第五章 有限元动力学基本原理
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于是，令
e T V
m N N dV
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
e
m 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。
2.集中质量矩阵 在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量 平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的 质量可分配为：
推得
(11)
1 0.69300 0.20467
(11)
(10 )
1 0.6930 0.2047
T
于是 2 (211) 4.386
1 0.693 0.205
2 1 2 2 2 1 2 2
T
4 1 8 Al 1 4 8 30 8 8 16
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●三次梁单元
156 22l 54 13l 22l 4l 2 13l 2 3 l Al e m 420 54 13l 156 22l 2 2 13l 3l 22l 4l
停止迭代 此时为低阶特性
2
（i 1）
(i1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 2 5 3 M 0 2 0 K 0 0 3 0 3 3 1 1 1 解： 1 K 1 1.5 1.5 1 1.5 11/ 6
mi m j mk
dV 3
V
一、单元质量矩阵的计算
2.集中质量矩阵
m diagm
e
单元质量矩阵为：
i
mi
mj
mj
mk
源自文库
mk
3.常用单元的一致质量矩阵 ●一次杆单元
e
1 m A N N dx A 1 2 dx l l 2 2 1 12 l 2 1 A dx 2 l 6 1 2 1 2 2
4 0 2 4 0 4 abt e m 9 对 称
0 2 0 4
1 0 2 0 4
0 1 0 2 0 4
2 0 1 0 2 0 4
0 2 0 1 0 2 0 4
二、单元阻尼矩阵的计算
阻尼矩阵非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引 起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动 速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵； 也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得 到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其 他类型的假设，如上述两者的组合，分别有：
e e e e e e e
一、单元质量矩阵的计算
单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和 集中质量阵，各有自身的优点和缺点。 1.一致质量矩阵 在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝 尔原理，单位体积上作用的惯性力为：
2 2 2 q 2 2 N e N 2 e t t t
第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结 构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力 及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆 称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另 外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体， 此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而 且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题， 成为动力学分析。 对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如 一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
2.矩阵迭代法
如此继续迭代，经过10次迭代，可得 0 1 1 3 2 (10 ) S 1 2.5 1.5 0.693 4.386 0.69300 0.2047 0.20467 0 1 1
c m c k c m k
e e e e e e e
二、单元阻尼矩阵的计算
对于组合阻尼，如已知结构的阻尼比及结构的固 有频率，其计算方法有：
如果 则
2(i j ji )
2 j
2 i
i j
2( j j ii )
T
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●二次杆单元
2 1 2 1 T e m A N N dx A 2 2 2 2 dx l l 4 4 1 2 1 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●三角形平面问题单元
2 0 1 2 0 2 t e m 12 对 称
0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 2 0 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●矩形平面问题单元
C K M P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
为惯性力 M
C 为阻尼力
K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程
c k m p
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
0 3 2 1 [ ] S M K S 1 2.5 1.5 1 0 1
在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经验 估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适可 以减少迭代时间。先假设：
1
2 (1)
(1)
1 0 0
T
S
2 ( 2)
(1)
0 1 1 3 2 1 1 2.5 1.5 0 3 3 1 0 1 0 0
推得
3
( 2)
2 j
2 i
i j
2i j
i j
2 i j
三、机械结构固有频率与振型
机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元方 法求解释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和特 征向量问题。关于矩阵的特征值及特征向量问题， 是矩阵理论中比较热门的研究领域，下面我们仅简 单地罗列以下常见方法的名称，具体的方法求解步 骤，可以参考有关书籍，有大量的软件保重均包含 求解特征值和特征向量的软件程序。
( 0)
代入
( 0)
2 (1)
(1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法 例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 2 5 3 M 0 2 0 K 0 0 3 0 3 3 0 1 0 解： 1 M 0 1 / 2 0 0 0 1 / 3
1 1 1 3 2 0 1 1 (0) S 1 2.5 1.5 1 0 于是有 1 0 0 1 1
( 0) T
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
继续迭代 推得
1
2
●迭代步骤
S （1） 2 求得 (1)和 （1） ( 2) 2 再代入 S (2) （i） ( i 1) 2 以此类推 S (i 1) （k） ( k 1) 收敛条件
( 2)
1 1 / 3 0
T
继续迭代
S
0 1 3 2 1 1 2.5 1.5 1 / 3 3.6 0.5 0 0.1 0 1 1
三、机械结构固有频率与振型
设结构作简谐运动 这是计算方法中最典型的特征值问题。 2.矩阵迭代法 这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并 且能得到相应的特征向量。 将无阻尼自由振动方程改写
2
K 0 M 0
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法 即有 令
2 M K 0 0 S 0 0
惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和 实施过程，有：
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
R N qdV
e q T V 2 T e N N 2 dV t V
e T N N dV V
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
得到的固有频率是最高阶频率，因为振型的变化是：
1 0.693 0.205
符号变化两次，振系是3自由度，因此，得到的是第3 阶频率和振型。 在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶 频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使矩 阵不按 2 为特征值进行迭代，而是按 1 / 2 为特征 2 2 值进行迭代，从而得到 1 / 的最大值，也是 的 最小值。
T
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
采用前述的迭代步骤，用 T 代替 S ，即可得到 值
T
直到 得到
( 0)
(1)
(1) (i )
依次类推
T
1
（i 1）
(i 1)
（k 1） ( k ) -
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
在计算过程中，引入参数
1 2
将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有 1 K M 0
M K
两边同左乘 K ，得到
1
令
T K M
1
K 1M
1.结构无阻尼自由振动的运动方程
结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时 阻尼影响不大，结构的自由振动可简化为：
K M 0
三、机械结构固有频率与振型
1.结构无阻尼自由振动的运动方程
0 sin t 代入无阻尼振动方程，可得 K 2 M 0 0 K 2 M 0 上式解存在的条件为
第五章 有限元动力学分析基本原理
一、单元质量矩阵的计算
1.单元一致质量矩阵 2.单元集中质量矩阵 3.常用单元的一致质量矩阵
二、单元阻尼矩阵
1.速度阻尼矩阵 2.应变阻尼矩阵
三、机械结构的固有频率和振型
1.无阻尼自由振动方程 3.其他方法 2.矩阵迭代法
四、机械结构的动力响应计算 1.振型叠加法 2.直接积分法
e T V
m N N dV
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
e
m 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。
2.集中质量矩阵 在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量 平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的 质量可分配为：
推得
(11)
1 0.69300 0.20467
(11)
(10 )
1 0.6930 0.2047
T
于是 2 (211) 4.386
1 0.693 0.205
2 1 2 2 2 1 2 2
T
4 1 8 Al 1 4 8 30 8 8 16
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●三次梁单元
156 22l 54 13l 22l 4l 2 13l 2 3 l Al e m 420 54 13l 156 22l 2 2 13l 3l 22l 4l
停止迭代 此时为低阶特性
2
（i 1）
(i1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 2 5 3 M 0 2 0 K 0 0 3 0 3 3 1 1 1 解： 1 K 1 1.5 1.5 1 1.5 11/ 6
mi m j mk
dV 3
V
一、单元质量矩阵的计算
2.集中质量矩阵
m diagm
e
单元质量矩阵为：
i
mi
mj
mj
mk
源自文库
mk
3.常用单元的一致质量矩阵 ●一次杆单元
e
1 m A N N dx A 1 2 dx l l 2 2 1 12 l 2 1 A dx 2 l 6 1 2 1 2 2
4 0 2 4 0 4 abt e m 9 对 称
0 2 0 4
1 0 2 0 4
0 1 0 2 0 4
2 0 1 0 2 0 4
0 2 0 1 0 2 0 4
二、单元阻尼矩阵的计算
阻尼矩阵非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引 起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动 速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵； 也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得 到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其 他类型的假设，如上述两者的组合，分别有：
e e e e e e e
一、单元质量矩阵的计算
单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和 集中质量阵，各有自身的优点和缺点。 1.一致质量矩阵 在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝 尔原理，单位体积上作用的惯性力为：
2 2 2 q 2 2 N e N 2 e t t t
第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结 构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力 及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆 称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另 外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体， 此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而 且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题， 成为动力学分析。 对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如 一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
2.矩阵迭代法
如此继续迭代，经过10次迭代，可得 0 1 1 3 2 (10 ) S 1 2.5 1.5 0.693 4.386 0.69300 0.2047 0.20467 0 1 1
c m c k c m k
e e e e e e e
二、单元阻尼矩阵的计算
对于组合阻尼，如已知结构的阻尼比及结构的固 有频率，其计算方法有：
如果 则
2(i j ji )
2 j
2 i
i j
2( j j ii )
T
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●二次杆单元
2 1 2 1 T e m A N N dx A 2 2 2 2 dx l l 4 4 1 2 1 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●三角形平面问题单元
2 0 1 2 0 2 t e m 12 对 称
0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 2 0 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●矩形平面问题单元
C K M P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
为惯性力 M
C 为阻尼力
K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程
c k m p
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
0 3 2 1 [ ] S M K S 1 2.5 1.5 1 0 1
在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经验 估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适可 以减少迭代时间。先假设：
1
2 (1)
(1)
1 0 0
T
S
2 ( 2)
(1)
0 1 1 3 2 1 1 2.5 1.5 0 3 3 1 0 1 0 0
推得
3
( 2)
2 j
2 i
i j
2i j
i j
2 i j
三、机械结构固有频率与振型
机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元方 法求解释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和特 征向量问题。关于矩阵的特征值及特征向量问题， 是矩阵理论中比较热门的研究领域，下面我们仅简 单地罗列以下常见方法的名称，具体的方法求解步 骤，可以参考有关书籍，有大量的软件保重均包含 求解特征值和特征向量的软件程序。
( 0)
代入
( 0)
2 (1)
(1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法 例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 2 5 3 M 0 2 0 K 0 0 3 0 3 3 0 1 0 解： 1 M 0 1 / 2 0 0 0 1 / 3
1 1 1 3 2 0 1 1 (0) S 1 2.5 1.5 1 0 于是有 1 0 0 1 1
( 0) T
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
继续迭代 推得
1
2
●迭代步骤
S （1） 2 求得 (1)和 （1） ( 2) 2 再代入 S (2) （i） ( i 1) 2 以此类推 S (i 1) （k） ( k 1) 收敛条件
( 2)
1 1 / 3 0
T
继续迭代
S
0 1 3 2 1 1 2.5 1.5 1 / 3 3.6 0.5 0 0.1 0 1 1
三、机械结构固有频率与振型
设结构作简谐运动 这是计算方法中最典型的特征值问题。 2.矩阵迭代法 这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并 且能得到相应的特征向量。 将无阻尼自由振动方程改写
2
K 0 M 0
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法 即有 令
2 M K 0 0 S 0 0
惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和 实施过程，有：
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
R N qdV
e q T V 2 T e N N 2 dV t V
e T N N dV V
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
得到的固有频率是最高阶频率，因为振型的变化是：
1 0.693 0.205
符号变化两次，振系是3自由度，因此，得到的是第3 阶频率和振型。 在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶 频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使矩 阵不按 2 为特征值进行迭代，而是按 1 / 2 为特征 2 2 值进行迭代，从而得到 1 / 的最大值，也是 的 最小值。
T
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
采用前述的迭代步骤，用 T 代替 S ，即可得到 值
T
直到 得到
( 0)
(1)
(1) (i )
依次类推
T
1
（i 1）
(i 1)
（k 1） ( k ) -
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
在计算过程中，引入参数
1 2
将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有 1 K M 0
M K
两边同左乘 K ，得到
1
令
T K M
1
K 1M
1.结构无阻尼自由振动的运动方程
结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时 阻尼影响不大，结构的自由振动可简化为：
K M 0
三、机械结构固有频率与振型
1.结构无阻尼自由振动的运动方程
0 sin t 代入无阻尼振动方程，可得 K 2 M 0 0 K 2 M 0 上式解存在的条件为
第五章 有限元动力学分析基本原理
一、单元质量矩阵的计算
1.单元一致质量矩阵 2.单元集中质量矩阵 3.常用单元的一致质量矩阵
二、单元阻尼矩阵
1.速度阻尼矩阵 2.应变阻尼矩阵
三、机械结构的固有频率和振型
1.无阻尼自由振动方程 3.其他方法 2.矩阵迭代法
四、机械结构的动力响应计算 1.振型叠加法 2.直接积分法