1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－8，8a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)f ′(x )＝6x＋2x －8＝2x －1x －3x，∵x >0，∴f ′(x )，f (x )的变化如下：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )递增递减递增∴f (x )递减区间为(1,3)，要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12<m ≤52.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，52.12．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解析：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x，即x ＝－2时等号成立，所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．。

2018高考一轮数学(课件)第2章第11节导数与函数的单调性

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第三页，编辑于星期六：二十二点三十一分。
高三一轮总复习
2．函数 y＝12x2－ln x 的单调递减区间为(
)
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(0，＋∞)
B [函数 y＝12x2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝x－1xx＋1，令
y′≤0，则可得 0＜x≤1.]
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高三一轮总复习
[迁移探究 3] (变换条件)函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(－1,1)上不单调，求 a 的取值范围．
[解] ∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由 f′(x)＝0，得 x＝± 33a(a≥0). 7分
当 a≤0 时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当 a>0 时，由 f′(x)＝0 有 x＝
1， 2a
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高三一轮总复习
当 x∈0， 12a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；6 分当 x∈ 12a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增.10 分 (2)证明：令 s(x)＝ex－1－x，则 s′(x)＝ex－1－1.12 分当 x>1 时，s′(x)>0，所以 ex－1>x，从而 g(x)＝1x－ex1－1>0.15 分
依题设，ff′2＝2＝2e＋e－21，，即－2eae－a－2＋2＋2bb＝＝e2－e＋1.2，
解得ab＝＝2e.， 6 分

2018届高三数学文一轮复习课件：2-11-1 导数与函数的单调性精品

[规律方法] 导数法判断或证明函数单调性的方法步骤 (1)确认研究函数单调性的区间，如果题目没有给出，那么应首先求出函数的定义域，在定义域上研究其单调性。 (2)求出导函数 f′(x)。 (3)确认 f′(x)在给定区间(a，b)或定义域内的符号。 (4)作出结论：f′(x)≥0 时为增函数，f′(x)≤0 时为减函数(f′(x)不恒为 0)。
(4)三次函数在 R 上必有极大值和极小值。( × )
解析：错误。对于三次函数 y＝ax3＋bx2＋cx＋d，y′＝3ax2＋2bx＋c。当(2b)2－12ac＜0，即 b2－3ac＜0 时，y′＝0 无实数根，此时三次函数没有极值。
2．函数 y＝12x2－lnx 的单调递减区间为(
)
A．(－1,1]
(2)∵函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称， ∴y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称， ∴y＝f(x)为奇函数。令 g(x)＝xf(x)，则 g(x)＝xf(x)为偶函数，且 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0，在(－∞，0)上恒成立， ∴g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数。
(2)函数的极大值
若函数 y＝f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，且 f′(b)＝0，而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则 x＝b 点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值。
极大值和极小值统称为极值。
微知识❸ 函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 (2)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为： ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值

专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。

【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。

2018届高三(新课标)数学(理)大一轮复习课件：第三章第二节导数与函数的单调性

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时， f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增 (减)的充分条件.
[方法技巧]
(3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
( )
1．[考点二]函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 A．(－∞，2) C．(1,4) B．(0,3) D．(2，＋∞)
1 由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x， 3 5 知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝4.
x2－4x－5 x 5 3 所以f(x)＝4＋4x－ln x－2，则f′(x)＝， 4x2 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．
1－a 2a ，
＋∞上单调递增．
[方法技巧]

2018高考数学(理)大一轮复习课件：第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性

1 由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x， 3 5 知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝4.
x2－4x－5 x 5 3 所以f(x)＝4＋4x－ln x－2，则f′(x)＝， 4x2 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．
值对不等式解集的影响进行分类讨论．
求函数的单调区间
[例2] x a 3 已知函数f(x)＝ 4 ＋ x －ln x－ 2 ，其中a∈R，且曲
1 线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x，求函数f(x) 的单调区间．
[解]
1 a 1 对f(x)求导得f′(x)＝4－x2－x，
第二节导数与函数的单调性
本节主要包括2个知识点： 1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.
突破点(一)
基础联通
利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
证明或讨论函数的单调性
判断函数单调性的三种方法

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性课件文

2ax 2 a 1 a 1 f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)= +2ax= . x x
当a≥1时, f '(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a≤0 时, f '(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;
1 a 1 a 当0<a<1时,令f '(x)=0,解得x= ,则当x∈ 0, 时, f '(x)<0;当x∈ 2 a 2a
实数m的取值范围是答案 [2,4]
.
解析 f '(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,由题意可得f '(x)≥0在x∈R 上恒成
立,所以Δ=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7)=4(m2-6m+8)≤0,解得2≤m≤4.
考点突破
考点一利用导数判断(证明)函数的单调性典例1 已知函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1. 讨论函数f(x)的单调性. 解析
1 x
x 1 x
3.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 (
A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) 答案 D 由f(x)=(x-3)ex,得f '(x)=(x-2)ex,
)
D.(2,+∞)
令f '(x)>0,得x>2,故f(x)的单调递增区间是(2,+∞).
x3 4.已知函数f(x)= -(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上为单调递增函数,则 3
ห้องสมุดไป่ตู้
1.已知函数f(x)的导函数f ' (x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是

全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.1导数与函数的单调性课件文北师大版

(1)极值点与极值
设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值．
(2)极大值点与极小值点 ①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点； ②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点．
(3)求可导函数极值的步骤：
【训练1】设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性．
解 f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1) ＝ex[ax2＋(2a＋1)x＋2] ＝ex(ax＋1)(x＋2) ＝aexx＋1a(x＋2) ①当 a＝12时，f′(x)＝12ex(x＋2)2≥0 恒成立， ∴函数 f(x)在 R 上单调递增；
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)
上一定有f′(x)>0.
()
(2)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．
()
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件． ()
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一
定是极小值．
()
解析 (1) 函数 f(x) 在 (a ， b) 上单调递增，则在 (a ， b) 上有 f′(x)≥0，故(1)错． (2)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，(2)错． (3)如f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝0，而函数f(x)在R上为增函数，所以x＝0不是极值点，故(3)错．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
＝
()
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解析由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，当

创新设计浙江专用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数与函数的单调性课件

3 2 x 1 3 2 x g′(x)＝2x ＋ x ＝2x ＋2x ＋2xe
1 ＝ x(x＋1)(x＋4)ex. 2 令 g′(x)＝0，解得 x＝0，x＝－1 或 x＝－4.
当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；当－4<x<－1时，g′(x)>0，故g(x)为增函数；当－1<x<0时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；
成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内
没有单调性.( ) ) (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.(
当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数.
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.
规律方法确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
解 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x，
4 4 因为 f(x)在 x＝－3处取得极值，所以 f′－3＝0， 4 16a 8 16 1 －＝所以 3a· ＋2· －＝0，解得 a＝ . 9 3 3 2 3
(2)由(1)得故
1 3 2 x g(x)＝2x ＋x e ，

导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件

答案： g'(x)=3x^26x+2，g'(x)在 [1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在区间[1,2]上单调递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在区间[-1,1]上单调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[1,2]上的单调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性课件理

当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数.
综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.
考点一利用导数求函数的单调区间典例2 (2016天津,20,14分)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.求f(x) 的单调区间. 解析由f(x)=x3-ax-b,可得f '(x)=3x2-a. 下面分两种情况讨论: (i)当a≤0时,有f '(x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞, +∞).
2
ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))
单调递减.
方法技巧
用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 ①求f '(x). ②确定f '(x)在(a,b)内的符号. ③作出结论,依据是f '(x)>0时为增函数; f '(x)<0时为减函数. [提醒] 研究含参数的函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
(ii)当a>0时,令f '(x)=0,解得x= 3 a,或x=- .3 a
3
3
当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:
x
,
3a 3
-
3a 3
3a , 3
3a 3
3a 3
f '(x)
+
0增极大值单调递减极小值

【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：3.2 导数与函数的单调性(专题拔高配套PPT课件)

�� +1
+x-1=
�� 2 +(�� -1 ) �� +1
, x>-1, 当 a-1≥0, 即 a≥1 时,f'(x)≥0,
∴f (x)在(-1, +∞)单调递增;
当 0<a<1 时, 由 f'(x)=0, 得 x1 =- 1-��>-1,x2 = 1-��,
第三章
考点一考点二考点三
3.2 导数与函数的单调性
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-11-
对点训练(2017安徽宿州一模)设函数f(x)=4ln x- 2 ax2+(4a)x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
1
解:解
4 (�� +1 )(�� -4 ) f (x)的定义域为(0, +∞), f'(x)= -ax+(4-a)=. ��
解析
关闭
答案
第三章
知识梳理双击自测
3.2 导数与函数的单调性
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-8-
自测点评 1.已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解区间,并注意函数f(x)的定义域. 2.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.
4
)
关闭
f'(x)=1- 2 .令 f'(x)<0, ∴
��
4
1-
4 �� 2
< 0,

高考数学一轮复习考点知识专题讲解15---导数与函数的单调性

高考数学一轮复习考点知识专题讲解导数与函数的单调性考点要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝f(x)在区间(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(√)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(×)(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(√)教材改编题1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()答案C解析由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0，∴f (x )单调递减；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )单调递增．2．函数f (x )＝(x －2)e x 的单调递增区间为________．答案(1，＋∞)解析f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝(x －1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．3．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4的单调递减区间为[－1,4]，则实数a 的值为________．答案－4解析f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，且f (x )的单调递减区间为[－1,4]，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f ′(x )＝0的两根，则a ＝(－1)×4＝－4.题型一不含参数的函数的单调性例1(1)函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为()A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12答案B解析由y ＝4x 2＋1x，得y ′＝8x －1x2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为__________________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π 解析f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)．令f ′(x )＝0，得x ＝π6或x ＝5π6，当0<x <π6时，f ′(x )>0，当π6<x <5π6时，f ′(x )<0，当5π6<x <π时，f ′(x )>0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6和⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6上单调递减．教师备选若函数f (x )＝ln x ＋1e x，则函数f (x )的单调递减区间为________．答案(1，＋∞)解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ln x －1e x，令φ(x )＝1x－ln x －1(x >0)，φ′(x )＝－1x 2－1x<0，φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0， ∴当x ∈(0,1)时，φ(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，φ(x )<0，∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．思维升华确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1(1)函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是() A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1,1) 答案A解析∵f ′(x )＝2x －2x＝2(x ＋1)(x －1)x(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．答案(－∞，0)，(ln2，＋∞)(0，ln2) 解析f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝ln2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln2)．题型二含参数的函数的单调性例2已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．解函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x＝(ax －1)(x －1)x.令f ′(x )＝0，得x ＝1a或x ＝1.①当0<a <1时，1a>1，∴x ∈(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；②当a ＝1时，1a＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当a >1时，0<1a<1，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减．综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减．延伸探究若将本例中参数a 的范围改为a ∈R ，其他条件不变，试讨论f (x )的单调性？解当a >0时，讨论同上；当a ≤0时，ax －1<0， ∴x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．综上，当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，函数f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减．教师备选已知函数f (x )＝x －2x＋a (2－ln x )，a >0.讨论f (x )的单调性．解由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，设g (x )＝x 2－ax ＋2，g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根，x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2讨论下列函数的单调性．(1)f(x)＝x－a ln x；(2)g(x)＝13x3＋ax2－3a2x.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax＝x－ax，令f′(x)＝0，得x＝a，①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．(2)g(x)的定义域为R，g′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)，当a＝0时，g′(x)≥0，∴g(x)在R上单调递增．当a>0时，x∈(－∞，－3a)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，x∈(－3a，a)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．当a<0时，x∈(－∞，a)∪(－3a，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，x ∈(a ，－3a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，综上有a ＝0时，g (x )在R 上单调递增；a <0时，g (x )在(－∞，a )，(－3a ，＋∞)上单调递增，在(a ，－3a )上单调递减； a >0时，g (x )在(－∞，－3a )，(a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，a )上单调递减．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为() A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)答案A解析因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.(2)已知函数f (x )＝e x －1ex －2x ＋1，则不等式f (2x －3)>1的解集为________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析f (x )＝e x －1ex －2x ＋1，定义域为R ，f ′(x )＝e x ＋1e x －2≥2e x ·1ex －2＝0，当且仅当x ＝0时取“＝”， ∴f (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，∴原不等式可化为f (2x －3)>f (0)，即2x －3>0，解得x >32，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.命题点2根据函数的单调性求参数的范围例4已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞解析由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.延伸探究在本例中，把“f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递增”改为“f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上存在单调递增区间”，求a 的取值范围．解f ′(x )＝x ＋2a －1x，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上存在单调递增区间，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时，f ′(x )>0有解，即2a >－x ＋1x有解，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x min ＝－2＋12＝－32，∴2a >－32，即a >－34，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.教师备选1．若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(1，＋∞) B．[2，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－2，＋∞) 答案C 解析由题意得f ′(x )＝e x (sin x ＋a )＋e x cos x＝e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ，∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，又e x >0，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ∈(－1＋a ，2＋a ]， ∴－1＋a ≥0，解得a ≥1，即a ∈[1，＋∞)．2．(2022·江西鹰潭一中月考)若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有3个单调区间，则a 的取值范围为________．答案(－∞，0)解析由f (x )＝ax 3＋x ，得f ′(x )＝3ax 2＋1.若a ≥0，则f ′(x )>0恒成立，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；若a <0，由f ′(x )>0得－－13a<x <－13a，由f ′(x )<0，得x <－－13a或x >－13a，即当a <0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－13a，－13a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－－13a ，⎝⎛⎭⎪⎫－13a ，＋∞，满足题意．思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增(减)函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练3(1)已知定义域为R 的连续函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f ′(x )m (x －3)<0，当m <0时，下列关系中一定成立的是() A ．f (1)＋f (3)＝2f (2) B ．f (0)·f (3)＝0 C ．f (4)＋f (3)<2f (2) D ．f (2)＋f (4)>2f (3) 答案D 解析由f ′(x )m (x －3)<0，得m (x －3)f ′(x )<0，又m <0，则(x －3)f ′(x )>0，当x >3时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x <3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；所以f (2)>f (3)，f (4)>f (3)，所以f (2)＋f (4)>2f (3)．(2)(2022·安徽省泗县第一中学质检)函数f (x )＝ln xx在(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案[0，e －1] 解析由函数f (x )＝ln x x，得f ′(x )＝1－ln xx 2(x >0)，由f ′(x )>0得0<x <e ，由f ′(x )<0得x >e.所以f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，又函数f (x )＝ln xx在(a ，a ＋1)上单调递增，则(a ，a ＋1)⊆(0，e)，则⎩⎨⎧a ≥0，a ＋1≤e，解得0≤a ≤e－1.课时精练1．函数f (x )＝x ln x ＋1的单调递减区间是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫0，1e D ．(e ，＋∞)答案C解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1e .2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是() A ．f (x )＝2sin x cos x B ．g (x )＝x 3－x C ．h (x )＝x e xD ．m (x )＝－x ＋ln x 答案C解析h (x )＝x e x ，定义域为R ，∴h ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x >0时，h ′(x )>0， ∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增．3．(2022·渭南调研)已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．下面四个图象中y ＝f (x )的图象大致是()答案C解析列表如下：x (－∞，－1) (－1,0)(0,1)(1，＋∞)xf′(x)－＋－＋f′(x)＋－－＋f(x)单调递增单调递减单调递减单调递增故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)．故函数f(x)的图象是C选项中的图象．4．(2022·遵义质检)若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)答案C解析∵f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在(0，＋∞)上是减函数，∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即f′(x)＝－2x＋4＋bx≤0，即b ≤2x 2－4x ，∵2x 2－4x ＝2(x －1)2－2≥－2，∴b ≤－2.5．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln2)，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a 答案A解析f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝cos x －sin x －2 ＝2cos⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－2<0， ∴f (x )在R 上单调递减，又2e >1,0<ln2<1，∴－π<ln2<2e ，故f (－π)>f (ln2)>f (2e )，即a >c >b .6．如果函数f (x )对定义域内的任意两实数x 1，x 2(x 1≠x 2)都有x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1－x 2>0，则称函数y ＝f (x )为“F 函数”．下列函数是“F 函数”的是() A ．f (x )＝e x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝sin x 答案B解析依题意，函数g (x )＝xf (x )为定义域上的增函数．对于A ，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，－1)上单调递减，故A 中函数不是“F 函数”；对于B ，g (x )＝x 3在R 上单调递增，故B 中函数为“F 函数”；对于C ，g (x )＝x ln x ，g ′(x )＝1＋ln x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0，故C 中函数不是“F 函数”；对于D ，g (x )＝x sin x ，g ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，g ′(x )<0，故D 中函数不是“F 函数”．7．(2022·长沙市长郡中学月考)已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋1的单调递减区间是(－3,1)，则m ＋n 的值为________．答案－2解析由题设，f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ，由f (x )的单调递减区间是(－3,1)，得f ′(x )<0的解集为(－3,1)，则－3,1是f ′(x )＝0的解，∴－2m ＝－3＋1＝－2，n ＝1×(－3)＝－3，可得m ＝1，n ＝－3，故m ＋n ＝－2.8．(2021·新高考全国Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )：________. ①f (x 1x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0；③f ′(x )是奇函数．答案f (x )＝x 4(答案不唯一，f (x )＝x 2n (n ∈N *)均满足)解析取f (x )＝x 4，则f (x 1x 2)＝(x 1x 2)4＝x 41x 42＝f (x 1)f (x 2)，满足①，f ′(x )＝4x 3，x >0时有f ′(x )>0，满足②，f ′(x )＝4x 3的定义域为R ，又f ′(－x )＝－4x 3＝－f ′(x )，故f ′(x )是奇函数，满足③.9．已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x . (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2＋2ln x －3x ，则f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝(x －1)(x －2)x(x >0)．当0<x <1或x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )的单调递增区间为(0,1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1,2)．(2)g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝x －2a x－2≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立．即x 2－2x －2a x≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立．所以x 2－2x －2a ≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以a ≤12(x 2－2x )＝12(x －1)2－12恒成立．令φ(x )＝12(x －1)2－12，x ∈(0，＋∞)，则其最小值为－12，故a ≤－12. 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12. 10．(2022·宜春质检)已知函数f (x )＝x 3－6ax .(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 3＋6x ，则f ′(x )＝3x 2＋6，所以f (1)＝7，f ′(1)＝9，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －7＝9(x －1)，即9x －y －2＝0.(2)函数f (x )＝x 3－6ax 的定义域为R ， f ′(x )＝3x 2－6a ＝3(x 2－2a )．当a ≤0时，对任意的x ∈R ，f ′(x )≥0且不恒为零，此时函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a >0时，由f ′(x )<0，可得－2a <x <2a ，由f ′(x )>0，可得x <－2a 或x >2a ，此时函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2a )，(2a ，＋∞)，单调递减区间为(－2a ，2a )．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2a )，(2a ，＋∞)，单调递减区间为(－2a ，2a )．11．若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x 在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞B ．(－1，＋∞) C ．[－1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，＋∞ 答案B解析因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，所以h ′(x )＝1x－ax －2<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，1x 2－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，所以a 的取值范围是(－1，＋∞)．12．设函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，若a ＝f (－2)，b ＝f (ln2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c的大小关系为()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<b<c答案C解析f(－x)＝(－x)sin(－x)＋cos(－x)＋(－x)2＝x sin x＋cos x＋x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴a＝f(－2)＝f(2)，又f′(x)＝x cos x＋2x＝x(cos x＋2)，当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又2>e>ln2，∴f(2)>f(e)>f(ln2)，即b<c<a.13．(2022·韩城质检)设a>0，若函数f(x)＝1＋ln xx在区间⎝⎛⎭⎪⎫a，a＋23上不单调，则a的取值范围是________．答案13<a<1解析函数f(x)＝1＋ln xx，f′(x)＝－ln xx2，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为函数f(x)＝1＋ln xx在区间⎝⎛⎭⎪⎫a，a＋23上不单调，则a <1<a ＋23，解得13<a <1. 14．已知函数f (x )＝x 5＋10x ＋sin x ，若f (t )＋f (1－3t )<0，则实数t 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝(－x )5＋10(－x )＋sin(－x )＝－(x 5＋10x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数；又因为f ′(x )＝5x 4＋10＋cos x >0，所以函数f (x )在R 上单调递增；又因为f (t )＋f (1－3t )<0，所以f (t )<－f (1－3t )＝f (3t －1)，所以3t －1>t ，即t >12.15．(2022·河北衡水中学月考)下列不等式成立的是________．(填序号)①2ln 32<32ln2； ②2ln 3<3ln 2；③5ln4<4ln5；④π>elnπ.答案①④解析设f (x )＝ln x x (x >0)，则f ′(x )＝1－ln xx 2，所以当0<x <e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．因为32<2<e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2)，即2ln 32<32ln2，故①正确；因为2<3<e ，所以f (2)<f (3)，即2ln 3>3ln 2，故②不正确；因为e<4<5，所以f (4)>f (5)，即5ln4>4ln5，故③不正确；因为e<π，所以f (e)>f (π)，即π>elnπ，故④正确．16．(2022·宁夏银川一中质检)已知函数f (x )＝a e x x. (1)若a >0，求f (x )的单调区间；(2)若对∀x 1，x 2∈(1,3)，x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<2恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f′(x)＝a e x(x－1)x2，∵a>0，∴当x∈(－∞，0)∪(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)不妨令x1>x2，∴f(x1)－f(x2)x1－x2<2，可化为f(x1)－f(x2)<2(x1－x2)，即f(x1)－2x1<f(x2)－2x2，即函数g(x)＝f(x)－2x在区间(1,3)上单调递减，又∵g′(x)＝f′(x)－2＝a e x(x－1)x2－2，∴a e x(x－1)x2－2≤0在(1,3)上恒成立，当x∈(1,3)时，不等式a e x(x－1)x2－2≤0可化为a≤2x2(x－1)e x，令h(x)＝2x2(x－1)e x，则h′(x)＝4x(x－1)e x－2x3e x (x－1)2e2x＝－2x3＋4x2－4x (x－1)2e x＝－2x(x2－2x＋2) (x－1)2e x＝－2x [(x －1)2＋1](x －1)2e x<0在区间x ∈(1,3)上恒成立， ∴函数h (x )＝2x 2(x －1)e x 在区间x ∈(1,3)上单调递减， ∴h (x )min ＝h (3)＝2×32(3－1)e 3＝9e 3，∴a ≤9e 3，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，9e 3.。

2018届高三理科数学一轮复习 导数与函数的单调性