高中数学-随机变量及其概率分布练习

高中数学-随机变量及其概率分布练习

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(·武汉模拟)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是________．

解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 1

4C 37＝12

35.

答案

1235

2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：

则q 等于________． 解析 由分布列的性质得：

⎩⎨⎧

0≤1－2q ＜1，

0≤q 2

＜1，

0.5＋1－2q ＋q 2

＝1

⇒⎩

⎪⎨

⎪⎧

0＜q ≤1

2，q ＝1±2

2.∴q ＝1－

2

2

. 答案 1－

22

3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于________．

解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，

由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝1

3.

答案

13

4．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P (x ＝4)的概率为____________(不必化简)．

解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k

8

C 1015，k ＝4.

答案 C 47C 68

C 1015

5．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1

(n ＝1,2,3,4)，其中a 是

常数，则P ⎝

⎛⎭⎪⎫12

所以

a 1×2

＋

a 2×3

＋

a 3×4

＋

a 4×5

＝a

⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45a . ∴4a 5＝1，则a ＝5

4

. 则P ⎝

⎛⎭⎪⎫12

6

6．(·西安质检)已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．

解析 设X 取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝1

3，

由⎩⎪⎨⎪⎧

13－d ≥0，13＋d ≥0，

得－13≤d ≤1

3

.

答案 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－13，13

7．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________. 解析 由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n . 所以取到每个数的概率均为1n

.

∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3

n

＝0.3，∴n ＝10.

答案 10

8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________． 解析 X 的取值为3,4,5.

又P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24

C 35＝35.

∴随机变量X 的分布列为

答案

二、解答题

9．(·长沙调研)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后(该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货的概率；

(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．

解 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售

量为1件)＝

1

20

＋

5

20

＝

3

10

.

(2)由题意知，X的可能取值为2,3.

P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝

5

20

＝

1

4

；

P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商

品销售量为3件)＝

1

20

＋

9

20

＋

5

20

＝

3

4

.

所以X的分布列为

10.(·重庆卷)

奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望E(X)．

解设A i(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，B j(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，则A i与B j独立．

(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝C1

3

C2

4

C3

7

＝

18

35

.

(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且

P(X＝200)＝P(A

3B

1

)＝P(A3)P(B1)＝

C3

3

C3

7

·

1

3

＝

1

105

；