人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程乘法公式
最新人教版七年级上册数学同步培优课件1.4.1.2有理数的乘法
【知识再现】 小学学过的乘法运算律: (1)乘法交换律:两个数相乘,交换两个乘数的__位__置___, 它们的___积__不__变____.
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘 第三个数,或者先把后两个数相乘,再同第一个数相乘, 它们的___积__不__变____. (3)分配律:两个数的和乘一个数,可以把这两个数分别 与这个数___相__乘____,再把两个积___相__加____,所得的结 果___不__变____.
3.逆用:有时可以把运算律“逆用”. 4.推广:三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数 的位置,或者把其中的几个因数相乘.如abcd=d(ac)b.
【题组训练】 1.(2019·北京怀柔区期末)观察算式(-4)× 1 ×(-25)
7
×28,在解题过程中,能使运算变得简便的运算律是
(C)
A.乘法交换律
【题组训练】
1.(2019·邢台宁晋县期末)下列计算结果是负数的是
(C)
A.(-3)×4×(-5)
B.(-3)×4×0
C.(-3)×4×(-5)×(-1) D.3×(-4)×(-5)
★2.(2019·上饶期末)若四个有理数相乘,积为负数,
则负因数的个数是 世纪金榜导学号( D )
A.1
B.2
C.3
25
= (49 2×4() -5)
25
=49×(-5)+ 24×(-5)
25
=-245- 24
5
=-2494 .
5
【一题多解】 计算: ( 9 23) ×12.
24
解:方法一:(化为假分数) ( ×9 2132)
24
( 239) 12 239 119 1 .
著名机构讲义暑假07-七年级培优版-乘法公式-学生版
知识模块Ⅰ：平方差公式1、平方差：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即()()22a b a b a b +-=-.公式中的a 、b 可以是任意的数或代数式（单项式、多项式）. 2、平方差公式的结构特征：（1）左边是两个两项式相乘，这两个二项式中，有一项是完全相同的，另一项是两个互为相反数. （2）右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反的项的平方差. 3、公式的应用：（1）公式中的字母a b 、可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，乘法公式（3）解方程：【例9】解不等式：【例10】计算下列各题：（1） （2） （3）【例11】（1）如果，则的值（2）已知：求的值（3） 若，求的值【例12】运用平方差公式计算:（1）()()()()()()132121232215+->+---+x x x x x x 22)3(x x -+22)(y x y +-9,3x y x y +=-=2222x y -,9,4522=+=-y x y x y x ,2,1222=-=-b a b a b a +222222100999897...21-+-++-（2）（3）（4） (1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)知识模块Ⅱ：完全平方公式1、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.即()222a+2b a ab b =++，或()2222a b a ab b -=-+，公式中的a 、b 可以是任意的数或代数式（单项式、多项式）.2、平方差公式的结构特征：（1）左边是一个两项式的完全平方，右边都是一个二次三项式；（2）其中有两项是左边括号内二项式中每一项的平方，中间一项为左边两项式中两项乘积的两倍，其符号由左边括号内的符号决定；1111111...14925100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()32168422-121212123++++2212312412912101【例14】（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）【例15】（1） （2）【例16】（1） （2） （3）【例17】（1）若 ，则k =_______________（2）若是完全平方式，则k = _______________（3）若 是完全平方式，则m = _______________（4）若是完全平方式，则k = _______________（5）若 是完全平方式，则k = _______________（6）若是一个完全平方式，则 = _______________()22b a +-()223b a --2)3110(29.19))((x y y x --))((b a a b +--22100+100×102×2-102222010+2009×4020-200922)3()3(b a b a +--()()2222a b a b --+()()2222b a b a +-22)2(4+=++x k x x k x x ++2222+6+m x x 962++x kx 92++kx x 223649x mxy y -+m（4）若，求；；的值（5）若，求的值。
培优七年级第17讲——乘法公式
17 乘法公式只有通过数学,我们才能彻底了解科学的精髓.至有在数学中，我们才能发现科学规律的高度简洁性、严格性和抽象性.任何科学教育如果不以数学为出发点，则其基础势必有缺陷。
-------科姆特知识纵横乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一半法则应用一一些特殊形式的多项式相乘,出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解例1 (1) 在2004、2005、2006、2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差是______.（第10届江苏竞赛题）(2) 已知(2000-a)(1998-a)=1999，那么， = _________.(重庆竞赛题) 思路点拨:（1）,m+n，m-n的奇偶性相同，这是解本例题的基础。
（2）视(2000-a)•(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式及其变形例2 (1) 已知a、b、c满足，，，则a+b+c 的值等于( ).A. 2B. 3C. 4D.5(2) a、b、b不全为0, 满足a+b+c=0，，称使得恒成立的正整数n为”好数”，则不超过2007的正整数中”好数”的个数为( )A. 2B. 1004C. 20006D. 2007思路点拨:对于(1) ,由条件等式联想到完全平方式，解题的关键是整体考虑；对于(2) , 由条件出发，探求a,b,c之间的关系。
例3 观察下列算式(1) 1x3-;(2)2x4-(3)3x5-(4)__________________________;……..(1) 请你按照以上规律写出第四个算式.(2) 把这个规律用含字母的式子表示出来.(3) 你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由(2011年湖南省益阳市考题) 思路点拨: 从特殊情形归纳一般结论，并证明这个结论例4 已知a+b=1, 求。
七年级上册数学同步讲义第8讲：乘法公式(一)【可修改文字】
可编辑修改精选全文完整版辅导教案学员姓名：学科教师：年级：七年级辅导科目：数学授课日期时间主题乘法公式（一）教学内容乘法公式（一）内容分析平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测，进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用．知识结构模块一：平方差公式知识精讲1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．()()22a b a b a b +-=-．（1）a ．b 可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：如：()()()()()22a b c b a c b a c b a c b a c +--+=+---=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 2、平方差公式的特征：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差．【例1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()11x x ++B ．1122a b b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()()a b a b -+- D ．()()x y x y --+ 【难度】★【例2】 计算：（1）2211112525x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()()2323x y x y -+--； （3）()()2323a b a b ---．【难度】★【例3】 计算：（1）()()()2232349a a a -++；（2）22111224a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【例4】 计算：111111253253x y z x y z ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 例题解析【例8】 计算：（1）2200920072008⨯-； （2）22007200720082006-⨯； （3）22007200820061⨯+． 【难度】★★★【例9】 计算：()()()()242121212121n +++++（n 是正整数）． 【难度】★★★1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．()2222a b a ab b +=++、()2222a b a ab b -=-+．2、完全平方公式的特征：（1）左边是两个相同的二项式相乘； 模块二：完全平方公式 知识精讲（2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．【例10】 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（） A ．()()4774x y y x ---B ．()()4774x y x y --+C ．()()4774x y y x --+D ．()()4747x y x y -+【难度】★【例11】下列计算正确的是（ ） A ．()222a b a b +=+B ．()2222x y x xy y -=--C ．()2225225420a b a b ab +=++D ．2221111132364m n m mn n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 【难度】★【例12】 计算：（1）()239x +；（2）223x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）()22xyz --． 【难度】★【例13】 计算： （1）()()()2343x x x -+-+；（2）()()()2232222x x x +----+； （3）()()()2212121a a a +-+-．【难度】★★例题解析【例18】 设8,15m n mn +==，求（1）22m n + ；（2）m n -．【难度】★★【例19】 如图，已知ABE ∆和DCE ∆都为等腰直角三角形，AB BE a ==，DC EC b ==． 求ADE ∆的面积．（用含a 、b 的代数式表示）【难度】★★【例20】 已知16x x -=，求221x x+的值． 【难度】★★【例21】 已知：2221440x y x xy y --+++=，则2x y +=___________．【难度】★★【例22】 已知26x x k -+是完全平方式，求k 的值．【难度】★★【例23】 已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 都是有理数，求y x 的值．【难度】★★★【例24】 已知2416x kx -+是完全平方式，求k 的值．【难度】★★★\【例25】 甲、乙两家商店在9月份的销售额均为a 万元，在10月和11月这两个月中，甲商店的销售额平均每月增长%x ，乙商店的销售额平均每月减少%x ，11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？【难度】★★★【例26】 已知2310x x ++=，求：（1）221x x +；（2）441x x+． 【难度】★★★随堂检测【习题10】 求值：（1）已知：()28a b -=，()22a b +=，求ab 的值； （2）已知：()()222315x x -++=，求()()23x x -+的值．【难度】★★★【习题11】 已知：2310a a -+=，求221a a+的值． 【难度】★★★【习题12】 我们把如下左图的一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪成四个小长方形，再按如下右图围成较大的正方形． （1）大正方形的边长是多少？（2）中间正方形（阴影部分）的边长是多少？ （3）用两种不同的方法求阴影部分的面积； （4）比较两种方法，你能得到怎样的等量关系？ 【难度】★★★【作业1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()22x y x y -+B ．()()a b a b ---C ．()()2222c d d c --+D ．()()22x y xy -+【难度】★ 【作业2】 计算： （1）211510x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）212cd ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【难度】★【作业3】 用简便方法计算： （1）403397⨯；（2）31293044⨯；（3）9910110001⨯⨯；（4）224952+．【难度】★★课后作业。
人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：乘法公式
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
七年级数学下册 9.4 乘法公式课件1 (新版)新人教版
、(a-b
3
自我检测一：4分钟 课本76页T2
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
4
自学指导二：4分钟 76页例2
思考： 1.每个题目中的那一项是 “a”“b”？ 2.第3题还可以怎样做？ 4分钟后比谁能正确作出检 测题
最新中小学教案、试题、试卷、课 件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
自我检测二：5分钟 课本76页T1、T3
9
布置作 业
• 课本79页T1、T2
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
10
2
2
4ab ( 2)(a b) 2 ( a b) 2 __________ 2 2 2 2 a b 2ab a b 2ab (3)a b _________ _________
最新中小学教案、试题、试卷、课 件 8
• 本节课你有何收获？
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
6
计算： （1 ） 98
2 2 2
（2） 101
(3)(a b c)
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
7
观察下列式子，填空：
a b a 2 2ab b 2 2 a b a 2 2ab b 2
2
2 2 2 a 2 b （ 1 ） ( a b) ( a b) __________
9.4 乘法公式 － 完全平方公式
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
1
• 学习目标 • 1.能推导完全平方公式。 • 2.了解公式的几何背景，并能利用 公式进行简单计算。
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
2
自学指导一: 5分钟
七年级完全平方公式培优讲义讲课讲稿
七年级完全平方公式培优讲义平方差和完全平方公式培优讲义教师寄语：. 服装是裁缝制作的，仅仅是货币的标志。
而人的知识，品德和气质，却是一个人真正的人生价值，对于庸俗的人，你可以反【知识精要】:1．乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b－a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］=b2－（a－c）3．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．【典例评析】:例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2； （2）(a+b-c)(a-b+c)例2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算： (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算：(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－221)(1－231)(1－241)(1－251)(1－261)例5.．已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少？【课堂精练（一）】:1、计算：(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ，则A= ；(5) 计算：12-22+32-42+…+992-1002；【培优拓展】:1、如果x-y=6，x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律：-----------------。
人教版七年级上册数学同步培优课件第1章 第16课时 乘方(1)
数学
★11.若|a－1|＋(b＋2)2＝0，求(a＋b)2 020＋(－a)2 021的值． 解：由|a－1|＋(b＋2)2＝0，得a＝1，b＝－2， 故(a＋b)2 020＋(－a)2 021＝(－1)2 020＋(－1)2 021＝0.
返回
，记作an.
()乘方的定义：求几个相同因数的积的运算叫做 乘方 ，乘
方的结果叫做 幂 ．
(2)在an中，a叫做底数，n叫做 指数 ．an读作：a的n次方 ，
也可读作： a的n次幂 ．
返回
数学
(3)当底数是负数或分数时，底数要用括号括起来，如：底数
是－11，指数是3时，要写成 时，要写成 232 .
第一章 有理数
第16课时 乘方(1)
数学
目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
数学
学习目标
1．理解有理数乘方的意义． 2．掌握有理数乘方的运算． 3．经历探索有理数乘方的运算，获得解决 问题的经验.
返回
数学
知识要点 知识点一：有理数乘方的相关概念
一般地，n个相同的因数a相乘，即
返回
数学
5.【例2】计算： (1)53; 125 (3)－123; －18
(2)(－3)4； 81
(4)－172； 1 49
返回
数学
(5)1.52. 9 4
小结：先确定幂的符号，再求幂的绝对值.
返回
数学
9.计算： (1)(－5)3; －125 (3)(－1)9;
－1
(2)－342； 9 16 (4)－1123.
指数n是因数的个数．
(2)－an＝－
(3)(－a)n＝
2023年初中数学培优竞赛讲座第讲乘法公式
第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应当做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特性，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2023，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2023一a)(1998一a)=1999，那么(2023一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思绪点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2023一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是如何得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表达数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类结识事物的一般规律，而观测、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+； （4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M<N C ． M=N D ．无法拟定 思绪点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题)思绪点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特性，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表达数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特性．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思绪点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表达，作差比较它们的大小．注： 有些问题经常不能直接使用公式，而需要发明条件，使之符合乘法公式的特点，才干使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，运用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思绪点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观测下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请运用图中空白部分的面积的不同表达方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题) 6．已知5,3-=+=-cb b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 (扬州市中考题) 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题) 8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20232C ． 22023D ．420239．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ (陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?假如是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观测：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2023×2023×2023×2023+1的结果(用一个最简式子表达)． (黄冈市竞赛题)14．你能不久算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简朴情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． (天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，可以表达成两整数的平方差的个数是 ． (初中数学联赛)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ．一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2023，b ＝1999x+2023，c ＝1999x+2023，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值． (河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x+=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表达第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表达第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表达十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观测： 222233*********,335112225,351225,525====写出表达一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选此外两个类似26、53的数，使它们能表达成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过度析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表达为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表达为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．第十八讲 乘法公式参考答案。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练28 利用乘法公式和因式分解简便计算
专题28 利用乘法公式和因式分解简便计算【例题讲解】用简便方法进行计算．（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．（2）22100007525-． （3）（2112-）×2211(1)(1)34-⨯-⨯…×（21110-）． （4）1952+195×10+52． 1191010⨯⨯⨯195×5+521．用简便方法计算2008﹣4016×2007+2007的结果是_____．2．利用因式分解计算：22111021198⨯-⨯的结果是______．3．利用因式分解简便运算：2252.847.2-＝_____．4．利用因式分解计算2221000252248=-__________． 5．计算：2222020200119=200119--⨯__． 6．利用因式分解计算：3.4614.70.5414.729.4⨯+⨯-=______.7．利用因式分解计算：2022+202×196+982=______．8．利用乘法公式简便计算．(1)4.3212＋8.642×0.679＋0.6792；(2)2020×2022－20212．9．利用因式分解计算(1)2900894906-⨯(2)2.6815.731.415.7 1.32⨯-+⨯10．利用因式分解计算：（1）21 3.1462 3.1417 3.14⨯+⨯+⨯；（2）22758258-．11．利用因式分解进行简便运算：（1）2920.217220.2120.21⨯+⨯- （2）2210119810199+⨯+12．利用因式分解进行简便计算：（1）3×852﹣3×152；（2）20212﹣4042×2019+20192．13．利用因式分解计算：225652443524⨯-⨯．14．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）（1）7749.124.12525⨯-⨯； （2）1.1 2.5 2.29 2.50.61 2.5⨯+⨯+⨯； （3）20.9990.9990.001+⨯；（4）已知2004+=a b ，1003=ab ，求22222-+a b a b ab 的值．15．简便计算：（1）227.29 2.71-；（2）2.887.680.48⨯+⨯-⨯；（3）2200820081664-⨯+．16．用简便方法计算：（1）8502﹣1700×848+8482（2）2221111()1()1()232021⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯-⨯⋯⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦17．简便计算（1）221.2229 1.3334⨯-⨯ （2）2220220219698⨯++18．利用因式分解计算：（1）222222221009998974321-+-+⋯+-+-（2）()()()()2483212451515151++++⋅⋯⋅+（3）()()4222222n n n ++-19．用简便方法计算：（1）22429171-（2）2220220219698⨯++20．利用因式分解计算：22015201520152016+-⨯21．利用因式分解计算：（1）342+34×32+162（2）38.92-2×38.9×48.9+48.9222．计算：①2032﹣203×206+1032②20192﹣2018×2020．23．用简便方法计算．（1）227.29 2.71-（2）44134 23.7 1.35555 -⨯+⨯-⨯24．利用因式分解计算：3232 2018320182015 201820182019-⨯-+-25．利用因式分解简便计算：11 1009922⨯26．利用因式分解计算：（1）9788597879788⨯+⨯+⨯；（2）23.86 3.86 3.85-⨯. 27．利用乘法公式计算：（1）2201920182020-⨯. （2）299.8.专题28 利用乘法公式和因式分解简便计算【例题讲解】用简便方法进行计算．（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．（2）22100007525-． （3）（2112-）×2211(1)(1)34-⨯-⨯…×（21110-）． 221191010⨯⨯⨯195×5+52，1．用简便方法计算2008【答案】1．【分析】共三项，其中4016是2×2008，用完全平方公式分解因式即可解答.【解答】20082﹣4016×2007+20072，＝20082﹣2×2008×2007+20072，＝（2008﹣2007）2，＝1．【点评】此题考查公式法在有理数计算中的应用，正确分析出所应用的公式是解题的关键. 2．利用因式分解计算：22111021198⨯-⨯的结果是______．【答案】8800【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．【解答】原式=2211(10298)⨯-=11(10298)(10298)⨯+⨯-=112004⨯⨯=8800．故答案为：8800．【点评】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即22()()a b a b a b -=+-．3．利用因式分解简便运算：2252.847.2-＝_____．【答案】560【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；【解答】原式＝()()52.847.252.847.2+⨯-＝100 5.6⨯＝560．故答案为：560．【点评】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．4．利用因式分解计算2221000=__________．5．计算：2020200119=--__．6．利用因式分解计算：______.【答案】29.4【分析】根据提取公因式法，提取公因数14.7，进行简便计算，即可. 【解答】原式=(3.46+0.542)14.7-⨯=214.7⨯=29.4故答案为：29.4.【点评】本题主要考查提取公因式法分解因式，提取公因数14.7，进行简便计算，是解题的关键.7．利用因式分解计算：2022+202×196+982=______．【答案】90000．【分析】将式子改写为完全平方公式的形式进行计算.【解答】原式2220222029898=+⨯⨯+2(20298)=+2300=90000=．故答案为90000．【点评】本题考查利用完全平方公式计算，熟练掌握公式的形式是关键.8．利用乘法公式简便计算．(1)4.3212＋8.642×0.679＋0.6792；(2)2020×2022－20212．【答案】(1)25(2)-1【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据平方差公式计算即可【解答】（1）4.3212＋8.642×0.679＋0.6792224.3212 4.3210.6790.679=+⨯⨯+()24.3210.679=+ 25=25=（2）2020×2022－20212()()220211202112021=-+-222=202112021--1=-【点评】本题考查了利用乘法公式简便计算，掌握乘法公式是解题的关键．9．利用因式分解计算(1)2900894906-⨯ (2)2.6815.731.415.7 1.32⨯-+⨯【答案】(1)36(2)31.4【分析】（1）先将894906⨯变形为()()a b a b +-的形式，再利用平方差公式求解；（2）先提取公因式15.7，再进行计算即可．【解答】（1）解：2900894906-⨯222222290090(9006)(9006)(9006)9609000630--⨯+=--=-+==（2）解：2.6815.731.415.7 1.32⨯-+⨯15.7(2.682 1.32)15.7231.4=⨯-+=⨯= 【点评】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解．10．利用因式分解计算：（1）21 3.1462 3.1417 3.14⨯+⨯+⨯；（2）22758258-．【答案】（1）314；（2）508000【分析】（1）利用提取公因式法计算；（2）应用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式 3.14(216217)314=⨯++=；（2）原式(758258)(758258)1016500508000=+-=⨯=．【点评】本题考查因式分解的应用，属于基础题型．11．利用因式分解进行简便运算：（1）2920.217220.2120.21⨯+⨯- （2）2210119810199+⨯+【答案】（1）2021；（2）40000【分析】（1）观察式子，利用提公因式法进行求解；（2）根据式子的特点，利用完全平方公式进行求解．【解答】（1）解：原式()20.2129721=⨯+-20.21100=⨯2021=．（2）解：原式2210129910199=+⨯⨯+()210199=+ 2200=40000=【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据每个式子中的特点选择适当的因式分解的方法（如提公因式法、公式法等），从而简化计算．12．利用因式分解进行简便计算：（1）3×852﹣3×152； （2）20212﹣4042×2019+20192．【答案】（1）21000；（2）4【分析】（1）提取公因式，利用平方差公式进行因式分解计算即可；（2）对原式进行变形，利用完全平方公式直接分解因式计算即可．【解答】解：（1）3×852﹣3×152=3×（852-152）=3×（85+15）×（85-15）=3×100×70=21000；（2）20212﹣4042×2019+20192=20212-2×2021×2019+20192=（2021-2019）2=22=4．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 13．利用因式分解计算：225652443524⨯-⨯．【答案】3120000【分析】先提取24，再利用平方差公式即可求解．【解答】225652443524⨯-⨯=()2224565435⨯-=()()24565435565435⨯+⨯-=241000130⨯⨯=3120000．【点评】此题主要考查因式分解的运用，解题的关键是熟知平方差公式的运用．14．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）（1）7749.124.12525⨯-⨯； （2）1.1 2.5 2.29 2.50.61 2.5⨯+⨯+⨯；（3）20.9990.9990.001+⨯； 2222）a (a -原式()1003200420062006=⨯-=-．【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．简便计算：（1）227.29 2.71-；（2）2.887.680.48⨯+⨯-⨯； （3）2200820081664-⨯+．【答案】（1）45.8；（2）80；（3）4000000【分析】（1）利用平方差公式即可求解；（2）提取8，故可求解；（3）利用完全平方公式即可求解．【解答】（1）227.29 2.71-=()()7.29 2.717.29 2.71+⨯-=10×4.58=45.8；（2）2.887.680.48⨯+⨯-⨯=()8 2.87.60.4⨯+-=8×10=80（3）2200820081664-⨯+=2220082200888-⨯⨯+=()220088-=20002=4000000．【点评】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知提公因式法、公式法分解因式．16．用简便方法计算：（1）8502﹣1700×848+8482（2）2221111()1()1()⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯-⨯⋯⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 112021⎛⨯⨯+ ⎝20222021⨯⨯⨯20202021⨯⨯⨯【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．（1）221.2229 1.3334⨯-⨯ （2）2220220219698⨯++【答案】（1）6.332；（2）90000【分析】（1）先利用同底数幂的乘法变形，再利用平方差公式计算；（2）利用完全平方公式变形计算．【解答】解：（1）221.2229 1.3334⨯-⨯=22221.2223 1.3332⨯-⨯=()()221.2223 1.3332⨯-⨯=223.666 2.666-=()()3.666 2.666 3.666 2.666+-=6.332；（2）2220220219698+⨯++=2220222029898+⨯⨯+=()220298+=90000【点评】本题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，完全平方公式，计算时注意乘法公式的应用．18．利用因式分解计算：（1）222222221009998974321-+-+⋯+-+-（2）()()()()2483212451515151++++⋅⋯⋅+（3）()()4222222n n n ++-（1）22429171-（2）2220220219698⨯++【答案】（1）154800；（2）90000.【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可得到答案；（2）把原式化为：2220222029898+⨯⨯+，再利用完全平方公式进行计算即可得到答案．【解答】解：（1）22429171-()()429171429171=+-600258154800=⨯=（2）2220220219698⨯++2220222029898=+⨯⨯+()220298=+ 230090000.==【点评】本题考查的是利用平方差公式与完全平方公式进行简便计算，掌握两个公式的特点是解题的关键．20．利用因式分解计算：22015201520152016+-⨯【答案】0【分析】先提取公因数2015进行分解，然后再进行计算即可．【解答】22015201520152016+-⨯=()2015120152016⨯+-=20150⨯0=．【点评】本题考查了利用因式分解进行计算，熟练掌握提公因式法是解此题的关键．21．利用因式分解计算：（1）342+34×32+162 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92【答案】（1）2500；（2）100．【分析】（1）转化为完全平方公式形式，计算即可；（2）根据完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500；（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100．【点评】本题考查了根据完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键．22．计算：①2032﹣203×206+1032 ②20192﹣2018×2020．【答案】①10000；②1．【分析】①根据完全平方公式计算即可；②根据平方差公式计算即可．【解答】解：①原式＝2032﹣2×203×103+1032＝（203﹣103）2＝1002＝10000； ②原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1．【点评】本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+．23．用简便方法计算．（1）227.29 2.71-（2）4413423.7 1.3-⨯+⨯-⨯24．利用因式分解计算：322018320182015-⨯-25．利用因式分解简便计算：10099⨯（1）9788597879788⨯+⨯+⨯；（2）23.86 3.86 3.85-⨯.【答案】（1）97800；（2）0.0386【分析】（1）提取公因式978后进行计算；（2）提取公因式3.86后进行计算.【解答】(1)原式()9788578=⨯++97800=.(2)原式()3.86 3.86 3.85=⨯-0.0386=.【点评】本题考查利用因式分解对有理数进行简便运算，利用提取公因式因式分解是解答此题的关键.27．利用乘法公式计算：（1）2201920182020-⨯. （2）299.8.【答案】（1）1（2）9960.04【分析】(1)观察算式，把2018和2020分别用2019-1和2019+1表示，利用平方差公式对这一部分进行运算，然后再去括号相加减即可；(2)将99.8表示成100-0.2，然后利用完全平方公式展开运算即可.【解答】（1）原式22019(20191)(20191)=--⨯+()2222019201911=--=（2）原式2(1000.2)=-2210021000.20.2=-⨯⨯+9960.04=【点评】本题考查了乘法公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式并运用是解题的关键.。
人教版初中数学乘法公式同步辅导(含解答)
乘法公式一、情境联想导入请认真分析下面一组等式的特征：1×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1，……11×13=122-1，……问题这一组等式有什么规律？将你猜想到的规律用一个只含字母n的式子表示出来．二、思维起点落实1．平方差公式：（a+b）（a-b）=________．2．完全平方公式：（a+b）2=_______；（a-b）2=________．三、重点难点突破重点1、掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式平方差公式的结构特征是：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数；②公式右边是左边二项式中两项的平方差，并且是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a、b可以是任意一个代数式（•数、字母、单项式或多项式）．2、掌握完全平方公式的结构特征，正确应用公式完全平方公式的结构特征是：①左边是两个相同的二项式相乘；②右边是二次三项式，首尾两项分别是二项式中两项的平方，中间一项是二项式中两项积的2•倍，且中间一项的符号由二项式中的两项的符号共同决定；③公式中的a、b可以是单项式或多项式．3、运用乘方公式进行简便计算对于一些特殊的乘法算式，若按常规计算，计算量大且麻烦，根据算式的特征，是否可以写成乘法公式所具有的结构特征，然后运用公式计算呢？难点公式得出过程中的数形结合思想根据具体问题分析，抽象出数学模型，用代数式把图形的边长或面积表示出来，然后利用乘法公式计算．四、思维能力拓展能力点1、两数和的平方推广案例1 计算（a+b+c）2．分析：式子（a+b+c）2中有三个数，可以看做是两个数的和，从而利用公式，（a+b+c）2=[（a+b）+c]2或（a+b+c）2=[a+（b+c）]2或（a+b+c）2=[b+（a+c）]2．答案：（a+b+c）2=[（a+b）+c]2=（a+b）2+2（a+b）c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．拓展延伸：几个数的和的平方，变形成两个数的和的平方，•等于它们的平方和加上每两个数的乘积的2倍，例如（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．2、平方差公式的推广案例2 （x+y-z）（x-y-z）．分析：在这两个相乘的多项式中，x和（-z）是相同的，y和（-y）互为相反数，可以把（x-z）看做一个整体，原式可看做（x-z）与y的和乘以（x-z）与y的差，•符合平方差公式的结构特征．答案：（x+y+z）（x-y-z）=（x-z+y）（x-z-y）=（x-z）2-y2=x2-2xz+z2-y2．方法提炼：两个多项式相乘，若两个多项式的各项只有相同或互为相反数这两种情况，可以把相同的项放在一起，互为相反数的项放在一起，然后利用平方差公式．五、综合探究创新综合点a+b、ab和a2+b2之间的关系在公式（a+b）2=a2+b2+2ab，如果把a+b，ab和a2+b2分别看做一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求第三个．案例3 已知a+b=9，ab=20，求a2+b2的值．分析：要求a2+b2的值，只在完全平方公式里出现了a2+b2，此题应考虑完全平方公式的变形，把完全平方公式化成含有a2+b2的形式．答案：∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴a2+b2=（a+b）2-2ab=92-2×20=41．方法提炼：解决这样的题目就是合理利用完全平方公式的变形（a+b）2=a2+2ab+b2，•则a2+b2=（a+b）2-2ab，（a+b）2-（a-b）2=4ab等．六、针对训练1．计算：（1）（2x2+13）（2x2-13）；（2）（3a+b）（b-3a）；（3）（-2x-3y）（2x-3y）．2．判断下列各式能否用平方差公式计算，若能，请把结果计算出来．（1）（2x-13y）（-13x-2y）；（2）（-2m+3n）（2n+3m）；（3）（-3m+2）（3m-2）；（4）（13a-b）（-b-13a）．3．判断：（1）（b-4a）2=b2-16a2．（）（2）（12a+b）2=14a2+ab+b2．（）（3）（4m-n）2=16m2-4mn+n2．（）（4）（-a-b）2=a2-2a b+b2．（）4．计算：（1）（2a-3）2；（2）（-2a-13）2．5．运用乘法公式计算：（1）1997×2003；（2）10.32；（3）（9923）2；（4）1523×1613．6．如图，老张家有一块L形菜地，要把L形菜地按图那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是（b-a）米，请你算一下，这块菜地面积共有多少？当a=10，b=30时，面积是多少？7．计算（a+b-c）2．8．计算（a+4b-3c）2．9．计算（3x+y-2）2．10．计算（x+y+z）（x-y-z）．11．计算（a+4b-3c）（a-4b-3c）．12．计算（3x+y-2）（3x-y+2）．13．已知：a+b=9，a2+b2=21，求ab．14．已知a+1a=10，求a2+21a的值．15．若已知a-1a=3，且a>1a，求a2+21a的值．答案：【情境联想导入】问题：（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1．【思维起点落实】1．a2-b2．2．a2+2ab+b2，a2-2ab+b2．【针对训练】1．解：（1）原式=（2x2）2-（13）2=4x4-19；（2）原式=b2-（3a）2=b2-9a2；（3）原式=（-3y）2-（2x）2=9y2-4x2．2．（1）（2）（3）不能，（4）能，（13a-b）（-b-13a）=（-b）2-（13a）2=b2-19a2．点拨：利用平方差公式计算时，先找准哪个数相当于公式中的a，哪个数相当于公式中的b，然后代入公式计算．3．（1）×（2）∨（3）×（4）×4．（1）（2a-3）2=（2a）2+2·2a·（-3）+（-3）2=4a2-12a+9；（2）解法一：（-2a-13）2=（-2a）2+2·（-2a）·（-13）+（-13）2=4a2+a+；解法二：（-2a-13）2=（2a+13）2=（2a）2+2·2a·13+（13）2=4a2+a+19．点拨：利用完全平方公式计算时，关键是中间项的确定．①易漏乘2；②符号弄错．在计算时要认准“两个数”是什么，项的系数不要忘记平方．5．解：（1）1997×2003=（2000-3）（2000+3）=20002-32=4000000-9=2999991；（2）10.32=（10+0.3）2=102+2×10×0.3+0.32=106.09；（3）（9923）2=（100-13）2=1002-2×100×13+（13）2=10000-6623+19=993349；（4）1523×16=（16-13）（16+13）=162-（13）2=25589．点拨：有些特殊的乘法算式如果用乘法公式进行计算，既简便，又能提高准确率，算式必须完全符合乘法公式的特征．6．解：由题意，得解法一：菜地面积为2×12（a+b）（b-a）=b2-a2．解法二：菜地面积等于边长为b的正方形面积减去边长为a的正方形面积b2-a2．当a=10，b=30时，b2-a2=302-102=800（m2）．答：菜地面积共有（b2-a2）m2；当a=10，b=30时，面积为800m2．点拨：根据图形特点可利用梯形面积公式S=12（a+b）h，列代数式计算，•也可把原图形补成一个正方形，然后减去补上的图形面积．7．a2+b2+c2+2a b-2ac-2bc点拨：把（a+b）看做整体，运用完全平方公式，也可把（b-c）或（a-c）看做整体．8．（a+4b-3c）2=（a+4b）2-2（a+4b）·3c+（3c）2=a2+8ab+16b2-6a c-24bc+9c2=a2+16b2+9c2+8a b-6ac-24bc．9．（3x+y-2）2=[（3x+y）-2] 2=（3x+y）2-2·2（3x+y）+4=9x2+6xy+y2-12x-4y+4=9x2+y2+6x y-12x-4y+4．10．x2-y2-z2-2yz 提示：运用平方差公式，x是公式中的a，（y+z）是公式中的b．11．原式=[（a-3c）+4b][（a-3c）-4b]=（a-3c）2-（4b）2=a2-6ac+9c2-16b2．12．原式=[3x+（y-2）][3x-（y-2）]=（3x）2-（y-2）2=9x 2-（y 2-4y+4）=9x 2-y 2+4y-4．13．30点拨：根据（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，可得2ab=（a+b ）2-（a 2+b 2），然后整体代入即可．14．解：因为a+1a =10，所以（a+1a）2=10， 即a 2+2+21a =100，所以a 2+21a=98． 15．因为a-1a =3，所以（a -1a ）2=9．即a 2-2+21a =9，所以a 2+21a =11．。
完整版[初一数学]乘法公式
![完整版[初一数学]乘法公式](https://img.taocdn.com/s3/m/65176ce1f12d2af90342e6dc.png)
乘法公式二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2a b－b2等错误．需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．例１利用完全平方公式计算：（１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．解：（１）（－3a－5）2＝（－3a）2－2×（－3a）×5＋52＝9a22＋30a＋25（２）（a－b＋c）22＝[（a－b）＋c]2＝（a－b）2＋2（a－b）c+c2＝a2－2a b＋b2＋2a c－2b c+c2＝a2＋b2+c2＋2a c－2a b－2b c．例２利用完全平方公式进行速算.(1)1012(2)992解:(1)1012分析:将1012变形为(100+1)2原式可=(100+1)2利用完全平方公式来速算. =1002+2×100×1+12=10201解:(2)992分析:将992变形为(100-1)2原式可=(100-1)2利用完全平方公式来速算.=1002-2×100×1+12=9801例３计算：（１）9922－98×100；（２）49×51－2499．解：（１）9922－98×100＝（100－１）2－98×100＝1002－２×100＋１－9800＝10000－200－9800＋１＝１；（２）49×51－2499＝（50－1）（50＋１）－2499＝2500－1－2499＝０．例４已知a＋b＝8，a b＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．分析：由前面的公式变形可以知道：a2＋b2＝(a＋b)2－2a b，(a－b)2＝(a＋b)2－4a b．解：由于a2＋b2＝(a＋b)2－2a b，(a－b)2＝(a＋b)2－4a b．而a＋b ＝8，a b＝10所以a22＋b22＝(a＋b)22－2a b＝822－2×10＝44(a－b)22＝(a＋b)22－4a b＝822－4×10＝24．三：练习1．利用乘法公式进行计算：(1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(2)(3x+2)2-(3x-5)2(3) (x-2y+1)(x+2y-1)(4)(2x+3y)2(2x-3y)2(5)(2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2(6)(x2+x+1)(x2-x+1)解：(1)原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)=(x4-1)(x4+1)=x8-1.(2)解法1：原式=(9x2+12x+4)-(9x2-30x+25)=9x2+12x+4-9x2+30x-25=42x-21解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2)-(3x-5)]=(6x-3)×7=42x-21.(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]=x2-(2y-1)2=x2-(4y2-4y+1)=x2-4y2+4y-1(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2=(4x2-9y2)2=16x4-72x2y2+81y4(5)原式=[(2x+3)-(3x-2)]2=(-x+5)2=x2-10x+25(6)原式=[(x2+1)+x][(x2+1)-x]=(x2+1)2-x2=(x4+2x2+1)-x2=x4+x2+12．已知：a+b=5,a b=3，求：(1)(a-b)2；(2)a2+b2；解：(1)(a-b)22=(a+b)22-4a b=522-4×3=13(2)a2+b2=(a+b)2-2a b=52-2×3=19.在线测试选择题1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A、(x+1)(1+x)B、(a+b)(b-a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2．下列各式计算正确的是（）A、(a+4)(a-4)=a2-4B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9C、(5a b+1)(5a b-1)=25a2b2-1D、(a+2)(a-4)=a2-83．(-x+2y)(-x-2y)的计算结果是（）A、x22-4y22B、4y22-x22C、x2+4y2D、-x2-4y24．(a b c+1)(-a b c+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。
人教版七年级数学培优教程
比例数.
有限小数
可化为分数形式，是有理数
小数 无限循环小数
无限不循环小数 不可化为分数形式，不是有理数
有理数的分类：
正整数
整数
零
自然数
有理数（按定义分类）
负整数
分数
正分数 负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数（按符号分类） 零（零既不是正数，也不是负数）
负有理数
负整数 负分数
该定义更接近分类而非本质定义，例如小数是有理数吗？下面给出有理数更加接近本质的定
义.
定义：能写成 m （m、n 为整数，n≠0，（m，n）=1）的数. n
例： 12 3 ， 3 3 ， 0.1
1
，
0.3
1
82
1
10
3
有理数：rational number，rational（有道理的）的词根为 ratio（比例），有理数可以理解为
6、数轴上：B 到 A 的距离为 1，C 到 B 的距离为 2，求 AC=________
动点（规律类） 1、数轴上：点 A 从原点向右移一个单位，再向左移动两个单位，求现在位置 2、数轴上：点 A 向左移动 3 个单位，向右移动 5 个单位到 2014，求开始的位置 3、数轴上：点 A 从原点开始按照右移 1 个单位，左移 2 个单位，右移 3 个单位，左移 4 个 单位……右移 99 个单位，左移 100 个单位的规律移动 （1）最后的位置________． （2）共移动了多少个单位长度？ （3）若 A 为一个起始为 300kg 的质点，每移动一个单位减少 1kg，A 点消失的位置？ 基础夯实 【例 3】（1）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为
人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程 (7)用字母表示数
6，写出图中所有三角形并计算其个数，
如果线段上有10个点呢？
参考答案
1.x≠2，a>0,n是整数
2.①2n－1（n是整数）②2n(n是正整数)
③100a+10b+c(a是1到9,b,c是0到9的整数)
④an(n是正整数)⑤＝－a(a<0)
共有线段1+2+3+4=10 (条)注意：3个点时，是从1加到4，因此
如果是n个点，则共有线段1+2+3+……+n+1= = 条
【实战模拟】
1，右边代数式中的字母应取什么值？
① ②S正方形=a2③3的倍数3n
2，用字母表示：
①一切奇数， ②所有正偶数， ③一个三位数，
④n个a相乘的结果， ⑤负数的绝对值是它的相反数。
②设n为整数，2n可表示所有偶数。
3，命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。
例题① 化简：⑴｜x－3｜（x<3）⑵| x+5|
解：⑴∵x<3,∴x－3<0，
∴｜x－3｜＝－（x－3）＝－x＋3
⑵当x≥－5时，｜x＋5｜＝x＋5，
当x <－5时，｜x＋5｜＝－x－5（本题x表示所有学过的数）
绝对值性质如果a>0,那么|a|=a也不可逆(若|a|=a则a≥0)
7，有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。
【分类解析】
例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n位数呢？
解：不同的五位数可从最大五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000.
初中数学7年级(14)乘法公式
（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（14）乘法公式
【知识精读】
1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2
立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3
3.公式的推广：
①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4
(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6
…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n
(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地：
（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n
4.公式的变形及其逆运算
由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
由公式的推广③可知：当n为正整数时
a n－
b n能被a－b整除,
a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
【分类解析】
例1. 己知x+y=a xy=b
求 ①x 2+y 2 ②x 3+y 3 ③x 4+y 4 ④x 5+y 5
解： ①x 2+y 2＝(x+y)2－2xy ＝a 2－2b
②x 3+y 3＝(x+y)3－3xy （x+y ）＝a 3－3ab
③x 4+y 4＝(x+y)4－4xy （x 2+y 2）－6x 2y 2＝a 4－4a 2b ＋2b 2
④x 5+y 5＝（x+y ）(x 4－x 3y+x 2y 2－xy 3+y 4)
=(x+y)［x 4+y 4－xy(x 2+y 2)+x 2y 2］
=a ［a 4－4a 2b+2b 2－b(a 2－2b)+b 2］
＝a 5－5a 3b+5ab 2
例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。
证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a 为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a 2+3a)(a 2+3a+2)+1
=(a 2+3a)2+2(a 2+3a)+1=(a 2+3a+1)2
∵a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数
∴a 2+3a+1是整数 证毕
例3. 求证：2222＋3111能被7整除
证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111
根据 a 2n+1+b 2n+1能被a+b 整除，（见内容提要4）
∴4111＋3111能被 4＋3整除
∴2222＋3111能被7整除
例 4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)2=100a 2+2×10a ×5+25=100a(a+1)+25
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。
如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 252=625 (6=2×3)，
352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)
……
【实战模拟】
1． 填空：
①a 2+b 2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a －b)2+___
③a 3+b 3=(a+b)3－3ab(___) ④a 4+b 4=(a 2+b 2)2－____
,⑤a 5+b 5=(a+b)(a 4+b 4)－_____ ⑥a 5+b 5=(a 2+b 2)(a 3+b 3)－____
2． 填空：
①(x+y)(___________)=x 4－y 4 ②(x －y)(__________)=x 4－y 4
③(x+y)( ___________)=x 5+y 5 ④（x －y ）(__________)=x 5－y 5
3.计算：
①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=
4. 计算下列各题 ，你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=
5..已知x+x 1=3, 求①x 2+21x ②x 3+31x ③x 4+41x
的值
6.化简：①（a+b ）2(a －b)2
②(a+b)(a 2－ab+b 2)
③(a －b)((a+b)3－2ab(a 2－b 2)
④(a+b+c)(a+b －c)(a －b+c)(－a+b+c)
7.己知a+b=1, 求证：a 3+b 3－3ab=1
8.己知a 2=a+1，求代数式a 5－5a+2的值
9.求证：233＋1能被9整除
10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数
的平方
11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们
的直径分别是a,b,c
①
②
练习
4. 十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位
数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积
8. n(n+1)+(n+1)=(n+1)2
9. ①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0
②2
(ab+ac+bc)。