例析三个二次的关系
三元二次回归旋转组合设计例题
三元二次回归旋转组合设计例题在日常生活中，数据分析与处理是一项重要的技能，尤其在科学研究、产品研发等领域。
为了更好地研究多个变量之间的关系，一种常用的方法就是运用三元二次回归旋转组合设计。
下面，我们就来详细了解一下这种设计方法。
一、三元二次回归旋转组合设计的概念三元二次回归旋转组合设计是一种试验设计方法，它通过对多个变量进行组合，构建出一个旋转矩阵，从而达到降维、简化数据的目的。
在这种设计中，每个变量都有两个水平，可以表示为(-1, 1)。
通过这种设计，我们可以得到较少的试验次数，同时还能保证试验结果的有效性。
二、三元二次回归旋转组合设计的优点1.试验次数较少：与全因子设计相比，三元二次回归旋转组合设计的试验次数较少，可以节省人力、物力和时间成本。
2.保持变量间的相关性：在旋转组合设计中，各个变量之间的相关性得以保持，便于我们研究变量之间的相互作用。
3.易于分析：通过旋转矩阵的构建，可以将多个变量之间的关系简化为少数几个线性关系，便于我们进行后续的数据分析。
三、实例题目解析下面，我们通过一个具体的实例来详细讲解三元二次回归旋转组合设计的应用。
例题：某研究者想要研究三个变量X、Y、Z之间的关系，可以采用三元二次回归旋转组合设计。
设定每个变量的两个水平分别为(-1, 1)，构建旋转矩阵。
解：根据三元二次回归旋转组合设计的构建方法，我们可以得到如下的旋转矩阵：X：[1 0 0][0 1 0]Y：[0 1 0][0 0 1]Z：[0 0 1][1 0 0]通过这个旋转矩阵，我们可以将三个变量之间的关系简化为以下形式：X = a0 + a1*Y + a2*ZY = b0 + b1*X + b2*ZZ = c0 + c1*X + c2*Y研究者可以根据这个简化后的模型，进行后续的数据分析，从而研究变量之间的相互关系。
总之，三元二次回归旋转组合设计是一种实用且高效的数据处理方法，通过简化变量关系、降低试验次数，为我们研究多个变量之间的相互作用提供了便利。
二次函数考点例析
故 答 案 选 Ｄ。
点评
在 二次 函数 中， ３涉及 图像 与坐标轴 的交点时 ， － ＂ 要考虑二 次 函
数与一元二次方程 的关 系。另外 ，若关 系式 中二 次项 系数含有待 定字母 时． 若限定为二 次函数 ， 则必须保证二 次项 系数不等 于 ０ 。
二、 考查 二 次 函数 的 图像 和 性 质
点评 二 次 函数 ｙ 似 ６ ｃ ｎ ） 图像 与 它 的 系数 有 密切 关 系 ： ＝ 卅 （ ≠０ 的
（） １ ｎ决 定 开 口方 向 ，＞ 甘 抛 物 线 开 口 向上 ，＜ 铮 抛 物 线 开 口向 下 ； ２ 由 ００ ００ （）
，
于对 称 轴 ：
ｒ 上
知 ，、 ０ ｂ共 同决 定 图像 的 对 称 轴 位 置 ， 、 ０ ｂ同号甘 对 称 轴 在
考点例 析
。 胡 锦 波
一
、
考 查 二 次 函数 与 一 元 二 次 方 程 的 关 系
例 １ （０ １ ２ １ 年湖北省襄 阳市 ） 已知函数 ， （ 一 ） ＋ 的图像与 ， ３ｘ＋ １ ＝ 轴有交点 ， ｋ的取值范围是 （ ） 则
Ａ．＜ ｋ４ Ｂ ≤ ４ ． Ｃ．＜ ｋ ４且 ≠ ３ Ｄ．≤ ４且 ≠ ３ ｋ
解析 由一元 二次方程 与二次 函数 的关系 可知 ： ／ １０ 且 一 ≠０ 当 Ｘ ， ＞ ３
时 ， 次 函数 ｙ （一 ）Ｚ ｘ ｌ的 图像 与 轴 有 交 点 。 二 ： ３ｘ ２＋ ＋
所 以 ２＿ （ ３ × ≥０， ２４ 一 ） １ 且 一 ≠０ 解 得 ｋ≤４且 ｋ 。 ３ ， ≠３
、
。 。
－
—
—
二 次 函 数
2021届浙江省数学学案第二章第1节不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法含解析
2021届浙江省高考数学一轮学案：第二章第1节不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法含解析第1节不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法考试要求1。
了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型;3。
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4。
会解一元二次不等式．知识梳理1。
两个实数比较大小的方法（1）作差法错误!（2)作商法错误!2.不等式的性质（1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2）传递性：a＞b,b＞c⇒a＞c;（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c;a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d;（4)可乘性:a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；（5)可乘方:a＞b＞0⇒a n＞b n（n∈N，n≥1）；（6)可开方:a＞b＞0⇒n，a ＞错误!(n∈N，n≥2)。
3。
三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2）有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实数根ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集错误!错误!Rax2＋bx＋c＜0 （a ＞0)的解集｛x｜x1＜x＜x2｝∅∅[常用结论与易错提醒］1。
倒数性质（1）a＞b，ab＞0⇒错误!＜错误!.(2)a＜0＜b⇒错误!＜错误!。
2.有关分数的性质若a＞b＞0，m＞0,则(1）真分数的性质错误!＜错误!；错误!＞错误!(a－m＞0)。
（2)假分数的性质错误!＞错误!；错误!＜错误!（b－m＞0)。
3。
对于不等式ax2＋bx＋c〉0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形。
4.当Δ〈0时，ax2＋bx＋c〉0(a≠0）的解集为R还是，要注意区别。
诊断自测1。
判断下列说法的正误.(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(）(2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2）,则必有a＞0。
专题08 三个“二次”的关系 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料08 三个“二次”的关系◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 一元二次不等式形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．知识链接02 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根一元二次方程 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集x <x 1或x >x 2x ≠x 1全体实数一元二次方程 ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集x 1< x <x 2 无 解 无 解知识链接03 一元二次不等式的解法（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．（2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．知识链接04 含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 (0)ax b a >≠的形式．（1）当0a >时，不等式的解为：bx a >； （2）当0a <时，不等式的解为：bx a<；（3）当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>；① 若0b >，则不等式的解是全体实数； ② 若0b ≤，则不等式无解．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇ 典例剖析01 解下列不等式：（1）2320x x -+< ； （2）2654x x +<；（3）2320x x +-≥； （4）2210x x -->；（5）24410x x -+>； （6）2530x x -+<．典例剖析02 解下列不等式：（1）22120(0)x ax a a --<< ；（2）()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭(01)a <<．典例剖析03 已知不等式210ax bx ++>的解为1123x -<<，求a 和b 的值， 并解不等式250bx x a --≤．典例剖析04 已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．典例剖析05 （1）解关于x 的不等式222m x mx m +>+．（2）已知关于x 的不等式22k kx x ->+的解为12x >-，求实数k 的值．典例剖析05 解下列关于x 的不等式：（1）x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0；（2）ax 2－2≥2x －ax ；（3）ax 2＋2x ＋1>0．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知不等式()21680k x x --+<的解是425x x <->或，则k =_____．（2）已知不等式20x px q ++<的解集是32x -<<，则p q +=________．（3）不等式20ax bx c ++>的解集为23x <<，则20ax bx c -+>的解是_____．（4）已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．（ⅰ）求a ，b 的值； （ⅱ）解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.小试牛刀02 解下列不等式：（1）2x 2－3x －2≥0； （1）－3x 2＋6x >2.小试牛刀03 解下列关于x 的不等式：（1）56x 2－ax －a 2<0.（2）21()10(0,)x a a a a-++<≠为实数（3）220()x x a a ++<为实数．小试牛刀04 已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．小试牛刀05 已知一元二次方程240x x k -+=，求下列各条件下，实数k 的取值范围．（1） 方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料08 三个“二次”的关系◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 一元二次不等式形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．知识链接02 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根一元二次方程 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集x <x 1或x >x 2x ≠x 1全体实数一元二次方程 ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集x 1< x <x 2 无 解 无 解知识链接03 一元二次不等式的解法（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．（2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．知识链接04 含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 (0)ax b a >≠的形式．（1）当0a >时，不等式的解为：bx a >； （2）当0a <时，不等式的解为：bx a<；（3）当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>；① 若0b >，则不等式的解是全体实数； ② 若0b ≤，则不等式无解．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 解下列不等式：（1）2320x x -+< ； （2）2654x x +<； （3）2320x x +-≥； （4）2210x x -->； （5）24410x x -+>； （6）2530x x -+<．【解析】（1）不等式可化为(1)(2)0x x --<，∴ 不等式的解集是{|12}x x <<；（2）不等式可化为(21)(34)0x x -+<，∴ 不等式的解集是41{|}32x x -<<； （3）不等式可化为2230x x --≤，即(1)(3)0x x +-≤，∴ 不等式的解集是{|13}x x -<<；（4）不等式可化为(21)(1)0x x +-> ∴ 不等式的解是112{|}x x x <->或； （5）不等式可化为2(21)0x ->，∴ 不等式的解集是1{|}2x x ≠； （6）2530x x -+=的根为513x ±= 513513x -+<<．典例剖析02 解下列不等式：（1）22120(0)x ax a a --<< ； （2）()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭(01)a <<． 【解析】（1）{|43}x a x a <<-； （2）1{|}x a x a<<．典例剖析03 已知不等式210ax bx ++>的解为1123x -<<，求a 和b 的值， 并解不等式250bx x a --≤．【解析】 依题意，12-和13是方程210ax bx ++=的两根， 法1：由韦达定理，∴ 1123b a-+=-，11123a -⨯=，解得6a =-，=1b -．法2：直接代入方程得，2211()()102211()()1033a b a b ⎧⨯-+⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+=⎪⎩，解得6a =-，=1b -∴ 不等式250bx x a --≤为2560x x +-≥，解得1x >或6x <-．∴ 不等式250bx x a --≤的解集为{|16}x x x ><-或．典例剖析04 已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0，Δ＝42－4（a ＋2）（a －1）<0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，（a －2）（a ＋3）>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，a <－3或a >2，所以a >2．典例剖析05 （1）解关于x 的不等式222m x mx m +>+．（2）已知关于x 的不等式22k kx x ->+的解为12x >-，求实数k 的值．【解析】（1）分m 与0，2的大小关系讨论；（2）32k =-．典例剖析06 解下列关于x 的不等式：（1）x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0； （2）ax 2－2≥2x －ax ； （3）ax 2＋2x ＋1>0．【解析】（1）将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0.∴a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}． 当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∴R 且x ≠a }．（2）原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0∴(ax －2)(x ＋1)≥0.∴当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0∴x ≤－1.∴当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0∴x ≥2a 或x ≤－1. ∴当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； 当2a <－1，即a >－2，原不等式等价于2a≤x ≤－1． 综上所述，当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a ； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∴⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞． （3）略．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知不等式()21680k x x --+<的解是425x x <->或，则k =_____．4- （2）已知不等式20x px q ++<的解集是32x -<<，则p q +=________．5- （3）不等式20ax bx c ++>的解集为23x <<，则20ax bx c -+>的解是________．32x -<<- （4）已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．（ⅰ）求a ，b 的值； （ⅱ）解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.【解析】（4）（ⅰ）因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.（ⅱ）不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0无解.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0无解.小试牛刀02 解下列不等式：（1）2x 2－3x －2≥0； （1）－3x 2＋6x >2.x ≤－12或x ≥2 1－33<x <1＋33小试牛刀03 解下列关于x 的不等式： （1）56x 2－ax －a 2<0. （2）21()10(0,)x a a a a-++<≠为实数 （3）220()x x a a ++<为实数．【解析】（1）56x 2－ax －a 2<0∴(7x －a )(8x ＋a )<0∴⎝⎛⎭⎫x －a 7⎝⎛⎭⎫x ＋a 8<0 当a >0时，a 7>－a 8.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a 8<x <a 7； 当a ＝0时，a 7＝－a 8，原不等式可化为x 2<0. ∴原不等式无解； 当a <0时，a 7<－a 8.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a 7<x <－a 8. （2）原不等式可变为：1()()0x a x a --<，（ⅰ）当1a >或10a -<<时，{}1x x a a<<； （ⅱ）当1a =±时，无解；（ⅲ）当01a <<或1a <-时，{}1x a x a<<． （3）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=，44a ∆=-，当1a ≥时，440a ∆=-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-±-，所以220x x a ++<的解为：1111a x a ---<<-+-综上所述，1a ≥时，原不等式无解；当1a <时，原不等式的解为：{|1111}x a x a ---<<-+-．小试牛刀04 已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．【解析】 222000111(2)4010k k k k k k k k >>>⎧⎧⎧⇒⇒⇒>⎨⎨⎨<->--<->⎩⎩⎩或． 小试牛刀05 已知一元二次方程240x x k -+=，求下列各条件下，实数k 的取值范围．（1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根．（1）04k << （2）0k < （3）34k <≤。
谈三个二次关系及及综合运用--
谈“三个二次”关系及其综合运用济钢高级中学 杨同才 2011年7月17日 12:29隋宇为于11-7-17 16:02推荐杨老师的文章从最基本的问题入手，通过数形结合的方法将“三个二次”的问题说的很清楚很全面，很有参考价值。
邵丽云于11-7-19 14:28推荐杨老师的“三个二次”关系及其综合运用这篇文章，以二次函数为主线充分论述三个二次间的关系，并对相关问题进行了总结归纳，可见杨老师平时教学的用心，值得学习。
一、”三个二次”的关系”三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题。
”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。
因而在高考试题中将近占一半的试题与“三个二次”问题有关，作为教师进一步澄清三者的内在联系对提高学生数学思维水平有很大帮助！“三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就专题学习了二次函数，研究了二次函数的定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。
初中也学习了一元二次方程及其规范解法，如公式法、配方法、因式分解法等。
只有一元二次不等式及解法在初中仅是初步了解。
初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。
升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。
在“三个二次”中一元二次函数2y=a +b +c x x 是重点，从它的配方形式22b 4ac-b y=a ++ 2a 4x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于2b a-对称值时函数值的取值特点。
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点：1.一元二次不等式的概念。
2.三个二次的关系。
3.一元二次不等式的解法。
知识点拓展：4.分式不等式的解法。
5.高次不等式的解法。
本节题型：1.解不含参数的一元二次不等式。
2.解含参数的一元二次不等式。
3.三个二次之间的关系。
4.简单高次不等式、分式不等式的解法。
5.XXX成立问题。
6.一元二次不等式的应用。
知识点讲解：一元二次不等式的概念：一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。
解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。
注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。
三个二次的关系：一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。
一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解；①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。
2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。
具体关系见下表（1）所示。
一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。
例题讲解：1.解不等式x2+4x+3≤0.解：将不等式化为一元二次方程x2+4x+3=0，解得x=-1，x=-3.因此，不等式的解集为[-3,-1]。
例析三个二次的关系
例析三个“二次”的关系 055350 河北隆尧一中 焦景会 一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式，是中学数学的重要内容，它们常被称为三个“二次”，高考中出现的三个“二次”的相关联问题，以及运用三个“二次”的相关性解决其它问题，较为复杂，有一定难度，为此举例分析如下：基础知识点：1、二次函数的三种表示形式（1）一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)；（2）顶点式：若二次函数顶点坐标为(k, h)，则f(x)=a(x －k)2+h(a ≠0)；（3）双根式：若二次函数图象与x 轴交点坐标为(x 1, 0), (x 2, 0)，则f(x)=a(x －x 1)( x －x 2) (a ≠0)。
2、二次函数的性质设f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)，则定义式为R ，值域为，对称轴为，在24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2b x a =-,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 是减函数，在 是增函数，当b=0时，f(x)是偶函数，当b ≠0时，f(x)是非奇非偶函数，,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭特别的，当a ＞0时，f(x)在[p, q]上有最大值M ，最小值m ，设x 0=(p+q)，则（1）若＜p ，则f(p)=m, f(q)=M ；（2）若－≥q ，则f(q)=m, f(p)=M ； a b 2ab 2（3）若p ≤－＜x 0，则f(－)=m ，f(q)=M ；（4）若x 0≤＜q ，则f(－)=m ，f(p)=M 。
a b 2a b 2a b 2a b 23、二次方程f(x)=0的实根分布一般情况下，需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=－与区间端ab 2点的关系。
设x 1、x 2是实系数二次方程ax 2+bx+c=0(a ＞0)两实根，则x 1、x 2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下：（1） ； (2) ；120()02x x k f k b k a ⎧⎪∆>⎪<<⇔>⎨⎪⎪-<⎩120()02k x x f k b k a⎧⎪∆>⎪<<⇔>⎨⎪⎪->⎩(3) (4) ； 12()0x k x f k <<⇔<112122120()0,(,)()02f k x x k k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪∈⇔>⎨⎪⎪<-<⎪⎩(5) 有且仅有一个在内或或12,x x 12(,)k k 12()()0f k f k ⇔⋅<1211()0,22k k b f k k a +=<-<。
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。
初高中衔接——三个“二次”之间的关系
初高中衔接——三个“二次”之间的关系作者：姜静洁来源：《新课程学习·中》2013年第11期摘要：学生从初中升入高中，数学学习上往往会出现很大的反差，教师应该在初三下学期给学生搭建一个坡度缓慢的“引桥”，让学生顺利完成衔接。
关键词：一元二次函数；一元二次方程；一元二次不等式；区别；联系；应用学生由初中升入高中将面临许多变化，学生不能尽快地适应高中学习，出现数学学习困难，成绩大幅度下降，甚至过去的尖子生可能变为学习后进生。
结合高中实际，对分化原因进行了分析，笔者认为：在整个中学数学教学中，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具，而且高考试题中近一半的试题都与这三个“二次”问题有关。
所以，在初三下学期的数学教学中，我们应该从提高思想意识、指导学习方法出发，有意识地设置坡度不大的台阶，使学生能顺利、自然、快捷地完成初高中数学知识衔接教学。
一、三个“二次”之间的区别与联系例1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根。
（2）写出不等式ax2+bx+c>0的解集。
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围。
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解：（1）方程ax2+bx+c=0的根即抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标，观察图象得方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=3。
（2）不等式ax2+bx+c>0的解集即抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）位于x轴上方的那一段的x 的范围，观察图象得不等式ax2+bx+c>0的解集为1（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为x=2，结合图象得对称轴右边y随x的增大而减小，所以x>2。
二次函数在经济学中的案例分析
二次函数在经济学中的案例分析在经济学中，二次函数被广泛应用于各种案例分析。
二次函数是一种特殊的代数函数，可用来描述许多经济现象的关系和变化趋势。
本文将通过几个实例，展示二次函数在经济学中的实际应用。
案例一：成本和产量的关系在生产经济中，成本和产量之间存在紧密的联系。
假设某企业的成本与产量的关系可以用二次函数表示。
成本函数的一般形式为C(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数，x表示产量。
通过对实际数据进行回归分析，可以得到最佳拟合的二次函数。
利用二次函数分析，可以确定边际成本的变化趋势。
二次函数的导数可以表示边际变化率，即成本随产量变化的速率。
通过对导数的分析，企业可以做出合理的决策，如确定最优产量水平以最大化利润。
案例二：价格弹性和需求关系价格弹性是经济学中的重要概念，用于衡量价格变化对需求的影响程度。
二次函数可用于描述价格弹性与需求之间的关系。
假设某商品的需求函数为Q(p) = ap^2 + bp + c，其中p表示价格。
通过对实际数据的回归分析，可以确定商品的需求曲线。
利用二次函数，可以计算出价格弹性。
价格弹性的值可以帮助企业预测市场需求的变化，从而做出灵活的定价策略。
案例三：投资回报率和风险关系在投资决策中，投资回报率和风险是两个重要的考虑因素。
二次函数可以帮助分析投资回报率与风险之间的关系。
假设某项投资的回报率与风险的关系可以用二次函数表示。
回报率函数的一般形式为R(x) = ax^2 + bx + c，其中x表示风险水平。
通过对历史数据进行回归分析，可以确定最佳拟合的二次函数。
利用二次函数分析，可以确定投资回报率随风险变化的趋势。
通过对函数的极值点进行分析，可以找到最佳风险水平，从而实现回报的最大化。
综上所述，二次函数在经济学中具有广泛的应用价值。
通过对二次函数的分析，可以更好地理解各种经济现象之间的关系，从而为决策提供科学依据。
不仅限于成本与产量、价格弹性与需求、投资回报率与风险这些案例，二次函数在经济学中的应用领域还非常广泛，包括市场预测、经济增长模型等等。
二次函数两个自变量互相影响的例子
【概述】在数学领域中，二次函数是一种非常重要的函数类型，它在实际生活中有着广泛的应用。
二次函数有两个自变量，即x和y，它们之间存在着相互影响的关系。
在本文中，我们将针对二次函数中两个自变量的相互影响进行深入探讨，并给出一些具体的例子进行说明。
【例子一：抛物线运动】1. 例子描述：假设有一个抛物线运动的例子，其中x表示时间，y表示高度。
那么，时间的增加会导致什么变化呢？2. 分析：随着时间的增加，抛物线的高度会发生变化，使得y值随之改变。
这就是x和y两个自变量之间的相互影响。
【例子二：收入和消费的关系】1. 例子描述：假设一个人的收入是x，消费是y，两者之间存在着一定的关系。
当收入增加时，消费会发生怎样的变化？2. 分析：一般情况下，随着收入的增加，消费也会相应增加。
这就表明了收入和消费这两个自变量之间的相互影响。
【例子三：商品价格与销量的关系】1. 例子描述：某商品的价格是x，销量是y，它们之间存在着怎样的关系？2. 分析：通常情况下，商品价格的提高会导致销量的下降，而价格的降低则会促进销量的增加。
这就展现了商品价格和销量之间的相互影响。
【总结】通过以上几个例子的分析，我们可以得出结论：在二次函数中，两个自变量之间存在着相互影响的关系。
这种互相影响的特性在实际生活中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和分析各种现象和问题。
【结尾】二次函数中两个自变量之间的相互影响是我们数学学习中的重要内容，深入理解和掌握这一特性对于我们在实际应用中能够更好地运用数学知识，解决具体问题具有重要意义。
希望本文的内容能够给读者带来一些启发和帮助，使大家对二次函数的两个自变量之间的影响关系有更深入的认识。
很高兴看到您对文章内容的续写感兴趣，继续以下部分：【二次函数中两个自变量的相互影响】在数学中，我们常常会遇到各种各样的函数，其中二次函数是一种非常重要的函数类型。
二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。
三个“二次”之间的关系
一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.其中二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，应认真研究、熟练掌握.本文主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.首先，我们来回顾一下三个“二次”的基本关系：接下来，我们一起来谈谈有关三个“二次”的四类重要题型：（一）解含参二次不等式例1 解关于x的不等式：ax2+（a-1）x-1>0（a∈R）分析当a=0时，此不等式为一次不等式，可直接求出不等式的解集；当a≠0时，要分a>0与a<0两种情况进行讨论，再看方程ax2+（a-1）x-1=0根的情况.解①当a=0时，得x<-1.②当a>0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）>0，解得x1a.③当a<0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）<0，若1a<-1，即-1 若1a=-1，即a=-1，则不等式解集为空集；若1a>-1，即a<-1，则-1<x<1a.综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x|x1a}；当a=0时，不等式的解集为{x|x<-1}；当-1 当a=-1时，不等式解集为空集；当a<-1时，不等式解集为{x|-1<x<1a}.变式若关于x的不等式ax2+（a-1）x-1>0的解集为{x|x12}，求实数a的值.由一元二次不等式与二次方程的关系，借助根与系数的关系可得：a>0，12?（-1）=-1a，12+（-1）=-a-1a，解得a=2.解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.注意：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向.（2）判断方程的根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系.（3）确定无根或有一根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集.（二）二次函数在给定区间上的最值问题例2 求函数f（x）=x2-2ax，x∈[0，4]的最小值与最大值.分析函数f（x）在区间[0，4]上的单调性不确定，因此需对对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.解 f（x）的对称轴为x=a.当a≤0时，f（x）在[0，4]上单调递增，f（x）min=f（0）=0；当0 当a≥4时，f（x）在[0，4]上单调递减，f（x）min=f（4）=16-8a.所以f（x）min=0，-a2，16-8a， a≤0，0 a≥4.f（x）max=max{f（0），f（4）}=0，16-8a， a≥2，a<2.变式1 已知函数f（x）=-x2+8x，求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）.解 f（x）的对称轴为x=4.当t+1≤4即t≤3时，h（t）=f（t+1）；当t<4<t+1即3<t<4时，h（t）=f（4）；当t≥4时，h（t）=f（t）.所以h（t）=-t2+6t+7，16，-t2+8t， t≤3，3<t<4，t≥4.变式2 已知函数y=-x2+ax-a4+12在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值.解令f（x）=-x2+ax-a4+12，函数的对称轴为x=a2，当a2≥1即a≥2时，ymax=f（1）=-12+34a=2.解得a=103∈[2，+∞）.当0 当a2≤0即a≤0时，ymax=f（0）=-a4+12=2，解得a=-6∈（-∞，0].所以a=103或a=-6.求解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在给定区间[p，q]上的最值问题：实际上是研究函数在[p，q]上的单调性.常用方法是：（1）当a>0时求最小值或当a0时最大值为max{f（p），f（q）}，当a<0时最小值为min{f（p），f（q）}.（三）一元二次不等式恒成立问题例3 已知不等式mx2-2x-m+1<0.（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.分析（1）不等式mx2-2x-m+12，不等式不恒成立；当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x-m+1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即m<0，Δ=4-4m（1-m）<0，则m无解.综上可知不存在这样的m.（2）从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，由于已知m的取值范围，不妨换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式在m∈[-2，2]上恒成立，求参数x的范围.解设g（m）=（x2-1）m+（1-2x），则其为一个以m为自变量的一次函数（或常函数），其图象是线段，由题意知当-2≤m≤2时该线段在x轴下方，即g（m）max<0.所以g（-2）<0，g（2）<0，即-2x2-2x+3<0，2x2-2x-1<0.解得-1+72<x<1+32.所以x的取值范围为{x|-1+72<x<1+32}.变式1 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）是减函数，如果当x∈[0，1]时不等式f（1-2x2+4a2）+f（4ax-3）≥0恒成立，求a的取值范围.解由题意得，f（x）是奇函数，所以f（1-2x2+4a2）≥f（3-4ax），又因为f（x）在R上是减函数，所以1-2x2+4a2≤3-4ax，即x2-2ax+1-2a2≥0对x∈[0，1]恒成立.下面转化为二次函数在给定区间上的最值问题：令g（x）=x2-2ax+1-2a，对称轴为x=a，当a≤0时，g（x）min=g（0）=1-2a2≥0，得-22≤a≤0；当0 当a≥1，g（x）min=g（1）=2-2a-2a2≥0，因为a≥1，所以无解.综上，{a|-22≤a≤33}.变式2 设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[32，+∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f （m）恒成立，则实数m的取值范围是.解由题意得：（xm）-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）恒成立，即（1m2-4m2-1）x2+2x+3≤0恒成立，即1m2-4m2-1≤-2x-3x2恒成立.因为g（x）=-2x-3x2=-3x2-22在[32，+∞）上是增函数，故当且仅当1m2-4m2-1≤g（32））即可.解得m≤-32或m≥32.解决一元二次不等式恒成立问题的方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，就选谁做主元，求谁的范围，谁就是参数.对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.1.一元二次不等式在x∈R上恒成立：（用Δ法）ax2+bx+c>0（a≠0）a>0，Δ<0；ax2+bx+c<0（a≠0）a<0，Δ<0.注意：a=0的情况.2. 一元二次不等式在区间上恒成立：①化归为区间最值问题：f（x）>0f（x）min>0；f（x）<0f（x）max<0.②分离参数法：a≥f（x）恒成立a≥f（x）max；a≤f（x）恒成立a≤f（x）min.以上就是对三个“二次”之间关系的几种题型的处理. 综合起来，可以这样说：一元二次方程是寻找二次函数图象上的点；一元二次不等式是截取二次函数图象上的一段，而研究二次函数则是探索无数函数中的一类特殊的函数关系.。
2020版人教A数学必修5 课件：第二课时 一元二次不等式及其解法习题课
x2 x 1 (x 1)2 3
7
7
24
的取值范围为(-∞, 6 ). 7
方法技巧
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道 谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.分离参数法是解 决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法. a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max(f(x)存在最大值); a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min(f(x)存在最小值). (2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的 图象在给定区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图 象在给定区间上全部在x轴下方.
所以 m 的取值范围为(-4,0].
(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
解:(2)法一 要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立,就要使 m(x- 1 )2+ 3 m-6<0 24
在 x∈[1,3]上恒成立.令 g(x)=m(x- 1 )2+ 3 m-6,x∈[1,3].当 m>0 时,g(x)在 24
答案:(2)-10
[备用例1](1)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2x1=15,则a等于( )
(A) 5 2
(B) 7 2
(C) 15 4
(D) 15 2
(1)解析:由不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),知 x1,x2 为方程 x2-2ax8a2=0 的两根,则 x1+x2=2a,x1x2=-8a2,由(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,得(2a)2-4× (-8a2)=36a2=152,解得 a= 5 (负值舍去),故选 A.
三个“二次”的关系(一、二)
【初高中衔接】4-5．三个“二次”的关系【知识要点归纳】 一． 一元二次方程1. 根的判别式：2. 根与系数的关系（韦达定理）：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么 ．这一关系也被称为韦达定理．二. 一元二次不等式三．一元二次函数根的分布【经典例题】例1：已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2：已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．例3：解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0；（2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0；（4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．例4：已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．例5：解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数).例6：已知方程2x -2(m+2)x +2m -1=0，根据下列条件求实数m 的取值范围（只列式，无需求出结果） （1） 有两个不相等的正根（2） 有两个不等实根都大于2（3）有两个不等实根，一个根大于0小于1，一个根大于1小于2【课后练习】1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0；（2）x 2－x －12≤0；答案：（1）x ＜－1，或x ＞43； （2）－3≤x ≤4；2．使实系数一元二次方程2(1)0kx k x k --+=有两个实根的k 的取值范围是（ ） A ．113k -<<且 0k ≠ B ．113k -≤≤C ．1k ≤-或13k ≥D ．113k -≤≤且0k ≠【解析】A. 若方程有两个根，则其必为二次函数，那么0k≠，同时方程的判别式0∆>，即()()()22141310k k k k --=-->，解得113k <<，综合0k ≠，可得A 为正确选项。
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
观察二次函数 的图像(如图).
当 或 时，函数图像在 轴上方， ；
当 或 时，函数图像在 轴上， ；
当 时，函数的图像都在 轴下方， .
(1)方程 的解是二次函数 的图像与 轴交点的横坐标，即 ， .
(2)不等式 的解集是二次函数 的图像位于 轴上方部分的点的横坐标 值的范围，即 .
课题
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
教学
目标
知识目标
理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系，能利用二次函数图像求对应一元二次不等式的解集.
能力目标
培养学生的识图、绘图、用图能力，体会数形结合思想.
情感目标
培养学生的勇于探索的精神，体验事物普遍联系的辩证观.
教学
重点
正确理解三个二次之间的关系.
复习一元二次不等式的定义，教师提问，学生回忆口答.
从一个具体的二次函数入手，用“五点法”画出二次函数的草图，通过观察图像，建立相应的一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，从而解决相应的一元二次方程的根和一元二次不等式的解集.师生合作，以问题串的方式层层解决.
学生通过小组合作分析、交流，以表格的形式梳理归纳三个两次之间的关系，有助于学生的理解.
(1) ；
(2) .
四、归纳小结
二次函数的图像分为作图、识图、用图三个层面的要求，而作二次函数的图像又是联系与解决一元二次方程及一元二次不等式问题的“纽带”，是“数形结合”数学思想方法的重要“载体”.通过本节课能掌握用二次函数的图像解决一元二次方程及一元二次不等式问题.
五、课后作业
1.阅读教材章节练习册
例1是根据一元二次不等式的定义判断一元二次不等式.教师采取抢答的形式来调动学生学习的积极性.
专题26 含参数的一元二次分类讨论方法(解析版)-2021年高考数学导数中必考知识专练
专题26：含参数的一元二次分类讨论方法(解析版）三个两次之间的关系含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
微难点1 三个“二次”关系
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学
微难点1 三个“二次”关系
(1) 已知 x2＋ax＋2＝0 的两个根都小于－1，求实数 a 的取值范围； 【思维引导】利用数形结合的方法，即利用一元二次方程和相应二次函数之间的 关系． 【解答】(1) 令 f(x)＝x2＋ax＋2， 因为 x2＋ax＋2＝0 的两个根都小于－1，
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学
微难点1 三个“二次”关系
【解答】方法一：由题知 f(x)＝(x－a)2＋2－a2， 所以 f(x)图象的对称轴为 x＝a. ①当 a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， 所以 f(x)min＝f(－1)＝2a＋3. 要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a， 即 2a＋3≥a，解得 a≥－3，即－3≤a<－1. ②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. 要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a， 即 2－a2≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1.
又 f(x)图象的对称轴为 x＝2，且开口向下， 所以当 x＝2∈[－1,5]时，f(x)取得最大值－4a，所以－4a＝12，解得 a＝－3， 所以 f(x)的解析式为 f(x)＝－3(x－2)2＋12.
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微难点1 三个“二次”关系
已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2，当 x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围．
综上，实数 a 的取值范围为[－3,1]．
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微难点1 三个“二次”关系
求二次函数的函数关系式
求二次函数的关系式教学目标：1、会利用待定系数法求二次函数关系式。
2、学会利用二次函数解决实际问题。
重点难点：重点：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情境选择适当的形式来求二次函数的关系式。
难点：熟记、区分并能灵活运用三种关系式，利用待定系数法求二次函数的关系式。
教学过程：一. 知识点回顾二次函数关系式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()知道二次函数图象经过三个点，常用此表达式求出待定系数a 、b 、c ，最后确定二次函数解析式；（2）顶点式：y a x h k a =-+≠()()20知道顶点坐标及另一个点的坐标，常用此表达式求出h 、k 及a ，最后确定二次函数解析式；（3）交点式：y a x x x x a =--≠()()()120知道二次函数图象与x 轴的两交点横坐标x x 12，及图象上任意一点坐标求出a ，最后确定二次函数解析式。
二、讲解例题例1.一个二次函数的图象过点（0，1），（2，4），（3，10）三点，求这个二次函数的关系式。
解：设所求的二次函数为y ax bx c =++2，由这个函数的图象经过（（0，1），（2，4），（3，10）三点， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1039424100c b a c b a c解得12323=-==c b a ，， 所以抛物线的解析式为123232+-=x x y 归纳：已知图象上三点，常设关系式为y ax bx c =++2。
例2. 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式。
解：设函数关系式为：9)8(2+-=x a y 。
因图象过点（0，1），所以有1=a(0-8)2+9.解得，81-=a 所以所求二次函数关系式为 9)8(812+--=x y 归纳：此题利用顶点式较易求解，用一般式可以求出，但还是利用顶点坐标公式。
三、拓展提高：已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别为2和3，与y 轴交点纵坐标是72，求这个函数的关系式。
高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿
高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿1、高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿一.教材内容分析：1.本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。
许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。
因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
2.教学目标定位。
根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了四个层面的教学目标。
第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。
第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。
第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。
第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。
3.教学重点、难点确定。
本节课是在复习了一次不等式的解法之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法。
只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可。
因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。
二.教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。
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例析三个“二次”的关系
055350 河北隆尧一中 焦景会 一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式，是中学数学的重要内容，它们常被称为三个“二次”，高考中出现的三个“二次”的相关联问题，以及运用三个“二次”的相关性解决其它问题，较为复杂，有一定难度，为此举例分析如下：
基础知识点：
1、二次函数的三种表示形式
（1）一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)；
（2）顶点式：若二次函数顶点坐标为(k, h)，则f(x)=a(x －k)2
+h(a ≠0)；
（3）双根式：若二次函数图象与x 轴交点坐标为(x 1, 0), (x 2, 0)，则f(x)=a(x －x 1)( x －x 2) (a ≠0)。
2、二次函数的性质
设f(x)=ax 2
+bx+c(a ＞0)，则定义式为R ，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，对称轴为2b x a =-，在,2b a ⎛
⎤-∞-
⎥⎝⎦
是减函数，在,2b
a ⎡
⎫
-
+∞⎪⎢
⎣
⎭
是增函数，当b=0时，f(x)是偶函数，当b ≠0时，f(x)是非奇非偶函数，特别的，当a ＞0时，f(x)在[p, q]上有最大值M ，最小值m ，设x 0=(p+q)，则 （1）若
a
b 2＜p ，则f(p)=m, f(q)=M ；（2）若－
a
b 2≥q ，则f(q)=m, f(p)=M ；
（3）若p ≤－
a
b 2＜x 0，则f(－
a
b 2)=m ，f(q)=M ；（4）若x 0≤
a
b 2＜q ，则f(－
a
b 2)=m ，f(p)=M 。
3、二次方程f(x)=0的实根分布
一般情况下，需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=－
a
b 2与区间端
点的关系。
设x 1、x 2是实系数二次方程ax 2+bx+c=0(a ＞0)两实根，则x 1、x 2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下：
（1）120()02x x k f k b k a ⎧⎪∆>⎪<<⇔>⎨⎪⎪-<⎩ ； (2) 120()02k x x f k b k a
⎧
⎪∆>⎪
<<⇔>⎨⎪⎪->⎩；
(3) 12()0x k x f k <<⇔< (4)
112122
120
()0,(,)()0
2f k x x k k f k b k k a ∆≥⎧⎪
>⎪⎪
∈⇔>⎨⎪
⎪<-<⎪⎩
；
(5) 12,x x 有且仅有一个在12(,)k k 内12()()0f k f k ⇔⋅<或12
11()0,22
k k b f k k a
+=<-
<
或
12
22()0,
2
2k k b f k k a
+=<-
<。
3、二次不等式的转化策略
（1）f(x)>0的解集为(,)(,)0a αβ-∞⋃+∞⇔>且()()0f f αβ==
（2）当0a <时，()()22b b f f a a αβαβ<⇔+>+（点与对称轴越近，则函数值越小）；
当0a >时，()()22b b f f a
a
αβαβ<⇔+<+（点与对称轴越近，则函数值越小）。
（3）()0f x >在(,)p q 上恒成立m in
[()]02()0b p f x a
f p ⎧-<⎪⇔>⇔⎨⎪>⎩或2()0
b q a f q ⎧-≥⎪
⎨⎪≥⎩
或202b p q
a
b f a ⎧≤-
<⎪⎪⎨⎛⎫
⎪-> ⎪⎪⎝⎭
⎩
；
（4）()0f x >恒成立00a >⎧⎨∆<⎩
或0
0a b c ==⎧⎨>⎩。
典型问题分析：
例1：（2007广东）已知a 是实数，函数f(x)=2ax 2
+2x －3－a ，如果函数y=f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围。
解：若0a =，则()23f x x =-在区间[1,1]-上没有零点。
下面就0a ≠分三种情形讨论：
（1）
方程()0f x =在区间[1,1]-上有重根，此时24(261)0a a ∆=++=
，解得32a -±
=。
当2a =
时，()0f x =
的重根3[1,1]2
x -=
∈-。
当2
a =时，()0f x =的
重根[1,1]2
x =
-。
故当方程()0f x =在区间[1,1]-
上有重根时2
a =。
（2）
()f x 在区间[1,1]-只有一个零点且不是重根，此时有(1)(1)0f f -≤。
(1)5f a -=- ，(1)1f a =-，(5)(1)0a a ∴--≤15a ⇒≤≤，
当5a =时，方程()0f x =在区间[1,1]-上有两个异根，故15a ≤<。
（3） 方程()0f x =在区间[1,1]-上有两个异根，因为 2
11()2()322f x a x a a
a
=+
-
--，
对称轴为12x a
=-
，应满足0
(1)01
12(1)00
a f a f >⎧⎪
≥⎪
⎪-<⎨⎪
⎪-≥⎪
∆>⎩（I ），0(1)01
12(1)00
a f a f <⎧⎪
≤⎪
⎪-<⎨⎪
⎪-≤⎪
∆>⎩（II ），
解不等式组（I）得5
a≥，解不等式组（II
）得
2
a<，
故方程()0
f x=在区间[1,1]
-
上有两个异根时[)
3
,5,
2
a
⎛⎫
--
∈-∞⋃+∞
⎪
⎪
⎝⎭。
综上a
的取值范围[)
3
,1,
2
⎛--
-∞⋃+∞
⎝⎦。
例2：设f(x)=x2－ax+2，当x∈[－1，+∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。
解：法Ⅰ：由题意a≤x―2ax2+2，在[―1，+∞]内恒成立，而f(x)=x2―2ax+2=(x―a)2+2―a2在
[―1，+∞]上最小值为
2
m in22
2,[1,)
()
(1)2,(,1)
a a
f x
a a a
⎧-∈-+∞
⎪
=⎨
++-∈-∞-
⎪⎩
由a≤f(x)min，知a∈[－3，1]为所求。
法Ⅱ：f(x)≥a ⇒2220
x ax a
-+-≥在[―1，+∞]上恒成立的条件为
（1）0[2,1]
a
∆≤⇔∈-, （2）
1
(1)0
a
f
∆>
⎧
⎪
<-
⎨
⎪-≥
⎩
[3,2]
a
⇒∈--，综上得[3,1]
a∈-。
法Ⅲ：由f(x)≥a ⇒x2+2≥a(2x+1) ，设y1=x2+2, y2=a(2x+1)，作函数y1与y2在[―1，+∞]图象。
当y1与y2相切及y2过点(―1，3)时为极限位置，可得a∈[―3，1]。
点评：方法Ⅰ：在[―1，+∞]内，f(x)的最小值都大于或等于a；方法Ⅱ：有关二次函数值性大于或等于0的问题，利用∆；方法Ⅲ：利用数形结合思想。