高一数学指数函数、对数函数、幂函数知识归纳

指数、对数、幂函数知识归纳

知识要点梳理

知识点一：指数及指数幂的运算

1.根式的概念

的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

2.n次方根的性质：

(1)当为奇数时，；当为偶数时， (2)

3.分数指数幂的意义：

；

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质：

(1) (2) (3)

知识点二：指数函数及其性质

1.指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.

2.

函数

名称

指数函数

定义函数且叫做指数函数图象

定义域

值域

过定点图象过定点，即当时，.

奇偶性非奇非偶

单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况

变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.

知识点三：对数与对数运算

1.对数的定义

(1)若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数.

(2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：.

2.几个重要的对数恒等式：，，.

3.常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).

4.对数的运算性质

如果，那么①加法：

②减法：③数乘：④

⑤⑥换底公式：

知识点四：对数函数及其性质

1.对数函数定义

一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.

2.

函数

名称

对数函数

定义函数且叫做对数函数

图象

定义域

值域

过定点图象过定点，即当时，.

奇偶性非奇非偶

单调性在上是增函数在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.

1.反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，

函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.

2.反函数的性质

(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.

(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.

(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.

(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.

3.反函数的求法

(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；

(2)从原函数式中反解出；

(3)将改写成，并注明反函数的定义域.

知识点六：幂函数

1.幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.

2.幂函数的性质

(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函

数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数

时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，

图象只分布在第一象限.

(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.

(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函

数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，

图象无限接近轴与轴.

(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和

)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.

(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图

象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.

综合训练

一、选择题

1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为( )

A．B．C．D．

2．若函数的图象过两点和，则( )

A．B．C．D．

3．已知，那么等于( )

A．B．8C．18 D．

4．函数( )

A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减

C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减

5．（2011 辽宁理9）设函数f(x)＝则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．

6．函数在上递减，那么在上( )

A．递增且无最大值B．递减且无最小值C．递增且有最大值D．递减且有最小值二、填空题

7．若是奇函数，则实数=_________.

8．函数的值域是__________.

9．已知则用表示____________.

10．设, ,且，则____________；____________.

11．计算：____________.

12．函数的值域是__________.

三、解答题

13．比较下列各组数值的大小：

(1)和；(2)和；(3).

14．解方程：(1)；(2).

15．已知当其值域为时，求的取值范围.

16．已知函数，求的定义域和值域.

能力提升

一、选择题

1．函数上的最大值和最小值之和为，则的值为( ) A．B．C．2D．4

2．已知在上是的减函数，则的取值范围是( )

A. B. C. D.

3．对于，给出下列四个不等式

①②③④

其中成立的是( )

A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④

4．设函数，则的值为( )

A．1B．-1C．10 D．

5．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果