1平行线的概念

，求/ MPN 的大小

1.平行线的概念

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

(1) 在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提； (2) 必须是两条直线；

(3) 同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一 条直线。 两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数 m 进行

名称

公共点个数

m

在同一个平面内

重合直线 m 2 相交直线 m 1 平行直线

m 0 不在同一个平面内 异面直线

m 0

平行用“//”表示，如图7所示，直线AB 与直线CD 平行，记作AB // CD ，读作AB 平 行于CD 。

3. 平行线的画法

4. 平行线的基本性质

(1) 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

(2) 平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 5. 平行线的判定方法：

(1) 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 (2) 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 (3) 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 (4) 两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。

(5) 在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 6. 平行线的性质：

(1) 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。 (2) 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。 (3) 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简

记：两直线平行，同旁内角互 补。

范例 1 如图，已知/ AMF= / BNG=75 °，/ CMA=55

B

CMA=130 °，即/ CMF=130 °，所以/ CME=180 ° — 130° =50 ° , 所以/

MPN=范例2如图，/ 1与/ 3为余角，/ 2与/ 3的余角互补，/ / PCM

4=115 °

,CP 平分/ ACM ,

答案：57.5

解析：因为/ 1 + / 3=90

// DE ，所以/ BCN= / 4=115

，/ 2+ (90°—/ 3) =180 ° , 所以/ 2+ / 1=180 °，所以 AB

,所以/ ACM=115 ° ,

又因为CP 平分/ ACM ，所以/ PCM= 2 范例4如图，已知:

答案：50°

解析：因为/ AMF= / BNG=75 °，又因为/ BNG= / MNP ，所以/ AMF= / MNP ，所 以 EF // GH ，所以/ MPN= / CME ，又因为/ AMF=75 °，/ CMA=55 °，所以/ AMF+ /

1

/ ACM= 2 x 115 ° =57.5 °，所以/ PCM=57.5 °

范例3如图，已知：/ 1 + / 2=180°，/ 3=78 °，求/ 4的大小

答案：102°

解析：因为/ 2= / CDB ，又因为/ 1+ / 2=180 °，所以/ 1 + / CDB=180 °，所以得到

AB // CD ，所以/ 3+ / 4=180 °,又因为/ 3=78 °，所以/ 4=102°

BAP 与/ APD 互补，/ 1 = / 2，说明：/ E=/ F

解析：因为/ BAP 与/ APD 互补，所以 AB // CD ，所以/ BAP= / CPA ，又因为/ 1 = / 2, 所以/ BAP — / 1= / CPA — / 2，即/ EAP= / FPA ，所以 EA // PF ,所以/ E=/ P

B

因为 CD // MN ，/ HPO= / PON ，所以/ HOP= / HON -Z PON= HOP= Z AGF -Z HPO

校出发，向北偏西

理由。

范例6如图，已知AB

范例5如图，已知 AB // CD , P 为HD 上任意一点，过 P 点的直线交HF 于0点，试问: / HOP 、/ AGF 、/ HPO 有怎样的关系？用式子表示并证明

答案：Z HOP= Z AGF -Z HPO

解析：过O 作CD 的平行线 MN ，因为AB // CD ，且CD // MN ，所以AB //

MN ，所以

Z AGF= Z MOF= Z HON , Z HON -Z HPO ，所以Z

Z B +Z BED +Z D=360

A B

F

分析：因为已知AB // CD ，所以在Z BED 的内部过点 E 作AB 的平行线，将Z B +Z BED +Z D 的和转化成对平行线的同旁内角来求。

解：过点E 作EF // AB ，贝U

Z B +Z BEF=180 ° （两直线平行，同旁内角互补） •/ AB // CD （已知） EF / AB （作图）

••• EF // CD （平行于同一条直线的两直线平行）

•••Z D +Z DEF=180 ° （两直线平行，同旁内角互补）

• Z B +Z BEF + Z D + Z DEF=360 °

vZ B +Z BED + Z D= Z B +Z BEF + Z D +Z DEF • Z B +Z BED + Z D=360°

范例7.小张从家（图中 A 处）出发，向南偏东 40 °方向走到学校（图中 B 处），再从学

75°的方向走到小明家（图中 C 处），试问Z ABC 为多少度？说明你的

D

E

D

// CD ，说明: A

B