2021届高三数学总复习第一轮——等差数列

等差数列高考大纲

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知识梳理

一、等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数

列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示

二、等差数列的通项公式

等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等

差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n

＝a m+（n﹣m）d．

三、等差数列的性质

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；

（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；

（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；

（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有

a s+a t＝2a p；

（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．

（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．

（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，

2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）

（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．

四、等差数列的求和公式等差数列的前n项和公式

等差数列的前n项和的公式：①

()

1

2

n

n

n a a

S

+

=；②

()

1

1

2

n

n n

S na d

-

=+．

五、等差数列最值求解

等差数列前n项和的最值问题可转化为项的正负问题，也可转化为二次函数最值问题.

例题讲解

一、等差数列定义的理解

例1．下面数列中，是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④110，210，310，4

10

，… A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

例2．下列数列中不是等差数列的为（ ） A.0，0，0，0，0 B.0，1-，2-，3-，4- C.2，3，4，5，6 D.0，1，2，1，0

二、等差数列通项公式

例1．在等差数列{}n a 中，已知32a =，5815a a +=，则10(a = ) A ．64 B ．26

C ．18

D ．13

例2．在等差数列{}n a 中，214a =，55a =，则公差(d = )

A ．2-

B ．3-

C ．2

D ．3

例3．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则公差等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

三、等差数列的性质

例1．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20 C ．24 D ．28

例2．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9111

3

a a -的值是( )

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

例3．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是( )

A ．(2,4)

B ．(,2)-∞

C ．(2,)+∞

D ．(4,)+∞

四、等差数列的求和公式

例1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则4

3

(S S = ) A ．1

B ．53

C ．83

D ．3

例2．等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于( ) A ．99 B ．66

C ．144

D ．297

例3．设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )

A ．23X Z Y +=

B ．44X Z Y +=

C ．237X Z Y +=

D ．86X Z Y +=

六、等差数列最值求解

例1．已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（ ）． A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在

例2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值_______．

例3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，21

4

a =，且a 4+a 5=6a 3．

练习A

1．下列说法中正确的是（ ）

A.若a ，b ，c 成等差数列，则222,,a b c 成等差数列

B.若a ，b ，c 成等差数列，则222log ,log ,log a b c 成等差数列

C.若a ，b ，c 成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列

D.若a ，b ，c 成等差数列，则2,2,2a b c 成等差数列

2．已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ） 1 4，5，6，7，8，... 2 3，0，-3，0，-6，... 3 0，0，0，0， (4)

1234,,,,10101010

… A.1 B.2

C.3

D.4

3．已若{}n a 是等差数列，则由下列关系确定的数列{}n b 也一定是等差数列的是（ ）

A. 2

n n b a =

B. 2

n n b a n =+

C. 1n n n b a a +=+

D. n n b na =

4．已知数列{}n a 为等差数列，且39a =，53a =，则9a 等于( )

A ．9-

B ．6-

C ．3-

D ．27

5．已知等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，3456a a a ++=，则91011a a a ++的值为( ) A ．18 B ．16 C ．14 D ．12

6．等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则10141

(3

a a -= )

A ．15

B ．30

C ．45

D ．60

7．等差数列{}n a 中，31a =-，1117a =-，则7a 等于( )