例析三个二次的关系

例析三个“二次”的关系
055350 河北隆尧一中 焦景会 一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式，是中学数学的重要内容，它们常被称为三个“二次”，高考中出现的三个“二次”的相关联问题，以及运用三个“二次”的相关性解决其它问题，较为复杂，有一定难度，为此举例分析如下：
基础知识点：
1、二次函数的三种表示形式
（1）一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)；
（2）顶点式：若二次函数顶点坐标为(k, h)，则f(x)=a(x －k)2
+h(a ≠0)；
（3）双根式：若二次函数图象与x 轴交点坐标为(x 1, 0), (x 2, 0)，则f(x)=a(x －x 1)( x －x 2) (a ≠0)。

2、二次函数的性质
设f(x)=ax 2
+bx+c(a ＞0)，则定义式为R ，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，对称轴为2b x a =-，在,2b a ⎛
⎤-∞-
⎥⎝⎦
是减函数，在,2b
a ⎡
⎫
-
+∞⎪⎢
⎣
⎭
是增函数，当b=0时，f(x)是偶函数，当b ≠0时，f(x)是非奇非偶函数，特别的，当a ＞0时，f(x)在[p, q]上有最大值M ，最小值m ，设x 0=(p+q)，则 （1）若
a
b 2＜p ，则f(p)=m, f(q)=M ；（2）若－
a
b 2≥q ，则f(q)=m, f(p)=M ；
（3）若p ≤－
a
b 2＜x 0，则f(－
a
b 2)=m ，f(q)=M ；（4）若x 0≤
a
b 2＜q ，则f(－
a
b 2)=m ，f(p)=M 。

3、二次方程f(x)=0的实根分布
一般情况下，需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=－
a
b 2与区间端
点的关系。

设x 1、x 2是实系数二次方程ax 2+bx+c=0(a ＞0)两实根，则x 1、x 2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下：
（1）120()02x x k f k b k a ⎧⎪∆>⎪<<⇔>⎨⎪⎪-<⎩ ； (2) 120()02k x x f k b k a
⎧
⎪∆>⎪
<<⇔>⎨⎪⎪->⎩；
(3) 12()0x k x f k <<⇔< (4)
112122
120
()0,(,)()0
2f k x x k k f k b k k a ∆≥⎧⎪
>⎪⎪
∈⇔>⎨⎪
⎪<-<⎪⎩
；
(5) 12,x x 有且仅有一个在12(,)k k 内12()()0f k f k ⇔⋅<或12
11()0,22
k k b f k k a
+=<-
<
或
12
22()0,
2
2k k b f k k a
+=<-
<。

3、二次不等式的转化策略
（1）f(x)>0的解集为(,)(,)0a αβ-∞⋃+∞⇔>且()()0f f αβ==
（2）当0a <时，()()22b b f f a a αβαβ<⇔+>+（点与对称轴越近，则函数值越小）；
当0a >时，()()22b b f f a
a
αβαβ<⇔+<+（点与对称轴越近，则函数值越小）。

（3）()0f x >在(,)p q 上恒成立m in
[()]02()0b p f x a
f p ⎧-<⎪⇔>⇔⎨⎪>⎩或2()0
b q a f q ⎧-≥⎪
⎨⎪≥⎩
或202b p q
a
b f a ⎧≤-
<⎪⎪⎨⎛⎫
⎪-> ⎪⎪⎝⎭
⎩
；
（4）()0f x >恒成立00a >⎧⎨∆<⎩
或0
0a b c ==⎧⎨>⎩。

典型问题分析：
例1：（2007广东）已知a 是实数，函数f(x)=2ax 2
+2x －3－a ，如果函数y=f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围。

解：若0a =，则()23f x x =-在区间[1,1]-上没有零点。

下面就0a ≠分三种情形讨论：
（1）
方程()0f x =在区间[1,1]-上有重根，此时24(261)0a a ∆=++=
，解得32a -±
=。

当2a =
时，()0f x =
的重根3[1,1]2
x -=
∈-。

当2
a =时，()0f x =的
重根[1,1]2
x =
-。

故当方程()0f x =在区间[1,1]-
上有重根时2
a =。

（2）
()f x 在区间[1,1]-只有一个零点且不是重根，此时有(1)(1)0f f -≤。

(1)5f a -=- ，(1)1f a =-，(5)(1)0a a ∴--≤15a ⇒≤≤，
当5a =时，方程()0f x =在区间[1,1]-上有两个异根，故15a ≤<。

（3） 方程()0f x =在区间[1,1]-上有两个异根，因为 2
11()2()322f x a x a a
a
=+
-
--，
对称轴为12x a
=-
，应满足0
(1)01
12(1)00
a f a f >⎧⎪
≥⎪
⎪-<⎨⎪
⎪-≥⎪
∆>⎩（I ），0(1)01
12(1)00
a f a f <⎧⎪
≤⎪
⎪-<⎨⎪
⎪-≤⎪
∆>⎩（II ），
解不等式组（I）得5
a≥，解不等式组（II
）得
2
a<，
故方程()0
f x=在区间[1,1]
-
上有两个异根时[)
3
,5,
2
a
⎛⎫
--
∈-∞⋃+∞
⎪
⎪
⎝⎭。

综上a
的取值范围[)
3
,1,
2
⎛--
-∞⋃+∞
⎝⎦。

例2：设f(x)=x2－ax+2，当x∈[－1，+∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。

解：法Ⅰ：由题意a≤x―2ax2+2，在[―1，+∞]内恒成立，而f(x)=x2―2ax+2=(x―a)2+2―a2在
[―1，+∞]上最小值为
2
m in22
2,[1,)
()
(1)2,(,1)
a a
f x
a a a
⎧-∈-+∞
⎪
=⎨
++-∈-∞-
⎪⎩
由a≤f(x)min，知a∈[－3，1]为所求。

法Ⅱ：f(x)≥a ⇒2220
x ax a
-+-≥在[―1，+∞]上恒成立的条件为
（1）0[2,1]
a
∆≤⇔∈-, （2）
1
(1)0
a
f
∆>
⎧
⎪
<-
⎨
⎪-≥
⎩
[3,2]
a
⇒∈--，综上得[3,1]
a∈-。

法Ⅲ：由f(x)≥a ⇒x2+2≥a(2x+1) ，设y1=x2+2, y2=a(2x+1)，作函数y1与y2在[―1，+∞]图象。

当y1与y2相切及y2过点(―1，3)时为极限位置，可得a∈[―3，1]。

点评：方法Ⅰ：在[―1，+∞]内，f(x)的最小值都大于或等于a；方法Ⅱ：有关二次函数值性大于或等于0的问题，利用∆；方法Ⅲ：利用数形结合思想。