中考数学复习考点知识归类讲解21 二次函数中对称轴与对称问题

中考数学复习考点知识归类讲解 专题21 二次函数中对称轴与对称问题
知识对接
考点一、求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的3种方法
1. 公式法:二次函数c bx ax y ++=2
(a≠0)的图象的顶点坐标是)44,
2(2
a
b a
c a b -- 2.配方法:将抛物线的解析式配方,化为y=a(x-h)2+k 的形式,得到顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h.
3.运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x 1,m),(x 2,m),则对称轴为直线x=2
2
1x x +,再将其代入抛物线的解析式,即可得顶点坐标.
专项训练 一、单选题
1．抛物线y ＝2（x +1）2﹣3的对称轴是（ ） A ．直线x ＝1
B ．直线x ＝﹣1
C ．直线x ＝3
D ．直线x ＝﹣3
2．已知抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（ ）
A ．2
123
y x x =--
B ．2
123
y x x =-+
C ．2123
y
x x D ．2
123
y x x =+
3．抛物线()2
0y ax
bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；
②()()22
42a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；
④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）．
A ．23x <<
B ．34x <<
C ．45x <<
D ．56x <<
5．已知关于x 的二次函数2y x bx c =++的图象关于直线2x =对称，则下列关系正确的是（） A ．4b = B ．240b c -≤
C ．0x =的函数值一定大于3x =的函数值
D ．若0c <，则当2x =时，0y >
6．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）
A．15
4
B．4 C．﹣
15
4
D．﹣
17
4
7．二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（）
A．2
3
B．
4
3
C．2 D．
3
4
8．已知二次函数y＝（2﹣a）23
a
x ，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a 的值为（）
A B C D．0
9．抛物线y=x2﹣2x﹣15，y=4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）
A．B．C．D．
10．已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（）
A．将抛物线c沿x轴向右平移5
2
个单位得到抛物线c′B．将抛物线c沿x轴向右平移4
个单位得到抛物线c′
C．将抛物线c沿x轴向右平移7
2
个单位得到抛物线c′D．将抛物线c沿x轴向右平移6
个单位得到抛物线c′
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，
在直线AB ：y ＝kx +3上取一点B ，使点B 在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形为正方形，则c 的值为________．
12．已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()3,4,M 是抛物线22(0)y ax bx a =++≠对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当b a
的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴上存在3个不同的点M ，使AOM 为直角三角形，则b
a 的值是____．
13．如果一抛物线的对称轴为1x =，且经过点A （3,3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为____________
14．已知点A 、B 在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上（A 在B 右侧），且关于图像的对称轴直线x ＝2对称，若点A 的坐标为（m ，1），则点B 的坐标为_______．（用含有m 的代数式表示）
15．已知抛物线2441y ax ax a =-+-. （1）该抛物线的对称轴是x =________.
（2）该抛物线与x 轴交于点A ，点B 与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)，若此抛物线的对称轴上的点P 满足APB ACB ∠<∠，则点P 的纵坐标n 的取值范围是________. 三、解答题
16．已知抛物线()2
0y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个公共点()30A -,
且经过点12,4
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
． （1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线l ：34
y x m =+与抛物线2y ax bx c =++相交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），与对称轴相交于点P ，且B ，C 分布在对称轴的两侧．若B 点到抛物线对称轴的距离为n ，且()23CP t BP t =⋅≤≤． ①试探求n 与t 的数量关系；
②求线段BC 的最大值，以及当BC 取得最大值时对应m 的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线21
322
2
y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ．
（1）求线段BC 的长；
（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作//CE BP 交x 轴于点E ，连接
PE ，求BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，以y 轴为对称轴，将抛物线2
13222
y x x =+-对称，对称后点P 的
对应点为点P '，点M 为对称后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点A 、
P '、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，则请说明
理由．
18．已知一条抛物线顶点为(),2P m m -，且与x 轴交于点()2,0A m （0m >） （1）当2m =时； ①求二次函数解析式；
②直线l ：y kx b =+（0k >）过定点()3,4-与抛物线交于B 、C 两点（B 在C 右侧），连接BP 、
CP ，若PBC S =△，求直线l 的解析式；
（2）若H 为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且OH 交对称轴于点M ，点N ，M 关于点P 对称，求证：N ，A ，H 三点共线．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于点A (﹣1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，3)．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图1，点D 与点C 关于对称轴对称，点P 在对称轴上，若∠BPD ＝90°，求点P 的坐标；
（3）点M 是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N 在抛物线的对称轴上，当BMN 为等边
三角形时，请直接写出点M 的坐标．
20．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （4，0），B （﹣2，0），C （0，﹣4）三点． （1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标；
（2）如图1，点M 是抛物线对称轴上的一点，求△MBC 周长的最小值；
（3）如图2，P 是线段AB 上一动点（端点除外），过P 作PD //AC ，交BC 于点D ，连接CP ，求△PCD 面积的最大值，并判断当△PCD 的面积取最大值的时，以PA 、PD 为邻边的平行四边形是否为菱形．
21．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0,A B -两点，与y 轴交于点(0,3)C -．
()1求抛物线的函数解析式；
()2抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．点D 与点C 关于点M 对称，试问在该抛物线上是否
存在点P ．使ABP △与全ABD △全等﹖若存在，请求出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连
接,AC BC A C 、、两点的坐标分别为()1,0A C -、，且它的图象关于直线1x =对称 （1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点M N 、同时从A 点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿AB AC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连接MN ，将AMN ∆沿MN 翻折，A 点恰好落在BC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以,,A N Q 为顶点
的三角形与ABC ∆相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，
4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．。